1、第 1 页（共 17 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（16） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 |0Ax x，| 22BxZx ，那么(AB ) A0，1 B |02xx C 1，0 D0，1，2 2 （5 分）复数 1 2zi， 2 1 3zi ，其中i为虚数单位，则 12 zzz在复平面内的对应点 位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： 2 log (1) S CW N
2、，其中C为 最大数据传输速率，单位为/bits；W为信道带宽，单位为Hz； S N 为信噪比香农公式在 5G技术中发挥着举足轻重的作用 当99 S N ，2000WHz时，最大数据传输速率记为 1 C；当9999 S N ，3000WHz时， 最大数据传输速率记为 2 C，则 2 1 C C 为( ) A1 B 5 2 C 15 4 D3 4 （5 分）已知某圆锥的轴截面是边长为 4 的正三角形，则它的体积为( ) A 2 3 3 B 4 3 3 C 8 3 3 D2 3 5（5 分） 若定义在R上的偶函数( )f x在(,0)单调递减且f（2）0， 则满足(1) 0 xf x 的x取值范围是
3、( ) A 3，1 B 3，01，) C(，30， 1 D(，31，) 6 （5 分）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选 3 人中 女生的人数，则(1)P X等于( ) A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 7 （5 分）已知直线340 xy与圆心为(2,0)的圆C相切，则圆C的方程为( ) 第 2 页（共 17 页） A 22 (2)3xy B 22 (2)9xy C 22 (2)3xy D 22 (2)9xy 8（5 分） 将函数( )sin cos1f xxx的图象向右平移 6 个单位长度后得到函数( )g x的图象， 则函数( )g
4、x的单调递增区间是( ) A 3 k，() 3 Z kk B 4 k，() 2 Z kk C 4 k，() 4 Z kk D 12 k， 5 () 12 Z kk 9 （5 分）ABC中， 3 A ，边7BC ，3AB AC ，且边ABAC，则边AB的长为 ( ) A2 B3 C4 D6 10 （5 分）已知点P是双曲线 22 1 84 xy 上一点， 1 F， 2 F分别为双曲线的左、右焦点，若 12 FPF的外接圆半径为 4，且 12 F PF为锐角，则 12 | | (PFPF ) A15 B16 C18 D20 11 （5 分）在直三棱柱 111 ABCABC中，2ABBC， 2 AB
5、C ，若该直三棱柱的外接 球表面积为16，则此直三棱柱的高为( ) A4 B3 C4 2 D2 2 12 （5 分）已知函数( )f x是定义域为R的奇函数，且当0 x 时，函数( )2 x f xxe，若 关于x的函数 2 ( ) ( )(2) ( )2F xf xaf xa恰有 2 个零点，则实数a的取值范围为( ) A 1 (,2) e B(，2)(2，) C 11 ( 2,2)(2,2) ee D 11 (2,2) ee 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设x，y满足约束条件 0 3 24 x xy xy ，则
6、目标函数 1 y z x 的最大值是 14 （5 分） 5 2 (3)(1) x x 的展开式中常数项为 第 3 页（共 17 页） 15 （5 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知3 cos3bCac， 且AC，则sin A 16 （5 分）已知函数( )sin(cos )cos(cos )f xxx，现有以下命题： ( )f x是偶函数；( )f x是以2为周期的周期函数； ( )f x的图像关于 2 x 对称；( )f x的最大值为2 其中真命题有 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）如图，四
7、棱锥PABCD的底面ABCD为梯形，CDAD，/ /BCAD，PA 底面ABCD，且2PAADCD，3BC （1）E为PD的中点，证明AE与平面PCD垂直； （2）点F在PC上，且 1 3 PF PC ，求二面角FAEP的正弦值 18 （12 分）设数列 n a是公差大于零的等差数列，已知 1 3a ， 2 24 24aa （）求数列 n a的通项公式； （）设数列 n b满足 n n n sinan b cosan 为奇数 为偶数 ，求 122021 bbb 19 （12 分）某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试受新冠疫 情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A、B、C
