1、- 1 - 第 1 讲 常用公式和结论 1力与物体的运动 临考必背 一、静力学 1物体平衡的条件 F合0 或 Fx合0，Fy合0。 2三个共点力平衡，则任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反，多个共点力平衡 时也有类似的特点。 3两个分力 F1和 F2的合力为 F， 若已知合力(或一个分力)的大小和方向，又知另一个分力(或 合力)的方向，则第三个力与已知方向不知大小的那个力垂直时有最小值(如图所示)。 二、动力学 1.匀变速直线运动的六个公式 速度公式：vv0at。 位移公式：xv0t1 2at 2。 速度与位移关系公式：v2v202ax。 位移与平均速度关系公式：xv tv0v 2 t
2、。 匀变速直线运动的平均速度：v vt 2 v0v 2 x1x2 2T 。 匀变速直线运动中间时刻、中间位置的速度： vt 2 v v0v 2 ，vx 2 v20v2 2 ，且 vx 2 vt 2 。 2.初速度为零的匀加速直线运动(或末速度为零的匀减速直线运动)的常用比例 (1)时间等分(T)：1T 末、2T 末、3T 末、nT 末的速度之比 v1v2v3vn123n。 第 1 个 T 内、第 2 个 T 内、第 3 个 T 内、第 n 个 T 内的位移之比 x1x2x3xn135(2n1)。 连续相等时间内的位移差 xaT2，进一步有 xmxn(mn)aT2，此结论常用于求加速度。 (2)
3、位移等分(x)：通过第 1 个 x、第 2 个 x、第 3 个 x、第 n 个 x 所用时间之比 t1t2t3tn1( 21)( 3 2)( n n1)。 3竖直上抛运动的时间 t上t下v g 2H g ，同一位置速度大小 v上v下。 4“刹车陷阱”，应先求滑行至速度为零即停止的时间 t0，如果题干中的时间 t 大于 t0，用 v202ax 或 xv0t0 2 求滑行距离；若 t 小于 t0时，用 xv0t1 2at 2求滑行距离。 - 2 - 5牛顿运动定律 (1)牛顿第一定律和惯性：一切物体总保持原来的静止状态或匀速直线运动状态的性质叫作惯 性。质量是物体惯性大小的唯一量度，与物体的受力情
4、况及运动状态无关。 (2)牛顿第二定律：F合ma Fx合max， Fy合may。 (3)牛顿第三定律：作用力和反作用力总是等大反向，同生同灭，同直线，作用在不同物体上。 注意：作用力和反作用力与一对平衡力的比较。 6动力学的四个二级结论 (1)沿如图所示光滑斜面下滑的物体： (2)如图所示，一起做加速运动的物体，若力是作用于 m1上的，则 m1和 m2的相互作用力为 FN m2F m1m2，与有无摩擦无关，在平面、斜面、竖直方向上都一样。 (3)下面几种物理模型，在临界情况下，agtan (如图所示)。 (4)下列各模型中，速度最大时合力为零，速度为零时，加速度最大。 三、曲线运动 1小船过河
5、问题 (1)当船速大于水速时 船头的方向垂直于水流的方向，则小船过河所用时间最短，t d v船。 合速度垂直于河岸时，航程 s 最短，sd。 (2)当船速小于水速时 - 3 - 船头的方向垂直于水流的方向时，所用时间最短，t d v船。 合速度不可能垂直于河岸，最短航程 sd v水 v船(如图所示)。 2绳(杆)端速度分解(如图所示)：沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 3.平抛运动的规律 (1)位移关系 水平位移 xv0t 竖直位移 y1 2gt 2 合位移的大小 s x2y2，合位移的方向 tan y x。如图所示。 (2)速度关系 水平速度 vxv0，竖直速度 vygt，合速度的大小
6、v v2xv2y， 合速度的方向 tan vy vx。 (3)重要推论 速度偏角与位移偏角的关系为 tan 2tan 。 - 4 - 末速度反向延长线交于水平位移的中点(好像从中点射出)。 4匀速圆周运动的规律 (1)v、T、f 及半径的关系：T1 f， 2 T 2f，v2 T r2frr。 (2)向心加速度大小：av 2 r 2r42f2r4 2 T2 r。 (3)向心力大小：Fmamv 2 r m2rm4 2 T2 r4m2f2r。 5两种典型转动装置 (1)同轴转动：角速度相等。 (2)皮带(或齿轮)相连：线速度大小相等。 6竖直轨道圆周运动的两种模型 (1)“绳”模型：最高点临界条件
7、v临 gR。 (2)“杆”模型：最高点临界条件 vmin0。 7万有引力及天体匀速圆周运动 (1)重力和万有引力的关系 在赤道上，有 GMm R2 mgmR2mR4 2 T2 。 在两极时，有 GMm R2 mg。 不考虑自转的重力加速度： 某星球表面处(即距球心 R)gGM R2 ； 距离该星球表面 h 处(即距球心 Rh 处)gGM r2 GM （Rh）2。 (2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系 卫星运行关系式：GMm r2 mv 2 r m2rm4 2 T2 rmamg。 结论 由 GMm r2 mv 2 r ，得v GM r m2r，得 GM r3 m4 2 T2 r，得T
