2021年贵州省贵阳市、铜仁市、六盘水市高考数学适应性试卷（理科）（一）（2月份）.docx

1、第 1 页（共 23 页） 2021 年贵州省贵阳市、铜仁市、六盘水市高考数学适应性试卷年贵州省贵阳市、铜仁市、六盘水市高考数学适应性试卷 （理科） （一） （理科） （一） （2 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知 U 是全集，若集合 A 满足 AUB，则（ ） AABA BABB CAB DABB 2 （5 分）已知复数 1+i 是关于 x 的方程 x2+px+20（pR）的根，则 p（ ） A2 B2

2、 C1 D1 3 （5 分）已知 sin（ 4）= 1 3，则 cos（ + 4）（ ） A 1 3 B1 3 C 22 3 D22 3 4 （5 分）如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ） A B C D 5 （5 分）设 xR，则“x1”是“x2+12x”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页（共 23 页） 6 （5 分）经数学家证明： “在平面上画有一组间距为 a 的平行线，将一根长度为 l（la） 的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为 = 2 （其中 为圆周 率） ” 某试验者用一根长

3、度为 2cm 的针，在画有一组间距为 3cm 平行线所在的平面上投 掷了 n 次，其中有 120 次出现该针与平行线相交，并据此估算出 的近似值为10 3 ，则 n （ ） A300 B400 C500 D600 7 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差为 3，若 a2，a1+a3，a6成等比数列，则 S5（ ） A9 或 13 B13 C15 或 35 D35 8 （5 分）如图为函数 f（x）的部分图象，则 f（x）的解析式可能是（ ） A | 222 B 222 C 222 D(|+) 222 9 （5 分）若 eab（e 为自然对数的底数） ，则 ab，ba，logb

4、a 的大小关系为（ ） Aabbalogba Bbaablogba Clogbaabba Dlogbabaab 10 （5 分）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后， 反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点 由此可得， 过双曲线上任意一点的切线， 平分该点与两焦点连线的夹角 请解决下面问题： 已知F1， F2分别是双曲线C： 2 2 2 = 1 的左、右焦点，若从点 F2发出的光线经双曲线右支上的点 A（x0，2）反射后，反射光线 为射线 AM，则F2AM 的角平分线所在的直线的斜率为（ ） A3 B 3 3 C 3 3 D3 11 （5 分）已知ABC， =

5、 3 ， = 3 ，点 P 是四边形 BCNM 内（含边界）的一 第 3 页（共 23 页） 点， 若 =x +y （x， yR） ，则 （x+1） 2+ （y+1）2 的最大值与最小值之差为 （ ） A12 B9 C25 2 D17 2 12 （5 分）在平面内，已知动点 P 与两定点 A，B 的距离之比为 （0 且 1） ，那么点 P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆在空间中，也可得到类似结论如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A平面 ABC，ABBC2，1= 2，ABC90，点 M 为 AB 的中点，点 P 在三棱柱内部或表面上运动，且| = 2|，动点 P 形成的曲面将 三棱柱分成

6、两个部分，体积分别为 V1，V2（V1V2） ，则 1 2 =（ ） A1 2 B1 3 C1 4 D1 5 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）( 1 ) 6的展开式中的常数项为 .（用数字作答） 14 （5 分）已知函数 f（x）sinx+ 1 2 2 + 1 3sin3x，给出下列四个命题： 2 是函数 f（x）的一个周期； 函数 f（x）的图象关于原点对称； 函数 f（x）的图象过点（，0） ； 函数 f（x）为 R 上的单调函数 其中所有真命题的序号是 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，点 N（4，

7、0） ，直线 l 过 F 且交 C 于 A，B 两点， 若以NF为直径的圆交l于点M （异于F） ， 且M是AB中点， 则线段MF的长为 16（5分） 已知数列an， a11， 且 anan+1= +2， 则 a1a2a3a2n2a2n1a2n ， an 三、解答题：第三、解答题：第 17 至至 21 题每题题每题 12 分，第分，第 22、23 题为选考题，各题为选考题，各 10 分分.解答应写出文字说解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤明，证明过程或演算步骤. 第 4 页（共 23 页） 17 （12 分）如图所示，在平面四边形 ABCD（A，C 在线段 BD 异侧）中，BAD= 6，