8、三项技能，其中A必须过关，B、 C至少有一项过关才能进入面试现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否 通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如表，且每一项考核 能否过关相互独立 考核技能 A B C 过关率 2 3 1 2 1 2 （）求甲应聘者能进入面试的概率； 第 4 页（共 17 页） （）用X表示三位应聘者中能进面试的人数，求X的分布列及期望EX 20 （12 分） 设O为坐标原点， 抛物线 2 :4C yx与过点(4,0)T的直线相交于P，Q两个点 （）求证：OPOQ； （）试判断在x轴上是否存在点M，使得直线PM和直线QM关于x轴对称若存在， 求出点
9、M的坐标若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 (21) ( )() 1 ax f xlnxaR x 有两个极值点 1 x和 2 x （）求实数a的取值范围； （）把 22 21 12 xx xx 表示为关于a的函数g（a） ，求g（a）的值域 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） ，直线l的参 数方程为 1 ( 3 xt t yt 为参数） （）求直线l的普通方程，说明C是哪一种曲线； （）设M，N分别为l和C上的动点，求|MN
10、的最小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( )|1| 2|1|f xmxx （1）当5m 时，求不等式( ) 1f x 的解集； （2）若两函数 2 22yxx与( )yf x的图象恒有公共点，求实数m的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（16） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 |0Ax x，| 22BxZx ，那么(AB ) A0，1 B |02xx C 1，
11、0 D0，1，2 【解答】解： |0Ax x， 1B ，0，1， 0AB，1 故选：A 2 （5 分）复数 1 2zi， 2 1 3zi ，其中i为虚数单位，则 12 zzz在复平面内的对应点 位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：复数 1 2zi， 2 1 3zi ， 则 12 (2)(1 3 )23(1 6)55zzziiii ， z在复平面内的对应点(5, 5)位于第四象限， 故选：D 3 （5 分）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： 2 log (1) S CW N ，其中C为 最大数据传输速率，单位为/bits；W为信道带宽，单位为Hz；
12、S N 为信噪比香农公式在 5G技术中发挥着举足轻重的作用 当99 S N ，2000WHz时，最大数据传输速率记为 1 C；当9999 S N ，3000WHz时， 最大数据传输速率记为 2 C，则 2 1 C C 为( ) A1 B 5 2 C 15 4 D3 【解答】 解： 当99 S N ，2000WHz时， 1222 2000log (1 99)2000log 1004000log 10C ， 当9999 S N ，3000WHz时， 2222 3000log (1 9999)3000log 1000012000log 10C ， 第 6 页（共 17 页） 22 12 120001
13、0 3 400010 Clog Clog ， 故选：D 4 （5 分）已知某圆锥的轴截面是边长为 4 的正三角形，则它的体积为( ) A 2 3 3 B 4 3 3 C 8 3 3 D2 3 【解答】解：圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于 4，如图： 圆锥的高 3 42 3 2 AO ， 圆锥的底面半径 1 42 2 r ， 因此，该圆锥的体积 22 118 3 22 3 333 VrAO 故选：C 5（5 分） 若定义在R上的偶函数( )f x在(,0)单调递减且f（2）0， 则满足(1) 0 xf x 的x取值范围是( ) A 3，1 B 3，01，) C(，30， 1 D(，31，)
14、 【解答】解：( )f x是偶函数，且在(,0)上单调递减， ( )f x在(0,)上单调递增， 又f（2）0，( 2)0f， 由(1) 0 xf x 得， 0 (1)(2) x f xf 或 0 (1)( 2) x f xf ， 0 1 2 x x 或 0 12 x x ，解得1x或30 x 剟， 第 7 页（共 17 页） x的取值范围是： 3，01，) 故选：B 6 （5 分）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选 3 人中 女生的人数，则(1)P X等于( ) A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 【解答】解：由题意， 3 4 3 6 1
15、 (0) 5 C P X C ， 21 42 3 6 3 (1) 5 C C P X C “所选 3 人中女生人数 1X”的概率： 4 (1)(0)(1) 5 P XP XP X 故选：D 7 （5 分）已知直线340 xy与圆心为(2,0)的圆C相切，则圆C的方程为( ) A 22 (2)3xy B 22 (2)9xy C 22 (2)3xy D 22 (2)9xy 【解答】解：令圆C的标准方程 222 ()()xaybr， 因为直线340 xy与圆心为(2,0)的圆C相切， 则圆C的半径 22 |2304| 3 1( 3) r ， 因此，圆C的方程为 22 (2)9xy 故选：B 8（5
