1、- 1 - 第 4 讲 万有引力定律及其应用 析考情 明考向_考情分析_透视命题规律 一、构建体系 透析考情 思维导图 考情分析 1.有关万有引力定律及 其应用的题目在高考中 通常以选择题的形式出 现，极个别情况下会出 现在计算题中，难度中 等。 2.在考查内容上一般考 查开普勒运动定律的应 用、天体运行参数间的 关系、天体质量(密度) 的估算，还可能考查万 有引力定律与动力学、 能量相结合的问题，如 2020 年山东卷第 7 题。 二、熟记规律 高效突破 1重力和万有引力的关系 (1)不考虑自转时，星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力，即有 GMm R2 mg， 其中 g 为星球
2、表面的重力加速度。 (2)考虑自转时，在两极上才有GMm R2 mg，而赤道上则有GMm R2 mgm4 2 T2 R。 2一个重要公式：黄金代换式 GMgR2，应用于题目中没有给出引力常量 G 或天体质量 M， 而提供了天体表面重力加速度 g 的信息的情况。 3万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力 (1)列出五个连等式：GMm r2 mamv 2 r m2rm4 2 T2 r。 (2)导出四个表达式：aGM r2，v GM r ， GM r3 ，T 42r3 GM 。 (3)定性结论：r 越大，向心加速度 a、线速度 v、角速度 均越小，而周期 T 越大。 4三类卫星 (1)近地卫星：GM
3、m R2 mgmv 2 R。 (2)同步卫星：G Mm （Rh）2m(Rh)( 2 T )2(地球自转周期 T24 h)。 (3)双星：Gm1m2 L2 m12r1m22r2，r1r2L。 5卫星变轨问题：当卫星速度减小时，F向小于 F万，卫星做近心运动而轨道下降，此时 F万 做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过 程相反。 研考向 提能力_考向研析_掌握应试技能 考向一 天体质量及密度的计算 1两条思路 (1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度 g 计算。由 GMm R2 mg 求出 MgR 2 G ，进而求得 M V M 4 3R 3 3g 4G
4、R。 - 2 - (2)利用环绕天体的轨道半径 r 和周期 T 计算。由 GMm r2 m4 2 T2 r，可得出 M4 2r3 GT2 。若环绕天 体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径 rR，则 M 4 3R 3 3 GT2。 2两点提醒 (1)利用 GMm r2 m4 2 T2 r 只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。 (2)注意区分轨道半径r和中心天体的半径R， 计算中心天体密度时应用 M 4 3R 3而不是 M 4 3r 3。 典例 1 (2020 浙江省名校联合体高三下学期 3 月第二次联考)2020 年，我国将一次实现火星 的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器
5、到达火星附近时，先在高度恰好等于火星半 径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动，测得运动周期为 T，之后通过变轨、减速落向火星。探 测器与火星表面碰撞后，以速度 v 竖直向上反弹，经过时间 t 再次落回火星表面。不考虑火星 的自转及火星表面大气的影响，已知万有引力常量为 G，则火星的质量 M 和火星的半径 R 分 别为( ) AM v3T4 1284Gt3，R vT2 162t BM v3T2 1284Gt3，R vT2 162t CM v3T4 1 0244Gt3，R vT2 322t DM v3T4 1 0244Gt2，R vT 322t 解析 探测器与火星表面碰撞后，以速度 v 竖直向上反弹，
6、经过时间 t 再次落回火星表面， 则火星表面的重力加速度 g2v t ，根据万有引力定律，对火星表面的物体有 GMm0 R2 m0g，探 测器在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动周期为 T，则 G Mm （2R）2 m4 2 T2 2R，联立解得 R vT2 162t，M v3T4 1284Gt3，故 A 正确，B、C、D 错误。 答案 A 1. (2020 四川成都高三诊断)2019 年 1 月 3 日上午，“嫦娥四号”顺利着陆月球背面，成为人 类首颗成功软着陆月球背面的探测器(如图所示)。已知地球和月球的半径之比为 R R0a，表面 重力加速度之比为 g g0b，则地球和月
7、球的密度之比为 0为( ) A.a b Bb a C. a b D b a - 3 - 解析：设星球的密度为 ，由 GMm R2 mg 得 GMgR2，M V M 4 3R 3，联立解得 3g 4GR，则 0 g R R0 g0 b a，B 正确。 答案：B 2为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量。已知地球半径为 R，地球质量为 m， 太阳与地球中心间距为 r，地球表面的重力加速度为 g，地球绕太阳公转的周期为 T，则太阳 的质量为( ) A.4 2r3 T2R2g B. T2R2g 42mr3 C.4 2mgr2 r3T2 D4 2mr3 T2R2g 解析：对绕太阳公转的地球，根据万