8、 BCD= 2，AB23，AD4 （1）求 BD 的长； （2）请从下面的三个问题中任选一个作答： 求四边形 ABCD 的面积的取值范围； 求四边形 ABCD 的周长的取值范围； 求四边形 ABCD 的对角线 AC 的长的取值范围 18 （12 分）据报道，2019 年全球进行了 102 次航天发射，发射航天器 492 个中国以 34 次航天发射蝉联榜首，美国、俄罗斯分列第二和第三位 2019 年全球发射的航天器按质量 m（单位：kg）可分为六类：类（0m50） ，类 （50m200） ， 类 （200m500） ， 类 （500m1000） ， 类 （1000m5000） ， 类（m5000

9、） ，其中类航天器仍然保持较高的话跃度，但整体的发射热度相较 2018 年有所降低，发射数量仍以较大优势排名榜首，总数达到 191 个，占比下降到 38.8%； 而类和类航天器由于低轨宽带星座部署改变，发射卫星数量均实现大幅增长根据 2019 年全球发射航天器数量按质量分类得到如图的饼形图： 假设 2021 年全球共计划发射 500 个航天器，且航天器数量按质量分布比例与 2019 年相 同 （1）利用该饼状图，估计 2021 年发射的航天器中类，类，类的个数； （2）由（1）的计算，采用分层抽样的方法，从类，类，类这三类中抽取 9 个航 天器根据研究需要，要从这 9 个航天器中随机抽取 3

10、个航天器作研究，设这 3 个航天 器来自这三类航天器的类别种数为 X，求 X 的分布列及其期望 第 5 页（共 23 页） 19 （12 分）如图，棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AB，AD 的中 点，G 为棱 DD1上的动点 （1）当 G 是 DD1的中点时，判断直线 BC1与平面 EFG 的位置关系，并加以证明； （2）若直线 DD1与平面 EFG 所成的角为 30，求锐二面角 D1EFG 的余弦值 20 （12 分）设 F1，F2为椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点，C 的短轴长为 2， 离心率为 3 2 ，直线 l：xmy+n

11、交椭圆于点 A，B （1）求椭圆 C 的方程； （2） 设 C 的左、 右顶点分别为 A1， A2， 直线 AA1， BA2的斜率分别是 k1， k2， 若 k22k1， 试问直线 l 是否过定点？并证明你的结论 21 （12 分）已知曲线 f（x）xex 2 3 3 2，aR （1）当 a0 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数 yf（x）有三个极值点 x1，x2，x3（x1x2x3） ，求实数 a 的取值范围，并 证明：0f（x2） 6 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做

12、的第一题记分.作答时用作答时用 2B 铅铅 笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = = （0r2， 为 参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2：24cos2（如图 所示） 第 6 页（共 23 页） （1）若 = 2，求曲线 C1的极坐标方程，并求曲线 C1与 C2交点的直角坐标； （2）已知曲线 C2既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线 C1与 C2交于不同的四 点 A，B，C，D，求

13、矩形 ABCD 面积的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2xm|+2|x+1| （1）若 m2，求不等式 f（x）5 的解集； （2）x1R，x2（0，+） ，使得 f（x1）3x2+ 4 2，求实数 m 的取值范围 第 7 页（共 23 页） 2021 年贵州省贵阳市、铜仁市、六盘水市高考数学适应性试卷年贵州省贵阳市、铜仁市、六盘水市高考数学适应性试卷 （理科） （一） （理科） （一） （2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，

14、只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知 U 是全集，若集合 A 满足 AUB，则（ ） AABA BABB CAB DABB 【解答】解：因为 U 是全集，集合 A 满足 AUB， 故集合 A 与集合 B 的补集没有公共元素， 所以 AB，故 ABB 故选：D 2 （5 分）已知复数 1+i 是关于 x 的方程 x2+px+20（pR）的根，则 p（ ） A2 B2 C1 D1 【解答】解：由复数 1+i 是关于 x 的方程 x2+px+20（pR）的根， 则 1i 也是关于 x 的方程 x2+px+20（pR）的根， 1+i+1

15、ip， p2 故选：B 3 （5 分）已知 sin（ 4）= 1 3，则 cos（ + 4）（ ） A 1 3 B1 3 C 22 3 D22 3 【解答】解：sin（ 4）= 1 3，即为 sin（ 4 ）= 1 3， 即有 sin 2 （ 4 +）= 1 3， 即 cos（ + 4）= 1 3 故选：A 4 （5 分）如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ） 第 8 页（共 23 页） A B C D 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为棱柱体 对于选项 AC，三视图为三棱柱， 对于选项 BD，三视图为四棱柱体 当选 C 时，正视图的中间的竖线应