16、分） 将函数( )sin cos1f xxx的图象向右平移 6 个单位长度后得到函数( )g x的图象， 则函数( )g x的单调递增区间是( ) A 3 k，() 3 Z kk B 4 k，() 2 Z kk C 4 k，() 4 Z kk D 12 k， 5 () 12 Z kk 【解答】解：函数 1 ( )sin cos1sin21 2 f xxxx ，的图象向右平移 6 个单位长度后得到函 数 1 ( )sin(2)1 23 g xx 的图象 令：222() 232 xZ k 剟kk， 第 8 页（共 17 页） 解得 5 () 1212 xZ k 剟kk， 故函数的单调递增区间为：
17、5 ,() 1212 Z kkk 故选：D 9 （5 分）ABC中， 3 A ，边7BC ，3AB AC ，且边ABAC，则边AB的长为 ( ) A2 B3 C4 D6 【解答】解：3AB AC ， 1 coscos 32 A ， cos3cbA，即6cb ， 又7BCa， 6 b c ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA得： 22 6 7( )6c c ， 整理得： 42 13360cc，即 22 (4)(9)0cc，又0c ， 2c，3b 或3c ，2b ， ABAC，即cb， 则2ABc 故选：A 10 （5 分）已知点P是双曲线 22 1 84 xy 上一点， 1 F， 2 F
18、分别为双曲线的左、右焦点，若 12 FPF的外接圆半径为 4，且 12 F PF为锐角，则 12 | | (PFPF ) A15 B16 C18 D20 【解答】解：点P是双曲线 22 1 84 xy 上一点， 1( 2 3 F ，0)， 2(2 3 F，0)， 12 FPF的外接圆半径为 4， 可得圆的圆心(0,2)， 圆的方程为： 22 (2)16xy， 不妨设P 在第一象限， 圆的方程与双曲线 22 1 84 xy 联立可得(4,2)P， 2222 12 | |(42 3)(20)(42 3)(20)32 16 332 16 325616PFPF 故选：B 第 9 页（共 17 页） 1
19、1 （5 分）在直三棱柱 111 ABCABC中，2ABBC， 2 ABC ，若该直三棱柱的外接 球表面积为16，则此直三棱柱的高为( ) A4 B3 C4 2 D2 2 【解答】解：在直三棱锥 111 ABCABC中， 2 ABC ，ABBC，又2ABBC， 直三棱柱 111 ABCABC的底面ABC为等腰直角三角形， 把直三棱柱 111 ABCABC补成正四棱柱， 则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径， 设D， 1 D分别为AC， 11 AC的中点，则 1 DD的中点O为球心， 设直三棱柱的高为h，则球的半径 2 22 ( 2)( )2 24 hh R ， 故表面积为 2 2 44 (2)
20、16 4 h SR，解得2 2h 故选：D 12 （5 分）已知函数( )f x是定义域为R的奇函数，且当0 x 时，函数( )2 x f xxe，若 关于x的函数 2 ( ) ( )(2) ( )2F xf xaf xa恰有 2 个零点，则实数a的取值范围为( ) A 1 (,2) e B(，2)(2，) C 11 ( 2,2)(2,2) ee D 11 (2,2) ee 【解答】解：( ) ( )2 ( )0F xf xf xa，( )2f x 或( )f xa， 第 10 页（共 17 页） 0 x 时，( )22 x f xxe，( )(1) x f xxe， 1x 时，( )0f x
21、，( )f x递减，10 x 时，( )0f x，( )f x递增， 故( )f x的极小值是 1 ( 1)2f e ，又( )2f x ，故( )2f x 无解， 此时( )f xa要有 2 个解，则 1 22a e ， 又( )f x是奇函数，故0 x 时，( )2f x 仍然无解， ( )f xa要有 2 个解，则 1 22a e ， 综上：a的取值范围是( 2， 11 2)(2 ee ，2)， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设x，y满足约束条件 0 3 24 x xy xy ，则目标函数 1 y
22、z x 的最大值是 3 【解答】解：作出x，y满足约束条件 0 3 24 x xy xy 对应的平面区域如图： 1 y z x 的几何意义为平面区域内的点到定点( 1,0)D 的斜率， 由图象知AD的斜率最大，其中(0,3)A， 则3 1 y z x ， 故答案为：3 第 11 页（共 17 页） 14 （5 分） 5 2 (3)(1) x x 的展开式中常数项为 7 【解答】解： 555 22 (3)(1)3 (1)(1)xxx xx ， 所以常数项为： 01 55 2 33 107CC x x ， 故答案为：7 15 （5 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知3 cos3
