1、第 1 页（共 12 页） 新高考数学选填小题限时模拟练习（新高考数学选填小题限时模拟练习（22） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）复数z满足(1)1zii ，则z的虚部等于( ) Ai B1 C0 D1 2 （5 分）设集合 |02Axx， 1 |0 4 x Bx x ，则集合(AB ) A(0，1 B(0,1) C(0,4) D(0，4 3 （5 分）我国著名数学家华罗庚曾说： “数缺形时少直观，
2、形缺数时难入微，数形结合百 般好，隔裂分家万事休 ”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也 常用函数的解析式来研究函数图象的特征我们从这个商标中抽象出一个图象如图， 其对应的函数可能是( ) A 1 ( ) |1| f x x B 1 ( ) | 1| f x x C 2 1 ( ) 1 f x x D 2 1 ( ) 1 f x x 4 （5 分）2020 年 11 月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访” 区域， 通过视频连线， 帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或 海外负责人 某新闻机构安排 4 名记者和 3 名摄影师对本次
3、进博会进行采访， 其中 2 名记者 和 1 名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外 2 名记者和 2 名摄影师分两组（每组记者和 摄影师各 1 人） ，分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访如果所有记者、 摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有( ) A36 种 B48 种 C72 种 D144 种 第 2 页（共 12 页） 5（5 分） 若函数( )f x满足： 对定义域内任意的 1 x， 212 ()x xx， 有 12 12 ()()2 () 2 xx f xf xf ， 则称函数( )f x具有H性质则下列函数中不具有H性质的是( ) A 1 ( )(
4、 ) 2 x f x B( )f xlnx C 2 ( )(0)f xxx D( )tan (0) 2 f xxx 6 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从 墙的两面相对着打洞穿墙大老鼠第一天打进 1 尺，以后每天进度是前一天的 2 倍小老鼠 第一天也打进 1 尺，以后每天进度是前一天的一半如果墙的厚度为 10 尺，则两鼠穿透此 墙至少在第( ) A3 天 B4 天 C5 天 D6 天 7 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位 圆（圆心在坐标原点)O于A、B两点若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且 cos()
5、 0，则ab的最大值为( ) A1 B2 C2 D不存在 8 （5 分）如图，已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 1 F的 直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接 2 AF， 2 BF，在 2 ABF中， 2 1 sin 24 ABF ， 2 | |ABBF，则双曲线C的离心率为( ) A3 B2 C3 D2 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选
6、对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知向量(1, 2)a ，( 1,)bm ，则( ) A若a与b垂直，则1m B若/ /ab，则a b的值为5 C若1m ，则|13ab D若2m ，则a与b的夹角为60 第 3 页（共 12 页） 10 （5 分）设0a ，0b ，21ab，则( ) Aab的最大值为 1 8 B 22 4ab的最小值为 1 2 C 12 ab 的最小值为 8 D24 ab 的最小值为2 2 11 （5 分）设首项为 1 的数列 n a的前n项和为 n S，且 1 21 nn SSn ，则下列结论正确 的是
7、( ) A数列 n a为等比数列 B数列 n Sn为等比数列 C数列1 n a 为等比数列 D数列2 n S的前n项和为 22 24 n nn 12 （5 分）已知函数( ) |sincos |(sincos )f xxxxx，xR，则( ) A( )f x在(0,) 4 上单调递增 B( )f x是周期函数，且周期为2 C直线 4 x 是( )f x的对称轴 D函数( )( )1g xf x在(, ) 上有且仅有一个零点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知点(3,0)A，(0,4)B，点P在圆 22 1x
