2021年陕西省西安市高考数学模拟试卷（2月份）（二模）.docx

1、第 1 页（共 18 页） 2021 年陕西省西安市高考数学模拟试卷（年陕西省西安市高考数学模拟试卷（2 月份） （二模）月份） （二模） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|12x15，Bx|x20，则 AB（ ） Ax|2x3 Bx|1x3 Cx|x1 Dx|x3 2 （5 分）设（1+2i）xy16i，x，yR，则|xyi|（ ） A6 B5 C4 D3 3 （5 分）已知向量 =（m，

2、3） ， =（2，1） ，且（ + ） ，则 m（ ） A0 B4 C6 D10 4 （5 分）在等比数列an中，a3a79，则 a5（ ） A3 B3 C3 D3 5 （5 分）某校为了丰富学生的课外生活，提高学习兴趣，成立了书法、篮球、信息技术， 器乐这 4 个兴趣小组小华和小明各自参加了一个兴趣小组，则他们参加了同一个兴趣 小组的概率是（ ） A2 3 B1 3 C3 4 D1 4 6 （5 分）函数 f（x）| | 的图象大致为（ ） A B C D 7 （5 分）已知直线 l 经过双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一个虚轴端点以及一个 焦点，且点 O（O 为坐标原点）

3、到直线 l 的距离为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 2 B2 C 7 2 D 6 2 8 （5 分）已知函数 f（x）cos（2x+） （）的图象向右平移 12个单位长度后， 第 2 页（共 18 页） 与函数 g（x）sin2x 的图象重合，则 f（x）的单调递减区间为（ ） A + 3， + 5 6 （kZ） Bk 6，k+ 3（kZ） C + 6， + 2 3 （kZ） D 3， + 6（kZ） 9 （5 分） 算法统宗古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠， 次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传 ”意为：996 斤 棉花，分别赠送

4、给 8 个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个 孩子为止分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为 （ ） A65 B99 C133 D150 10 （5 分）清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把 个人职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立 业2019 年该校毕业生中，有本科生 2971 人，硕士生 2527 人，博士生 1467 人，毕业生 总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质 量稳步提升根据如图，下列说法不正确的是（ ） A博士生有超过一半

5、的毕业生选择在北京就业 B毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业 C到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多 D到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的 12.8% 11 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，ACBC，ACBC，AB2，面 ABD平面 ACB，BD 2DA，则三棱锥 ABCD 体积的最大值为（ ） 第 3 页（共 18 页） A4 9 B4 3 C42 3 D2 12 （5 分）已知定义域为（0，+）的函数 f（x）满足() + () = 1 2，且 f（e）= 2 ， e 为自然对数的底数，若关于 x 的不等式() + 2 0 恒成立，则实数 a 的取值

6、范围为（ ） A1，+） B2，+） C:2 ，+） D; 3:22:2 ，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分） （x2 2 ） n 的展开式中，第 5 项为常数项，则 n 14 （5 分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥现 已知该四棱锥的高与斜高的比值为 4 5，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值 是 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，则直线 OA， OB（

7、O 为坐标原点）的斜率之积为 16 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，当 x0 时，f（x）x2， 若不等式1 4f（ax 2）+f（3x）0 对任意 xR 恒成立，则实数 a 的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，

8、C 所对的边分别为 a，b，c，sin2B= 2sinB （1）求 B； （2）若 a8，cosA= 3 5，求 BC 边上的中线 AD 的长 18（12 分） 某射击小组由两名男射手与一名女射手组成， 射手的每次射击都是相互独立的， 已知每名男射手每次的命中率为2 3，女射手每次的命中率为 1 3 （1）当每人射击 2 次时，求该射击小组共射中目标 4 次的概率； （2）当每人射击 1 次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女 射手失去射击资格一个小组共射中目标 3 次得 100 分，射中目标 2 次得 60 分，射中目 标 1 次得 10 分，没有射中目标得50 分用随

