1、湖北世纪华章文化传播有限公司湖北世纪华章文化传播有限公司 第二轮第二轮 中考题型专题复习中考题型专题复习 专题复习专题复习(七七) 函数与几何综合探究题函数与几何综合探究题 数数 学学 如图如图，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，二次函数二次函数 yax2bx2 的的 图象与图象与 x 轴交于轴交于 A(3，0)，B(1，0)两点两点，与与 y 轴交于点轴交于点 C (1)求这个二次函数的解析式；求这个二次函数的解析式； 【思路点拨】【思路点拨】 因为抛物线因为抛物线 yax2bx2 的解析式中只有两个未的解析式中只有两个未 知数知数，故只需将抛物线上两个点的坐标代入故只需将抛物线上两个点
2、的坐标代入，利用待定系数法即可求利用待定系数法即可求 得抛物线的解析式得抛物线的解析式 【自主解答】【自主解答】解：解：抛物线抛物线 yax2bx2 过点过点 A(3，0)，B(1，0)， 9a 3b20， ab20， 解得解得 a 2 3， ， b4 3. 二次函数的解析式二次函数的解析式为为 y2 3x 2 4 3x 2. 1确定二次函数的解析式一般用待定系数法确定二次函数的解析式一般用待定系数法，由于二次函数解析由于二次函数解析 式有三个待定系数式有三个待定系数 a，b，c(a，h，k 或或 a，x1，x2)，因而确定二次函数因而确定二次函数 的解析式需要已知三个独立的条件：的解析式需要
3、已知三个独立的条件： (1)已知抛物线上任意三个点的坐标时已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式选用一般式，即即 yax2 bxc(a0)； (2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时， 选用顶点式选用顶点式， 即即 y a(xh)2k(a0)； (3)已知抛物线与已知抛物线与 x 轴的两个轴的两个交点坐标交点坐标(或横坐标或横坐标 x1，x2)时时，选用交选用交 点式点式，即即 ya(xx1)(xx2)(a0) 2用待定系数法求二次函数解析式的步骤：用待定系数法求二次函数解析式的步骤： (1)设二次函数的解析式；设二次函数的解析式； (2)根据已知
4、条件根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；得到关于待定系数的方程组； (3)解方程组解方程组，求出待定系数的值求出待定系数的值，从而写出函数的解析式从而写出函数的解析式 (2)点点 P 是直线是直线 AC 上方的抛物线上一动点上方的抛物线上一动点， 过点过点 P 作作 PMx 轴于轴于 点点 M，交交 AC 于点于点 Q.设点设点 M 的坐标为的坐标为(m，0) 用含用含 m 的代数式表示出的代数式表示出 PQ 的长的长，并计算当并计算当 m 为何值时为何值时，PQ 有最大值？有最大值？ 【思路点拨】思路点拨】 根据点根据点 P 在抛物线上在抛物线上，点点 Q 在在 AC 上上，且且 PMx
5、 轴轴， 得到点得到点 P， Q， M 的横坐标相同的横坐标相同， 从而用含从而用含 m的代数式表示出点的代数式表示出点 P， Q 的纵坐标的纵坐标，由由 PQyPyQ表示出表示出 PQ 的长度的长度，结合结合 m的取值范围的取值范围， 求出求出 PQ 的最大值的最大值 【自主解答】【自主解答】 解：由题知解：由题知，C(0，2)，A(3，0)， 设直线设直线 AC 的解析式为的解析式为 ykxt，则则 3kt0， t2， 解得解得 k 2 3， ， t2. 直线直线 AC 的解析式为的解析式为 y2 3x 2. M(m，0)，3m0， P(m，2 3m 2 4 3m 2)，Q(m， 2 3m
6、 2) PQ(2 3m 2 4 3m 2)(2 3m 2) 2 3m 2 2m 2 3(m 3 2) 2 3 2. 当当 m3 2时 时，PQ 取得最大值取得最大值，最大值为最大值为3 2. 当当 PQ 取得最大值时取得最大值时，在抛物线的在抛物线的对称轴上取一点对称轴上取一点 N，使得使得 PN MN 的值最小的值最小，求出此时点求出此时点 N 的坐标及这个最小值的坐标及这个最小值 【思路点拨】【思路点拨】 要求要求 PNMN 的最小值的最小值，先由先由 PQ 取得最大值得取得最大值得 到点到点 P，M 的坐标的坐标，再由点再由点 N 在抛物线的对称轴上在抛物线的对称轴上，作点作点 M 关于
