1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 第第 1 节节 集合的概念集合的概念 本课是本节的第一课，也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主 要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手，体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言， 学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合 语言间的转换. 养成良好的数学习惯。 集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确、规范的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知 识，用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进
2、 行转换，初步运用集合的观点和思想来分析数学，解决简单的数学问题. 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A.通过实例了解集合的含义,体会元素与集 合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形 式描述具体的问题. B.了解集合元素的确定性、互异性、无序 性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用 其解决有关问题. C.会用集合语言表示有关数学对象：描述 法，列举法。 1.数学抽象：集合的含义； 2.逻辑推理：选择集合不同的语言形式描述具体的问 题； 3.数学运算：由集合与元素之间的关系求值； 4.直观想象： 在理解集合含义及特性过程中， 运用元素 分析法分析集合问题，提高学生分析问题和解决问题 的能力。
3、 1.教学重点：集合的含义与表示方法，元素与集合的关系； 2.教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、情景引入，温故知新 情景 1：集合论诞生于 19 世纪末，其创始人是康托尔（1829-1920， 德国数学家） 。 集合论被誉为 20 世纪最伟大的数学创造， 它的出现大 大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础， 它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学。 情景 2：高一开学第二天，学校通知：上午 8 点， 在学校体育馆举行军训动员大会. 问题：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？ 高一学生全体 初
4、中阶段，我们学习过哪些集合？ 代数方面： 自然数集合， 有理数集合， 实数集合， 方程解的集合， 不等式解的集合； 几何方面：点的集合等 在初中学习中，我们用集合描述过什么？ 圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 二、探索新知 探究一 集合的含义 1.考察下列问题： （1）120 以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形； （4）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点; （5）方程023 2 xx的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 思考: 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合 吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别
5、是什么？ 2、归纳新知 （1）集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素（element） ，把一些元素组 成的总体叫做集合(set)（简称集）. （2）集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母 A，B，C，表示集合，用小写拉丁字母 a，b，c，表示集合中的元素. 探究二 集合中元素的性质 1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 不能. 其中的元素不确定 集合中的元素是确定的 通过初中所学及实 例，让学生感知、了 解，进而概括出元素 与集合的含义.提高 学生用数学抽象的 思维方式思考并解 决问题的能力。 用数学语言表 示集合和元素。 通过具体的例 子推理出元素的性 质，教会学生解决
6、和 研究问题。 2. 由 1,3,0,5,-3 这些数组成的一个集合中有 5 个元素， 这种说法 正确吗？ 不正确.集合中只有 4 个不同元素 1，3，0，5 . 集合中的元素是互异的 3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没 有变化？ 集合没有变化 集合中的元素是没有顺序的 归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？ 确定性、互异性、无序性 4.两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等. 练习 1：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 大于 3 小于 11 的偶数; (2) 我国的小河流. 【解析】 （1）是由 4,6,8,10 四个元素组成的
7、集合. （2）由集合元素的确定性知其不能组成集合. 探究三： 元素和集合的关系 1.已知下面的两个实例： （1）用 A 表示高一(3)班全体学生组成的集合. （2）用 a 表示高一(3)班的一位同学，b 表示高一(4)班的一位同 学. 思考：那么 a，b 与集合 A 分别有什么关系? 【解析】a 是集合 A 中的元素,b 不是集合 A 中的元素. 2.元素与集合的“属于”关系 如果 a 是集合 A 中的元素，就说 a 属于集合 A，记作 aA；如 果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 aA. 常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集 N* 或 N、整数集 Z
8、、有理数集 Q、实数集 R. 练习 2. 用符号“”或“”填空. (1)2 N；(2)2_Q；(3)0 0； (4)b a,b,c. 【答案】(1) (2) （3） （4） 探究四 集合的表示方法 1.列举法 思考 1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？ 【提示】可以这样表示： 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋. 思考 2: 方程 （x+1)(x+2)=0 的所有根组成的集合， 又如何用列举法表 示呢？ 【提示】 -1,-2 设计意图：集合是一 个原始的、不定义的 概念，只是对集合进 行描述性说明.在开 始接触集合的时候， 主要通过实例，让学 生感知、了解，进而 概括出元素与集合 的含义.提高学