16、该为实线 选项 ABD 正确 故选：C 5 （5 分）设 xR，则“x1”是“x2+12x”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为 x2+12x，所以（x1）20，即解集为 R， 所以“x1”能推出“x2+12x” ， “x2+12x”不能推出“x1” ， 即“x1”是“x2+12x”的充分不必要条件 故选：B 6 （5 分）经数学家证明： “在平面上画有一组间距为 a 的平行线，将一根长度为 l（la） 第 9 页（共 23 页） 的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为 = 2 （其中 为圆周 率） ” 某试验者用

17、一根长度为 2cm 的针，在画有一组间距为 3cm 平行线所在的平面上投 掷了 n 次，其中有 120 次出现该针与平行线相交，并据此估算出 的近似值为10 3 ，则 n （ ） A300 B400 C500 D600 【解答】解：根据题意可得， 2 = 120 ，即 22 10 3 3 = 120 ，求得 n300， 故选：A 7 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差为 3，若 a2，a1+a3，a6成等比数列，则 S5（ ） A9 或 13 B13 C15 或 35 D35 【解答】解：等差数列an的公差 d 为 3，前 n 项和为 Sn， 由 a2，a1+a3，a6成等

18、比数列，可得 a2a6（a1+a3）2， 即（a1+3） （a1+15）（2a1+6）2，解得 a11 或 a13， 若 a13，则 a20，不合题意，舍去； 则 a11，得 S551+ 543 2 =35 故选：D 8 （5 分）如图为函数 f（x）的部分图象，则 f（x）的解析式可能是（ ） A | 222 B 222 C 222 D(|+) 222 【解答】解：图象关于 y 轴对称，即函数 f（x）为偶函数，故排除选项 C； 对于 B 选项，当 x 时，f（）= 222 = 1 222 0，故排除选项 B； 对于 D 选项，分子部分：yln（|x|+e） ，结合对数图象性质可知，x 越大

19、，增长越平缓， 不符合图象变换趋势，排除 D； 第 10 页（共 23 页） 故选：A 9 （5 分）若 eab（e 为自然对数的底数） ，则 ab，ba，logba 的大小关系为（ ） Aabbalogba Bbaablogba Clogbaabba Dlogbabaab 【解答】解：eab，ab1，ba1， 对 ab于 ba取自然对数有 lnab与 lnba， 比较 ab与 ba的大小，即比较 lnab与 lnba的大小， 又 ab1，ba1，则 lnab0，lnba0， 则 = = ， 令 f（x）= ，则 f（x）= 1 0 在 x（e，）上恒成立， 即 f（x）在（e，）上单调递减，

20、而 eab， 故有 f（a）= f（b）= ， 故 = 1，即 lnablnba，也即 abba， 而 logbalogbb1， 故 logbabaab， 故选：D 10 （5 分）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后， 反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点 由此可得， 过双曲线上任意一点的切线， 平分该点与两焦点连线的夹角 请解决下面问题： 已知F1， F2分别是双曲线C： 2 2 2 = 1 的左、右焦点，若从点 F2发出的光线经双曲线右支上的点 A（x0，2）反射后，反射光线 为射线 AM，则F2AM 的角平分线所在的直线的斜率为（ ） A3 B 3

21、3 C 3 3 D3 【解答】解：由已知可得 A（x0，2）在第一象限， 将点 A 的坐标代入双曲线方程可得：x 0 2 4 2 = 1，解得 x 0= 3，所以 A（3，2） ， 又由双曲线的方程可得 a1，b= 2，所以 c= 3，则 F 2(3，0） ， 所以|AF2|2，且点 A，F2都在直线 x= 3上，又|OF 1| = |2| = 3， 第 11 页（共 23 页） 所以 tanF1AF2= |12| |2| = 23 2 = 3，所以F1AF260， 设F2AM 的角平分线为 AN，则2 = (180 60) 1 2 = 60， 所以直线 AN 的倾斜角为 150， 所以直线的