8、有引力定律得 GMm r2 m4 2 T2 r，根据地球表面的万有引力近 似等于重力，对地球表面物体 m有 Gmm R2 mg，两式联立得 M4 2mr3 T2R2g ，D 正确。 答案：D 3(多选)(2020 江西南昌模拟)下表是一些有关火星和地球的数据，利用万有引力常量 G 和表 中选择的一些信息可以完成的估算是( ) 信息 序号 信息 内容 地球一年约 365 天 地表重力加速 度约为 9.8 m/s2 火星的公转周 期为 687 天 日地距离大约 是 1.5 亿公里 地球半径约 6 400 km A.选择可以估算地球质量 B选择可以估算太阳的密度 C选择可以估算火星公转的线速度 D选
9、择可以估算太阳对地球的吸引力 解析：由 GMm R2 mg，解得地球质量 MgR 2 G ，所以选择可以估算地球质量，选项 A 正确； GMm r2 mr(2 T )2，解得 M4 2r3 GT2 ，所以选择可以估算太阳的质量，由于不知太阳半径(太阳 体积)，因而不能估算太阳的密度，选项 B 错误；根据开普勒定律，选择可以估算火星 公转轨道半径 r，火星公转的线速度 vr2 T r，选项 C 正确；选择可以估算地球围 绕太阳运动的加速度，由于不知地球质量，不能估算太阳对地球的吸引力，选项 D 错误。 答案：AC 考向二 卫星运行参数的分析 1一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体
10、(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看 作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 2两条思路 (1)万有引力提供向心力，即 GMm r2 mamv 2 r m2rm4 2 T2 r。 (2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即GMm R2 mg 或 GMgR2(R、g 分别是天体的 半径、表面重力加速度)，公式 GMgR2应用广泛，被称为“黄金代换式”。 3两种特殊卫星 (1)近地卫星 轨道半径等于地球半径。 卫星所受万有引力 Fmg。 卫星向心加速度 ag。 - 4 - (2)同步卫星 同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。 所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。 典
11、例 2 (2020 山东济南区县联考)科学家预测银河系中所有行星的数量大概在 23 万亿之 间。目前在银河系发现一颗类地行星，半径是地球半径的两倍，质量是地球质量的三倍。卫 星 a、b 分别绕地球、类地行星做匀速圆周运动，它们距中心天体表面的高度均等于地球的半 径，则卫星 a、b 的( ) A线速度之比为 1 3 B角速度之比为 32 2 C周期之比为 2 2 3 D加速度之比为 43 解析 设地球的半径为 R，质量为 M，则类地行星的半径为 2R，质量为 3M，卫星 a 的运动 半径为 Ra2R，卫星 b 的运动半径为 Rb3R，万有引力充当向心力，根据公式 GMm r2 mv 2 r ，
12、可得 va GM 2R ，vb GM R ，故线速度之比为 1 2，A 错误；根据公式 GMm r2 m2r，可 得 a GM （2R）3，b 3GM （3R）3，故角速度之比为 32 2，根据 T 2 可得周期之比 为 2 23，B 正确，C 错误；根据公式 GMm r2 ma，可得 aa GM （2R）2，ab 3GM （3R）2，故加速 度之比为 34，D 错误。 答案 B 规律总结 做圆周运动的卫星运行参量与轨道半径的四个关系 GMm r2 maaGM r2 a1 r2 mv 2 r v GM r v 1 r m2r GM r3 1 r3 m4 2 T2 rT 42r3 GM T r3
13、 越高越慢 4. (多选)2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射。北斗系统空间段由若 干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成。如图所示，地球静 止轨道卫星 A 与倾斜地球同步轨道卫星 B 距地面高度均约为 36 000 km， 中圆轨道卫星 C 距地 面高度约为 21 500 km。已知地球静止轨道卫星 A 与中圆轨道卫星 C 质量相同，引力势能公式 为 EpGMm r 。下列说法正确的是( ) AA 与 B 运行的周期相同 - 5 - BA 与 B 受到的向心力大小相同 C正常运行时 A 比 C 的动能小 D正常运行时 A 比 C 的机械
14、能大 解析：地球静止轨道卫星 A 与倾斜地球同步轨道卫星 B 距地面高度均约为 36 000 km，两者轨 道半径大小相等，根据开普勒第三定律得T 2 A T2B r3A r3B，可知 A 与 B 运行的周期相同，选项 A 正确； 题述没有给出地球静止轨道卫星 A 与倾斜地球同步轨道卫星 B 的质量关系，由万有引力提供 向心力得 F向GMm r2 ，可知 A 与 B 受到的向心力大小不一定相同，选项 B 错误；地球静止轨 道卫星 A 距地面高度约为 36 000 km，中圆轨道卫星 C 距地面高度约为 21 500 km，可知地球 静止轨道卫星 A 的轨道半径大于中圆轨道卫星 C 的轨道半径，
