1、【方法综述】【方法综述】 本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学 问题进行命题的基础，因此这类问题大量存在，并且和其它问题相交织。问题进行命题的基础，因此这类问题大量存在，并且和其它问题相交织。 二次函数背景下的图形变换主要分成两类：二次函数背景下的图形变换主要分成两类： 一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式 表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难
2、度。表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。 另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。对于此类问题首先要掌握每一种图形变另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。对于此类问题首先要掌握每一种图形变 换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。方程解决问题。 【典例示范】【典例示范】 类型一、二次函数为背景的平移变换类型一、二次函数为背景的平移变换 例 1： （2018 年中考专题训练）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为 . （1）求抛物线的解析式； （2）将绕点 顺时针旋转后，点 落在点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经过
3、点 ，求平移后所得 图象的函数关系式；来源: （3） 设 （2） 中平移后， 所得抛物线与 轴的交点为， 顶点为， 若点 在平移后的抛物线上， 且满足 的面积是面积的 2 倍，求点 的坐标. 【答案】 （1）抛物线的解析式为.（2）平移后的抛物线解析式为：.（3）点 的 坐标为或. （2）,， 可得旋转后 点的坐标为， 当时，由得， 可知抛物线过点， 将原抛物线沿 轴向下平移 1 个单位后过点 ， 则平移后的抛物线解析式为：； （3）点 在上，可设 点坐标为， 将配方得， 其对称轴为， 当时，如图， ， ， ， 此时， 点的坐标为； 针对训练针对训练 1 （山东济南模拟）如图 1，已知二次函数
4、 y=mx2+3mxm 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，顶点 D 和点 B 关于过点 A 的直线 l：y=x对称 （1）求 A、B 两点的坐标及二次函数解析式； （2）如图 2，作直线 AD，过点 B 作 AD 的平行线交直线 1 于点 E，若点 P 是直线 AD 上的一动点，点 Q 是直线 AE 上的一动点连接 DQ、QP、PE，试求 DQ+QP+PE 的最小值；若不存在，请说明理由： （3）将二次函数图象向右平移 个单位，再向上平移 3个单位，平移后的二次函数图象上存在一点 M， 其横坐标为 3，在 y 轴上是否存在点 F，使得MAF=45 ？若存在，请求
5、出点 F 坐标；若不存在，请说明理 由 【答案】 （1）A （ ， 0） ， B （ ， 0） ； 抛物线解析式 y=x2+x；（2） 12；（3）（0，） ， （0，） 直线 y=x 与 x 轴所成锐角为 30 ，且 D，B 关于 y=x对称， DAB=60 ，且 D 点横坐标为 ， D（ ，3） ， 3= m mm， m=， 抛物线解析式 y=x2+x； 根据对称性可得 PQ=PQ，PE=EP=PE， DQ+PQ+PE=DQ+PQ+PE， 当 D，Q，E三点共线时，DQ+PQ+PE 值最小， 即 DQ+PQ+PE 最小值为 DE， D（ ，3） ，E（ ，3） ， DE=12， DQ+PQ
6、+PE 最小值为 12； A（ ，0） ，M（3，3） ， E（33，3+） ， 直线 AE 解析式：y=x+， F（0，） ， 若以 AM 为直角边，点 M 是直角顶点，在 AM 上方作等腰直角AME， 同理可得：F（0，）. 2.（云南腾冲期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过两点 （1）求此抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 ，将直线沿 轴向下平移两个单位得到直线 ，直线 与抛物线的对称轴交于 点， O 求直线 的解析式； （3）在（2）的条件下，求到直线距离相等的点的坐标 【答案】 （1）y=（2）y=x（3）M（，0） 、A（0，2） 、 （0，-2） 、 （，0） 依题意,可得