8、y上运动，则点P到直线AB的距离 的最小值为 14 （5 分） 定义在实数集R上的可导函数( )f x满足：f（1）1，( )20fxx， 其中( )fx 是( )f x的导数，写出满足上述条件的一个函数 15（5 分） 某班有 40 名学生， 一次考试后数学成绩 2 (110,)N， 若( 1 0 01 1 0 ) 0 . 3 5P剟， 则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为 16 （5 分）A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直 径的球称为AB，CD的 “伴随球” ， 若三棱锥ABCD的四个顶点在表面积为64的球面上， 它的两条边AB，CD的长度分别
9、为2 7和4 3，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围 是 第 4 页（共 12 页） 新高考数学选填小题限时模拟练习（新高考数学选填小题限时模拟练习（22） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）复数z满足(1)1zii ，则z的虚部等于( ) Ai B1 C0 D1 【解答】解：复数z满足(1)1zii ， 22 2 1(1)12 1(1)(1)1 iiii zi
10、iiii ， z的虚部为1 故选：B 2 （5 分）设集合 |02Axx， 1 |0 4 x Bx x ，则集合(AB ) A(0，1 B(0,1) C(0,4) D(0，4 【解答】解： |02Axx， | 41Bxx ， (0AB，1 故选：A 3 （5 分）我国著名数学家华罗庚曾说： “数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百 般好，隔裂分家万事休 ”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也 常用函数的解析式来研究函数图象的特征我们从这个商标中抽象出一个图象如图， 其对应的函数可能是( ) A 1 ( ) |1| f x x B 1 ( ) | 1| f x x C 2
11、 1 ( ) 1 f x x D 2 1 ( ) 1 f x x 【解答】解：函数的定义域为 |1x x ，排除选项A和D， 当(0,1)x时，( )0f x ， 第 5 页（共 12 页） 但在选项C中，由于 2 1x ，所以( )0f x ，可排除选项C， 故选：B 4 （5 分）2020 年 11 月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访” 区域， 通过视频连线， 帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或 海外负责人 某新闻机构安排 4 名记者和 3 名摄影师对本次进博会进行采访， 其中 2 名记者 和 1 名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外
12、2 名记者和 2 名摄影师分两组（每组记者和 摄影师各 1 人） ，分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访如果所有记者、 摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有( ) A36 种 B48 种 C72 种 D144 种 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： 在 4 名记者中任选 2 人， 在 3 名摄影师中选出 1 人， 安排到 “云采访” 区域采访， 有 21 43 18C C 种情况， 在剩下的外 2 名记者中选出 1 人，在 2 名摄影师中选出 1 人，安排到“汽车展区”采访， 有 11 22 4C C 种情况， 将最后的 1 名记者和 1 名摄影师，
13、安排到“技术装备展区”采访，有 1 种情况， 则有18472种不同的安排方案， 故选：C 5（5 分） 若函数( )f x满足： 对定义域内任意的 1 x， 212 ()x xx， 有 12 12 ()()2 () 2 xx f xf xf ， 则称函数( )f x具有H性质则下列函数中不具有H性质的是( ) A 1 ( )( ) 2 x f x B( )f xlnx C 2 ( )(0)f xxx D( )tan (0) 2 f xxx 【解答】解：若定义域内任意的 1 x， 212 ()x xx， 有 12 12 ()()2 () 2 xx f xf xf ， 则点 1 (x， 1 ()f
