1、本资料分享自千人 QQ 交流群 323031380 4.5.1 4.5.1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些 函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应 用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生 活中的简单问题。 课程目标课程目标 1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系. 2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数 数学学科素养数学学科素养 1.数学
2、抽象：函数零点的概念； 2.逻辑推理：借助图像判断零点个数； 3.数学运算：求函数零点或零点所在区间； 4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念. 重点：重点：零点的概念，及零点与方程根的联系； 难点：难点：零点的概念的形成 教学方法：教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：教学工具：多媒体。 一、一、 情景导入情景导入 方程 2 230 xx的解为 ， 函数 2 23yxx的图象与x轴有 个 交点，坐标为 . 方程 2 210 xx 的解为 ， 函数 2 21yxx的图象与x轴有 个 交点，坐标为 . 方程 2 230 xx的解为 ，函数
3、2 23yxx的图象与x轴有 个交点，坐标为 . 根据以上结论，可以得到： 一元二次方程 2 0 (0)axbxca的根就是相应二次函数 2 0 (0)yaxbxca的图象与 x轴交点的 . 你能将结论进一步推广到( )yf x吗？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本 142-143 页，思考并完成以下问题 1. 函数零点的定义是什么？ 2. 函数零点存在性定理要具备哪两个条件？ 3.方程的根、函数的图象与 x 轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么? 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选
4、出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1函数的零点 对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 点睛 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零 2方程、函数、图象之间的关系 方程 f(x)0 有实根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 3函数零点的存在性定理 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) f(b)0.那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根 点睛 定理要求具备两条：函
5、数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a) f(b)0. 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 求函数的零点求函数的零点 例例 1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出 (1) f (x)x3 x ；(2) f (x)x22x4； (3) f (x)2x3；(4) f (x)1log3x. 【答案】（1）-3（2）不存在（3）log23（4）3 【解析】 (1)令x3 x 0，解得 x3，所以函数 f(x)x3 x 的零点是3. (2)令 x22x40，由于 22414120， 所以方程 x22x40 无实数根，所以函数 f(x)x22x4 不存在零点 (
6、3)令 2x30，解得 xlog23.所以函数 f(x)2x3 的零点是 log23. (4)令 1log3x0，解得 x3，所以函数 f(x)1log3x 的零点是 3. 解题技巧：（函数零点的求法） 求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令 f(x)=0,通过求方程 f(x)=0 的根求得函数的零点; 二是几何法,画出函数 y=f(x)的图象,图象与 x 轴交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪训练一跟踪训练一 1已知函数 f(x) 2x1，x1， 1log2x，x1， 则函数 f(x)的零点为( ) A. 1 2，0 B2,0 C. 1 2 D0 【答案】D 【解析】当 x1 时，令 2x
7、10，得 x0.当 x1 时，令 1log2x0，得 x1 2，此时无解综上 所述，函数零点为 0. 题型二题型二 判断函数零点所在区间判断函数零点所在区间 例例 2 2 函数 f(x)ln x2 x的零点所在的大致区间是 A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(e，) 【答案】B 【解析】 f(1)20，f(2)ln 210，在(1,2)内 f(x)无零点，A 错； 又 f(3)ln 32 30，f(2) f(3)0，f(x)在(2,3)内有零点 解题技巧：（判断函数零点所在区间的 3 个步骤） (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值 (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判
8、断 (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数 连续，则在该区间内至少有一个零点 跟踪训练二跟踪训练二 1.若函数 f(x)xa x(aR)在区间(1,2)上有零点，则 a 的值可能是( ) A2 B0 C1 D3 【答案】A 【解析】f(x)xa x(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当 a2 时，f(1)1 210，f(2)2110.故 f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选 A. 题型三题型三 判断函数零点的个数判断函数零点的个数 例例 3 3 判断函数 f(x)ln xx23 的零点的个数 【答案】
9、有一个零点 【解析】法一 图象法 函数对应的方程为 ln xx230，所以原函数零点的个数即为 函数 yln x 与 y3x2的图象交点个数 在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图) 由图象知，函数 y3x2与 yln x 的图象只有一个交点，从而 ln xx230 有一个根， 即函数 yln xx23 有一个零点 法二 判定定理法由于 f(1)ln 112320，f(2)ln 2223ln 210， f(1) f(2)0，又 f(x)ln xx23 的图象在(1,2)上是不间断的，所以 f(x)在(1,2)上必有零点， 又 f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个 解题技巧：（判断函数
10、存在零点的 3 种方法） (1)方程法：若方程 f(x)0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零 点或判断零点的个数 (2)图象法：由 f(x)g(x)h(x)0，得 g(x)h(x)，在同一坐标系内作出 y1g(x)和 y2h(x)的图 象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数 (3)定理法：函数 yf(x)的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由 f(a) f(b)0 即可判断 函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点若函数 yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数 f(x) 在区间(a，b)内只有一个零点 跟踪训练三跟踪训练三 1.函数 f
11、(x) 4x4，x1， x24x3，x1 的图象和函数 g(x)log2x 的图象的交点个数是_ 【答案】3 【解析】作出 g(x)与 f(x)的图象如图，由图知 f(x)与 g(x)有 3 个交点 四、课堂小结四、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、作业七、作业 课本 155 页 2、3、7、11. 4.5.1 对数函数的概念 1. 零点定义 例 1 例 2 例 3 2. 零点存在性定理 本节课结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点 与方程根的联系；通过图像进一步掌握零点存在的判定定理.从而解决本节课的三种题型.
