1、第 1 页（共 17 页） 2021 年广东省潮州市高考数学第一次质检试卷（一模）年广东省潮州市高考数学第一次质检试卷（一模） 一、 选择题 （本题共一、 选择题 （本题共 12 道小题， 其中道小题， 其中 1 至至 8 小题为单项选择题，小题为单项选择题， 9 至至 12 小题为多项选择题，小题为多项选择题， 每小题每小题 5 分，共分，共 60 分） （一）单项选择题（本题共分） （一）单项选择题（本题共 8 道小题，每小题只有一个选项正确，道小题，每小题只有一个选项正确， 每小题每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x25x+40，集合 Bx|x2，则
2、 AB（ ） A （1，0） B （1，4） C （2，4） D （0，4） 2 （5 分）若复数 zm（m1）+（m1）i 是纯虚数，实数 m（ ） A1 B0 C0 或 1 D1 或1 3 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，直线 AD 与直线 BC1所成的角 为 60，则该长方体的体积为（ ） A22 B2 C23 D3 4 （5 分）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单位：厘米）的关系，从 该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系， 设其回归直线方程为 = + ，已知 10 =1 = 220，
3、 10 =1 = 1610， = 4，已知该 班某学生的脚长为 24 厘米，据此估计其身高为（ ）厘米 A165 B169 C173 D178 5 （5 分）已知抛物线 x24y 的准线与双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的两条渐近线围成 一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A2 B2 C5 D5 6 （5 分）已知函数 f（x）|x1| （x+1） ，若关于 x 的方程 f（x）k 有两个不同的实数解， 则实数 k 的值为（ ） A0 B1 C0 和1 D0 和 1 7 （5 分）已知倾斜角为 的直线 l：ykx2 与圆 x2+（y1）21 相切，则 12 ( 2+) 的
4、值为（ ） A 42 3 B42 3 C 43 3 D43 3 8 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且和球 心 O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于23，则球 O 的体积 等于（ ） 第 2 页（共 17 页） A4 3 B8 3 C16 3 D22 3 （二）多项选择题（本题共（二）多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，每小题有多个选项正确，每小分，每小题有多个选项正确，每小 题全部选对得题全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错得分，有选错得 0 分）分）
5、9 （5 分）判断平面 与平面 平行的条件可以是（ ） A平面 内有无数条直线都与 平行 B直线 a，b，且 a，b C平面 ，且平面 D平面 内有两条不平行的直线都平行于平面 10 （5 分）下列判断正确的是（ ） A “am2bm2”是“ab”的充分不必要条件 B命题“xR，使 x2+x10”的否定是： “xR，均有 x2+x10” C若随机变量 服从二项分布：(4， 1 4)，则 E（）1 D若随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，P（4）0.79，则 P（2）0.21 11（5 分） 将函数 f （x） sin2x 的图象向左平移 4个单位， 得到函数 g （x） 的图象， 则 （
6、） A函数 f（x）+g（x）的图象的一个对称中心为( 8 ，0) B函数 f（x） g（x）是奇函数 C函数 f（x）+g（x）在（0，）上的单调递减区间是 8 ， 5 8 D函数 f（x） g（x）的图象的一个对称轴方程为 = 8 12 （5 分）给出定义：若函数 f（x）在 D 上可导，即 f（x）存在，且导函数 f（x）在 D 上 也可导，则称 f（x）在 D 上存在二阶导函数记 f（x）（f（x） ），若 f（x）0 在 D 上恒成立， 则称 f （x） 在 D 上为凸函数 以下四个函数在(0， 2)上是凸函数的是 （ ） Af（x）sinxcosx Bf（x）lnx2x Cf（x）
7、x3+2x1 Df（x）xe x 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） （x3 1 ） 4 展开式中常数项为 14 （5 分）新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两 市，每市随机分配 2 名医生，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为 第 3 页（共 17 页） 15 （5 分） 周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊 蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列， 若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是 43.5 尺，芒种的日影子