7、抛物关于抛物 线对称轴的对称点线对称轴的对称点 M， 连接连接 PM交对称轴于点交对称轴于点 N， 此时点此时点 N 即为所求即为所求 【自主解答】【自主解答】 解：当解：当 PQ 取得最大值时取得最大值时，m3 2， ， 此时此时，M(3 2， ，0)，P(3 2， ，5 2) y2 3x 2 4 3x 2， 抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线 x1. 作点作点 M(3 2， ，0)关于对称轴关于对称轴 x1 的对称点的对称点 M(1 2， ，0)，连接连接 PM交对称轴于点交对称轴于点 N，连接连接 MN，此时点此时点 N 即为所求即为所求 PM PM2MM2（5 2） ）212 2
8、9 2 . 设直线设直线 PM的解析式为的解析式为 ykxb，将将 P(3 2， ，5 2)， ， M(1 2， ，0)代入代入 ykxb中中，得得 3 2k b5 2， ， 1 2k b0， 解得解得 k 5 2， ， b5 4. 直线直线 PM的解析式为的解析式为 y5 2x 5 4. 当当 x1 时时，y5 4， ，则点则点 N 的坐标为的坐标为(1，5 4) 当当点点 N 的坐标为的坐标为(1，5 4)时 时，PNMN 的值最小的值最小，最小值为最小值为 29 2 . 抛物线中的线段最值问题有两种形式：抛物线中的线段最值问题有两种形式： 1平平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端
9、点的坐标差表行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表 示线段长的函数关系式示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解运用二次函数性质求解求最值时应注意：求最值时应注意：当当 线段平行于线段平行于 y 轴时轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平当线段平 行于行于 x 轴时轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标在确定最值时用右端点的横坐标减去左端点的横坐标在确定最值时，函函 数自变量的取值范围应确定正确数自变量的取值范围应确定正确(如例如例(2) 2两条线段和的最小值两条线段和的最小值如分类训练如分类训练 P133T2(2)或两条线段
10、差的最或两条线段差的最 大值问题：解决这类问题最基本的定理就是大值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短两点之间线段最短”，常常 见的模型如下：见的模型如下： 模型模型 1：定点：定点 A，B 在动点在动点 P 所在直线的同侧所在直线的同侧 问题问题 作法作法 图形图形 在直线在直线 l 上求一点上求一点 P，使使 PA PB 的值最小的值最小 作点作点 B 关于直线关于直线 l 的对称点的对称点 B，连接连接 AB，与直线与直线 l 的交的交 点即为点点即为点 P. 两线段之和最小值两线段之和最小值的模型的模型 模型模型 2：定点：定点 A，B 在动点在动点 P 所在直线的异所
11、在直线的异侧侧 问题问题 作法作法 图形图形 在直线在直线 l 上求一点上求一点 P，使使 PA PB 的值最小的值最小 连接连接 AB，与直线与直线 l 的交点即的交点即 为点为点 P. 两线段之差最大值的模型两线段之差最大值的模型 模型模型 1：定点：定点 A，B 在动点在动点 P 所在直线的同侧所在直线的同侧 问题问题 作法作法 图形图形 在直线在直线 l 上求一点上求一点 P， 使使|AP BP|的值最大的值最大 连接连接 BA 并延长并延长，与直线与直线 l 的交点即为点的交点即为点 P. 模型模型 2：定点：定点 A，B 在动点在动点 P 所在直线的异侧所在直线的异侧 问题问题 作
