1、第 1 页（共 19 页） 2021 年中学生标准学术能力诊断性测试数学试卷 （理科）（一卷）年中学生标准学术能力诊断性测试数学试卷 （理科）（一卷） （1 月份）月份） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （3 分）集合 A1，2，3，4，5，By|y2x，xN，则 ARB 中元素个数为（ ） A1 B2 C3 D4 2 （3 分）已知双曲线 2 1; 2 ;5 = 1，则下列说法正确的是（ ） A焦点为(0， 6) B焦点为（2，0） C焦距是 4 D焦距是 2 3 （3 分）已知复数 z 满足;
2、 =a+2i（i 是虚数单位） ，aR，且|z|22，则实数 a 的值为 （ ） A3 B1 C1 或 1 D3 或 1 4 （3 分）已知| |2，| |1，向量 与 的夹角为 120，若 k + 与 2 垂直，则 k 的 值为（ ） A1 B1 C 1 2 D1 2 5 （3 分）若 a，b0，1，则“a+b21”是“a+b 5 4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 （3 分）已知函数 f（x）（x 1 3） sinx，则其图象为（ ） A B C D 7 （3 分）已知函数 f（x）x33x，若对任意的实数 x，不等式 f（x+t）
3、f（x）+t（t0） 第 2 页（共 19 页） 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ） A4，+） B （0，4 C （，4 D4，0） 8 （3 分）二项式（1+x）2（2x1）5的展开式中含 x4项的系数为（ ） A280 B200 C120 D40 9 （3 分） 已知 2 2， sin2cos1， 2sin+cos= 2， 则 sin （+ 6） （ ） A 3 3 B 6 3 C 6 3 D 3 3 10 （3 分）已知正六棱锥 VACDEF，P 是侧棱 VC 上一点（不含端点） ，记直线 PB 与直 线 DE 所成角为 ，直线 PB 与平面 ABC 所成角为 ，二面角 PCDF
4、的平面角为 ， 则（ ） A， B， C， D， 11 （3 分）函数() = (0 1)，g（x）xf（x） ，直线 xm（0m1）先后 与 f（x） ，g（x） ，x 轴交于 A，B，C，直线 x1m 先后与 f（x） ，g（x） ，x 轴交于 A1， B1，C1，则（ ） AABA1B1 BAB2A1B1 CABB1C1 DAB2B1C1 12 （3 分）已知直线 BC 垂直单位圆 O 所在的平面，且直线 BC 交单位圆于点 A，ABBC 1，P 为单位圆上除 A 外的任意一点，l 为过点 P 的单位圆 O 的切线，则（ ） A有且仅有一点 P 使二面角 BlC 取得最小值 B有且仅有两
5、点 P 使二面角 BlC 取得最小值 C有且仅有一点 P 使二面角 BlC 取得最大值 D有且仅有两点 P 使二面角 BlC 取得最大值 二、填空题：二、填空题： 13（3 分） 若函数() = ， 2 4，02存在最大值， 则实数 a 的取值范围是 14 （3 分）现将大小和形状相同的 4 个黑色球和 4 个红色球排成一排，从左边第一个球开 始数，不管数几个球，黑球数不少于红球数的排法有 种 15 （3 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 第 3 页（共 19 页） 16 （3 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)，点 P（a，b）为椭圆外一点，斜率为 1 2的直 线
6、与椭圆交于 A，B 两点，过点 P 作直线 PA，PB 分别交椭圆于 C，D 两点当直线 CD 的斜率为 1 2时，此椭圆的离心率为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 17已知函数() = 3 + 2(0)，周期是 2 （1）求 f（x）的解析式，以及 12 ， 7 24时 f（x）的值域； （2）将 f（x）图像上所有点的横坐标扩大到原