8、长为 4.5 尺，则立春的日 影子长为 尺 16（5 分） 已知定义域为 R 的函数() = 2+1 2+1+是奇函数， 则不等式(3 1 ) + 3(1 )0解集为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 道小题，共道小题，共 70 分分.解答题要写出证明过程或解题步骤解答题要写出证明过程或解题步骤.） 17 （10 分）ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c已知 a4， = 27，面 积 = 3 2 （）求 sinA 的值； （）点 D 在线段 AB 上，满足2 = ，求线段 CD 的长 18 （12 分）已知数列an满足 2anSn+n，Sn为数列an的前 n 项和
9、（）求证：an+1是等比数列，并求数列an的通项公式； （）设= 2 +1，数列bn的前 n 项和为 Sn，证明：Sn1 19 （12 分） 如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， ABAC， A1在底面 ABC 上的射影恰为点 B， 且 ABACA1B2 （）证明：平面 A1AC平面 ABB1； （）求二面角 C1ABA1的大小 20 （12 分） 某芯片公司对今年新开发的一批 5G 手机芯片进行测评， 该公司随机调查了 100 颗芯片，并将所得统计数据分为9，10） ，10，11） ，11，12） ，12，13） ，13，14） ，五 个小组（所调查的芯片得分均在9，14内） ，得到如图
10、所示的频率分布直方图，其中 a b0.18 （1）求这 100 颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代 替） 第 4 页（共 17 页） （2）芯片公司另选 100 颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别 装在 3 个工程手机中进行初测若 3 个工程手机的评分都达到 11 万分，则认定该芯片合 格；若 3 个工程手机中只要有 2 个评分没达到 11 万分，则认定该芯片不合格；若 3 个工 程手机中仅 1 个评分没有达到 11 万分， 则将该芯片再分别置于另外 2 个工程手机中进行 二测，二测时，2 个工程手机的评分都达到 11 万分，则认定该芯片合格
11、；2 个工程手机 中只要有 1 个评分没达到 11 万分，手机公司将认定该芯片不合格已知每颗芯片在各次 置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对 芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率） 每颗芯片置于一个工程手机中的测试 费用均为 300 元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公 司测试部门预算的测试经费为 10 万元， 试问预算经费是否足够测试完这 100 颗芯片？请 说明理由 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，P（22，0） 、Q（1， 7 2 ）是椭圆 C 上 的两点 （）求椭圆 C 的
12、方程； （）是否存在直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，交 y 轴于点 M（0，m） ，使| +2 | | 2 |成立？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知函数 f（x）lnx（m+2）x，k（x）mx22 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）设 m0，若存在 1 2 ，1，使得不等式 f（x）k（x）成立，求 m 的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2021 年广东省潮州市高考数学第一次质检试卷（一模）年广东省潮州市高考数学第一次质检试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 （本题共一、 选择题 （本题共 12 道小题，
13、 其中道小题， 其中 1 至至 8 小题为单项选择题，小题为单项选择题， 9 至至 12 小题为多项选择题，小题为多项选择题， 每小题每小题 5 分，共分，共 60 分） （一）单项选择题（本题共分） （一）单项选择题（本题共 8 道小题，每小题只有一个选项正确，道小题，每小题只有一个选项正确， 每小题每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x25x+40，集合 Bx|x2，则 AB（ ） A （1，0） B （1，4） C （2，4） D （0，4） 【解答】解：Ax|1x4，Bx|x2， AB（2，4） 故选：C 2 （5 分）若复数 zm（m1）+（m1）