7、 且直线过原点， 设直线的解析式为 y=kx,则 解得 所以直线 l 的解析式为 可证均为等边三角形，可求得： 所以点的坐标为 点与点 A 重合,所以点的坐标为(0,2)， 点 与点 A 关于 x 轴对称,所以点的坐标为(0,2)， 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 N， 且 所以点的坐标为 综合所述，到直线 OB、OC、BC 距离相等的点的坐标分别为： 3 （陕西省西安市模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y=x2平移，使平移后的抛物线经过点 A（3，0） 、B（1，0） (1)求平移后的抛物线的表达式 (2)设平移后的抛物线交 y 轴于点 C，在平移后的抛物线的对称轴上有
8、一动点 P，当 BP 与 CP 之和最小时，P 点坐标是多少？ (3)若 y=x2与平移后的抛物线对称轴交于 D 点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点 M，使 得以 M、O、D 为顶点的三角形BOD 相似？若存在，求点 M 坐标；若不存在，说明理由 【来源】陕西省西安市西安铁一 2017-2018 学年九年级下第五次模拟考试数学试卷 （2）y=x2+2x3=（x+1）24， 抛物线对称轴为直线 x=1，与 y 轴的交点 C（0，3） ， 则点 C 关于直线 x=1 的对称点 C（2，3） ， 如图 1， 连接 B，C，与直线 x=1 的交点即为所求点 P， 由 B（1，0） ，C
9、（2，3）可得直线 BC解析式为 y=x1， 则， 解得， 所以点 P 坐标为（1，2） ； DOE=ODE=45 ，BOD=135 ，OD=， BO=1， BD=， BOD=135 ， 点 M 只能在点 D 上方， BOD=ODM=135 ， 当或时，以 M、O、D 为顶点的三角形BOD 相似， 若，则，解得 DM=2， 此时点 M 坐标为（1，3） ； 若，则，解得 DM=1， 此时点 M 坐标为（1，2） ； 综上，点 M 坐标为（1，3）或（1，2） 4 （聊城市 2018 年中考）如图，已知抛物线与 轴分别交于原点 和点，与对称轴 交于 点.矩形的边在 轴正半轴上，且，边，与抛物线分
10、别交于点， .当矩形沿 轴正方向平移，点， 位于对称轴 的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为 ；点， 位于 对称轴 的两侧时，连接，此时五边形的面积记为 .将点 与点 重合的位置作为矩形平 移的起点，设矩形平移的长度为. （1）求出这条抛物线的表达式； （2）当时，求的值； （3）当矩形沿着 轴的正方向平移时，求 关于的函数表达式，并求出 为何值时， 有最大 值，最大值是多少？ 【答案】 （1）y=- x2+2x （2） （3）S=-t2+t-，当 t= 时，S 有最大值，最大值是 （2）当 t=0 时，点 B 的坐标为（1，0） ，点 N 的坐标为（1， ） ， BN= ，OB=1， SO
11、BN= BNOB= （3）当 0t4 时（图 1） ，点 A 的坐标为（t，0） ，点 B 的坐标为（t+1，0） ， 点 M 的坐标为（t，- t2+2t） ，点 N 的坐标为（t+1，- （t+1）2+2（t+1） ） ， AM=- t2+2t，BN=- （t+1）2+2（t+1） ， S= （AM+BN）AB= 1 - t2+2t- （t+1）2+2（t+1）， =- t2+ t+， =- （t- ）2+， - 0， 当 t=4 时，S 取最大值，最大值为； S= （5-t） （- t2+2t+5）+ （t-4）5- （t+1）2+2（t+1）， = （ t3-3t2+5t+25）+ （
12、- t3+t2+ t-） ， =-t2+t-， =-（t- ）2+， -0， 当 t= 时，S 取最大值，最大值为 =， 当 t= 时，S 有最大值，最大值是 5 （南充市期末）如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM、BM （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断ABM 的形状，并说明理由； （3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m） ， 当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点 【答案】 （1）y=x21； （2） ）ABM
13、为直角三角形，理由详见解析； （3）当 m 时，平移后的抛物线总有 两个不动点 解得， 抛物线解析式为 y=x21； （2）ABM 为直角三角形理由如： 由（1）抛物线解析式为 y=x21 可知 M 点坐标为（0，1） ， AM=，AB=，BM=， AM2+AB2=2+18=20=BM2， ABM 为直角三角形； 6 （沈阳市沈河区 2018 年中考二模）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于（2，0） 、 （1，0） ，与 y 轴 交于 C，直线 l1经过点 C 且平行于 x 轴，与抛物线的另一个交点为 D，将直线 l1向下平移 t 个单位得到直线 l2，l2与抛物线交于 A、B