7、来的 2 倍，再向左平移 3个单位，最后将 整个函数图像向上平移3 2个单位后得到函数 g（x）的图像，若|g（x）m|1 成立的充分 条件是0 5 12，求实数 m 的取值范围 18如图所示的多面体中，四边形 ABCD 是正方形，平面 ADE平面 CDEF，EFCD，AB 2，ED2，EF1，EDA90 （1）证明：平面 ADE平面 ABCD； （2）若 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 15 5 ，求这个多面体的体积 V 19数列an的前 n 项和为 Sn，nN*，满足 Sn1an，设 bn2（Sn+an+1） ，数列bn的前 n 项和为 Tn （1）求 Tn； 第 4 页（共 1
8、9 页） （2）设 cnSn+Tn，数列cn的前 n 项和为 Rn，求证： 1:1 1 2 + 2:1 2 2 + + :1 2 1 20已知 F1，F2是椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点，弦 AB 经过点 F2，若|AF2| 2|F2B|，tanAF1B= 3 4，且F1F2B 的面积为 2 （1）求椭圆的方程； （2）若直线 yk（x1） （1k2） ，与 y 轴交于点 P，与椭圆 C 交于 M，N 两点，线 段 MN 的垂直平分线与 y 轴交于点 Q，求| | 的取值范围 21设 a 为正实数，函数() = 存在零点 x1，x2（x1x2） ，且存在极值点与 x0
9、 （1）当 a1 时，求曲线 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求 a 的取值范围，并证明：2x1+3x03 （二）选考题：（二）选考题：选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 + 2 = 1 + 2 （ 为参数） ，曲线 C1 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，过点 A 作任意一条直线与圆 O：x2+y21 交于 P，Q 两点 （1）写出 C1的普通方程； （2）问| | + | |是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 2
10、3已知函数 f（x）|x+1|+|2x4| （1）求不等式 f（x）4 的解集； （2） 已知实数 a， b， c 满足 a0， b0， c0， 2 2 + 42 3 + 92 = 3， 求证： 对任意 xR， 不等式 f（x）a+2b+3c 恒成立 第 5 页（共 19 页） 2021 年中学生标准学术能力诊断性测试数学试卷 （理科）（一卷）年中学生标准学术能力诊断性测试数学试卷 （理科）（一卷） （1 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （3 分
11、）集合 A1，2，3，4，5，By|y2x，xN，则 ARB 中元素个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：因为集合 A1，2，3，4，5，By|y2x，xN1，2，4，8，16， 所以 ARB3，5，故 ARB 中元素个数为 2 故选：B 2 （3 分）已知双曲线 2 1; 2 ;5 = 1，则下列说法正确的是（ ） A焦点为(0， 6) B焦点为（2，0） C焦距是 4 D焦距是 2 【解答】解：双曲线 2 1; 2 ;5 = 1， 如果焦点坐标在 x 轴，可得 2c21 + 5 =24，不可能， 所以双曲线的焦点坐标在 y 轴，可得 2c25 + 1 =4， 焦距为 4，焦点坐
12、标（0，2） 故选：C 3 （3 分）已知复数 z 满足; =a+2i（i 是虚数单位） ，aR，且|z|22，则实数 a 的值为 （ ） A3 B1 C1 或 1 D3 或 1 【解答】解：复数 z 满足; =a+2i（i 是虚数单位） ，aR， zi+ai22+（1+a）i， |z|22， (2)2+ (1 + )2=22， 化为：a2+2a30， 解得 a1 或3 故选：D 第 6 页（共 19 页） 4 （3 分）已知| |2，| |1，向量 与 的夹角为 120，若 k + 与 2 垂直，则 k 的 值为（ ） A1 B1 C 1 2 D1 2 【解答】 解： 根据题意， | |2，
