1、第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.4.3 不同增长函数的差异不同增长函数的差异 本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.4.3 节不同 增长函数的差异 是在学习了指数函数、对数函数和幂函数之后的对函数学习的一次梳理和总结。 本节提出函数增长快慢的问题，通过函数图像及三个函数的性质，完成函数增长快慢的认识。既是 对三种函数学习的总结，也为后续导数的学习做了铺垫。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻 辑推理和数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1.了解指数函数、对数函数、幂函数 (一次函 数) 的增长差异. 2、经过探究对函数的
2、图像观察，理解对数增 长、直线上升、指数爆炸。培养学生观察问 题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数 学交流能力； 3、在认识函数增长差异的过程中，使学生学 会认识事物的特殊性与一般性之间的关系， 培养数学应用的意识，探索数学。 a.数学抽象：函数增长快慢的认识； b.逻辑推理：由特殊到一般的推理； c.数学运算：运用指数和对数运算分析问题； d.直观想象：指数、对数函数的图像； e.数学建模：运用函数增长差异解决实际问题； 教学重点：函数增长快慢比较的常用方法； 教学难点：了解影响函数增长快慢的因素； 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目 标 （一） 、温故知新 三种函数模型的性质 y
3、ax(a1) y logax(a1) yxn(n0) 在(0， )上的 增减性 增函数 增函数 增函数 图象的 变化趋 势 随 x 增大逐渐近 似与 y 轴;平行 随 x 增大逐 渐近似与 x 轴 x 平行 随 n 值而不同 增长速 度 yax(a1)：随着 x 的增大，y 增长速度越来越快，会 远远大于 yxn(n0)的增长速度，ylogax(a1)的增长 速度越来越慢 存在一个 x0，当 xx0时，有 axxnlogax （二）问题探究 我们看到， 一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异 事实上， 这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映因此，如果 把握了不同函数增长方式的差异
4、，那么就可以根据现实问题的增长情况， 选择合适的函数模型刻画其变化规律下面就来研究一次函数、指数函 数和对数函数增长方式的差异 提出问题提出问题 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不 同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法. 下面就来研究一次函数 f(x)=kx+b，k0 ，指数函数 g(x)=a x (a1) ， 对数函数在定义域内增长方式的差异. 问题探究问题探究 以函数 y=2 x 与 y=2x 为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. 分析：(1) 在区间(-,0)上，指数函数 y=2 x 值恒大于 0，一次函数
5、 y=2x 值 恒小于 0，所以我们重点研究在区间(0,+)上它们的增长差异. (2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： 温故知新， 通过 对上节指数、对 数和幂函数问题 的回顾，提出新 的问题，提出研 究函数增长差异 的问题及研究方 法。培养和发展 逻辑推理和数学 抽 象 的 核 心 素 养。 x y=2 x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 (3) 观察两个函数图象及其增长方式： 结论 1：函数 y=2 x 与 y=2x 有两个交点(1,2)和(2,4) 结论 2：在区间(0
6、,1)上，函数 y=2 x 的图象位于 y=2x 之上 结论 3：在区间(1,2)上，函数 y=2 x 的图象位于 y=2x 之下 结论 4：在区间(2,3)上，函数 y=2 x 的图象位于 y=2x 之上 综上：虽然函数 y=2 x 与 y=2x 都是增函数，但是它们的增长速度不同，函 数 y=2x 的增长速度不变，但是 y=2 x 的增长速度改变，先慢后快. 请大家想象一下， 取更大的 x 值， 在更大的范围内两个函数图象的关系？ 思考：随着自变量取值越来越大，函数 y=2 x 的图象几乎与 x 轴垂直，函 数值快速增长， 函数 y=2x 的增长速度保持不变， 和 y=2 x 的增长相比几
7、乎 微不足道. 通过画出特 殊的指数函数和 幂函数的图形， 观察归纳出两类 函数增长的差异 和特点，发展学 生逻辑推理，数 学抽象、数学运 算等核心素养； x y (2,4) (1,2) 12 1 2 3 4 5 6 7 8 O x y O 归纳总结归纳总结 总结一： 函数 y=2x 与 y=2 x 在0,+)上增长 快慢的不同如下： 虽然函数y=2x与y=2 x 在0,+)上都是单调 递增，但它们的增长速度不同. 随着 x 的增大，y=2 x 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y=2x 的 增长速度. 尽管在 x 的一定范围内，2 x x0 时，恒有 2 x 2x. 总结二： 一般地指数
