1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (全国新 课标 卷 2) 数学 （文科）答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】因为 ? ?| 1 2A x x? ? ? ?， ? ?| 0 3B x x? ? ? ，所以 ? ?| 1 3A B x x? ? ? ?， 故选 A. 【考点】不等式基础知识， 集合的交集运算 2.【答案】 D 【解析】由题意可得 2 i (1 i) ( 3 i) 2 4 i 4aa? ? ? ? ? ? ? ?，故选 D 【考点】 复数的乘除运算，复数相等 的概念 3.【答案】 D 【解析】由柱形图可知 2006 年以来，我
2、国二氧化碳排放量基本成递减趋势，所以二氧化碳排放量与年份负相关，故选 D. 【考点】统计知识及 对 学生 柱形图的理解 4.【答案】 C 【解析】由题意可得 2 1 1 2? ? ?a ， 1 2 3? ? ? ?ab ， 所以 2( 2 ) 2 4 3 1? ? ? ? ? ?a b a a a b， 故选 C. 【考点】 向量数量积的坐标运算 5.【答案】 A 【解析】 由 1 3 5 3 33 3 1a a a a a? ? ? ? ? ?， 所有 15535 ( ) 552aaSa? ? ?， 故选 A. 【考点】 等差数列 的 性质及前 n 项和公式 的应用 6.【答案】 D 【解析
3、】 如图所示， 截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的 16 ，剩余部分体积是正方体体积的 56 ， 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 15 ，故选 D. 【考点】 三视图 ， 几何体体积的计算 7.【答案】 B 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 ABC 外接圆圆心在直线 BC 垂直平分线上即直线 1x? 上，设圆心 (1, )Db，由 DA DB? 得2 22| | 1 ( 3 ) 3b b b? ? ? ? ?，所以圆心到原点的距离22 2 2 2 11 33d ? ? ?， 故选 B. 【考点】 圆的方程的求法，点到直线距离公式 8.【答案】 B 【解析】由题意 可知
4、输出的 a 是 18， 14 的最大公约数 2，故选 B. 【考点】 程序框图 ， 更相减损术 9.【答案】 C 【解析】由题意可得 23 5 4 4 44 ( 1 ) 2a a a a a? ? ? ? ?， 所以 3 41 82aqqa? ? ? ?， 故 2112a aq?， 选 C. 【考点】等比数列性质，基本运算 10.【答案】 C 【解析】设球的半径为 R ，则 AOB 面积为 212R ，三棱锥 O ABC? 体积最大时， C 到平面 AOB 距离最大且为 R ，此时 31 3 6 66V R R? ? ? ?，所以球 O 的表面积 24 144SR?， 故选 C. 【考点】 球
5、与几何体的切接问题 11.【答案】 B 【解析】由题意可得 222f ?， 514 2 4f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由此可排除 C， D；当 0 x? 时点 P 在边 BC 上， tanPB x? ， 2 2 24 t a nP A A B P B x? ? ? ?，所以 2( ) t 4f x x tan x? ? ?，可知0,4x ?时图像不是线段，可排除 A，故选 B. 【考点】 函数的识图问题 12.【答案】 A 【解析】由21( ) ln (1 | |) 1f x x x? ? ? ?可知 ()fx是偶函数，且在 ? ?0
6、,? 是增函数， 所以 22 1( ) ( 2 1 ) ( | |) ( | 2 1 |) | | | 2 1 | ( 2 1 ) 13f x f x f x f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故选 A. 【考点】 函数的奇偶性 、 单调性 ，不等式的解法 第 卷 二、填空题 【 ;百万教育资源文库 】 13.【答案】 2? 【解析】由 3( ) 2f x ax x?可得 ( 1) 2 4 2f a a? ? ? ? ? ? ? ?. 【考点】 利用函数解析式求值 14.【答案】 8 【解析】不等式组 502 1 02 1 0xyxyxy? ?