8、42r3 GM 轨道越高 环绕越慢 卫星由近地点到远地点，万有引力做负功。 8估算中心天体质量和密度的两条思路 (1)利用天体表面的重力加速度和天体半径估算 由 GMm R2 mg 得 MgR 2 G ，再由 M V，V 4 3R 3得 3g 4GR。 (2)已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由 GMm r2 m4 2 T2 r 得 M4 2r3 GT2 ，再结合 M V， V4 3R 3得 3r 3 GT2R3 天体表面3 GT2。 9第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度 v1 gR GM R 7.9 km/s 是人造卫星沿地面切线的最小发射速度，也是 卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速
9、度。 (2)地表附近的人造卫星：rR6.4106 m，若 v运v1，则最短运行周期 T2 R g84.7 分钟。 (3)地球同步卫星 - 5 - T24 小时，h5.6R，v3.1 km/s。 (4)重要变换式：GMgR2(R 为地球半径)，GM星g星R2星(R星为星球半径)。 10卫星变轨 (1)当卫星的速度突然增大时，GMm r2 mv 2 r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运 动，当卫星进入新的轨道稳定运行时其运行速度比原轨道时增大。 (3)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 (4)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨
10、道的速度。 (5)同一轨道对接，应先减速到低轨再加速回高轨，实现与目标航天器对接。 11双星模型 (1)“向心力等大反向”两颗行星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供， 故 F1F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。 (2)“周期、角速度相同”两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。 (3)“半径反比”圆心在两颗行星的连线上，且 r1r2L(如图所示)，两颗行星做匀速圆 周运动的半径与行星的质量成反比。 (4)关系式：Gm1m2 L2 m12r1m22(Lr1)。 临考必练 1如图所示，教室内的讲台放在水平地面上，讲台上放置一个整理箱。某同学在卫生清扫时，
11、 站在讲台上用斜向左上方的力拉整理箱，三者均保持静止。讲台和同学的质量均为 m，整理箱 的质量为 0.2m，重力加速度为 g。下列说法正确的是( ) A该同学对讲台的压力大小为 mg B讲台对地面的压力大小为 2.2mg C整理箱受到的摩擦力的方向水平向左 D地面对讲台的摩擦力的方向水平向左 解析：同学在卫生清扫时，站在讲台上用斜向左上方的力拉整理箱，整理箱对人的拉力斜向 右下方，所以该同学对讲台的压力大小大于 mg，故 A 错误；以人、整理箱和讲台整体为对象， 受到地面的支持力和重力，二力平衡，讲台对地面的压力大小为三者总重力，FNmgmg 0.2mg2.2mg，地面对讲台没有摩擦力，故 B
12、 正确，D 错误；同学在卫生清扫时，站在讲台 上用斜向左上方的力拉整理箱，整理箱受到的摩擦力的方向水平向右，故 C 错误。 答案：B 2一辆汽车在平直公路上做刹车实验，t0 时刻起运动过程的位移与速度的关系为 x10 0.1v2(各物理量均采用国际单位)。下列分析正确的是( ) A上述过程的加速度大小为 0.2 m/s2 B刹车过程持续的时间为 2 s Ct0 时刻的速度为 5 m/s - 6 - D刹车过程的位移为 5 m 解析： 根据速度位移公式有xv 2v2 0 2a v 2 0 2a v 2 2a， 对应题中关系式中的系数可得 v20 2a 10 m， 1 2a0.1 m 1 s2，解
13、得加速度 a5 m/s2，t0 时刻的速度 v 010 m/s，故刹车持续时间 t 0v0 a 2 s，刹车过程中的位移 x0v 2 0 2a 10 m，B 正确。 答案：B 3从地面上以初速度 v0竖直上抛一个小球，已知小球在运动过程中所受空气阻力与速度大小 成正比，则小球从抛出到落回地面的过程中，以下其速度与时间关系的图像正确的是( ) 解析：物体上升过程中 mgkvma上，则随速度的减小，加速度减小；物体下降过程中 mg kvma下，则随速度的增加，加速度减小。因 v- t 图像的斜率等于加速度，可知图像 D 符合 题意。 答案：D 4.如图所示， 在物体做平抛运动的轨迹上取水平距离 s