14、i 是纯虚数，实数 m（ ） A1 B0 C0 或 1 D1 或1 【解答】解：复数 zm（m1）+（m1）i 是纯虚数， m（m1）0，m10， m0， 故选：B 3 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，直线 AD 与直线 BC1所成的角 为 60，则该长方体的体积为（ ） A22 B2 C23 D3 【解答】解：BCAD，直线 AD 与直线 BC1所成的角为 60， C1BC 是 AC1与 BC 所成的角，C1BC60，AB2，BC1 可得 CC1= 3， 该长方体的体积 V= 2 1 3 =23 故选：C 第 6 页（共 17 页） 4 （5 分）为了研究某班
15、学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单位：厘米）的关系，从 该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系， 设其回归直线方程为 = + ，已知 10 =1 = 220， 10 =1 = 1610， = 4，已知该 班某学生的脚长为 24 厘米，据此估计其身高为（ ）厘米 A165 B169 C173 D178 【解答】解：由题意可得： = 220 10 = 22， = 1610 10 = 161， 回归方程经过样本中心点，则：161 = 4 22 + ，故 = 73， 回归方程为： = 4 + 73， 据此可预测其身高为：424+73169 厘米
16、 故选：B 5 （5 分）已知抛物线 x24y 的准线与双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的两条渐近线围成 一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A2 B2 C5 D5 【解答】解：抛物线 x24y 的准线方程为 y1，平行坐标轴， 双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的两条渐近线，关于 y 轴对称，抛物线的准线与双曲线 的渐近线组成等腰直角三角形，所以双曲线的渐近线的斜率为：1， 可得 ab，c= 2a， 则 e= = 2 故选：A 第 7 页（共 17 页） 6 （5 分）已知函数 f（x）|x1| （x+1） ，若关于 x 的方程 f（x）k 有两个不同的实数解， 则
17、实数 k 的值为（ ） A0 B1 C0 和1 D0 和 1 【解答】解：f（x）|x1| （x+1）= 2 1，1 (2 1)， 1， 画出函数 f（x）的图像，如图示： ， 结合函数图像得：k1 或 k0 时，方程 f（x）k 有两个不同的实数解， 故选：D 7 （5 分）已知倾斜角为 的直线 l：ykx2 与圆 x2+（y1）21 相切，则 12 ( 2+) 的 值为（ ） A 42 3 B42 3 C 43 3 D43 3 【解答】解：因为 ykx2 与圆 x2+（y1）21 相切， 所以 3 1+2 =1， 解得，k= 22，即 tan= 22， 因为 （0，） ， 所以 sin=
18、22 3 ， 则 12 ( 2+) = 22 = 2sin= 42 3 故选：A 8 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且和球 心 O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于23，则球 O 的体积 第 8 页（共 17 页） 等于（ ） A4 3 B8 3 C16 3 D22 3 【解答】解：当此四棱锥体积取得最大值时，SO底面 ABCD， 设正方形 ABCD 的边长a，则 4 1 2a( 1 2) 2+ (2 2 )2=23， 解得 a= 2， 则球的半径 r= 2 2 a1 则球 O 的体积 V= 4 3 12= 4 3 故
19、选：A （二）多项选择题（本题共（二）多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，每小题有多个选项正确，每小分，每小题有多个选项正确，每小 题全部选对得题全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错得分，有选错得 0 分）分） 9 （5 分）判断平面 与平面 平行的条件可以是（ ） A平面 内有无数条直线都与 平行 B直线 a，b，且 a，b C平面 ，且平面 D平面 内有两条不平行的直线都平行于平面 【解答】解：对于 A，平面 内有无数条直线都与 平行，则 与 相交与平行，故 A 错误； 对于 B，直线 a，b，且 a，b，则 与 相交与平行
20、，故 B 错误； 对于 C，平面 ，且平面 ，则由面面平行的判定定理得 ，故 C 正确； 对于 D，平面 内有两条不平行的直线都平行于平面 ，则由面面平行的判定定理得 ，故 D 正确 故选：CD 10 （5 分）下列判断正确的是（ ） 第 9 页（共 17 页） A “am2bm2”是“ab”的充分不必要条件 B命题“xR，使 x2+x10”的否定是： “xR，均有 x2+x10” C若随机变量 服从二项分布：(4， 1 4)，则 E（）1 D若随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，P（4）0.79，则 P（2）0.21 【解答】解：对于 A：当“am2bm2”时，则“ab”成立， 当“ab