8、函数 y=a x (a1)与一次函数 y=kx(k0)的增长都与上述 类似. 即使 k 值远远大于 a 值，指数函数 y=a x (a1)虽然有一段区间会小于 y=kx(k0)，但总会存在一个 x 0，当 xx0 时， y=a x (a1)的增长速度会大 大超过 y=kx(k0)的增长速度. 跟踪训练跟踪训练 1四个变量 y1，y2，y3，y4随变量 x 变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 37 768 1.05 106 3.36 107 1.07 1 09 y3 2 10 20 30
9、40 50 60 y4 2 4.3 22 5.3 22 5.90 7 6.322 6.644 6.907 关于 x 呈指数函数变化的变量是_. 答案：y2 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化 从表格中可以看出， 四个变量 y1， y2，y3，y4均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其 中变量 y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2关于 x 呈指数型函数变化故填 y2. 分析：(1)(1) 在区间( (-,0),0)上，对数函数 y y=lg=lgx x 没意义，一次函数值恒小 于 0 0， 所以研究在区间(0,+)(0,+)上它们的增长差异. (2)(2)
10、 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： x y 12 1 2 3 4 5 6 7 8 O x y=lgx 0 不存在不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 以函数y y=lg=lgx x与 1 10 yx 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. (3)(3) 观察两个函数图象及其增长方式： 总结一：虽然函数y y=lg=lgx x与 在(0,+)(0,+)上都是单调递增，但它们 的增长速度存在明显差异. 在(0,+)(0,+)上增长速度不变，y y=lg=lgx x在(0,+)(
11、0,+) 上的增长速度在变化. 随着x x的增大， 的图象离x x轴越来越远，而函数y y= =lglgx x的图象 越来越平缓，就像与x x轴平行一样. 例如：lg10=1lg10=1，lg100=2lg100=2，lg1000=3lg1000=3，lg10000=4lg10000=4； 1111 101100101000100100001000 10101010 ， 这表明，当 x10，即 y1，y=lgx 比 相比增长得就很慢了. 通过对对数函 数的图像与幂函 数图像的观察分 析归纳总结出两 类函增长性的差 异和特点，发展 学生数学运算、 逻辑推理的核心 素养； 1 10 yx 1 10
12、 yx x y 102030405060 1 2 3 4 5 6 O 1 10 yx y=lgx x y 10 20 30 40 50 60 1 2 3 4 5 6 O 1 10 yx y=l 1 10 yx 思考：将y y=lg=lgx x放大 10001000 倍，将函数y y=1000lg=1000lgx x与比较，仍有上面规律 吗？先想象一下，仍然有. 总结二： 一般地， 虽然对数函数 与一次函数y y= =kxkx( (k k0)0) 在(0,(0,上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x x的增大，一次函 数y y= =kxkx( (k k0)0)保持固定的增长速度，而对数函数
13、 的增长速度越来越 慢.不论a a值比k k值大多少，在一定范围内， 可能会大于kxkx，但由 于 的增长会慢于kxkx的增长，因此总存在一个x x 0 0，当 x x x x 0 0时，恒有 跟踪训练跟踪训练 1函数f(x)lg x，g(x)0.3x1 的图象如图所示 (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的 大小进行比较). 解 (1)C1对应的函数为 g(x)0.3x1，C2对应的函数为 f(x)lg x. (2)当 xf(x)；当 x1xg(x)； 当 xx2时，g(x)f(x)；当 xx1或
14、 xx2时，f(x)g(x) 三、当堂达标 1下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是( ) x y 2110 4220 6330 8440 10550 12660 1477016880 18990 21100 23210 2532027430 29540 31650 33760 3587037980 40090 42200 4431046420 48530 50640 52750 2110 4220 6330 8440 10550 12660 14770 O x y 102030405060 1 2 3 4 5 6 O 1 10 yx y=lgx log1 a yx a Ayex Byln x Cyx2 Dye x 【答案】【答案】A 结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知 A 正确 2能使不等式 log2xx24 时，log2xx20，指数 函数 g(x)=a x (a1) ， 对数函数 在定义域上的不同增长 方式. 2.根据图象判断增长型的指数函数、 对数函数和幂函数时， 通常是观察函 数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函 数；图象趋于平缓的函数是对数函数 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂 学习，自主总结 知识要点，及运 用的思想方法。 注意总结自己在 学 习 中 的 易 错 点； log1 a yx a