13、 | |1， 向量 与 的夹角为 120， 则 =21cos120 1， 若 k + 与 2 垂直，则有（k + ） （ 2 ）k 2+（12k） 2 2 6k3 0， 解可得 k= 1 2， 故选：D 5 （3 分）若 a，b0，1，则“a+b21”是“a+b 5 4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：先在直角坐标系下画出 a1b2和 a= 5 4 的图象， 联立 = 1 2 = + 5 4 ，消去 a 得 b2b+ 1 4 =0， 而1241 1 4 =0，所以两曲线有且只有一个交点，即相切， 把原点（0，0）代入确定 a1b
14、2和 a 5 4 所表示的区域， 由图可知 a1b2所表示的区域比 a 5 4 所表示的区域小， 所以前者可以推出后者，后者不能推出前者， 第 7 页（共 19 页） 即“a+b21”是“a+b 5 4”的充分不必要条件 故选：A 6 （3 分）已知函数 f（x）（x 1 3） sinx，则其图象为（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，函数 f（x）（x 1 3） sinx，其定义域为x|x0， f（x）（x+ 1 3）sin（x）（x 1 3） sinxf（x） ，则 f（x）为偶函数，排除 B， 在区间（0，1） ，x 1 3 = 41 3 0，sinx0，则 f（x）0，排除 C
15、D， 故选：A 7 （3 分）已知函数 f（x）x33x，若对任意的实数 x，不等式 f（x+t）f（x）+t（t0） 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ） A4，+） B （0，4 C （，4 D4，0） 【解答】解：函数 f（x）x33x，若对任意的实数 x，不等式 f（x+t）f（x）+t（t0） 恒成立， 则（x+t）33（x+t）x33x+t， 即 x3+3x2t+3xt2+t33x3tx33x+t， 所以 3x2t+3xt2+t34t0（t0）恒成立， 所以 t0，且（3t2）243t （t34t）3t4+48t20，解得 t4， 又 t0 时，不等式不恒成立， 综上，t 的范围
16、是4，+） ， 故选：A 8 （3 分）二项式（1+x）2（2x1）5的展开式中含 x4项的系数为（ ） 第 8 页（共 19 页） A280 B200 C120 D40 【解答】解：（1+x） 2（2x1）5（1+2x+x2 ）32x5 5 1 （2x）4+52 （2x）353 （2x） 2+ 5 42x55， 故它的展开式中含 x4项的系数为5 124+25223532240， 故选：D 9 （3 分） 已知 2 2， sin2cos1， 2sin+cos= 2， 则 sin （+ 6） （ ） A 3 3 B 6 3 C 6 3 D 3 3 【解答】解：因为 sin2cos1，2sin+
17、cos= 2， 平方相加可得：1+44cossin+4sincos3， 整理可得 sin（）= 1 2，又因为 2 2，所以 = 6， 则 = 6 + ，而 sin2cos1，则 sin（ 6 + ）2cos = 3 2 3 2 = 1， 故3(1 2 3 2 ) = 1，所以 sin（ 3）= 3 3 ， 将 = 6 + 代入 2sin+cos2sin + ( + 6) = 3 2 + 3 2 = 3( 3 2 + 1 2) = 3( + 6) = 2， 所以 sin（ + 6）= 6 3 ， 故选：B 10 （3 分）已知正六棱锥 VACDEF，P 是侧棱 VC 上一点（不含端点） ，记直
18、线 PB 与直 线 DE 所成角为 ，直线 PB 与平面 ABC 所成角为 ，二面角 PCDF 的平面角为 ， 则（ ） A， B， C， D， 【解答】解：设点 V 在底面上的射影为点 O，连接 OC，PB， ABDE， PBA 为直线 PB 与直线 DE 所成角，即 PBA， 作 PGVO，交 OC 于点 G，则 PG平面 ABC， PB 与平面 ABC 所成的角为PBG，即 PBG， 由最小角定理知，coscoscosABG， coscos，即 ， 第 9 页（共 19 页） 过点 G 作 GMCD 于 M，连接 PM，则PMG 为二面角 PCDF 的平面角，即 PMG， tan= ，t