9、机变量 X 表示这个射击小组的总得分， 第 4 页（共 18 页） 求 X 的分布列及数学期望 19 （12 分） 如图， 在多面体 ABCDFE 中， 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， 四边形 ABEF 是直角梯形，其中ABE90，AFBE，且 DEAF3BE3 （1）证明：平面 ABEF平面 ABCD； （2）求二面角 CDEF 的余弦值 20 （12 分）椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，长轴长与短轴长之积为 16 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）在直线 x+3y+t0 上存在一点 P过 P 作两条相互垂直的直线均与椭圆 C 相切、求 t

10、 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnx （1）若函数 f（x）在t，t+1（t0）上有极值，求 t 的取值范围及该极值； （2）求使 n（x1）f（x）+x+1 对任意 x1 恒成立的自然数 n 的取值集合 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22，23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 个题目计分个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 = 2， （ 为参数） ，已知 点 Q（6，0） ，点 P

11、是曲线 C1上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程； （2）若直线 l：ykx 与曲线 C2交于 A，B 两点，若 =2 ，求 k 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|+3|xa|（a0） （1）求 f（x）的最小值； （2）当 a1 时，求函数 g（x）f（x）10 的图象与 x 轴围成封闭图形的面积 第 5 页（共 18 页） 第 6 页（共 18 页） 2021 年陕西省西安市高考数学模拟试卷（年陕西省西安市高考数学模拟试卷（2 月份） （二模）月份） （

12、二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|12x15，Bx|x20，则 AB（ ） Ax|2x3 Bx|1x3 Cx|x1 Dx|x3 【解答】解：集合 Ax|12x15x|1x3， Bx|x20 x|x2， ABx|2x3 故选：A 2 （5 分）设（1+2i）xy16i，x，yR，则|xyi|（ ） A6 B5 C4 D3 【解答】解：（1+2i）x

13、y16i，x，yR， x+2xiy16i， = 1 2 = 6 ，解得 x3，y4， |xyi|34i|= (3)2+ (4)2=5 故选：B 3 （5 分）已知向量 =（m，3） ， =（2，1） ，且（ + ） ，则 m（ ） A0 B4 C6 D10 【解答】解：向量 =（m，3） ， =（2，1） ，且（ + ） ， （ + ） = + 2 =（2m+3）+50， m4， 故选：B 4 （5 分）在等比数列an中，a3a79，则 a5（ ） A3 B3 C3 D3 【解答】解：因为等比数列an中，a3a79， 所以由等比数列的性质得5 2 = 37= 9，则 a53 故选：A 第 7

14、页（共 18 页） 5 （5 分）某校为了丰富学生的课外生活，提高学习兴趣，成立了书法、篮球、信息技术， 器乐这 4 个兴趣小组小华和小明各自参加了一个兴趣小组，则他们参加了同一个兴趣 小组的概率是（ ） A2 3 B1 3 C3 4 D1 4 【解答】解：某校为了丰富学生的课外生活，提高学习兴趣，成立了书法、篮球、信息 技术，器乐这 4 个兴趣小组 小华和小明各自参加了一个兴趣小组， 基本事件总数 n4416， 他们参加了同一个兴趣小组的情况有 4 种， 则他们参加了同一个兴趣小组的概率 P= 4 16 = 1 4 故选：D 6 （5 分）函数 f（x）| | 的图象大致为（ ） A B C

15、 D 【解答】解：函数的定义域为x|x0， f（x）= | | =| | =f（x） ，函数为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 B，C， 当 x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）= 0，排除 A， 故选：D 7 （5 分）已知直线 l 经过双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一个虚轴端点以及一个 焦点，且点 O（O 为坐标原点）到直线 l 的距离为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 2 B2 C 7 2 D 6 2 【解答】 解： 根据双曲线的对称性， 不妨取双曲线的虚轴上端点 （0， b） ， 右焦点 （c， 0） ， 第 8 页（共 18 页） 则直线 l