15、由万有引力提供向心力有GMm r2 mv 2 r ，解得 v GM r ，所以 A 比 C 运行的线速度小，根据动能公式 Ek1 2mv 2，可知正常运 行时 A 比 C 的动能小， 卫星正常运行时的机械能 E1 2mv 2E pGMm 2r GMm r GMm r ， 则正 常运行时 A 比 C 的机械能大，选项 C、D 正确。 答案：ACD 5(2019 高考天津卷)2018 年 12 月 8 日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测 器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。 已知月球的质量为 M、半径为 R，探测器的质量为 m，引力常量为
16、G，嫦娥四号探测器围绕月 球做半径为 r 的匀速圆周运动时，探测器的( ) A周期为 42r3 GM B动能为GMm 2R C角速度为 Gm r3 D向心加速度为GM R2 解析：探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有 GMm r2 m(2 T )2r，解得周期 T 42r3 GM ，A 对； 由 GMm r2 mv 2 r 知，动能 Ek1 2mv 2GMm 2r ，B 错；由 GMm r2 mr2得，角速度 GM r3 ，C 错；由 GMm r2 ma 得，向心加速度 aGM r2 ，D 错。 答案：A 6(2020 浙江 7 月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。
17、若火星和地球绕太阳的 运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为 32，则火星与 地球绕太阳运动的( ) - 6 - A轨道周长之比为 23 B线速度大小之比为 3 2 C角速度大小之比为 2 23 3 D向心加速度大小之比为 94 解析：轨道周长 C2r，与半径成正比，故轨道周长之比为 32，A 错误；由万有引力提供 向心力， GMm r2 mv 2 r ， 得 v GM r ， 得v 火 v地 r地 r火 2 3， B 错误； 由万有引力提供向心力， GMm r2 m2r，得 GM r3 ，所以 火 地 r3地 r3火 2 2 3 3，C 正确； 由 GMm r2
18、ma 得 aGM r2 ，得a 火 a地 r2地 r2火 4 9，D 错误。 答案：C 7(2020 山西大同十九中高三下学期 3 月线上模拟)已知同步卫星与地心的距离为 r，运行速 率为 v1，向心加速度为 a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2，第一宇宙速度 为 v2，地球半径为 R，则下列比值正确的是( ) A.a1 a2 r R B.a1 a2( R r) 2 C.v1 v2 r R Dv1 v2 r R 解析：地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由 a12r，a2 2R 得a1 a2 r R，故 A 正确，B 错误；对于地球同步卫星和以第一宇宙
19、速度运动的近地卫星， 由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力得到 GMm r2 mv 2 1 r ，GMm R2 mv 2 2 R，解得 v1 v2 R r，故 C、D 错误。 答案：A 考向三 卫星变轨问题 1变轨实质：卫星变轨的运动模型是向心运动和离心运动。当由于某种原因卫星速度 v 突然 增大时，有 GMm r2 mv 2 r ，卫星将做向心运动。 2五点注意 (1)卫星的 a、v、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。 (2)a、v、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径 r 和中心天体质量共同决定。 (3)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系
20、判断；稳定在新圆周轨道 上的运行速度变化由 v GM r 判断。 (4)质量相同的航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 (5)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 典例 3 (多选)(2020 四川成都七中二诊)2020 年 3 月 9 日我国成功发射第 54 颗北斗导航卫 星，意味着北斗全球组网仅差一步之遥。人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定 轨道，如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从近地圆轨道的 A 点先变轨到椭圆 轨道，然后在 B 点变轨进入地球同步轨道，则( ) A卫星在同步轨道上的运行速度小于 7.9