7、 ? ? ? ? ?表示的可行域是以 (1,1) ， (2,3) ， (3,2) 为顶点的三角形区域， 2z x y?的最大值必在顶点处取得，经验算， 3x? ， 2y? 时 max 8z ? . 【考点】 线性规划 15.【答案】 2 2 14x y?【解析】根据双曲线渐近线方程为 12yx? ，可设双曲线的方程为 2 24x ym?，把 (4, 3) 代入 2 24x ym?得 1m? ， 所以双曲线的方程为 2 2 14x y?. 【考点】 双曲线几何性质 16.【答案】 8 【解析】由 11y x? 可得曲线 lny x x? 在点 (1,1) 处的切线斜率为 2，故切线方程为 21y
8、x?，与2 ( 2) 1y ax a x? ? ? ?联立得 2 20ax ax? ? ? ，显然 0a? ，所以由 2 8 0 8a a a? ? ? ? ? ?. 【考点】 数的几何意义 ， 直线与抛物线相切 三、解答题 17.【答案】（ ）由正弦定理得 sin sinAD BDB BAD?， sin sinAD DCC CAD?， 因为 AD 平分 BAC? ， 2BD DC? ，所以 sin 1sin 2B DCC BD? ? ； （ ）因为 1 8 0 ( )C B A C B? ? ? ? ? ?， 60BAC?， 所以 31s i n s i n ( ) c o s s i n2
9、2C B A C B B B? ? ? ? ? ? ? ? ?，由（ ）知 2sin sinBC? ? ?，所以 3tan3B?， 30B? . 【提示】 （ ） 利用正弦定理转化得： sin 1sin 2B DCC BD? ? ； （ ） 由诱导公式可得 31s i n s i n ( ) c o s s i n22C B A C B B B? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由（ ）知 2sin sin BC? ? ?，所以 3tan3B?， 30B? . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】正弦定理及诱导公式的应用 18.【答案】（ ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，
10、 B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值， B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散 . （ ） A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 .记 AC 表示事件 “ A地区的用户的满意度等级为不满意 ” ；BC 表示事件 “ B 地 区 的用 户 的 满意 度 等级 为不 满 意 ”， 由 直 方图得 ()APC 的 估 计值 为( 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3 ) 1 0 0 .6? ? ? ?， ()BPC 的估计值为 ( 0 0 5 0 .0 2 ) 1 0 0 .2 5? ? ?，所以 A 地区的用户的满意度等级为不满意
11、的概率大 . 【提示】 （ ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出， B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值， B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散 ；（ ）由直方图得 ()APC 的估计值为 0.6， ()BPC 的估计值为 0.25，所以 A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 . 【考点】 频率分布直方图 ， 概率估计 19.【答案】（ ）交线围成的正方形 EHGF 如图： （ ） 作 EM AB? ， 垂足为 M ，则 1 4AM AE?， 1 12EB? ， 1 8EM AA?，因为 EHGF 是 正方形，所以
12、 10EH EF BC? ? ?，于是 22 6M H EH EM? ? ?， 10AH? ， 6HB? ， 因为长方体被平面 ? 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积比值为 97 （ 79 也正确） . 【提示】 （ ） 分别在 AB ， CD 上取 H ， G ，使 10AH DG?； （ ） 长方体被平面 ? 分成两个高为 10 的直棱柱， 可求得 其体积比值为 97 或 79 . 【考点】 几何体中的截面问题 ， 几何体的体积 的计算 20.【答案】（ ） 由题意有 22 22aba? ?，22421ab?， 解得 2 8a? ， 2 4b? ，所以椭圆 C 的方程为 22184x