14、 两点 （1）求抛物线解析式及点 C 的坐标； （2）当 t=2 时，探究ABC 的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，点 M（m，0）在 x 轴上自由运动，过 M 作 MNx 轴，交直线 BC 于 P，交抛物 线于 N，若三个点 M、N、P 中恰有一个点是其他两个点连线段的中点（三点重合除外） ，则称 M、N、P 三 点为“共谐点”，请直接写出使得 M、P、N 三点为“共谐点”的 m 的值 【答案】 （1）点 C 的坐标为（0，1） ； （2）ABC 为直角三角形，理由见解析； （3）使得 M、P、N 三点 为“共谐点”的 m 的值为或或或 （2）ABC 为直角 三角形，理由如下：
15、t=2，直线 l1：y=1， 直线 l2：y=3 当 y=3 时， x2+ x1=3， 解得：x1=1，x2=4， 点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 的坐标为（4，3） 点 C 的坐标为（0，1） ， AC=，BC=，AB=5 AC2+BC2=25=AB2， ACB=90 ， ABC 为直角三角形 （3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+d（k0） ， 将 B（4，3） 、C（0，1）代入 y=kx+d，得： ，解得：， 直线 BC 的解析式为 y=x1 点 M 的坐标为（m，0） ， 点 N 的坐标为（m， m2+ m1） ，点 P 的坐标为（m， m1） 当点 N 为中点时，有 0（
16、 m2+ m1）= m2+ m1（ m1） ， 整理得：2m27m+2=0，来源: 解得：m1=，m2=； 当点 P 为中点时，有 0（ m1）= m1（ m2+ m1） ， 整理得：m25m2=0， 解得：m3=，m4= 综上所述：使得 M、P、N 三点为“共谐点”的 m 的值为或或或 7 （2018 培优提高单元检测）如图，、两点在一次函数与二次函数 图象上 求的值和二次函数的解析式 请直接写出使时，自变量 的取值范围 说出所求的抛物线可由抛物线如何平移得到？ 【来源】 2018-2019 学年度第一学期浙教版九年级数学上_第 1-2 章_二次函数和简单事件的概率_培优提高单 元检测试题
17、【答案】 ；当时，；所求抛物线可由抛物线向下平移 个单 位，再向右平移 个单位而得到 ； ，抛物线开口向上， ， 当时，； 抛物线， 所求抛物线可由抛物线向下平移 个单位，再向右平移 个单位而得到 8 （2018 年河南省商丘市中考数学一模）如图，抛物线 y=ax2+bx2 与 y 轴的交点为 A，抛物线的顶点为 B （1，3） （1）求出抛物线的解析式； （2）点 P 为 x 轴上一点，当三角形 PAB 的周长最小时，求出点 P 的坐标； （3）水平移动抛物线，新抛物线的顶点为 C，两抛物线的交点为 D，当 O，C，D 在一条直线上时，请直 接写出平移的距离 【来源】 【全国市级联考】201
18、8 年河南省商丘市中考数学一模试卷 【答案】(1) y=（x1）23=x22x2 (2) P（ ，0） (3) 平移距离为 2 或 3 （2）A（0，2） ，B（1，3） ， AB=， ABP 的周长=PA+PB+AB=PA+PB+， 当 PA+PB 最小时，ABP 的周长最小; 作 A 点关于 x 轴的对称点 A（0，2） ，连接 AB, 设直线 AB 解析式 y=kx+b, 根据题意得：, 解得：k=5，b=2 直线 AB 的解析式 y=5x+2； 当 y=0 时，x=， P（ ，0） ； C（1+m，3， ） ，O（0，0） ， 直线 CO 解析式 y=x， O，C，D 三点共线， =，
19、 解得：m1=0（不合题意舍去） ，m2=3，m3=2； 向右平移 2 个单位长度，或向左平移 3 个单位长度，O，C，D 三点共线 平移距离为 2 或 3. 9 （吉林长春二模）已知抛物线 C：y=x22x+1 的顶点为 P，与 y 轴的交点为 Q，点 F（1， ） （1）求 tanOPQ 的值； （2）将抛物线 C 向上平移得到抛物线 C，点 Q 平移后的对应点为 Q，且 FQ=OQ 求抛物线 C的解析式； 若点 P 关于直线 QF 的对称点为 K，射线 FK 与抛物线 C相交于点 A，求点 A 的坐标 【答案】（1）1； （2）y=x22x+ ， ；A（ ，） 方法一：设点 A（x0，y