21、”且 m0 时， “am2bm2”不成立， 故“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件，故 A 正确； 对于 B：命题“xR，使 x2+x10”的否定是： “xR，均有 x2+x10” ，故 B 错 误； 对于 C：随机变量 服从二项分布：(4， 1 4)，则 E（）= 4 1 4 =1，故 C 正确； 对于 D：随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，P（4）0.79， 则 P（2）1P（4）10.790.21，故 D 正确 故选：ACD 11（5 分） 将函数 f （x） sin2x 的图象向左平移 4个单位， 得到函数 g （x） 的图象， 则 （ ） A函数 f（x）+g（x）的图象
22、的一个对称中心为( 8 ，0) B函数 f（x） g（x）是奇函数 C函数 f（x）+g（x）在（0，）上的单调递减区间是 8 ， 5 8 D函数 f（x） g（x）的图象的一个对称轴方程为 = 8 【解答】解：g（x）sin2（x+ 4）cos2x， 选项 A，f（x）+g（x）sin2x+cos2x= 2sin（2x+ 4） ， 令 2x+ 4 =k，kZ，则 x= 2 8，kZ， 函数 f（x）+g（x）的对称中心为（ 2 8，0） ，kZ，不包含点( 8 ，0)，即选项 A 错 误； 选项 B，f（x） g（x）sin2xcos2x= 1 2sin4x，为奇函数，即选项 B 正确； 选
23、项 C，令 2x+ 4 2 +2k，3 2 +2k，kZ，则 x 8 +k，5 8 +k，kZ， 第 10 页（共 17 页） 函数 f（x）+g（x）的单调递减区间为 8 +k，5 8 +k，kZ， x（0，） ， x 8， 5 8 ，即选项 C 正确； 选项 D，令 4x= 2 +k，kZ，则 x= 8 + 4 ，kZ， 当 k1 时，函数 f（x） g（x）的图象的一个对称轴方程为 = 8，即选项 D 正确 故选：BCD 12 （5 分）给出定义：若函数 f（x）在 D 上可导，即 f（x）存在，且导函数 f（x）在 D 上 也可导，则称 f（x）在 D 上存在二阶导函数记 f（x）（f
24、（x） ），若 f（x）0 在 D 上恒成立， 则称 f （x） 在 D 上为凸函数 以下四个函数在(0， 2)上是凸函数的是 （ ） Af（x）sinxcosx Bf（x）lnx2x Cf（x）x3+2x1 Df（x）xe x 【解答】解:A由 f(x)sinxcosx,得 f(x)cosx+sinx, () = + 2( + 4), (0, 2),当 = 4时,() = 2 2 = 0, 这与 f(x)在定义域中小于 0 不符,故 A 错误； B由 f(x)lnx2x,得() = 1 2,() = 1 2 2, (0, 2),f(x)0 在(0, 2)上恒成立,故 B 正确； C由 f(x
25、)x3+2x1,得 f(x)3x2+2,f(x)6x, (0, 2),f(x)6x0 恒成立,故 C 正确； D由 f(x)xe x,得 f(x)ex(x1),f(x)ex(2x), (0, 2)时,2x0,e x0, f(x)0 恒成立,与 f(x)在定义域中小于 0 不符,故 D 错误 故选：BC 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） （x3 1 ） 4 展开式中常数项为 4 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：设(3 1 ) 4展开式的通项为 Tr+1，则 Tr+1= 4 （x3）4r(1 ) =（1
26、）r 4 x124r 令 124r0 得 r3 开式中常数项为： （1）34 3 = 4 故答案为：4 14 （5 分）新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两 市，每市随机分配 2 名医生，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为 1 3 【解答】解：新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄 冈两市， 每市随机分配 2 名医生，基本事件总数 n= 4 2 2 2 2 2 2 2 =6， 甲、乙两人被分配在不同城市包含的基本事件个数 m= 2 222 =2， 则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为 P= = 2 6 = 1 3 故答案为：1 3 1
27、5 （5 分） 周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊 蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列， 若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是 43.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则立春的日 影子长为 12.5 尺 【解答】解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立 夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列an， 由已知可冬至、小寒、大寒的日影子长的和是 43.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺， 所以1 + 2+ 3= 31+ 3 = 43.5 12= 1+ 11 = 4.5 ，解得1 = 1