23、bCac， 且AC，则sin A 6 3 【解答】解：因为3 cos3bCac，且AC， 可得ac， 222 33 2 abc bac ab ，整理解得 3 2 acb， 所以 2222 3 cos 233 2 2 bcab A bc bb ， 可得 2 6 sin1 3 Acos A 故答案为： 6 3 16 （5 分）已知函数( )sin(cos )cos(cos )f xxx，现有以下命题： ( )f x是偶函数；( )f x是以2为周期的周期函数； ( )f x的图像关于 2 x 对称；( )f x的最大值为2 其中真命题有 【解答】解：函数( )sin(cos )cos(cos )f
24、 xxx， 对于：由于()( )fxf x，且xR，故函数为偶函数，故正确； 对于： 函数(2 )sincos(2 ) coscos(2 )sin(cos )cos(cos )( )f xxxxxf x， 故 正确； 对于：由于(0)sin1 cos1f，( )sin( 1)cos1f，故(0)( )ff，所以错误； 对于：( )sin(cos )cos(cos )2sin(cos) 4 f xxxx ， 当c o s 4 x 时，( )f x的最大值为2， 故正确； 故答案为： 第 12 页（共 17 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12
25、 分）分） 17 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为梯形，CDAD，/ /BCAD，PA 底面ABCD，且2PAADCD，3BC （1）E为PD的中点，证明AE与平面PCD垂直； （2）点F在PC上，且 1 3 PF PC ，求二面角FAEP的正弦值 【解答】 （1）证明：2APAD，E为PD的中点 APD为等腰三角形，AEPD， 又PA底面ABCD，PACD， CDAD，ADPAA，CD平面PAD，CDAE， AEPD，AECD，PDCDD，PD平面PDC，AD 平面PDC， AE平面PCD （2）解：因为PA底面ABCD，CDAD，/ /BCAD， 所以PA、AD、CD两两
26、垂直， 以A点为原点，AD为y轴，AP为z轴， 过A做平面ABCD内CD的平行线， 交BC于点H， AH为x轴，建立如图所示空间直角坐标系 因为2PAADCD，3BC ， 所以(0A，0，0)，(2B，1，0)，(2C，2，0)，(0D，2，0)，(0P，0，2) 因为E为PD的中点，点F在PC上，且 1 3 PF PC ，所以(0E，1，1)， 2 2 4 ( , ) 3 3 3 F 设平面AEF的一个法向量为( , , )ma b c， 第 13 页（共 17 页） 则 0 0 m AE m AF ，即 0 224 0 333 bc abc ，取1b ，则1a ，1c ，得(1,1, 1)
27、m 又平面AEP的一个法向量为(1,0,0)n ，所以 13 cos, | |33 1 m n m n mn 所以二面角FAEP的正弦值为 6 3 18 （12 分）设数列 n a是公差大于零的等差数列，已知 1 3a ， 2 24 24aa （）求数列 n a的通项公式； （）设数列 n b满足 n n n sinan b cosan 为奇数 为偶数 ，求 122021 bbb 【解答】解： （）设等差数列 n a的公差为d，则由题意有 2 11 ()(3 )24adad，解 得6d 或3d ， 0d ，3d， 33(1)3 n ann （）当n为奇数时，sin3sin0 n bn， 当n为
28、偶数时，cos3cos01 n bn， 故 n b是以 2 为周期的周期数列，且 12 1bb， 122021121 1010()101001010bbbbbb ， 19 （12 分）某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试受新冠疫 情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A、B、C三项技能，其中A必须过关，B、 C至少有一项过关才能进入面试现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否 通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如表，且每一项考核 能否过关相互独立 考核技能 A B C 过关率 2 3 1 2 1 2 （）求甲应聘者能进入面试的概率； （
29、）用X表示三位应聘者中能进面试的人数，求X的分布列及期望EX 第 14 页（共 17 页） 【解答】解： （）甲应聘者这三项考核分别记为事件A，B，C，且事件A，B，C相 互独立， 则甲应聘者能进入面试的概率为： 2 1 12 1 12 1 11 ()()() 3 2 23 2 23 2 22 P ABCP ABCP ABC （）由题知，X的所有可能取值为 0，1，2，3，且 1 (3, ) 2 XB 03 3 11 (0)( ) 28 P XC； 12 3 113 (1)( )( ) 228 P XC； 22 3 113 (2)( ) ( ) 228 P XC； 330 3 111 (3)(