20、0） ，则 y0=x022x0+ ， 过点 A 作 x 轴的垂线，与直线 QF 相交于点 N，则可设 N（x0，n） ， AN=y0n，其中 y0n， 连接 FP， FP=FK，有PFN=AFN， ANF=AFN，则 AF=AN， A（x0，y0），F（1， ）， AF2=（x01）2+（y0）2=x022x0+1+y02y0+ =x022x0+ +y02y0=（x022x0+）+y02 y0， y0=x022x0+ ， 将右边整体代换得，AF2=（x022x0+ ）+y02y0=y0+y02y0=y02， y00， AF=y0， y0=y0n，来源:Z+X+X+K n=0， N（x0，0），
21、 将 x0= 代入 y0=x22x0+ ， y0=， A（ ，） 方法二：由有，Q（0， ） ，F（1， ） ，P（1，0） ， 直线 FQ的解析式为 y=x+ , FQPK，P（1，0） ， 直线 PK 的解析式为 y= x ， 联立得出，直线 FQ与 PK 的交点 M 坐标为（，） ， 点 P，K 关于直线 FQ对称， K（，） ， F（1， ） ， 直线 FK 的解析式为 y=x+， 射线 FK 与抛物线 C：y=x22x+ 相交于点 A， 联立得， ，,或（舍）, A（ ，） 10 （人教版数学九年级（上)第 22 章二次函数压轴题专项训练）已知抛物线 L：y x2+bx2 与 x 轴
22、相交 于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，并与 y 轴相交于点 C且点 A 的坐标是（1，0） （1）求该抛物线的函数表达式及顶点 D 的坐标； （2）判断ABC 的形状，并求出ABC 的面积； （3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线 L，L与 x 轴相交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧） ，并与 y 轴相交于点 C，要使ABC和ABC 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式 【答案】(1)y x2 x2，顶点 D 的坐标为（ ，） ；(2)ABC 是直角三角形，ABC 的面积是 5；(3) 所有满足条件的抛物线的函数表达式是 y，y，y (2)当 y0 时，0 x2
23、 x2，解得，x11，x24，当 x0 时，y2， 则点 A（1，0） ， 点 B（4，0） ，点 C（0，2） ， AB5，AC，BC2， AB2AC2+BC2， ABC 是直角三角形， ABC 的面积是：5； (3)抛物线向左或向右平移， 平移后 AB与平移前的 AB 的长度相等， 只要平移后过（0，2）或过（0，2）即满足条件， 当向右平移时， 令 y，当 x0 时，y2，得 a， 此时 y， 当向左平移时， 令 y，当 x0 时，y 2，得 m或 m3， 当 m时，y，当 m3 时，y2， 由上可得，所有满足条件的抛物线的函数表达式是 y，y，y2 类型二、类型二、二次函数为背景的折叠
24、变换二次函数为背景的折叠变换 例 2 （吉林省长春市朝阳区东北师大附中 2018 年中考模拟）定义：如图 1，在平面直角坐标系中，点 M 是 二次函数图象上一点，过点 M 作轴，如果二次函数的图象与关于 l 成轴对称，则称是关于点 M 的伴随函数如图 2，在平面直角坐标系中，二次函数的函数表达式是，点 M 是二次函数 图象上一点，且点 M 的横坐标为 m，二次函数是关于点 M 的伴随函数 若， 求的函数表达式 点，在二次函数的图象上，若，a 的取值范围为_ 过点 M 作轴， 如果，线段 MN 与的图象交于点 P，且 MP：3，求 m 的值 如图 3，二次函数的图象在 MN 上方的部分记为，剩余
25、的部分沿 MN 翻折得到，由和所组成的 图象记为 .以、为顶点在 x 轴上方作正方形直接写出正方形 ABCD 与 G 有三个公共点时 m 的取值范围 【答案】 的函数表达式为， ； 或， 当或时，G 与正方形 ABCD 有三个公共点 轴，MP：3， ， 当时， 当时， 故或； 分析图象可知： 当时，可知 C1和 G 的对称轴关于直线对称，的顶点恰在 AD 上，此时 G 与正方形有 2 个公共 点， 当时，G 与正方形 ABCD 有三个公共点， 当时，直线 MN 与 x 轴重合，G 与正方形有三个公共点， 当 1m 时，G 与正方形 ABCD 有五个公共点， 当 m 时，G 的顶点与点 C(3,
26、2)重合，且 G 对称轴左侧部分与正方形有三个公共点， 当 m2 时，G 与正方形 ABCD 有四个个公共点， 当时，G 过点且 G 对称轴左侧部分与正方形有两个公共点， 故当或时，G 与正方形 ABCD 有三个公共点 针对训练针对训练 1 （辽宁省本溪市 2018 年中考数学试卷）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过 A （-1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）三点，其顶点为 D，连接 BD，点是线段 BD 上一个动点（不与 B、D 重 合） ，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 E，连接 BE （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）如