28、5.5 = 1 ， 所以立春的日影子长为 a4a1+3d12.5 尺 故答案为：12.5 16（5 分） 已知定义域为 R 的函数() = 2+1 2+1+是奇函数， 则不等式(3 1 ) + 3(1 )0解集为 （1 2，1） 【解答】解：根据题意，定义域为 R 的函数() = 2+1 2+1+是奇函数， 第 12 页（共 17 页） 则有 f（x）f（x） ，即 2+1 21+ = 2+1 2+1+， 变形可得： （2x1） （m2）0， 必有 m2， 则 f（x）= 21 2+1+2 = 1 2（1 2 2+1） ，故 f（x）在 R 上为减函数， 则(3 1 ) + 3(1 )0f（l
29、og3x）+flog3（1x）0 f（log3x）+flog3（1x）0flog3（1x）f（log3x） ， 则有 1 0 0 1 ，解可得1 2 x1， 即不等式的解集为（1 2，1） 故答案为： （1 2，1） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 道小题，共道小题，共 70 分分.解答题要写出证明过程或解题步骤解答题要写出证明过程或解题步骤.） 17 （10 分）ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c已知 a4， = 27，面 积 = 3 2 （）求 sinA 的值； （）点 D 在线段 AB 上，满足2 = ，求线段 CD 的长 【解答】解： （）因为 S= 3
30、 2 acosB= 1 2acsinB， 所以 tanB= 3， 因为 B 为三角形内角，所以 B= 3， 由正弦定理得， 4 = 27 3 2 ，所以 sinA= 21 7 （）因为 a4， = 27，B= 3， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 2816+c224c 1 2，即 c 24c120，解 得 c6 或 c2（舍去） ， 因为2 = ，可得 BD2， 所以在BDC中，由余弦定理可得 第 13 页（共 17 页） CD= 2+ 2 2 =22+ 42 2 2 4 1 2 =23 18 （12 分）已知数列an满足 2anSn+n，Sn为数列an的前 n 项和 （）求证
31、：an+1是等比数列，并求数列an的通项公式； （）设= 2 +1，数列bn的前 n 项和为 Sn，证明：Sn1 【解答】证明： （）由 2anSn+n，得 当 n2 时，2an1Sn1+（n1） ， 两式作差可得：2an2an1an+1，即 an2an1+1 an+12（an1+1） 则 +1 1+1 =2 当 n1 时，2a1a1+1，得 a11 数列an+1是以 a1+12 为首项，以 2 为公比的等比数列， an+122n 12n， 则 an2n1 （）= 2 +1 = 2 (21)(2+11) = 1 21 1 2+11， 所以 Snb1+b2+bn （ 1 21 1 221）+（
32、1 221 1 231）+（ 1 21 1 2+11） 1 1 2+11 1， 所以 Sn1 19 （12 分） 如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， ABAC， A1在底面 ABC 上的射影恰为点 B， 且 ABACA1B2 （）证明：平面 A1AC平面 ABB1； （）求二面角 C1ABA1的大小 第 14 页（共 17 页） 【解答】 （）证明：因为 A1在底面 ABC 上的射影恰为点 B，所以 A1B平面 ABC， 所以 A1BAC，因为 ABAC， 又因为 A1BABB，A1B平面 ABB1，AB平面 ABB1， 所以 AC平面 ABB1，AC平面 A1AC，所以平面 A1AC平
33、面 ABB1 （）解：因为 ACA1C1，ABAC，所以 ABA1C1， 因为 A1B平面 ABC，所以 ABA1B， 所以 AB平面 A1BC1，所以 ABC1B，ABA1B， 所以A1BC1为二面角 C1ABA1的平面角， 因为 ACA1C1，A1BAC，所以 A1C1A1B， 又因为 ACA1B，ACA1C1，所以 A1BAC， 所以A1BC145， 故二面角 C1ABA1的大小为 45 20 （12 分） 某芯片公司对今年新开发的一批 5G 手机芯片进行测评， 该公司随机调查了 100 颗芯片，并将所得统计数据分为9，10） ，10，11） ，11，12） ，12，13） ，13，14
34、） ，五 个小组（所调查的芯片得分均在9，14内） ，得到如图所示的频率分布直方图，其中 a b0.18 （1）求这 100 颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代 替） （2）芯片公司另选 100 颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别 装在 3 个工程手机中进行初测若 3 个工程手机的评分都达到 11 万分，则认定该芯片合 格；若 3 个工程手机中只要有 2 个评分没达到 11 万分，则认定该芯片不合格；若 3 个工 程手机中仅 1 个评分没有达到 11 万分， 则将该芯片再分别置于另外 2 个工程手机中进行 二测，二测时，2 个工程手机的评分都