16、的方程为：bx+cybc，点 O（O 为坐标原点）到直线 l 的距离为 2， 可得 | 2:2 = 2，化简可得 c 23b23（c2a2） ， 解得 2 2 = 3 2，所以双曲线的离心率为：e= 6 2 故选：D 8 （5 分）已知函数 f（x）cos（2x+） （）的图象向右平移 12个单位长度后， 与函数 g（x）sin2x 的图象重合，则 f（x）的单调递减区间为（ ） A + 3， + 5 6 （kZ） Bk 6，k+ 3（kZ） C + 6， + 2 3 （kZ） D 3， + 6（kZ） 【解答】解：函数 f（x）cos（2x+） （）的图象向右平移 12个单位长度 后， 可得

17、 ycos（2x 6 +）的图象， 所得图象与函数 g（x）sin2x 的图象重合， 6 += 2，= 3，f（x）cos （2x 3） 令 2k2x 3 2k+，求得 k+ 6 xk+ 2 3 ， 可得 f（x）的单调递减区间为k+ 6，k+ 2 3 ，kZ， 故选：C 9 （5 分） 算法统宗古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠， 次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传 ”意为：996 斤 棉花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个 孩子为止分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤

18、数为 （ ） A65 B99 C133 D150 【解答】解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列an， 由题设知：公差 d17， 又 a1+a2+a3+a88a1+ 87 2 17996，解得 a165， 第 9 页（共 18 页） 故 a5a1+4d65+417133， 故选：C 10 （5 分）清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把 个人职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立 业2019 年该校毕业生中，有本科生 2971 人，硕士生 2527 人，博士生 1467 人，毕业生 总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现

19、毕业生就业率保持高位和就业质 量稳步提升根据如图，下列说法不正确的是（ ） A博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业 B毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业 C到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多 D到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的 12.8% 【解答】解：对于 A，由图中的数据可知，在北京就业的博士生就业率为 52.1%50%， 故选项 A 正确； 对 于 B ， 毕 业 生 在 北 京 的 就 业 率 为 21.9%2971:39.6%2527:52.1%1467 2971:2527:1467 = 34.7%50%，故选项 B 正确； 对于 C，到四川省

20、就业的硕士毕业生人数为 3.2%252781 人，到四川省就业的博士毕 业生人数为 3.7%14675481，故选项 C 正确； 对 于D ， 浙 江 省 就 业 的 毕 业 生 人 数 占 毕 业 总 人 数 的 比 例 为 3.0%2971:5.6%2527:4.2%1467 2971:2527:1467 = 4.2%，故选项 D 错误 第 10 页（共 18 页） 故选：D 11 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，ACBC，ACBC，AB2，面 ABD平面 ACB，BD 2DA，则三棱锥 ABCD 体积的最大值为（ ） A4 9 B4 3 C42 3 D2 【解答】解：如图，由题意知AB

21、C 是等腰直角三角形， 由 ACBC，ACBC，AB2，得 = = 2， 其面积= 1 2 2 2 = 1， 平面 ABD平面 ACB，此三棱锥的体积取决于 D 点到 AB 的距离 在平面 DAB 内，以 A 为坐标原点， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系 xAy 则 A（0，0） ，B（2，0） ，设 D（x，y） BD2DA，( 2)2+ 2= 22+ 2，得( + 2 3) 2 + 2= 16 9 ( 0)， 点 D 到 AB 距离的最大值为4 3， 故三棱锥 ABCD 体积的最大值为1 3 4 3 = 4 9 故选：A 12 （5 分）已知定义域为（0，+）的函数 f（x）满足()