14、 x， 2 (x， 2 ()f x连线的中点 12 ( 2 xx ， 12 () 2 xx f 的上方， 如图（其中 12 () 2 xx af ， 12 ()() 2 f xf x b ， 根据函数 1 ( )( ) 2 x f x ，( )f xlnx， 2 ( )(0)f xxx，( )tan (0) 2 f xxx 的图象可知， 第 6 页（共 12 页） 函数 1 ( )( ) 2 x f x ， 2 ( )(0)f xxx，( )tan (0) 2 f xxx ，具有H性质， 函数( )f xlnx不具有H性质， 故选：B 6 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有如下“两鼠穿墙”
15、问题：有两只老鼠同时从 墙的两面相对着打洞穿墙大老鼠第一天打进 1 尺，以后每天进度是前一天的 2 倍小老鼠 第一天也打进 1 尺，以后每天进度是前一天的一半如果墙的厚度为 10 尺，则两鼠穿透此 墙至少在第( ) A3 天 B4 天 C5 天 D6 天 【解答】 解： 大老鼠与小老鼠每天挖墙的进度都形成等比数列： 首项都为 1， 公比分别为 2， 1 2 设两鼠穿透此墙至少在第n天， 由题意可得： 1 1( ) 21 2 10 1 21 1 2 n n ， 化为： 1 22( )90 2 nn ， 令 1 ( )229 xx f x ，则f（3） 15 890 44 ，f（4） 155 16
16、90 88 两鼠穿透此墙至少在第 4 天 故选：B 7 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位 圆（圆心在坐标原点)O于A、B两点若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且 cos() 0，则ab的最大值为( ) 第 7 页（共 12 页） A1 B2 C2 D不存在 【解答】解：角和角一个在第一象限，另一个在第二象限， 不妨假设在第一象限，则在第二象限， 根据题意可得(cos , )Aa、(cos , )Bb，且sin0a，sin0b， 2 cos1a， 2 cos1b ， 22 cos()coscossinsin110abab ， 即 22 11aba
17、b， 平方可得， 22 1ab，当且仅当ab时，取等号 22222 ()22()2ababababab 剟，当且仅当ab时，取等号， 故当ab时，ab取得最大值为2， 故选：B 8 （5 分）如图，已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 1 F的 直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接 2 AF， 2 BF，在 2 ABF中， 2 1 sin 24 ABF ， 2 | |ABBF，则双曲线C的离心率为( ) A3 B2 C3 D2 【解答】解：设 1 |BFm，则 2 | 2BFam， 112 | | |2AFABBFBFma，则
18、 2 | 4AFa， 2 21 sin 224 ABFa am ，解得6ma， 从而 2 | 8BFa， 在 12 BFF中， 222 12121212 |2| cosFFBFBFBFBFFBF， 第 8 页（共 12 页） 即 22222 43664268(12) 2 ABF caaaasin ， 即 22 4ca，又1e ，得2 c e a 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选
19、对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知向量(1, 2)a ，( 1,)bm ，则( ) A若a与b垂直，则1m B若/ /ab，则a b的值为5 C若1m ，则|13ab D若2m ，则a与b的夹角为60 【解答】解：对于:A ab210a bm ，解得 1 2 m ，故A错； 对于:/ /1( 2)( 1)2B abm ， 故( 1 ,2 )b ， 故1 ( 1 ) ( 2 ) 25a b ， 故B正 确； 对于:1C m 得( 1,1)b ，故 22 | |(2, 3)|2( 3)13ab ，故C正确； 对于:2D m 得( 1, 2)b ，
20、故 2 222 1 ( 1)( 2)3 cos, 5 1( 2)( 1)( 2) a b ，故D错 故选：BC 10 （5 分）设0a ，0b ，21ab，则( ) Aab的最大值为 1 8 B 22 4ab的最小值为 1 2 C 12 ab 的最小值为 8 D24 ab 的最小值为2 2 【解答】解：对于A，122 2abab，得 1 8 ab，当且 1 2 a ， 1 4 b 时取等号，故A正 确； 对于B， 222 1 4(2 )414 2 abababab ，当且仅当 1 2 a ， 1 4 b 时取等号，故B正 第 9 页（共 12 页） 确； 对于C， 121222 ()(2 )5