21、km/s - 7 - B卫星在轨道上稳定运行时，经过 A 点时的速率比过 B 点时小 C若卫星在、轨道上运行的周期分别为 T1、T2、T3，则 T1T2T3 D现欲将卫星由轨道变轨进入轨道，则需在 B 点通过点火减速来实现 解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有GMm r2 mv 2 r ，得 v GM r ， 可知卫星运动半径 r 越大，运行速度 v 越小，所以卫星绕近地轨道运行时速度最大，即地球的 最大环绕速度(7.9 km/s)，则卫星在同步轨道上的运行速度小于 7.9 km/s，选项 A 正确。卫 星在轨道上从 A 向 B 运动过程中，万有引力对卫星做负功，动能逐渐减小
22、，速率也逐渐减 小， 所以卫星在轨道上过 A 点时的速率比卫星在轨道上过 B 点时的速率大， 选项 B 错误。 设卫星在轨道上运行的轨道半径为 r1、 轨道的半长轴为 r2、 在轨道上运行的轨道半径为 r3，根据图中几何关系可知 r1r2r3，又由开普勒第三定律有r 3 T2k，可得 T1T2T3，选项 C 正 确。卫星在 B 点要进入轨道必须加速做离心运动，所以卫星在 B 点通过点火加速可实现由 轨道进入轨道，选项 D 错误。 答案 AC 8. (多选)(2020 福建龙岩高三上学期期末)2019 年 5 月 17 日 23 时 48 分，我国在西昌卫星发射 中心用长征三号丙运载火箭成功发射
23、了第四十五颗北斗导航卫星。如图所示，先将卫星送入 近地圆轨道，当卫星进入赤道上空 P 点时，控制火箭点火，使卫星进入椭圆轨道，卫星 到达远地点 Q 时，再次点火，卫星进入相对地球静止的轨道。下列说法正确的是( ) A卫星在轨道上的线速度大于在轨道上的线速度 B卫星在轨道上的运动周期等于在轨道上的运动周期 C卫星在轨道通过 P 点的加速度等于在轨道通过 P 点的加速度 D卫星在轨道通过 Q 点的线速度小于在轨道通过 Q 点的线速度 解析：根据万有引力提供向心力可知GMm r2 mv 2 r ，解得线速度 v GM r ，轨道半径越大， 线速度越小，所以卫星在轨道上的线速度大于在轨道上的线速度，故
24、 A 正确；轨道的 半径小于轨道半长轴的长度，根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道上的运动周期小于 在轨道上的运动周期，故 B 错误；卫星只受万有引力作用，同一位置，加速度相等，所以 卫星在轨道通过 P 点的加速度等于在轨道通过 P 点的加速度，故 C 正确；卫星在轨道 通过 Q 点时，加速变轨到轨道，所以卫星在轨道通过 Q 点的线速度小于在轨道通过 Q 点的线速度，故 D 正确。 答案：ACD 9(多选)(2020 江西南昌安义中学月考)2019 年 1 月 3 日 10 时 26 分，在反推发动机和着陆缓 冲机构的“保驾护航”下， “嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面的预选着陆区。 已知“嫦
25、 娥四号”的运行过程示意图如图所示，下列说法正确的是( ) - 8 - A“嫦娥四号”的发射速度可以小于第一宇宙速度 B“嫦娥四号”从地月转移轨道进入绕月椭圆轨道时必须减速 C“嫦娥四号”在绕月轨道上运行时，轨道降低，周期减小 D“嫦娥四号”在向月球着陆过程中始终处于失重状态 解析：第一宇宙速度是最小的发射速度，“嫦娥四号”的发射速度一定大于第一宇宙速度， 故 A 错误；“嫦娥四号”从地月转移轨道进入绕月椭圆轨道时，轨道半径减小，做近心运动， 必须减速，故 B 正确；“嫦娥四号”在绕月轨道上运行时，轨道降低，根据开普勒第三定律R 3 T2 k 知，周期减小，故 C 正确；“嫦娥四号”在向月球着
26、陆过程中，做减速运动，加速度向上， 处于超重状态，故 D 错误。 答案：BC 10.中国航天的发展一直偏重应用，而在纯科学的空间天文与深空探测方面，过去长期是空白 的，所以中国航天局计划于 2020 年左右进行第一次火星探测。之前美国已发射了凤凰号着陆 器降落在火星北极进行勘察，如图为凤凰号着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道 上的 P、S、Q 三点与火星中心在同一直线上，P、Q 两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星 点，且 PQ2QS(已知轨道为圆轨道)。关于着陆器，下列说法正确的是( ) A在 P 点由轨道进入轨道需要点火加速 B在轨道上 S 点的速度小于在轨道上 Q 点的速度 C在
27、轨道上 S 点与在轨道上 P 点受到的万有引力相同 D在轨道上由 P 到 S 的时间是其在轨道上由 P 到 Q 时间的 2 倍 解析：在 P 点由轨道进入轨道需点火减速，选项 A 错误；在椭圆轨道上 Q 点的速度比 近火星圆轨道卫星的速度大，由 GMm r2 mv 2 r 可得 v GM r ，即近火星圆轨道卫星的速度大 于在圆轨道上的速度，所以在轨道上 S 点的速度小于在轨道上 Q 点的速度，选项 B 正 确；在 S 和 P 两点受到的万有引力大小相等，方向不同，选项 C 错误；由 P 到 S 的时间与从 P 到 Q 的时间都是在各自轨道运动周期的一半，由开普勒第三定律可得 （PQQS 2 ）3 T2 （PQ 2 ）3 T2 ，因为 PQ2QS，解得 T3 2 3 2T，选项 D 错误。 答案：B - 9 -