35、达到 11 万分，则认定该芯片合格；2 个工程手机 中只要有 1 个评分没达到 11 万分，手机公司将认定该芯片不合格已知每颗芯片在各次 置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对 第 15 页（共 17 页） 芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率） 每颗芯片置于一个工程手机中的测试 费用均为 300 元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公 司测试部门预算的测试经费为 10 万元， 试问预算经费是否足够测试完这 100 颗芯片？请 说明理由 【解答】解： （1）依题意， （0.05+a+b+0.35+0.28）11， 故 a+b
36、0.32 又因为 ab0.18所以 a0.25，b0.07， 所求平均数为 =9.50.05+10.50.25+11.50.35+12.50.28+13.50.0711.57 （万分） ； （2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到 11 万分 的概率 p10.050.250.7 设每颗芯片的测试费用为 X 元，则 X 的可能取值为 600，900，1200，1500， P（X600）0.320.09， P（X900）0.73+0.70.32+0.30.70.30.469， P（X1200）= 3 1 0.3 072 0.3 =0.1323， P（X1500）= 3
37、 1 0.3 072 0.7 =0.3087， 故每颗芯片的测试费用的数学期望为 E（X）6000.09+9000.469+12000.1323+15000.30871097.91（元） ， 因为 1001097.91100000， 所以预算经费不够测试完这 100 颗芯片 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，P（22，0） 、Q（1， 7 2 ）是椭圆 C 上 的两点 （）求椭圆 C 的方程； 第 16 页（共 17 页） （）是否存在直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，交 y 轴于点 M（0，m） ，使| +2 | | 2 |成立？若存在，求出实数 m
38、的取值范围；若不存在，请说明理由 【解答】解： （）根据题意可得 = 22 1 2 + 7 42 = 1 2= 2+ 2 ， 解得 b22，c26， 所以椭圆的方程为 2 8 + 2 2 =1 （）假设存在这样的直线， 由已知可得直线的斜率存在，设直线方程为 ykx+m， 由 = + 2 8 + 2 2 = 1，得（1+4k 2）x2+8kmx+4m280， 16（8k2m2+2）0， （*） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1+x2= 8 2+1，x1x2= 428 42+1 ， y1y2（kx1+m） （kx2+m）k2x1x2+km（x1+x2）+m2= 282 42
39、+1 ， 由| +2 | 2 |，得 ，即 =0，即 x1x2+y1y20， 故 8k25m280， 代入（*）解得 m 210 5 或 m 210 5 所以 m 的取值范围为（， 210 5 ）（210 5 ，+） 22 （12 分）已知函数 f（x）lnx（m+2）x，k（x）mx22 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）设 m0，若存在 1 2 ，1，使得不等式 f（x）k（x）成立，求 m 的取值范围 【解答】 解： （） f （x） lnx （m+2） x 的定义域为 （0， +） ， 且 f （x） = 1 （m+2） ， 当 m+20，即 m2 时，f（x）= 1 （m+2）0
40、 恒成立， 故函数 f（x）在（0，+）上单调递增， 当 m+20，即 m2 时， 第 17 页（共 17 页） 令 f（x）0，解得 0 x 1 +2， 令 f（x）0，解得 x 1 +2， 故函数 f（x）在（0， 1 +2） 单调递增，在 （ 1 +2，+）单调递减， 综上，当 m2 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增， 当 m2 时，函数 f（x）在在（0， 1 +2） 单调递增，在（ 1 +2，+） 单调递减， （）若存在 x1 2，1使得不等式 f（x）k（x）成立， 即存在 x1 2，1使得不等式 mx 2（m+2）x+lnx+20 成立， 令 g（x）mx2（m+2）x+
41、lnx+2，x1 2，1， 则 g（x）min0， g（x）= 22(+2)+1 = 2(1 2)( 1 ) ， 当 m2 时， 1 1 2，g（x）0 在 x 1 2，1恒成立，则函数 g（x）在 1 2，1上单调递 增， g（x）ming（1 2）= 4 +2 2 +ln1 2 +20， 解得 m4（1ln2） ， 当 1m2 时，1 2 1 1，g（x）在1 2， 1 上单调递减，在 1 ，1上单调递增， 则 g（x）ming（ 1 ）= 1 +ln 1 （m+2） 1 +2lnm 1 +1， 令 h（x）lnx 1 +1，x（1，2） ，h（x）= 1 + 1 2 = 1 2 0 恒成立， 即函数 h（x）lnx 1 +1 在（1，2）上单调递减， 又 h（1）ln11+10，故 h（x）lnx 1 +10 在 x（1，2）上恒成立， 即 g（x）minlnm 1 +10，故 m（1，2）满足题意， 当 0m1 时， 1 1，g（x）0 在 x1 2，1上恒成立， 故函数 g（x）在 x1 2，1上单调递减， g（x）ming（1）m+ln1（m+2）1+20，不符题意，舍去， 综上可得 m 的取值范围是（1，+）