21、9 ba ab ababab ，当且仅当 1 3 ab时取等号，故C错误； 对于D， 2 242 22 2 abab ，当且仅当 1 2 a ， 1 4 b 时取等号，故D正确 故选：ABD 11 （5 分）设首项为 1 的数列 n a的前n项和为 n S，且 1 21 nn SSn ，则下列结论正确 的是( ) A数列 n a为等比数列 B数列 n Sn为等比数列 C数列1 n a 为等比数列 D数列2 n S的前n项和为 22 24 n nn 【解答】解：依题意，由 1 21 nn SSn ，可得 1 12112() nnn SnSnnSn ， 11 112Sa ， 数列 n Sn是以 2
22、 为首项，2 为公比的等比数列，故选项B正确， 1 2 22 nn n Sn ， 2n n Sn，*nN， 1 222 n n Sn ， 数列2 n S的前n项和为 12 222 n SSS 231 (22 1)(222)(22 ) n n 231 (222)2(12) n n 22 22(1) 2 122 n n n 22 24 n nn ，故选项D正确， 第 10 页（共 12 页） 当2n时， 11 1 22(1)21 nnn nnn aSSnn ， 数列 n a不是等比数列，选项A不正确， 11 121 122 nn n a ， 数列1 n a 不是等比数列，选项C不正确 故选：BD
23、12 （5 分）已知函数( ) |sincos |(sincos )f xxxxx，xR，则( ) A( )f x在(0,) 4 上单调递增 B( )f x是周期函数，且周期为2 C直线 4 x 是( )f x的对称轴 D函数( )( )1g xf x在(, ) 上有且仅有一个零点 【解答】 解： 当sincos0 xx时， 22 ( )(sincos )(sincos )cossincos2f xxxxxxxx ， 此时22 4 x k 剟k或 5 222 4 x k剟k，Zk，Zk， 当sincos0 xx时， 22 ( )(sincos )(sincos )cossincos2f xxx
24、xxxxx ，此时 5 22 44 x kk，Zk， 作出函数的图象如图： 则( )f x在(0,) 4 上单调递减，故A错误， ( )f x是周期函数，周期为2，故B正确， 直线 4 x 是( )f x的对称轴，故C正确， 由( )( )10g xf x 得( )1f x ，在(, ) 上有且仅有一个零点，正确，故D正确 故选：BCD 第 11 页（共 12 页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知点(3,0)A，(0,4)B，点P在圆 22 1xy上运动，则点P到直线AB的距离 的最小值为 7 5 【解
25、答】 解： 根据题意， 点(3,0)A，(0,4)B， 则直线AB的方程为1 34 xy ， 即431 2 0 xy， 圆 22 1xy，圆心为(0,0)，半径1r ， 点P到直线AB的距离 |12|12 5169 d ， 则点P到直线AB的距离的最小值为 127 1 55 dr ， 故答案为： 7 5 14 （5 分） 定义在实数集R上的可导函数( )f x满足：f（1）1，( )20fxx， 其中( )fx 是( )f x的导数，写出满足上述条件的一个函数 2 ( )1f xxx 【解答】解：令 2 ( )1f xxx ，满足f（1）1 1 11 ，则( )21fxx ， 所以( )2(
26、21)210fxxxx 故答案为： 2 ( )1f xxx 15（5 分） 某班有 40 名学生， 一次考试后数学成绩 2 (110,)N， 若( 1 0 01 1 0 ) 0 . 3 5P剟， 则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为 6 【解答】解：考试的成绩X服从正态分布 2 (110,)N 考试的成绩关于110对称， (100110)0.35P剟， 1 (120)(100)(10.352)0.15 2 PP厔， 该班数学成绩在 120 分以上的人数为0.15406 第 12 页（共 12 页） 故答案为：6 16 （5 分）A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中
27、点，以MN为直 径的球称为AB，CD的 “伴随球” ， 若三棱锥ABCD的四个顶点在表面积为64的球面上， 它的两条边AB，CD的长度分别为2 7和4 3，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是 125 , 66 【解答】 解： 由题意可知， 球的半径为4R ， 分别取球O的两条弦AB，CD的中点M，N， 则 2 473OM ， 2 4122ON ，即弦AB，CD分别是以O为球心， 半径为 3 和 2 的球的切线，且弦AB在以O为球心，半径为 2 的球的外部， MN的最大距离为235，最小距离为321 当M，O，N三点共线时，分别取最大值 5 与最小值 1 故半径分别为 5 2 ， 1 2 ， AB，CD的伴随球的体积的取值范围是 6 ，125 6 故答案为： 6 ， 125 6
