1、2.2.2 2 基本不等式基本不等式 基本不等式在人教 A 版高中数学第一册第二章第 2 节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推 导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节 课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。 课程目标课程目标 1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。 3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程； 2.逻辑推理：基本不等式的证明； 3.数学运算：利用基本不等式求最值；
2、4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题； 5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。 重点：重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值； 难点：难点：基本不等式的推导以及证明过程 教学方法教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具教学工具：多媒体。 一、一、 情景导入：情景导入： 在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本 44-45 页，思考并完成以下问题
3、1. 重要不等式的内容是？ 2.基本不等式的内容及注意事项？ 3.常见的不等式推论？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知三、新知探究探究 1.重要不等式 2.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:_. (2)等号成立的条件:当且仅当_时取等号. 注意：一正二定三等. 3.几个重要的不等式 (1)a 2 +b 2 _(a,bR). (2) _(a,b 同号). (3) (a,bR). (4) (a,bR). 4. 设 a0,b0，则 a,b 的算术平均数为_,几何平均 数为_，基本不等式可叙述为：_. . 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三
4、 题型一题型一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例例 1 1 求下列各题的最值. （1）已知 x0,y0,xy=10,求 的最小值； （2）x0,求 的最小值； )0, 0( 2 ba ba ab b a a b 2 ) 2 ( ba ab 2 22 ) 2 ( 2 baba yx z 52 x x xf3 12 )( a0,b0 a=b 2ab 2 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 （3）x0,y0,xy=10. 当且仅当 2y=5x,即 x=2,y=5 时等号立. (2)x0, 等号成立的条件是 即 x=2, f(x)的最小值 12. (3)x3,x-30, 当且仅当
5、即 x=1 时，等号成立.故 f(x)的最大值为-1. 解题技巧：（利用基本不等式求最值） (1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值； (2)根据已知范围，确定两式的正负符号； (3)根据两式的符号求积或和的最值. 总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”. 跟踪训练一跟踪训练一 （1）已知 x0,y0，且 求 x+y 的最小值； （2） 已知 x 求函数 的最大值; （3） 若 x,y(0,+)且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值. 【答案】见解析 x x xf 3 4 )( . 2. 2 10 102 10 5252 min z xyxy yx 则 ,123
6、12 23 12 )(x x x x xf ,3 12 x x , x x 3 3 4 , 13)3( 3 4 2 3)3( 3 4 3)3( 3 4 3 4 )( x x x x x x x x xf , 1 91 yx 54 1 24 x xy, 4 5 题型二题型二 利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题 例例 2 2 （ ） 用篱笆围一个面积为 的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最 短？ 最短篱笆的长度是多少？ （ ） 用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最 大？ 最大面积是多少？ 【答案】见解析 【解析】设矩形
7、菜园的相邻两条边的长分别为 ，篱笆的长度为 ( )m. (1)由已知得 由 ，可得 所以 ( ) , 当且仅当 =10 时，上式等号成立. (2)由已知得 ( ) ，矩形菜园的面积为 由 = = 9,可得 81，当且仅当 =9 时，上式等号成立. 解题技巧：(利用基本不等式解决实际问题) 设出未知数 x,y,根据已知条件， 列出关系式， 然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。 （注 意运用基本不等式讲究“一正二定三等”） 跟踪训练二跟踪训练二 1. 如图所示， 将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN， 要求B点在AM上，D点在AN 上，且对角线MN过C点，已知3AB 米，
8、4AD米. （1）要使矩形AMPN的面积大于 50 平方米，则DN的长应在什么范围？ （2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值. 【答案】见解析 【解析】（1）设DN的长为0 x x 米，则4ANx米 DNDC ANAM 34x AM x 2 34 AMPN x SAN AM x 由矩形AMPN的面积大于50得： 2 34 50 x x 又0 x，得： 2 326480 xx ，解得： 8 0 3 x或6x 即DN长的取值范围为： 8 0,6, 3 （2）由（1）知：矩形花坛AMPN的面积为： 22 3(4)324484848 3242 32448 xxx yxx xxxx 当且仅当 48 3x x ，即4x时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48 故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、七、作业作业 课本课本 4848 页习题页习题 2.22.2 本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，先 通过几何证明基本不等式，在充分了解基本不等式的含义后，再进一步运用其求最值。切记：利用基本不 等式的条件是一正二定三等。 2.2 基本不等式 1.基本不等式 例 1 例 2