19、an= ，且 BGGM， tantan，即 ， 综上， 故选：B 11 （3 分）函数() = (0 1)，g（x）xf（x） ，直线 xm（0m1）先后 与 f（x） ，g（x） ，x 轴交于 A，B，C，直线 x1m 先后与 f（x） ，g（x） ，x 轴交于 A1， B1，C1，则（ ） AABA1B1 BAB2A1B1 CABB1C1 DAB2B1C1 【解答】解：由题设可得：A（m，） ，B（m，m） ，C（m，0） ，A1（1 m，(1 )） ，B1（1m， （1m）(1 )） ， C1（1m，0） ， AB|m1|，A1B1|m2|(1 )，B1C1|m1|(1 ) =|m 1|
20、 =|AB|， 故选：C 12 （3 分）已知直线 BC 垂直单位圆 O 所在的平面，且直线 BC 交单位圆于点 A，ABBC 1，P 为单位圆上除 A 外的任意一点，l 为过点 P 的单位圆 O 的切线，则（ ） A有且仅有一点 P 使二面角 BlC 取得最小值 B有且仅有两点 P 使二面角 BlC 取得最小值 C有且仅有一点 P 使二面角 BlC 取得最大值 D有且仅有两点 P 使二面角 BlC 取得最大值 【解答】解：过 A 作 AMl 于 M，连接 MB、MC， 第 10 页（共 19 页） 因为直线 BC 垂直单位圆 O 所在的平面，且直线 BC 交单位圆于点 A， 所以 ACl，所
21、以 l平面 AMC，所以 lMC，lMB， 所以BMC 是二面角 BlC 的平面角， 设BMC，AMC，AMB，AMt，则 ， 由已知得 t（0，2，ABBC1， tan= 2 ，tan= 1 ，tantan（）= 1+ = 2 1 1+2 1 = 2+2， 令 f（t）= 2+2，则 f（t）= 1(2+2)(2) (2+2)2 = (2+1)(2) (2+2)2 ， 当 t（0，2）时，f（x）0，f（x）单调递增，当 t（2，2时，f（x）0，f（x） 单调递减， 所以当 t= 2时，f（t）取最大值，即 tan 取最大值，从而 取最大值， 由对称性知当 t= 2时，对应 P 点有且仅有
22、两个点， 所以有且仅有两点 P 使二面角 BlC 取得最大值 故选：D 二、填空题：二、填空题： 13（3 分） 若函数() = ， 2 4，02存在最大值， 则实数 a 的取值范围是 （0， 1） 【解答】解：当 x2 时，f（x）logax，当 0a1 时，函数 f（x）为减函数，f（x） f（2）loga2， 当 a1 时，函数 f（x）为增函数，f（x）无最大值， 当 0 x2 时，f（x）logax4，当 0a1 时，函数 f（x）为增函数，f（x）f （2）loga24，无最大值， 第 11 页（共 19 页） 当 a1 时，函数 f（x）为减函数，此时函数无最大值， 综上所述，函
23、数 f（x）存在最大值，则 a 的范围为（0，1） ， 故答案为： （0，1） 14 （3 分）现将大小和形状相同的 4 个黑色球和 4 个红色球排成一排，从左边第一个球开 始数，不管数几个球，黑球数不少于红球数的排法有 14 种 【解答】解：根据题意，先将 4 个黑色的球排好，排好后，除去左端，有 4 个空位可选， 如图：_， （黑色球用表示，_表示空位） 对于红色球，分 5 种情况讨论： 4 个红球放在一起，只能放在第四个空位，有 1 种放法， 4 个红球分为 2、2 的两组，有 2 种不同的放法， 4 个红球分为 3、1 的两组，有 4 种不同的放法， 4 个红球分为 2、1、1 的三组
24、，有 6 种放法， 4 个红球依次放进 4 个空位，有 1 种放法， 则有 1+2+4+6+114 种不同的放法， 故答案为：14 15 （3 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 3 6 + 43 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由半个圆锥和一个四棱锥 体组成的几何体； 故： = 1 2 1 3 12 3 + 1 3 2 2 3 = 3 6 + 43 3 故答案为： 3 6 + 43 3 16 （3 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)，点 P（a，b）为椭圆外一点，斜率为 1 2的直 线与椭圆交于 A，B 两点，过点 P 作直线 PA，PB