12、法作法 图形图形 在直线在直线 l 上求一点上求一点 P，使使|AP BP|的值最大的值最大 作点作点 A关于直线关于直线 l的对称的对称 点点 A，连接连接 BA并延长并延长， 与直线与直线 l 的交点即为点的交点即为点 P. (3)在在(2)的条件下的条件下，完成下列问题：完成下列问题： 是否存在点是否存在点 P，使使ACP 的面积最大？若存在的面积最大？若存在，求出点求出点 P 的坐的坐 标；若不存在标；若不存在，请说明理由；请说明理由； 【思路点拨】【思路点拨】 要使要使ACP 的面积最大的面积最大，可先把可先把ACP 的面积的面积用用 含含 m 的式子表示出来的式子表示出来，再利用二
13、次函数的性质讨论其最值再利用二次函数的性质讨论其最值，进而求得进而求得 P 点坐标点坐标 【自主解答】【自主解答】 解：存在由解：存在由(2)知知，点点 P 的坐标为的坐标为(m，2 3m 2 4 3m 2)， 方法一：方法一：PQ(2 3m 2 4 3m 2)(2 3m 2)2 3m 2 2m， S ACP1 2PQ (xC xA)(m3 2) 2 9 4. 当当 m3 2时 时，S ACP有最大值有最大值 此时点此时点 P 的坐标为的坐标为(3 2， ，5 2) 存在点存在点 P(3 2， ，5 2)， ，使使ACP 的面积最大的面积最大 方法二：连接方法二：连接 PO，作作 PNy 轴于
14、点轴于点 N. 则则 PM2 3m 2 4 3m 2，PNm，AO3，OC2. S ACPSPAOSPCOSACO 1 2AO PM 1 2CO PN 1 2AO CO m 2 3m. 10，当当 m 3 2（1） 3 2时 时，S ACP有最大值有最大值 此时此时2 3m 2 4 3m 22 3 (3 2) 2 4 3 (3 2) 25 2. 存在点存在点 P(3 2， ，5 2)， ，使使ACP 的面积最大的面积最大 面积最值面积最值如分类训练如分类训练 P135T4(3)： 所求图形的面积没有办法直接求出时所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取分割或补全图形我们采取分割或补全图形 的
15、方法表示所求图形的面积的方法表示所求图形的面积，如下：如下： 描述描述 (1)如图如图 1， 三角形有三角形有 一条边在坐标轴一条边在坐标轴 上上，以在坐标轴上以在坐标轴上 的边为底边的边为底边，过顶过顶 点作垂线点作垂线 (2)如图如图 2，三角形三角形 的边都不在坐标的边都不在坐标 轴上轴上，过某点作平过某点作平 行于坐标轴的直行于坐标轴的直 线线(应用最多应用最多) (3)如图如图 3，四边四边 形有两边在坐标形有两边在坐标 轴上轴上，过某点作过某点作 坐标轴的垂线坐标轴的垂线 图形图形 面积面积 表示表示 图图 1 S ABC1 2AB |yC| 图图 2 S PAC1 2PP|xC
16、xA| 图图 3 S四边形 四边形COBPS四边形四边形EOBP S CEP 一般步骤为：一般步骤为： (1)设出要求的点的坐标；设出要求的点的坐标； (2)通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和 或差；或差； (3)列列出关系式求解；出关系式求解； (4)检验是否每个坐标都符合题意检验是否每个坐标都符合题意 在在的条件的条件下下，已知已知 R 是抛物线上一动点是抛物线上一动点，是否存在点是否存在点 R，使使 得得 S ACPSACR？若存在？若存在，求出点求出点 R 的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由
17、； 【自主解答】【自主解答】 解：由解：由知知，P(3 2， ，5 2) ()当当 R 在在 AC 上方时上方时， 过点过点 P 作直线作直线 AC 的平行线交抛物线于点的平行线交抛物线于点 R1， 直线直线 AC 的解析的解析式为式为 y2 3x 2， 设直线设直线 PR1的解析式为的解析式为 y2 3x n. 直线直线 PR1经过点经过点 P(3 2， ，5 2)， ， 5 2 2 3 (3 2) n，解得解得 n7 2. 直线直线 PR1的解析式为的解析式为 y2 3x 7 2. 联立联立 y 2 3x 7 2， ， y2 3x 2 4 3x 2， 解得解得 x 3 2， ， y5 2.