27、果 P 点的坐标为（x，y） ，PBE 的面积为，求 S 与 x 的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围，并 求出 S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 S 取得最大值时，过点 P 作 x 的垂线，垂足为 F，连接 EF，把PEF 沿直线 EF 折叠，点 P 的对应点为 P，请直接写出 P点坐标，并判断点 P是否在该抛物线上 【答案】 （1）顶点 D 的坐标为(1，4)； （2）当时， S 取得最大值，最大值为 ； （3）把 P坐标（） 代入抛物线解析式，不成立，所以 不在抛物线上 （2）设直线解析式为：（） ，把两点坐标代入， 得 解得， 直线解析式为，来源:ZXXK ， ， ， 当
28、时， 取得最大值，最大值为 ； （3）当 取得最大值， ， 四边形是矩形， 作点 关于直线的对称点 ，连接， ， 解得， ， ， 由，可得， ， 坐标； 法二：连接，交于点 ，分别过点作的垂线，垂足为， 易证， ， 设，则， ， 2 （江西省赣州市 2018 届中考模拟）如图 1，已知抛物线 L1：y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，在 L1上任取一点 P，过点 P 作直线 lx 轴，垂足为 D，将 L1沿直线 l 翻折得到抛物线 L2，交 x 轴于点 M，N（点 M 在点 N 的左侧） （1）当 L1与 L2重合时，求点 P
29、的坐标； （2）当点 P 与点 B 重合时，求此时 L2的解析式；并直接写出 L1与 L2中，y 均随 x 的增大而减小时的 x 的 取值范围； （3）连接 PM，PB，设点 P（m，n） ，当 n= m 时，求PMB 的面积 【答案】 （1）P（1，4） ； （2）x5 ； （3）PMB 的面积为或 3 （2）在抛物线 L1中，令 y=0，即-x2+2x+3=0 解得 x1=-1，x2=3 当点 P 与点 B 重合时，此时 P（3，0） 抛物线 L2与抛物线 L1关于直线 x=3 对称 抛物线 L2的顶点为（5，4） 由抛物线对称性可知，抛物线 L1和 L2开口方向和大小相同 抛物线 L2和
30、的解析式为 y=-（x-5）2+4=-x2+10 x-21 结合图象可知，当 x5 时，抛物线 L1与抛物线 L2中，y 均随 x 的增大而减小 （3）当 n= m 时，-m2+2m+3= m 解得 m1=- ，m2=2 点 P 坐标为（- ，- ）或（2，3） 如图 1， 当点 P 坐标为（- ，- ）时，点 D 的坐标为坐标为（- ，0） DB=3-（- ）= MB=2BD=2 =9 SPMB= MBPD 9 SPMB= MBPD 2 33 综上所述当点 n= m 时，PMB 的面积为或 3. 3 （2018 赤峰市模拟）已知抛物线与 x 轴的交点坐标分别为 A（1，0） ，B（x2，0）
31、 （点 B 在点 A 的右侧） ， 其对称轴是 x=3，该函数有最小值是2 （1）求二次函数解析式； （2）在图 1 上作平行于 x 轴的直线，交抛物线于 C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，求 x3+x4的值；来源:Zxxk.Com （3）将（1）中函数的部分图象（xx2）向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，如图 2，在（2） 中平行于 x 轴的直线取点 E（x5，y5） 、 （x4x5） ，结合函数图象求 x3+x4+x5的取值范围 【答案】(1) y= （x3）22 （2）x3+x4=6 （3）11x3+x4+x59+2 （2）由二次函数图象的对称性质得出当纵坐标相等时，x3
32、+x4=6 （3）由已知条件可知直线与图象“G”要有 3 个交点 当直线与 x 轴重合时，有 2 个交点，由二次函数图象的轴对称性质可求 x3+x4+x511 当直线经过 y= （x3）22 的图象顶点时，有 2 个交点，由翻折可以得到翻折后函数图象为 y= （x 3）2+2 令 （x3）2+2=2 时，解得：x=3 2，其中 x=32（舍去） ，x3+x4+x59+2 综上所述：11x3+x4+x59+2 4 （2018-2019 学年度第一学期人教版五四制九年级数学第 28 章二次函数单元测试题）如图，在平面直角 坐标系中，二次函数的图象与 轴交于 、 两点， 点在原点的左侧， 点的坐标为