22、斜率为 tan150= 3 3 ， 故选：B 11 （5 分）已知ABC， = 3 ， = 3 ，点 P 是四边形 BCNM 内（含边界）的一 点， 若 =x +y （x， yR） ，则 （x+1） 2+ （y+1）2 的最大值与最小值之差为 （ ） A12 B9 C25 2 D17 2 【解答】解：如图，过点 P 作 EFBC 交 AM，AN 于点 E，F，设 =t， 所以 =t ， =t ， 因为点 P 在四边形 BCNM 内部，且 = 3 ， = 3 ， 所以 t1，3， 因为 E， P， F 三点共线， 所以 = + （1） =t +t （1） =x +y ， 所以 = = (1 )，

23、且 x，y0，t， 所以 x+yt，t1，3， 所以（x+1）2+（y+1）2（x+1）2+（t+1x）22x22tx+（t+1）2+1 2（x 2） 2+2 2 +2t+2， 所以当 = 2 = 1 时，（x+1）2+（y+1）2min= 9 2； 当 = 或 = 0 = 3 时，（x+1）2+（y+1）2max17， 所以（x+1）2+（y+1）2的最大值与最小值之差为 17 9 2 = 25 2 故选：C 第 12 页（共 23 页） 12 （5 分）在平面内，已知动点 P 与两定点 A，B 的距离之比为 （0 且 1） ，那么点 P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆在空间中，也可得到类

24、似结论如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A平面 ABC，ABBC2，1= 2，ABC90，点 M 为 AB 的中点，点 P 在三棱柱内部或表面上运动，且| = 2|，动点 P 形成的曲面将 三棱柱分成两个部分，体积分别为 V1，V2（V1V2） ，则 1 2 =（ ） A1 2 B1 3 C1 4 D1 5 【解答】解：如图，在平面 PAB 内，作MPNPAM，交 AB 于点 N，则MPN PAN， 又因PNMANP，所以PNMANP， 所以 = = =2， 第 13 页（共 23 页） 所以 AN= 2PN，MN= 2 2 PN， 所以 AMANMN= 2 2 PN， 因为 AM= 1

25、 2AB1，所以 PN= 2，所以 MN1， 所以 N 与 B 重合且 BPNP= 2， 所以点 P 在以 B 为球心，2为半径的球面上， 作 BHAC 于 H，则 BH= 2 2 AB= 2， 因为 AA1面 ABC，所以 AA1BH， 又因 AA1ACA，所以 BH面 AA1C1C， 所以 B 到面 AA1C1C 的距离为 BH= 2 =BP， 所以球面与面 AA1C1C 相切，而 BB1= 22， 所以球面不会与面 A1B1C1相交，则 V1= 1 8 4 3 3 = 2 3 ， V三棱柱= 1 2 1= 1 2 2 2 2 = 22， 所以 V2= 22 2 3 = 52 3 ， 所以

26、 1 2 = 1 5 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）( 1 ) 6的展开式中的常数项为 20 .（用数字作答） 【解答】解：( 1 ) 6的展开式的通项公式为 Tr+1= 6 （1）rx3r， 令 3r0，求得 r3，可得其中的常数项为6 3 = 20， 故答案为：20 14 （5 分）已知函数 f（x）sinx+ 1 2 2 + 1 3sin3x，给出下列四个命题： 2 是函数 f（x）的一个周期； 函数 f（x）的图象关于原点对称； 函数 f（x）的图象过点（，0） ； 函数 f（x）为 R 上的单调函数 其中

27、所有真命题的序号是 第 14 页（共 23 页） 【解答】解：函数 f（x）sinx+ 1 2 2 + 1 3sin3x， 对于： f （x+2） sin （x+2） + 1 2 (2 + 4) + 1 3 (3 + 6) =sinx+ 1 2 2 + 1 3sin3x f（x） ，故函数的最小正周期为 2，故正确； 对于：函数 f（x）= () + 1 2 (2) + 1 3 (3) = sinx 1 2 2 1 3sin3x f（x）故函数的图像关于原点对称，故正确； 对于：当 x 时，f（）sin+ 1 2 2 + 1 3 3 = 0，故正确； 对于：由于 f（x）sinx+ 1 22

28、+ 1 3sin3x，所以 f（x）cosx+cos2x+cos3x，由于 f（x）恒大于 0 或恒小于 0，不一定恒成立，故错误 故选： 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，点 N（4，0） ，直线 l 过 F 且交 C 于 A，B 两点，若以 NF 为直径的圆交 l 于点 M（异于 F） ，且 M 是 AB 中点，则线段 MF 的长为 3 【解答】解：由抛物线的焦点 F（1，0） ，|NF|3，所以 N，F 的中点为： （5 2，0） ， 所以 NF 为直径的圆的方程为（x 5 2） 2+y2=9 4， 设直线 AB 的方程为：yk（x1） ，设 A（x1，y1） ，B