13、y?； （ ） 设直线 : ( 0 , 0 )l y kx b k b? ? ? ?， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， ( , )MMM x y ， 把 y kx b?代入 22184xy?得 2 2 2( 2 1 ) 4 2 8 0k x kbx b? ? ? ? ?， 故 12222 2 1M xx kbx k? ? ?，221MM by kx b k? ? ? ?， 于是直线 OM 的斜【 ;百万教育资源文库 】 率 12MOM Myk xk? ?， 即 12OMkk?，所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值 . 【提示】 （ ） 由 22 22aba
14、? ?，22421ab?求得 2 8a? ， 2 4b? ， 由此可得 C 的方程 ； （ ） 把直线方程与椭圆方程联立得 2 2 2( 2 1 ) 4 2 8 0k x kbx b? ? ? ? ?，所以 12222 2 1M xx kbx k? ? ?，221MM by kx b k? ? ? ?， 于是 1122MO M O MMyk k kxk? ? ? ? ? ?. 【考点】 直线与椭圆 21.【答案】（ ） ()fx的定义域为 (0, )? ， 1()f x ax? ?，若 0a? ，则 ( ) 0fx? ? ， ()fx在 (0, )? 是单调递增；若 0a? ，则当 10,xa
15、?时 ( ) 0fx? ? ，当 1,xa? ?时 ( ) 0fx? ? ，所以 ()fx在 10,a?单调递增，在 1,a?单调递减 ； （ ） 由 （ ） 知当 0a? 时 ()fx在 (0, )? 无最大值，当 0a? 时 ()fx在 1x a? 取得最大值，最大值为1 1 1l n 1 l n 1f a a aa a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因此 1 2 2 l n 1 0f a a aa? ? ? ? ? ? ? 。 令 ( ) ln 1g a a a? ? ?，则()ga在 (0, )? 是增函数， (1) 0g
16、? ， 于是，当 01a?时， ( ) 0ga? ，当 1a? 时 ( ) 0ga? ，因此 a 的取值范围是 (0,1) . 【提示】 （ ） 由 1()f x ax? ?，可分 0a? ， 0a? 两种情况来讨论； （ ） 由 （ ） 知 当 0a? 时 ()fx在 (0, )? 无最大值，当 0a? 时 ()fx最大值为 1 ln 1f a aa? ? ? ?， 因此 1 2 2 ln 1 0f a a aa? ? ? ? ? ? ?.令 ( ) ln 1g a a a? ? ?，则 ()ga 在 (0, )? 是增函数， 当 01a?时，( ) 0ga? ，当 1a? 时 ( ) 0g
17、a? ，因此可求出 a 的取值范围 . 【考点】导数的应用 22.【答案】（ ） 由于 ABC 是等腰三角形， AD BC? ， 所以 AD 是 CAB? 的平分线，又因为圆 O 与 AB ，AC 分别相切于 E ， F ，所以 AE AF? ，故 AD EF? ，所以 EF BC ； （ ） 由 （ ） 知 AE AF? ， AD EF? ，故 AD 是 EF 的垂直平分线， 又 EF 为圆 O 的弦，所以 O 在 AD【 ;百万教育资源文库 】 上，连接 OE ， OF ，则 OE AE? ，由 AG 等于圆 O 的半径得 2AO OE? ，所以 30OAE?，因此， ABC和 AEF 都
18、是等边三角形，因为 23AE? ，所以 4AO? ， 2OE? ， 因为 2OM OE?， 1 32DM MN?，所以 1OD? ，于是 5AD? ， 10 33AB?， 所以四边形 DBCF 的面积为 2 21 1 0 3 3 1 3 1 6 3( 2 3 )2 3 2 2 2 3? ? ? ? ? ?. 【提示】 （ ） 要证明 EF BC ， 可证明 AD BC? ， AD EF? ； （ ） 先求出有关线段的长度，然后把 四边形 EBCF 的面积 转化为 ABC 和 AEF 面积之差来求 . 【考点】 几何证明 ， 四边形面积的计算 23.【答案】（ ）曲线 2C 的直角坐标方程为 2220x y y? ? ? ， 曲线 3C 的直角坐标方程为 222 3 0x y x? ? ?，联立两方程解得 00xy?或3232xy? ? ?，所以 2C 与 3C 交点的直角坐标 ? ?0,0 ， 33,22?； （ ） 曲线