25、分别交椭圆于 C，D 两点当直线 CD 第 12 页（共 19 页） 的斜率为 1 2时，此椭圆的离心率为 3 2 【解答】解：设直线 AB 过原点 O，由题意可得 CDAB， 设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，设 CD 的中点 M（x0，y0） ，可得0 0 = 1:2 1:2， 12 2 + 12 2 = 1 22 2 + 22 2 = 1 ，作差可得1;2 1;2 = 2(1:2) 2(1:2) = 2 2 0 0， 由题意可得 1 2 = 12 12， 所以 kOM= 0 0 = 22 2 ， 因为 O，M，P 三点共线，所以 kOMkOP= ， 所以2 2 2 = 可得 =
26、 1 2， 所以离心率 e= = 2 2 =1 2 2 = 3 2 ， 故答案为： 3 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 17已知函数() = 3 + 2(0)，周期是 2 （1）求 f（x）的解析式，以及 12 ， 7 24时 f（x）的值域； （2）将 f（x）图像上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，再向左平移 3个单位，最后将
27、 整个函数图像向上平移3 2个单位后得到函数 g（x）的图像，若|g（x）m|1 成立的充分 条件是0 5 12，求实数 m 的取值范围 【解答】解：（1）函数 第 13 页（共 19 页） () = 3 + 2(0) = 3 2 sin2x+ 1+2 2 =sin（2x+ 6）+ 1 2， 它的周期是2 2 = 2，2，故 f（x）sin（4x+ 6）+ 1 2 由 12 ， 7 24，可得 4x+ 6 6， 4 3 ，sin（4x+ 6） 3 2 ，1，故 f（x）的值域 为1;3 2 ，3 2 （2）将 f（x）图像上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，可得 ysin（2x+ 6）+ 1
28、 2 的图 象； 再向左平移 3个单位，可得 ysin（2x+ 5 6 ）+ 1 2 的图象， 最后将整个函数图像向上平移3 2个单位后得到函数 g（x）sin（2x+ 5 6 ）+2 的图像， |g（x）m|1 成立的充分条件是0 5 12， 即 当0 5 12时，能推出 m1g（x）m+1 成立，即能推出 m3sin（2x+ 5 6 ） m1 而当0 5 12时，2x+ 5 6 5 6 ，5 3 ，sin（2x+ 5 6 ）1，1 2， m31，1 2 m1，3 2 m2， 故实数 m 的取值范围（3 2，2） 18如图所示的多面体中，四边形 ABCD 是正方形，平面 ADE平面 CDEF
29、，EFCD，AB 2，ED2，EF1，EDA90 （1）证明：平面 ADE平面 ABCD； （2）若 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 15 5 ，求这个多面体的体积 V 【解答】 （1）证明：过点 A 在平面 ADE 中作 DE 的垂线，垂足为 P， 平面 ADE平面 CDEF，平面 ADE平面 CDEFDE， AP平面 CDEF，则 APCD， 第 14 页（共 19 页） 又四边形 ABCD 为正方形，CDAB， 而 AP、AB平面 ADE，且 APADA， CD平面 ADE， 又 CD平面 ABCD，平面 ADE平面 ABCD； （2）解：在平面 ADE 内，过点 E 作 AD
30、 的垂线，垂足为 M，过 F 作 FHEM， 由（1）知，EM平面 ABCD，则 FH平面 ABCD， 连接 CH，则 CH 为 FC 在底面 ABCD 上的射影，FCH 为 CF 与平面 ABCD 所成角， CD平面 ADE，ED平面 ADE，CDED，即EDC90， 由 CDAB2，ED2，EF1，得 CF= 5， CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 15 5 ，FH= 5 15 5 = 3， EFCD，EF平面 ABCD，CD平面 ABCD， EF平面 ABCD，则 EMFH= 3， 又 ED2，EDA60，从而ADE 为正三角形， 可得= 1 2 2 2 3 2 = 3， CD平