14、 相等的三点 A、 B、 C， 量得 s0.2 m； 又量出它们之间的竖直方向的距离分别为 h10.1 m，h20.2 m，g 取 10 m/s2。利用这些数据， 可得( ) A物体从 A 到 B 的时间小于从 B 到 C 的时间 B若 tABtBCT，则 h2h1gT2 C物体抛出时的初速度为 1 m/s D物体经过 B 点时竖直分速度为 1 m/s 解析：做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，A 到 B 和 B 到 C 的水平距离相等， 则运动的时间相等，A 错误；在竖直方向上物体做自由落体运动且 tABtBCT，故根据自由 落体运动规律有 h2h1gT2，解得 T h2h1 g 0
15、.1 s，则物体抛出时的初速度 v0s T 2 - 7 - m/s，B 正确，C 错误；物体经过 B 点时其竖直分速度 vByh1h2 2T 1.5 m/s，D 错误。 答案：B 5如图所示，用一小车通过轻绳提升一货物，某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端 的绳与水平方向的夹角为，此时小车的速度为 v0，则此时货物的速度为( ) Av0 Bv0sin Cv0cos D v0 cos 解析：将车和货物的速度进行分解，如图所示，车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向 速度的合速度，根据平行四边形定则，有 v0cos v绳，而货物的速度等于沿绳子方向和垂直 于绳子方向速度的合速度，则有 v货co
16、s v绳。由于两段绳相互垂直，所以 。由以上两 式可得，货物的速度等于小车的速度，A 正确。 答案：A 6(2020 北京朝阳区 5 月模拟)中国探月工程三期主要实现采样返回任务，部分过程可简化如 下：探测器完成样本采集后从月球表面升空，沿椭圆轨道在远月点与绕月圆轨道飞行的“嫦 娥五号”完成对接。 已知地球表面的重力加速度 g 取 10 m/s2， 地球的第一宇宙速度为 7.9 km/s。 月球半径按地球半径的1 4算，月球质量按地球质量的 1 100算，下列说法正确的是( ) A探测器从月球表面发射时的速度至少为 7.9 km/s B对接前“嫦娥五号”飞行的加速度小于 1.6 m/s2 C若
17、对接后“嫦娥五号”在原来的圆轨道上运行，则其速度比对接前的大 D对接前探测器在椭圆轨道上运行的周期大于“嫦娥五号”的运行周期 解析：在地球表面，有 GMm1 R2 m1g，在月球表面，有 GM 月m2 R2月 m2g月，联立解得 g月1.6 m/s2， 对接前“嫦娥五号”在距离月球表面一定高度的圆轨道上飞行，由 G M月m （R月h）2ma，可知 其飞行的加速度 a 小于 1.6 m/s2，选项 B 正确；探测器从月球表面发射时的速度至少为月球的 第一宇宙速度，v月1 g月R月，地球的第一宇宙速度 v1 gR7.9 km/s，则 v月1v1，选项 A - 8 - 错误；由万有引力提供向心力有
18、GM 月m r2 mv 2 r ，可得“嫦娥五号”的线速度 v GM月 r ，若对 接后“嫦娥五号”在原来的圆轨道上运行，则其速度与对接前相等，选项 C 错误；对接前探 测器在椭圆轨道上运行，其轨道半长轴小于“嫦娥五号”圆轨道的轨道半径，根据开普勒第 三定律r 3 嫦 T2嫦 r3探 T2探可知，对接前探测器在椭圆轨道上运行的周期小于“嫦娥五号”的运行周期， 选项 D 错误。 答案：B 7.如图所示，一长 l0.45 m 的轻绳一端固定在 O 点，另一端连接一质量 m0.10 kg 的小球， 悬点 O 距离水平地面的高度 H0.90 m。开始时小球处于 A 点，此时轻绳拉直处于水平方向 上，让
19、小球从静止释放，当小球运动到 B 点时，轻绳碰到悬点 O 正下方一个固定的钉子 P 时 立刻断裂。不计轻绳断裂的能量损失，重力加速度 g 取 10 m/s2。 (1)轻绳断裂后小球从 B 点抛出并落在水平地面的 C 点，求 C 点与 B 点之间的水平距离； (2)已知OP 0.30 m，轻绳碰到钉子 P 时绳中拉力达到所能承受的最大拉力而断裂，求轻绳能 承受的最大拉力。 解析：(1)设小球运动到 B 点时的速度大小为 vB，由机械能守恒定律得 mgl1 2mv 2 B 解得小球运动到 B 点时的速度大小 vB 2gl3.0 m/s 小球从 B 点做平抛运动，由运动学规律得 xvBt yHl1 2gt 2 解得 C 点与 B 点之间的水平距离 xvB 2（Hl） g 0.90 m。 (2)若轻绳碰到钉子时，轻绳拉力恰好达到最大值 Fm，由牛顿第二定律得 Fmmgmv 2 B r rlOP 由以上各式解得 Fm7 N。 答案：(1)0.90 m (2)7 N