18、 此时此时 P 与与 R 重合重合 ()当当 R 在在 AC 下方时下方时， 设设 PR1与与 y 轴交于点轴交于点 E，则则 E(0，7 2) C(0，2)，CE3 2. 将将 AC 向下平移向下平移3 2个单位长度得到直线 个单位长度得到直线 y2 3x 1 2， ，交抛物线于交抛物线于点点 R2，R3， 联立联立 y 2 3x 1 2， ， y2 3x 2 4 3x 2， 解得解得 x1 33 2 2 ， y11 2 2， x2 33 2 2 ， y21 2 2. 点点 R 的坐标为的坐标为( 33 2 2 ，1 2 2)或或( 33 2 2 ，1 2 2) 面积相等或倍数问题面积相等或
19、倍数问题如分类训练如分类训练 P135T4(2)： 利用平行线间的距离处处相等利用平行线间的距离处处相等， 根据同底等高根据同底等高， 将所求图形的面积将所求图形的面积 转移到另一个图形中转移到另一个图形中，如图所如图所示：示： 例如：如图例如：如图 2，在平面直角坐标系中经常作已知三角形一边的平行在平面直角坐标系中经常作已知三角形一边的平行 线去进行等积变换线去进行等积变换 一般步骤为：一般步骤为： (1)设出直线解析式设出直线解析式，两条平行直线两条平行直线 k值相等；值相等； (2)通过已知点通过已知点的坐标的坐标，求出直线解析式求出直线解析式； (3)求出题意中要求点的坐标；求出题意中
20、要求点的坐标； (4)检验是否每个坐标都符合题意检验是否每个坐标都符合题意 (4)在抛物线的对称轴上是否存在一点在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得使得ACG 是等腰三角是等腰三角 形？若存在形？若存在，求出点求出点 G 的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由； 【思路点拨】【思路点拨】 动点动点 G 在抛物线的对称轴上在抛物线的对称轴上，可以先设出其坐标可以先设出其坐标， 再把再把ACG 的三边长用代数式表示出来的三边长用代数式表示出来， ACG 为等腰三角形为等腰三角形， 腰和腰和 底边未确定底边未确定，所以需分所以需分 AGAC，ACGC，AGCG 三种情况求解三种
21、情况求解 【自主解答】【自主解答】 解：解：点点 G 在抛物线的对称轴上在抛物线的对称轴上， 设点设点 G 的坐标为的坐标为(1，s) A(3，0)，C(0，2)， AC2223213， AG2s222s24， CG212(2s)2s24s5. 当当 ACAG 时时，s2413，s 3. 此时点此时点 G 的坐标为的坐标为(1，3)或或(1，3) 当当 ACCG 时时，s24s513，解得解得 s122 3，s222 3. 此时点此时点 G 的坐标为的坐标为(1，22 3)或或(1，22 3) 当当 AGCG 时时，s24s24s5，解得解得 s1 4. 此时点此时点 G 的坐标为的坐标为(1
22、，1 4) 综上综上，当点当点 G 的坐标为的坐标为(1， 1 4)， ，(1，22 3)，(1，22 3)， (1，3)或或(1，3)时时，ACG 为等腰三角形为等腰三角形 问题问题 分情况分情况 找点找点 画图画图 解法解法 等腰等腰 三角三角 形形 已知点已知点 A，B 和直线和直线 l，在在 l 上求点上求点 P，使使 PAB为等腰为等腰 三角形三角形 以以 AB 为腰为腰 分别以点分别以点 A，B 为圆心为圆心，以以 AB 长为半径画圆长为半径画圆， 与已知直线的与已知直线的 交点交点 P1， P2， P4， P5即为所求即为所求 分别表示出点分别表示出点 A， B，P 的坐标的坐标
23、，再表再表 示出线段示出线段 AB， BP， AP 的 长 度的 长 度 ， 由由 ABAP；AB BP；BPAP 列方程解出坐标列方程解出坐标 问题问题 分情况分情况 找点找点 画图画图 解法解法 等腰等腰 三角三角 形形 已知点已知点 A，B 和直线和直线 l，在在 l 上求点上求点 P， 使使PAB 为为 等腰三角形等腰三角形 以以 AB 为底为底 作线段作线段 AB 的垂直平分的垂直平分 线线，与已知与已知 直线的交点直线的交点 P3即为所求即为所求 分别表示出点分别表示出点 A， B，P 的坐标的坐标，再表再表 示出线段示出线段 AB， BP， AP 的 长 度的 长 度 ， 由由