31、面 ADE，EFCD， EF平面 ADE， 则这个多面体的体积 V= ;+ ;= 1 3 4 3 + 1 3 3 1 = 53 3 19数列an的前 n 项和为 Sn，nN*，满足 Sn1an，设 bn2（Sn+an+1） ，数列bn的前 n 项和为 Tn （1）求 Tn； （2）设 cnSn+Tn，数列cn的前 n 项和为 Rn，求证： 1:1 1 2 + 2:1 2 2 + + :1 2 1 【解答】解： （1）Sn1an，可得 a1S11a1，即 a1= 1 2； n2 时，Sn11an1，又 Sn1an，两式相减可得 anSnSn1an+an1， 即为 an= 1 2an1， 第 15
32、 页（共 19 页） 可得 an= 1 2 （ 1 2） n1（1 2） n， bn2（Sn+an+1）21（1 2） n+（1 2） n+12（11 2+1） ， 所以 Tn2n 1 2(1 1 2) 11 2 =2n1+ 1 2； （2）证明：cnSn+Tn1 1 2 +2n1+ 1 2 =2n， Rnn（n+1） ， :1 2 = 2:1: 1 2;1 2(:1)2 = 1 2 1 (:1)2 + 1 2;1 2(:1)2 1 2 1 (:1)2， 所以 1:1 12 + 2:1 22 + + :1 2 1 1 4 + 1 4 1 9 + + 1 2 1 (+1)2 =1 1 (+1)2
33、 1， 20已知 F1，F2是椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点，弦 AB 经过点 F2，若|AF2| 2|F2B|，tanAF1B= 3 4，且F1F2B 的面积为 2 （1）求椭圆的方程； （2）若直线 yk（x1） （1k2） ，与 y 轴交于点 P，与椭圆 C 交于 M，N 两点，线 段 MN 的垂直平分线与 y 轴交于点 Q，求| | 的取值范围 【解答】解： （1）设|AF2|2|F2B|2k（k0） ，则|AF1|2a2k，|F1B|2ak， 在AF1B 中，由余弦定理得（3k） 2（2a2k）2+（2ak）22（2a2k） （2ak） 4 5， 整理得 2
34、a23ak9k20，解得 a3k， 所以|AF1|4k，|F1B|5k，|AB|3k，所以F1AF290， 在 RtF1AF2中，|AF1|2+|AF2|2|F1F2|2，即（4k）2+（2k）2（2c）2， 解得 c= 5， 又因为 12 12 = |2| |2| = 2， 故12= 212，12= 212= 1 2|AF1|AF2|= 1 2 4 2 = 42=4， 即 k1，c= 5，a3，b2，所以椭圆 C 的方程为 2 9 + 2 4 = 1； （2）由 = ( 1) 2 9 + 2 4 = 1 得（4+9k）x218k2x+9k2360， 第 16 页（共 19 页） 设 M（x1
35、，y1） ，N（x2，y2） ，则 x1+x2= 182 4+92，x1x2= 9236 4+92 ， y1+y2k（x1+x22）= 8 4+92， 所以线段 MN 的中点坐标为（ 92 4:92， ;4 4:92） ， 则线段 MN 的垂直平分线方程为 y 4 4+92 = 1 （x 92 4+92） ， 令 x0，则 y= 5 4+92， 于是线段 MN 的垂直平分线与 y 轴的交点 Q（0， 5 4:92） ，又点 P（0，k） ， 所以|PQ|k+ 5 4+92|= | 9(1+2) 4+92 |， 又|MN|= 1 + 2|1 2| = 24(1+2)(1+22) 4+92 ， 于
36、是| | = | 81:22 31:2 | = | 8 3 1:2 2 2:4 | = 8 3 1 2 + 1 2:1， 因为 k1，2，所以 1 2 + 1 2:1 9 20 ， 3 2，所以 | | 的取值范围为4 5 5 ， 46 3 21设 a 为正实数，函数() = 存在零点 x1，x2（x1x2） ，且存在极值点与 x0 （1）当 a1 时，求曲线 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求 a 的取值范围，并证明：2x1+3x03 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）ex， f（x）ex 1 2 1 ， 所以 k切f（1）e 1 2， f（1）e1， 所以切线的方