9、生用 数学抽象的思维方 式思考并解决问题 的能力。元素、集合 的字母表示，以及元 素与集合的“属于”或 “不属于”关系，建议 在运用中逐渐熟悉. 通过练习巩固元素 的性质，提高学生解 决问题的能力。 集合的两种主要表 示法，都通过学生对 实例或问题的思考， 去体验知识方法.不 仅要让学生明白用 列举法是集合最基 本、最原始的表示方 法，还要理解到集合 中元素的列举与元 素的顺序无关.通过 问题的思考，学生认 识到仅用列举法表 示集合是不够的，有 些集合是列举不完 或者列举不出来的， 问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？ 把集合的元素一一列举出来， 并用花括号“ ” 括起来表示
10、集合的 方法叫做列举法. 注意：大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开； 元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。 思考 3：a 与a有什么区别？ 【答案】a 是一个元素，a是集合。 例 1 用列举法表示下列集合： （1）小于 10 的所有自然数组成的集合. （2）方程 x2=x 的所有实数根组成的集合. 解： （1）设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A， 那么 A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. （2）设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为 B，那么 B=1,0. 注意：由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关， 因此集合可以有不同的列举方法.例如， 例 1（1）可以
11、表示为 A=9,8,7,6,5,4,3,2,1,0； 用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。 2. 描述法 思考： 能否用列举法表示不等式 x37 的解集？该集合中的元素有 什么性质？ 【解析】不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质： （1） 集合中的元素都小于 10.（2） 集合中的元素都是实数 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示， 写作: 10,.xxxR 思考：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？ 有理数集 怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？ , 12|ZkkxZx ，或 |21,xZ xkkZ ； ,2|ZkkxZx 0,|pZqp p q xR
12、xQ 问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？ 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变 化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同 特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法. 如： )(|xpAx 或 )(xpAx： 或 )(xpAx； 。 注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式, 只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可 以表 示为x|x 是直角三角形,也可以写成直角三角形. 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合. (1)方程 x2-2=0 的所有实数根组成的集合. (2)由大于 1
13、0 小于 20 的所有整数组成的集合. 解：(1)设方程 x2-2=0 的实数根为 x,并且满足条件 x2-2=0，因此， 用描述法表示为 A=xR|x2-2=0. 方程 x2-2=0 有两个实数根为22 ，因此，用列举法表示为 A=22 ，. 由此说明学习描述 法的必要性.学习描 述法时，先用自然语 言表示集合元素具 有的共同属性，再介 绍用描述法的具体 方法. 学生通过对实 例或问题的思考，去 体验知识方法。发现 并提出数学问题，应 用数学语言予以表 达。 (2)设大于 10 小于 20 的整数为 x，它满足条件 xZ,且 10 x20, 因此，用描述法表示为 B=xZ10 x20. 大于
14、 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用 列举法表示为 B=11,12,13,14,15,16,17,18,19. 思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对 象？ 自然语言描述集合简单易懂、 生活化； 列举法的特点每个元素一 一列举出来， 非常直观明显的表示元素， 当元素有限或者元素有规律 性的时候， 是常采用的方法； 描述法表示的集合中元素具有明显的共 同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法. 三、达标检测 1下列对象不能构成集合的是( ) 我国近代著名的数学家； 所有的欧盟成员国； 空气中密度大的
15、 气体 A B C D 【解析】 研究一组对象能否构成集合的问题， 首先要考查集合 中元素的确定性中的“著名”没有明确的界限；中的研究对象显 然符合确定性；中“密度大”没有明确的界限故选 D. 【答案】 D 2下列三个关系式： 5R；1 4Q；0Z.其中正确的个数是 ( ) A1 B2 C3 D0 【解析】 正确；因为1 4Q，错误；0Z，正确 【答案】 B 3.a，b，c，d 为集合 A 的四个元素，那么以 a，b，c，d 为边长构成 的四边形可能是( ) A矩形 B平行四边形 C菱形 D梯形 【解析】 由于集合中的元素具有“互异性”，故 a，b，c，d 四 个元素互不相同，即组成四边形的四
16、条边互不相等. 【答案】 D 4.设集合 Ax|x23xa0，若 4A，则集合 A 用列举法表示为 _. 【解析】 4A，1612a0，a4， Ax|x23x401,4 【答案】 1,4 5用适当的方法表示下列集合： (1)方程组 2x3y14 3x2y8 的解集； (2)所有的正方形； (3)抛物线 yx2上的所有点组成的集合 【解】 (1)解方程组 2x3y14 3x2y8， 得 x4 y2， 故解集为(4，2) (2)集合用描述法表示为x|x 是正方形，简写为正方形 (3)集合用描述法表示为(x，y)|yx2 通过练习巩固本节 所学知识，通过学生 解决问题的能力，感 悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应 用意识。 四、小结 1.集合的概念 2.集合元素的三个特征： 3.常见数集的专用符号 4.集合的表示方法 五、作业 习题 1.1 1,2 题 通过总结，让学生 进一步巩固集合与 元素的含义与性质， 集合的表示方法，提 高语言转换和抽象 概括能力,树立用集 合语言表示数学内 容的意识。