24、ABAP；AB BP；BPAP 列方程解出坐标列方程解出坐标 (5)在抛物线上是否存在一点在抛物线上是否存在一点 M， 使得使得BCM 是以是以 BC 为直角边的为直角边的 直角三角形？若存在直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不的坐标；若不存在存在， 请说明理由；请说明理由； 【思路【思路点拨】点拨】 BCM 是以是以 BC 为直角边的直角三角形为直角边的直角三角形，直角顶直角顶 点不确定点不确定，所以需分所以需分MBC90或或BCM90两种情况进行分类两种情况进行分类 讨论讨论 【自主解答】【自主解答】 解：解：当当M1BC90时时，过点过点 B 作
25、作 x 轴的垂线轴的垂线 HG，过点过点 M1作作 M1GHG，过点过点 C 作作 CHHG，则则M1GHBHC 90. M1BC90，CBHM1BG90. 又又BM1GM1BG90，BM1GCBH. M1BGBCH.M1G BH BG CH. 设设 M1(m，2 3m 2 4 3m 2) 又又B(1，0)，C(0，2)， CH1，BH2，BG2 3m 2 4 3m 2，M1G1m. 1 m 2 2 3m 2 4 3m 2 1 .整理整理，得得 4m 2 11m150. 解得解得 m115 4 ，m21(与点与点 B 重合重合，舍去舍去)M1(15 4 ，19 8 ) 当当M2CB90时时，由
26、由可得直线可得直线 BM1的解析式为的解析式为 y1 2x 1 2. M2CBM1BC180， ， M2CM1B 可设直线可设直线 M2C 的解析的解析 式为式为 y1 2x c. 又又点点 C(0，2)在直线在直线 M2C 上上，c2.直线直线 M2C 的解析式为的解析式为 y1 2x 2. 联立联立 y 1 2x 2， y2 3x 2 4 3x 2， 解得解得 x1 0， y12，(与点 与点 C 重合重合，舍去舍去) x 2 11 4 ， y25 8. M2(11 4 ，5 8) 综上综上，当点当点 M 的坐标为的坐标为(15 4 ，19 8 )或或(11 4 ， 5 8)时 时，BMC
27、 是以是以 BC 为直角边的直角三角形为直角边的直角三角形 问题问题 分情况分情况 找点找点 画图画图 解法解法 直角直角 三角三角 形形 已知点已知点 A， B 和和 直线直线 l，在在 l 上上 求 点求 点P ， 使使 PAB 为直角为直角 三角形三角形 以以AB 为 直 角为 直 角 边边 分别过点分别过点 A， B 作作 AB的垂的垂 线线， 与已知直与已知直 线的交点线的交点 P1， P4即为所求即为所求 分别表示出点分别表示出点 A，B，P 的坐标的坐标，再表示出线段再表示出线段 AB，BP，AP 的长度的长度， 由由AB2BP2AP2； BP2 AB2 AP2； AP2AB2B
28、P2列方列方 程解出坐标程解出坐标 问题问题 分情况分情况 找点找点 画图画图 解法解法 直角直角 三角三角 形形 已知点已知点 A， B 和和 直线直线 l，在在 l 上上 求 点求 点P ， 使使 PAB 为直角为直角 三角形三角形 以以AB 为斜边为斜边 以以 AB 的中的中 点点 Q 为圆为圆 心心，QA 为为 半径作圆半径作圆， 与已知直线与已知直线 的交点的交点 P2， P3即为所求即为所求 分别表示出点分别表示出点 A，B， P 的坐标的坐标， 再表示出线再表示出线 段段 AB，BP，AP 的长的长 度度，由由AB2BP2 AP2；BP2AB2 AP2；AP2AB2 BP2列方程
29、解出坐标列方程解出坐标 注：其他常见解题思路有：注：其他常见解题思路有： 作垂直作垂直，构造构造“三垂直三垂直”模型模型，利用相似列比例关系得方程求解；利用相似列比例关系得方程求解； 平移垂线法：若以平移垂线法：若以 AB 为直角边为直角边，且且 AB 的一条垂线的解析式易求的一条垂线的解析式易求 (通常为过原点通常为过原点 O 与与 AB 垂直的直线垂直的直线)， 可将这条直线分别平移至过点可将这条直线分别平移至过点 A 或或 点点 B 得到相应解析式得到相应解析式，再联立方程求解再联立方程求解 (6)点点 R 是直线是直线 AC 上方的抛物线上一动点上方的抛物线上一动点，过点过点 R 作作