37、程为 y（e1）（e 1 2） （x1） ，即 y（e 1 2）x 1 2 （2）证明：f（x）a2eax 1 2 = 221 2 ， 记 g（x）2a2 e ax1， 因为 a0， 所以 g（x）在（0，+）上单调递增， 记 p（x）exex， p（x）exe， 第 17 页（共 19 页） 所以 x1 时，p（x）0，p（x）单调递增， 当 0 x1 时，p（x）0，p（x）单调递减， 所以 p（x）p（1）ee0， 所以 exex，故有 eaxeax， 所以 g（x）2a2eax12ea3x 3 21， 所以 g（ 4 22 3 2）0， 又 g（0）10， 所以 g（x）0 存在唯一正
38、根 t， 又因为 f（x）aeax存在零点 x1，x2（x1x2） ， 所以 f（x0）ae 0 0= 120 20 0，即 ax0 1 2， 所以 020a2e 0 12 1 2a 2e 1 21= 2a 3 2 1， 可得 0a 1 2 3 ， 由题可得 ae 1 =1，a2e 0 = 1 20， 相除得 e (1;0) =2a10， 记 r（x）exx+1，令 r（x）ex10，得 x1， 当 x0 时，r（x）0，r（x）单调递增， 当 x0 时，r（x）0，r（x）单调递减， 则 r（x）r（0）e0010，即 exx+1， 所以 e (1;2) =2a101+a（x1x0）2 3
39、a+a（x1x0） ， 因为 a0，所以2 3 +（x1x0）210， 因为 e2 27 16， 所以 2e 27 8 ，即2 3 3 2， 所以3 2 +（x1x0）2 3 +（x1x2）210， 因为 2102x1+ 0 2 ， 所以3 2 +（x1x0）2x1+ 0 2 ， 即有 x1+3x03 第 18 页（共 19 页） （二）选考题：（二）选考题：选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 + 2 = 1 + 2 （ 为参数） ，曲线 C1 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，过点 A
40、作任意一条直线与圆 O：x2+y21 交于 P，Q 两点 （1）写出 C1的普通方程； （2）问| | + | |是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为 = 2 + 2 = 1 + 2 （ 为参数） ，转换为直角坐 标方程为( 2)2+ ( 1)2= 2 （2）令 y0，解得 A（2 1，0） ，B（2 + 1，0） 由于 P 和 Q 在圆 O：x2+y21 上， 所以 |PA|=( (2 1)2+ 2 =4 22 2(2 1) = 2(2 1)(2 )， 同理可得：| = 2(2 + 1)(2 )， 所以| | =2;1 2:1 =2 1
41、， 同理| | = 1 2;1 =2 + 1， 所以| | + | | = 22（定值） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|2x4| （1）求不等式 f（x）4 的解集； （2） 已知实数 a， b， c 满足 a0， b0， c0， 2 2 + 42 3 + 92 = 3， 求证： 对任意 xR， 不等式 f（x）a+2b+3c 恒成立 【解答】解： （1）f（x）|x+1|+|2x4|= 3 + 3， 1 + 5， 12 3 3， 2 ， 当 x1 时，不等式 f（x）4 化为3x+34，可得 x 1 3，x1； 第 19 页（共 19 页） 当
42、1x2 时，不等式 f（x）4 化为x+54，可得 x1，1x1； 当 x2 时，不等式 f（x）4 化为 3x34，可得 x 7 3，x 7 3 综上所述，不等式 f（x）4 的解集为（，17 3 ，+ ） ； 证明： （2） 2 2 + 42 3 + 92 = 3，由柯西不等式得： 3( + 2 + 3) = (2)2+ (3)2+ ()2 ( 2) 2 + ( 2 3) 2 + (3 ) 2 （a+2b+3c）2， a0，b0，c0，a+2b+3c3， 而 f（x）|x+1|+|2x4|= 3 + 3， 1 + 5， 12 3 3， 2 的最小值为 3，当且仅当 x2 时取到 综上可得，对任意 xR，不等式 f（x）a+2b+3c 恒成立