22、 + () = 1 2，且 f（e）= 2 ， e 为自然对数的底数，若关于 x 的不等式() + 2 0 恒成立，则实数 a 的取值 范围为（ ） A1，+） B2，+） C:2 ，+） D; 3:22:2 ，+） 【解答】解：令 F（x）xf（x） ，则 F（x）f（x）+xf（x） ， 而() + () = 1 2，故 F（x）= 1 ，故 F（x）lnx+c， 由 F（e）ef（e）2lne+c2，解得：c1， 第 11 页（共 18 页） 故 F（x）lnx+1，故 f（x）= +1 ， 若关于 x 的不等式() + 2 0 恒成立， 则 a +1 x2+2x 在 x（0，+）恒成立

23、， 令 g（x）= +1 x2+2x，x（0，+） ， 则 g（x）= 2 2（x1） ， x（0，1）时，lnx0，x10，故 g（x）0，g（x）在（0，1）递增， x（1，+）时，lnx0，x10，g（x）0，g（x）在（1，+）递减， 故 g（x）maxg（1）2， 故 a2，即 a 的取值范围是2，+） ， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分） （x2 2 ） n 的展开式中，第 5 项为常数项，则 n 6 【解答】解：二项式的展开式的第

24、 5 项为 T 5= 4(2);4(2 ) 4 =2 442;12， 令 2n120，解得 n6， 故答案为：6 14 （5 分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥现 已知该四棱锥的高与斜高的比值为4 5， 则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是 3 5 【解答】解：设该四棱锥底面的边长为 2a、高为 h，斜高为 h1， 则 = 3 5 1，从而该四棱锥底面面积42= 36 25 1 2，侧面面积为4 1 2 21= 4 3 5 1 2 = 12 5 1 2， 故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是36 25 1 2 12 5 1 2 = 3 5 故答案为：3 5

25、 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，则直线 OA， OB（O 为坐标原点）的斜率之积为 2 【解答】解：设点 A（xA，yA） ，B（xB，yB） ， 设 l 的方程为 xty+2，代入抛物线 C：y24x，化简得 y24ty80， 第 12 页（共 18 页） 则 yAyB8，所以 = 1 222 16 = 4， 从而 = ;8 4 = 2 故答案为：2 16 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，当 x0 时，f（x）x2， 若不等式1 4f（ax 2）+f（3x）0 对任意 xR 恒成立，则实数 a

26、 的最小值为 1 6 【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）0，即有 f（x）为奇函数， 当 x0 时，f（x）x2， 可得 x0 时，x0，f（x）（x）2x2，又 f（x）f（x） ， 则 x0 时，f（x）x2， 则 f（x）x|x|，xR，且 f（x）在0，+）递增， 由 f（1 2）= 1 4，可得不等式 1 4f（ax 2）+f（3x）0 等价为 f（1 2ax 2）f（3x）f（x 3） ， 即有1 2ax 2x30 对任意 xR 恒成立， 可得1 2a 3 2 对任意 x3，+）恒成立， 由 y= 1 3 2 = 3（1 1 6） 2+1 12，当

27、x63 时，y 取得最大值 1 12， 所以1 2a 1 12，即 a 1 6， 则 a 的最小值为1 6 故答案为：1 6 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin2B= 2sinB （1）求 B； （2）若 a8，cosA

28、= 3 5，求 BC 边上的中线 AD 的长 【解答】解： （1）由题意可得2 = 2， 因为 0B， 第 13 页（共 18 页） 所以 sinB0，则 = 2 2 ， 因为 0B， 所以 = 4 （2）因为 = 3 5 所以 = 4 5 因为 A+B+C， 所以 = ( + ) = + = 4 5 2 2 + 3 5 2 2 = 72 10 ， 由正弦定理可得 = ，则 = = 872 10 4 5 = 72， 由余弦定理可得2= 2+ 2 2 = 98 + 16 2 72 4 2 2 = 58， 则 = 58 18（12 分） 某射击小组由两名男射手与一名女射手组成， 射手的每次射击都是