30、 RE 垂直于垂直于 x轴轴， 垂足为垂足为 E.是否存在点是否存在点 R， 使以点使以点 B， R， E 为顶点的三角形与为顶点的三角形与AOC 相似？若存在相似？若存在，直接写出点直接写出点 R 的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由； 【思路点拨】【思路点拨】 因为因为REBAOC90，使以点使以点 B，R，E 为为 顶 点 的 三 角 形 与顶 点 的 三 角 形 与 AOC相 似相 似 ， 则 需 分则 需 分 BERAOC或或 REBAOC 两种情况求解两种情况求解 【自主解答】自主解答】 解：存在设解：存在设 E(n，0)， 则则 BE1n， RE2 3n 2
31、4 3n 2. 假设以点假设以点 B，R，E 为顶点的三角形与为顶点的三角形与AOC 相似相似，则有两种情况：则有两种情况： 若若BERAOC，则则 RE CO BE AO， ， 即即 2 3n 2 4 3n 2 2 1 n 3 ，化简化简，得得 n2n20， 解得解得 n12，n21(与点与点 B 重合重合，舍去舍去) n2，RE2 3n 2 4 3n 22.R(2，2) 若若REBAOC，则则 RE AO BE CO， ， 即即 2 3n 2 4 3n 2 3 1 n 2 ，化化简简，得得 4n2n30， 解得解得 n13 4， ，n21(与点与点 B 重合重合，舍去舍去) n3 4， ，
32、RE2 3n 2 4 3n 221 8 . R(3 4， ，21 8 ) 综上所述综上所述，存在点存在点 R(2，2)或或(3 4， ，21 8 )，使以点使以点 B，R，E 为顶点的为顶点的 三角形与三角形与AOC 相似相似 1探究三角形相似的存在性问题探究三角形相似的存在性问题如分类训练如分类训练 P139T11(3)的一般的一般 思路：思路： 解答三角形相似的存在性问题时解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结要具备分类讨论思想及数形结 合思想合思想，要先找出三角形相似的分类标准要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静一般涉及动态问题要以静 制动制动，动中求静
33、动中求静，具体如下：具体如下： (1)假设结论成立假设结论成立，分情况讨论探究三角形相似时分情况讨论探究三角形相似时，往往没有明往往没有明 确指出两个三角形的对应点确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相尤其是以文字形式出现求证两个三角形相 似的题目似的题目)，或者涉及动点问题或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定因动点问题中点的位置的不确定，此此 时应考虑不同的对应关系时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；分情况讨论； (2)确定分类标准在分类时确定分类标准在分类时，先要找出分类的标准先要找出分类的标准，看两个相似看两个相似 三角形是否有三角形是否有对应相等的角对
34、应相等的角，若有若有，找出对应相等的角后找出对应相等的角后，再根据其再根据其 他角进行他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按则分别按 三种角对应来分类讨论；三种角对应来分类讨论； (3)建立关系式建立关系式，并计算由相似三角形列出相应的比例式并计算由相似三角形列出相应的比例式，将比将比 例式中的线段用所设点的坐标表示出来例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算其长度多借助勾股定理运算)， 整理可得一元一次方程或者一元二次方程整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值解方程可得字母的值，再再 通过计