29、（x2，y2） ， 联立 = ( 1) 2= 4 ，整理可得：kx22（2+k2）x+k20， x1+x22+ 4 2，xM1+ 2 2， yMk（xM1）= 2 ， 所以 M（1+ 2 2， 2 ） ， 因为点 M 在以 NF 为直径的圆上， 所以 MNMF， 因为 kMFk， kMN= 2 1+ 2 24 = 2 232， 所以 k 2 232 = 1， 解得 k2， 第 15 页（共 23 页） 所以 M（2，2） ， 所以|MF|=(2 1)2+ (2 0)2= 3， 故答案为：3 16 （5 分）已知数列an，a11，且 anan+1= +2，则 a1a2a3a2n2a2n1a2n

30、1 2+1 ，an 2 +1， = 2 1 2+2， = 2 （kN*） 【解答】解：因为 anan+1= +2， 所以 a1a2a3a2n2a2n1a2n= 1 3 3 5 5 7 21 2+1 = 1 2+1； 由 anan+1= +2，可得 an+1an+2= +1 +3， 即有+2 = (+1)(+2) (+3) ， 由 a11，3 1 = 23 14， 5 3 = 45 36， 7 5 = 67 58， 21 23 = (22)(21) (23)2 ， 所以当 n2k1，kN*， 上式相乘可得，a2k1= 2(21) 2 ，即为 an= 2 +1； 当 n2k1，kN*时，a2k1a

31、2k= 21 2+1， 可得 a2k= 21 2+1 2 2(21) = 2 2(2+1)， 所以，当 n2k，kN*时，an= 2+2 故答案为： 1 2+1， 2 +1 ， = 2 1 2+2， = 2 （kN*） 三、解答题：第三、解答题：第 17 至至 21 题每题题每题 12 分，第分，第 22、23 题为选考题，各题为选考题，各 10 分分.解答应写出文字说解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）如图所示，在平面四边形 ABCD（A，C 在线段 BD 异侧）中，BAD= 6， BCD= 2，AB23，AD4 （1）求 BD 的长； （2）

32、请从下面的三个问题中任选一个作答： 求四边形 ABCD 的面积的取值范围； 第 16 页（共 23 页） 求四边形 ABCD 的周长的取值范围； 求四边形 ABCD 的对角线 AC 的长的取值范围 【解答】解： （1）在中， = 6， = 23，AD4， BD2AD2+AB22ADABcosBAD4， BD2 （2）由（1）知 AB2+BD2AD2， = 2， 令CBD，由 = 2， (0， 2)，则 BC2cos，CD2sin 若选： ， (0， 2)， 由 0sin21， 可知四边形 ABCD 的面积的取值范围是(23，1 + 23 若选：= + + + = 23 + 2 + 2 + 4

33、= 22( + 4) + 23 + 4， (0， 2)， 2 2 ( + 4) 1， 6 + 23 22 + 23 + 4， 四边形 ABCD 的周长的取值范围是(6 + 23，22 + 23 + 4 若选： AC2AB2+BC22ABBCcosABC= 12 + 42 2 23 2 ( 2 + ) = 83 + 42 + 12 = 432 + 22 + 14 = 213(2 3 132 + 1 13 2)， 第 17 页（共 23 页） 令 = 1 13， = 23 13， (0， 2)， 则2= 213(2 + ) + 14， 又 (0， 2)， 2+， 13 13 (2 + ) 1， 1

34、22 213+ 14， 23 13 + 1， 四边形 ABCD 的对角线 AC 的长的取值范围是(23，13+ 1 18 （12 分）据报道，2019 年全球进行了 102 次航天发射，发射航天器 492 个中国以 34 次航天发射蝉联榜首，美国、俄罗斯分列第二和第三位 2019 年全球发射的航天器按质量 m（单位：kg）可分为六类：类（0m50） ，类 （50m200） ， 类 （200m500） ， 类 （500m1000） ， 类 （1000m5000） ， 类（m5000） ，其中类航天器仍然保持较高的话跃度，但整体的发射热度相较 2018 年有所降低，发射数量仍以较大优势排名榜首，总