30、 ) ( ) 228 P XC， 分布列为： X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 1 (3, ) 2 XB， 13 3 22 EX 20 （12 分） 设O为坐标原点， 抛物线 2 :4C yx与过点(4,0)T的直线相交于P，Q两个点 （）求证：OPOQ； （）试判断在x轴上是否存在点M，使得直线PM和直线QM关于x轴对称若存在， 求出点M的坐标若不存在，请说明理由 【解答】 （）证明：设直线:4PQ xny，设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 联立 2 4 4 xny yx ，消去x得 2 4160yny， 12 4yyn， 12 16y y 2
31、22 12 12 ( 16) 16 4416 yy x x ， 1 212 0 x xy y， 1212 0OP OQx xy y，即OPOQ （）解：假设存在这样的点M，设( ,0)M t， 第 15 页（共 17 页） 由（）知， 12 4yyn， 12 16y y ， 由PM和QM关于x轴对称知，0 MPMQ kk， 即 1212 1212 44 MPMQ yyyy xtxtnytnyt kk 1221 12 (4)(4) (4)(4) y nyty nyt nyt nyt 2212 12 2(4)() (4)(4) ny ytyy nyt nyt 12 32(4) 4 (4)(4) n
32、tn nyt nyt 12 164 0 (4)(4) nnt nyt nyt 4t ，即存在这样的点( 4,0)M 21 （12 分）已知函数 (21) ( )() 1 ax f xlnxaR x 有两个极值点 1 x和 2 x （）求实数a的取值范围； （）把 22 21 12 xx xx 表示为关于a的函数g（a） ，求g（a）的值域 【解答】解： （）易知( )f x的定义域为(0,)， 2 2 (23 )1 ( ) (1) xa x fx x x ， 设 2 ( )(23 )1h xxa x，其中 2 912aa， 当0时，即 4 3 a 或0a 此时( )0h x 有两个根，则有 1
33、2 1 2 32 1 xxa x x ， 1 x， 2 x同号， ( )f x的定义域为(0,)， 1 0 x， 2 0 x ， 12 320 xxa， 2 3 a ， 4 3 a ， 1,212 (32) () 2 a xxx ， ( )f x在 1 (0,)x上单调递增，在 1 (x， 2) x上单调递减，在 2 (x，)上单调递增 综上可知，( )f x有两个极值点， 实数a的取值范围为 4 ( ,) 3 第 16 页（共 17 页） （）由（）知，当 4 3 a 时，( )f x有两个不同的极值点 1 x， 2 x，且 12 1 2 32 1 xxa x x ， 则 22 332232
34、21 12121212 12 4 ()()3(32)(32)32754272() 3 xx xxxxxxx xaaaaaa xx 设 32 4 ( )2754272() 3 g aaaaa， 则 g （a） 22 811082727(341)27(31)(1)0aaaaaa， g（a）在 4 ( ,) 3 上是单调递增的， 4 ( )( )2 3 g ag， g（a） (2,)， 即g（a）的值域为(2,) 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参
35、数） ，直线l的参 数方程为 1 ( 3 xt t yt 为参数） （）求直线l的普通方程，说明C是哪一种曲线； （）设M，N分别为l和C上的动点，求|MN的最小值 【解答】 解：（） 直线l的参数方程为 1 ( 3 xt t yt 为参数） 转换为直角坐标方程为：4xy； 曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 2 1 9 x y， 所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆 （）设(3cos ,sin )N， 则|MN就是点N到直线l的距离， |3cossin4| 10sin()4| | 22 MN ，(由 tan3决定） 当sin()1时， 410 |
36、2 25 2 min MN 第 17 页（共 17 页） 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( )|1| 2|1|f xmxx （1）当5m 时，求不等式( ) 1f x 的解集； （2）若两函数 2 22yxx与( )yf x的图象恒有公共点，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）当5m 时， 36,1 ( )2, 11 43 ,1 xx f xxx x x 剟， 由( ) 1f x ，得 361 1 x x 或 21 11 x x 剟 或 431 1 x x ， 5 1 3 x 或 11x或x， 不等式解集为 5 (,1) 3 ； （2）由函数 22 22(1)1yxxx知，该函数在1x 处取得最小值 1， 31,1 ( )3, 11 31,1 xm x f xxmx xmx 剟， ( )f x在(, 1) 上递增，在 1，1上递减，在(1,)上递减， 故( )f x在1x 处取得最大值2m ， 要使二次函数 2 22yxx与函数( )yf x的图象恒有公共点， 只需2 1m ，即3m， m的取值范围为3，)