29、相互独立的， 已知每名男射手每次的命中率为2 3，女射手每次的命中率为 1 3 （1）当每人射击 2 次时，求该射击小组共射中目标 4 次的概率； （2）当每人射击 1 次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女 射手失去射击资格一个小组共射中目标 3 次得 100 分，射中目标 2 次得 60 分，射中目 标 1 次得 10 分，没有射中目标得50 分用随机变量 X 表示这个射击小组的总得分， 求 X 的分布列及数学期望 【解答】解： （1）某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相 互独立的， 每名男射手每次的命中率为2 3，女射手每次的命中率为 1 3

30、 当每人射击 2 次时，该射击小组共射中目标 4 次的概率为： P= 4 4(2 3) 420(2 3) 2 + 4 3(2 3) 3(1 3)2 1(1 3)( 2 3) + 4 2(2 3) 2(1 3) 222(1 3) 2 = 8 27 （2）随机变量 X 表示这个射击小组的总得分，则 X 的可能取值为50，10，60，100， P（X50）= 1 3 1 3 = 1 9， P（X10）= 2 1(2 3)( 1 3)( 2 3) = 8 27， 第 14 页（共 18 页） P（X60）= 2 1(2 3)( 1 3)( 1 3) + ( 2 3) 2(2 3) = 12 27， P

31、（X100）（2 3） 2（1 3）= 4 27， X 的分布列为： X 50 10 60 100 P 1 9 8 27 12 27 4 27 数学期望 E（X）= 50 1 9 + 10 8 27 + 60 12 27 + 100 4 27 = 350 9 19 （12 分） 如图， 在多面体 ABCDFE 中， 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， 四边形 ABEF 是直角梯形，其中ABE90，AFBE，且 DEAF3BE3 （1）证明：平面 ABEF平面 ABCD； （2）求二面角 CDEF 的余弦值 【解答】 （1）证明：连接 AE，因为 AB2，BE1，ABBE， 所以 AE=

32、 22+ 12= 5，又因为 DE3，AD2， 所以 DE2AD2+AE2，所以 DAAE， 又因为 DAAB，ABAEA， 所以 DA平面 ABEF，又因为 DA平面 ABCD， 所以平面 ABCD平面 ABEF （2）解：因为ABE90，所以 ABBE，又因为 AFBE， 所以 ABAF， 所以 AB、AF、AD 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下： C（2，0，2） ，E（2，1，0） ，D（0，0，2） ，F（0，3，0） ， =（2，1，2） ， =（2，0，0） ， =（0，3，2） ， 第 15 页（共 18 页） 设平面 DEC 与平面 DEF 的法向量分别

33、为 =（x，y，z） ， =（u，v，w） ， = 2 + 2 = 0 = 2 = 0 ，令 z1， =（0，2，1） ， = 2 + 2 = 0 = 3 2 = 0 ，令 w3， =（2，2，3） ， 设二面角 CDEF 的大小为 ，由图可知 为钝角， 所以 cos= | | | |= 7 517 = 785 85 故二面角 CDEF 的余弦值为 785 85 20 （12 分）椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，长轴长与短轴长之积为 16 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）在直线 x+3y+t0 上存在一点 P过 P 作两条相互垂直的直线均与椭圆 C 相

34、切、求 t 的取值范围 【解答】解： （1）由题意椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，长轴长与短 轴长之积为 16 = 3 2 4 = 16 2= 2+ 2 ，可得 a22，b= 2， 所以椭圆 C 的标准方程为 2 8 + 2 2 = 1 （2）当过点 P 的椭圆 C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线斜率为 0， 易得(22， 2) 第 16 页（共 18 页） 过点 P 的椭圆 C 的切线的斜率均存在时，设(0，0)，0 22， 设切线方程为 yk（xx0）+y0， 代入椭圆方程得(42+ 1)2 8(0 0) + 4(0 0)2 8 = 0， 由= 8