35、数达到 191 个，占比下降到 38.8%； 而类和类航天器由于低轨宽带星座部署改变，发射卫星数量均实现大幅增长根据 2019 年全球发射航天器数量按质量分类得到如图的饼形图： 假设 2021 年全球共计划发射 500 个航天器，且航天器数量按质量分布比例与 2019 年相 同 （1）利用该饼状图，估计 2021 年发射的航天器中类，类，类的个数； （2）由（1）的计算，采用分层抽样的方法，从类，类，类这三类中抽取 9 个航 天器根据研究需要，要从这 9 个航天器中随机抽取 3 个航天器作研究，设这 3 个航天 器来自这三类航天器的类别种数为 X，求 X 的分布列及其期望 【解答】解： （1）

36、由题意知，5004.4%22，5008.8%44，5006.6%33， 第 18 页（共 23 页） 估计 2021 年发射的航天器中类，类，类的个数分别为 22，44，33 （2）由（1）知抽取的 9 个航天器中类 2 有个，类有 4 个，类有 3 个， 则X1，2，3，( = 1) = 4 3+ 3 3 9 3 = 5 84 ， ( = 2) = 2 1 4 2+ 2 2 4 1+ 4 1 3 2+ 4 2 3 1+ 2 1 3 2+ 2 2 3 1 9 3 = 55 84， ( = 3) = 2 1 4 1 3 1 9 3 = 24 84， X 的分布列为： X 1 2 3 P 5 84

37、 55 84 24 84 () = 5 84 1 + 55 84 2 + 24 84 3 = 187 84 19 （12 分）如图，棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AB，AD 的中 点，G 为棱 DD1上的动点 （1）当 G 是 DD1的中点时，判断直线 BC1与平面 EFG 的位置关系，并加以证明； （2）若直线 DD1与平面 EFG 所成的角为 30，求锐二面角 D1EFG 的余弦值 【解答】解： （1）BC1平面 EFG证明过程如下： 连接 AD1， ABC1D1，且 ABC1D1，四边形 ABC1D1为平行四边形， BC1AD1， F，G 分别是 A

38、D，DD1的中点，FGAD1， BC1FG， 又 BC1平面 EFG，FG平面 EFG， BC1平面 EFG 第 19 页（共 23 页） （2）以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系， 则 D（0，0，0） ，D1（0，0，2） ，E（2，1，0） ，F（1，0，0） ， 设 G（0，0，h） ，则 =（1，0，h） ， =（1，1，0） ，1 =（0，0，2） ，1 =（ 1，0，2） ， 设平面 EFG 的一个法向量为 =（x，y，1） ，则 = 0 = 0 ，即 + = 0 + = 0 ， xh，yh， =（h，h，1） ， 直线

39、 DD1与平面 EFG 所成的角为 30， sin30| 1 |1 | | 2 222+1|= 1 2，解得 h 6 2 ， G 为棱 DD1上的动点， h0，即 h= 6 2 ， =（ 6 2 ， 6 2 ，1） ， 同理可得，平面 EFD1的一个法向量为 =（2，2，1） ， cos ， = | |= 6+6+1 23 = 26+1 6 ， 故锐二面角 D1EFG 的余弦值为26+1 6 20 （12 分）设 F1，F2为椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点，C 的短轴长为 2， 离心率为 3 2 ，直线 l：xmy+n 交椭圆于点 A，B （1）求椭圆 C 的方程；

40、（2） 设 C 的左、 右顶点分别为 A1， A2， 直线 AA1， BA2的斜率分别是 k1， k2， 若 k22k1， 第 20 页（共 23 页） 试问直线 l 是否过定点？并证明你的结论 【解答】解： （1）由题意，2b2，得 b1， a2c2b21， 又 = 3 2 ， a24， 椭圆方程为 2 4 + 2= 1 （2）设点 A（my1+n，y1） ，B（my2+n，y2） ， 由 2 + 42= 4 = + ，即（4+m2）y2+2mny+（n24）0， 得 1+ 2= 2 2+4 12= 24 2+4 ，即212= (4 2)(1+ 2)， 由1= 1 1+2，2 = 2 2+2