35、算得出相应的点的坐标通过计算得出相应的点的坐标 2探究全等三角形的存在性问题的思探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在路与探究相似三角形的存在 性问题类似性问题类似，不同的是除了找角相等外不同的是除了找角相等外，还至少要找一组对应边相等还至少要找一组对应边相等 (7)点点 M 为抛物线上一动点为抛物线上一动点，在在 x 轴上是轴上是否存在点否存在点 R，使以使以 A，C， M，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点直接写出点 R 的坐标；的坐标； 若不存在若不存在，请说明理由请说明理由 【思路点拨】【思路点拨】 因为题干中没有指明是
36、以哪一条线段为边因为题干中没有指明是以哪一条线段为边，哪一哪一 条为对角线条为对角线，所以需要分情况讨论所以需要分情况讨论 【自主解答】自主解答】 解：假设存在点解：假设存在点 R，使以使以 A，C，M，R 为顶点的为顶点的 四边形是平行四边形四边形是平行四边形 AC 为对角线：此时为对角线：此时 CM 平行于平行于 x 轴轴，符合要求的点为点符合要求的点为点 R1， R1ACM. CMx 轴轴， 点点 M，C(0，2)关于对称轴关于对称轴 x1 对称对称 M(2，2) CM2. 由由 R1ACM2，得得 R1(1，0)； AC 为边：为边： 当当 CMx 轴时轴时，符合要求的点为点符合要求的
37、点为点 R2， 由由 R2ACM2，得得 R2(5，0) 当当 CM 与与 x 轴不平轴不平行时行时，如图所示如图所示，过点过点 M 作作 MGx 轴于点轴于点 G， 易证易证MGRCOA，得得 RGOA3，MGOC2，即即 yM2. 设设 M(x，2)，则有则有 2 3x 2 4 3x 22， 解得解得 x1 7. 又又RG3， xRxG32 7.R3(2 7，0)，R4(2 7，0) 综上所述综上所述，存在存在点点 R(1，0)，(5，0)，(2 7，0)或或(2 7，0)，使使 以以 A，C，M，R 为顶点的四边形是平行四边形为顶点的四边形是平行四边形 特殊四边形的探究问题解题步骤如下：
38、特殊四边形的探究问题解题步骤如下： (1)先假设结论成立；先假设结论成立； (2)设出点坐标设出点坐标，求边长；求边长； (3)建立关系式建立关系式，并计算若四边形的四个顶点位置已确定并计算若四边形的四个顶点位置已确定，则直则直 接利用四边形边的性质进行计算；接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定若四边形的四个顶点位置不确定， 需分情况讨论：需分情况讨论： 探究平行四边形探究平行四边形如分类训练如分类训练 P138T8(3)：以已知边为平行四边以已知边为平行四边 形的某条边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边利用平行四边形的
39、对边 相等进行计算；相等进行计算；以已知边为平行四边形的对角线以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合画出所有的符合 条件的图形后条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算； 若平行四边形的各顶点位置不确定若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论需分情况讨论，常以已知的一边常以已知的一边 作为一边或对角线分情况讨论作为一边或对角线分情况讨论 探究菱形：探究菱形：已知三个定点去求未知点坐标；已知三个定点去求未知点坐标；已知已知两个定点去求未两个定点去求未 知点坐标知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关 系式系式 探究正方形：探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计 算算，一般是分别计算出两条对角线的长度一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等令其相等，得到方程再求解得到方程再求解 探究矩形探究矩形如分类训练如分类训练 P138T9(3)：利用矩形对边相等、对角线相等利用矩形对边相等、对角线相等 列等量关系式求解；或根据邻边垂直列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解利用勾股定理列关系式求解.