35、(0 0)2 4(42+ 1)4(0 0)2 8 = 0， 可得(0 2 8)2 200 + 0 2 2 = 0， 设过点 P 与椭圆 C 相切的切线斜率分别为 k1，k2，则12= 0 22 0 28， 因为两条切线相互垂直，所以0 2;2 0 2;8 = 1，即0 2 + 0 2 = 10(0 22)， 结合知，P 在圆 x2+y210 上， 又因为点 P 在直线 x+3y+t0 上， 所以直线 x+3y+t0 与圆 x2+y210 有公共点， 则 | 1:9 10，得10t10 综上所述，t 的取值范围为10，10 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnx （1）若函数 f（x）在t

36、，t+1（t0）上有极值，求 t 的取值范围及该极值； （2）求使 n（x1）f（x）+x+1 对任意 x1 恒成立的自然数 n 的取值集合 【解答】解： （1）函数函数 f（x）xlnx，则 f（x）lnx+1， 由 f（x）0，解得 0 x 1 ，由 f（x）0，解得 x 1 ， 所以 f（x）在（0，1 ）上单调递减，在（ 1 ，+）上单调递增， 因为函数 f（x）在t，t+1（t0）上有极值，所以 1 + 1 1 0 ，解得 0t 1 ， 所以 f（x）的极小值为 f（1 ）= 1 ； （2）因为 n（x1）f（x）+x+1 对任意 x1 恒成立，即 +1 1 对任意 x1 恒 成立，

37、 令 g（x）= +1 1 ，则() = (+2)(1)(+1) (1)2 = 3 (1)2 ， 令 （x）xlnx3，则() = 1 1 ， 因为 x1，所以 （x）0，所以 （x）在（1，+）上为增函数， 第 17 页（共 18 页） 因为 （4）1ln40，（5）2ln50， 所以存在 x0（4，5） ，使得 （x0）x0lnx030， 当 x（1，x0）时，g（x）0，函数 yg（x）单调递减； 当 x（x0，+）时，g（x）0，函数 yg（x）单调递增， 所以()= (0) = 0+00+1 01 = 0+0(03)+1 01 = 0 1， 所以 nx01 恒成立，因为 x0（4，5

38、） ，所以 x01（3，4） ，则 n3， 故自然数 n 的取值集合为0，1，2，3 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22，23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 个题目计分个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 = 2， （ 为参数） ，已知 点 Q（6，0） ，点 P 是曲线 C1上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程；

39、 （2）若直线 l：ykx 与曲线 C2交于 A，B 两点，若 =2 ，求 k 的值 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为 = 2 = 2， （ 为参数） ，设 P（2cos，2sin） ， 已知点 Q（6，0） ，点 P 是曲线 C1上任意一点，点 M 为 PQ 的中点， 设点 M（x，y） ， 所以 = 3 + = ， 转换为直角坐标方程为 （x3） 2+y21， 根据 = = 2+ 2= 2 ， 转换为极坐标方程为 26cos+80 （2）直线 l：ykx 的极坐标方程为 ， 由于 =2 ， 所以 3122， 联立 2 6 + 8 = 0 = ，整理得 26cos+80， 所以 1

40、+ 2= 6 12= 8 31= 22 ，解得 = 53 9 故2= 2 = 1 2 1 = 2 25， 第 18 页（共 18 页） 故 k= 2 5 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|+3|xa|（a0） （1）求 f（x）的最小值； （2）当 a1 时，求函数 g（x）f（x）10 的图象与 x 轴围成封闭图形的面积 【解答】解： （1）f（x）|x+2|+3|xa|= 4 + 3 2， 2 2 + 3 + 2， 2 4 3 + 2， ， 则 f（x）在（，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增， 故 f（x）minf（a）a+2； （2）a1，g（x）= 4 9， 2 2 5， 21 4 11， 1 ， 画出 g（x）的大致图象如图， 令4x90，得 x= 9 4；令2x50，得 x= 5 2，令 4x110，得 x= 11 4 g（2）1，g（1）7， 所求图形面积为1 2 (11 4 + 5 2) 7 1 2 ( 9 4 + 5 2) 1 = 73 4