41、， 因 k22k1，所以 2 2+2 = 21 1+2， 2(1+2) 1(2+2) = 2，即212+2(+2)2 212+2(2)1 = 2， 将代入上式可得(4 2)(1+2)+2(+2)2 (42)(1+2)+2(2)1 = 2， (+2)(2)(1+2)+22 (2)(2+)(1+2)21 = 2， +2 2 = 2 n= 2 3， 故直线 l 过定点（2 3，0） 21 （12 分）已知曲线 f（x）xex 2 3 3 2，aR （1）当 a0 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数 yf（x）有三个极值点 x1，x2，x3（x1x2x3） ，求实

42、数 a 的取值范围，并 证明：0f（x2） 6 【解答】解： （1）当 a0 时，f（x）xexf（x）ex+xexf（1）2e， 由 f（1）e，故曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 ye2e（x1） ， 化简得 y2exe 第 21 页（共 23 页） （2）f（x）ex（x+1）2ax（x+1）（x+1） （ex2ax） ， 令 f（x）0（x+1） （ex2ax）0 x+10 或 ex2ax0， 由于函数 yf （x） 有三个极值点 x1， x2， x3， 所以方程 ex2ax0 必有两个不同的实根， 设 g（x）ex2ax，可得 g（x）ex2a， 易知 a0 时，g（x）0，

43、g（x）在 R 上单调递增，不合题意，故 a0，即 g（x）的两 个零点必为正数 令 g（x）0ex2a0 xln2a， 可知在 x（，ln2a） ，g（x）0，g（x）单调递减；在 x（ln2a，+） ，g（x） 0，g（x）单调递增 依题意，要使得函数 g（x）ex2ax 有两个不同的零点 x2，x3，则 g（x）ming（ln2a） 0， 于是有2 220 2 220 1 20 2， 即实数 a 的取值范围是（ 2，+） 故当 2时，在 x（，1） ，f（x）0，f（x）单调递减， 在 x（1，x2） ，f（x）0，f（x）单调递增， 在 x（x2，x3） ，f（x）0，f（x）单调递减

44、， 在 x（x3，+） ，f（x）0，f（x）单调递增 即 x2是极大值点，由于当 2时，x2ln2a 恒成立， 所以 x2（ln2a）minlne1，故 x2（0，1） 于是，(2) = 2 6 (2 1)(22+ 3)在 x2（0，1）恒为正， 可知函数 f（x2）在 x2（0，1）单调递增，则 f（0）f（x2）f（1） ， 故0(2) 6 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用作答时用 2B 铅铅 笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修选

45、修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = = （0r2， 为 参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2：24cos2（如图 所示） 第 22 页（共 23 页） （1）若 = 2，求曲线 C1的极坐标方程，并求曲线 C1与 C2交点的直角坐标； （2）已知曲线 C2既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线 C1与 C2交于不同的四 点 A，B，C，D，求矩形 ABCD 面积的最大值 【解答】解： （1）r= 2， 曲线 C1的极坐标方程为 = 2， 2 = 42 = 2 cos2=

46、 1 2， 即22 1 = 1 2，得 2 =3 4， cos 3 2 ， 当 cos= 3 2 时，sin= 1 2，当 cos= 3 2 时，sin1 2， 分别代入 = 2 = 2，可得四个交点坐标分别为： （ 6 2 ， 2 2 ） ， （ 6 2 ， 2 2 ） ， （ 6 2 ， 2 2 ） ， （ 6 2 ， 2 2 ） ； （2）依题意，设 A（x，y） ，则由对称性可知，矩形 ABCD 的面积 S4xy， S4xy4cossin22sin2，代入 24cos2， S8sin2cos24sin44（当且仅当 sin41 时取等号） ， 故矩形 ABCD 面积的最大值为 4 选修

47、选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2xm|+2|x+1| （1）若 m2，求不等式 f（x）5 的解集； （2）x1R，x2（0，+） ，使得 f（x1）3x2+ 4 2，求实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）5 即为|x1|+|x+1| 5 2， 等价为 1 1 1 5 2 或 11 1 + + 1 5 2 或 1 1 + + 1 5 2 ， 解得 5 4 x1 或1x1 或 1x 5 4， 第 23 页（共 23 页） 所以原不等式的解集为 5 4， 5 4； （2）f（x）3|2xm|+|2x+2|3|2xm2x2|3|m+2|3，当且仅当（2xm） （2x+2）0 取得等号， 而 x0 时，yx+ 4 2 4 =4（当且仅当 x2 取得等号） ， 由题意可得|m+2|34，即|m+2|7，解得 m5 或 m9 则 m 的取值范围是（，95，+）