33、，与 轴交于点，点 是直线下方的抛物线上一动点 求这个二次函数的表达式 连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点 ，使四边形为菱形？若 存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由 当点 运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形的最大面积 【答案】 （1）； （2） 点的坐标为； （3） 点的坐标为，四边形的 面积的最大值为 【解析】解：将 、 两点的坐标代入得， 解得：； 所以二次函数的表达式为：； ， ， 又， ； 解得，（不合题意，舍去） ， 点的坐标为 过点 作 轴的平行线与交于点 ，与交于点 ，设， 设直线的解析式为：， 则， 解得： 直线的解析式为，
34、 则 点的坐标为； 当， 5 （扬州市广陵区 2018 年中考数学模拟）有一个二次函数满足以下条件： 函数图象与 x 轴的交点坐标分别为 A（1，0） ，B（x2，y2） （点 B 在点 A 的右侧） ； 对称轴是 x=3； 该函数有最小值是2 （1）请根据以上信息求出二次函数表达式； （2） 将该函数图象 xx2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”， 平行于 x 轴的直线与图 象“G”相交于点 C（x3，y3） 、D（x4，y4） 、E（x5，y5） （x3x4x5） ，结合画出的函数图象求 x3+x4+x5的取 值范围 【答案】 （1）y= （x3）22； （2）11x3+
35、x4+x59+2 （2）如图所示： 由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点 1 当直线与 x 轴重合时，有 2 个交点，由二次函数的轴对称性可求 x3+x4=6， x3+x4+x511， 当直线过 y= （x3）22 的图象顶点时，有 2 个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为 y= （x3）2+2， 令 （x3）2+2=2 时，解得 x=3+2或 x=32（舍去） x3+x4+x59+2 综上所述 11x3+x4+x59+2 6 （北京市海淀区 2018 届九年级二模数学试题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 ，对于函数图 象上横坐标之差为 1 的任意两点，都成立，则称这个函数是
36、限减函数，在所有满 足条件的 中，其最大值称为这个函数的限减系数例如，函数，当 取值 和时，函数值分 别为，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为 （1）写出函数的限减系数； （2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围 （3）已知函数的图象上一点 ，过点 作直线 垂直于 轴，将函数的图象在点 右侧的部分关 于直线 翻折， 其余部分保持不变， 得到一个新函数的图象， 如果这个新函数是限减函数， 且限减系数， 直接写出 点横坐标 的取值范围 【答案】 （1）2； （2）（3） 【解析】解： （1）函数的限减系数是 2； ，与函数的限减系数不符. 若， （，）和（ ， ）是函数图象上横坐标
37、之差为 1 的任意两点，则， ， ，且， ，当时，等号成立，故函数的限减系数 的取值范围是 （3） 7 （九年级数学北师大版下册同步测试题）已知关于 x 一元二次方程 x2-2(k+1)x+k2-2k-3=0 有两个不相等的 实数根 （1）求 k 取值范围； （2）当 k 最小的整数时，求抛物线 y= x2-2(k+1)x+k2-2k-3 的顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标； （3）将（2）中求得的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个 新图象请你画出这个新图象，并求出新图象与直线 y=x+m 有三个不同公共点时 m 值 【答案】(1) k-1;
38、(2) 顶点坐标为（1，-4）, x 轴相交于点（-1，0）和点（3，0）;(3) m=1 或 m= (2)k1，且 k 取最小的整数， k=0. (3)翻折后所得新图象如图所示， 平移直线 y=x+m 知：直线位于 和 时，它与新图象有三个不同的公共点， 当直线位于 时,此时 过点 A(1,0)， 0=1+m，即 m=1. 当直线位于 时,此时 与函数的图象有一个公共点 方程即有两个相等实根， =14(m3)=0,即 综上所述,m 的值为 1 或 类型三一次函数与二次函数相结合的营销问题类型三一次函数与二次函数相结合的营销问题 例 3： （无锡市惠山区锡山高中 2018 年中考数学一模）如图
39、，平面直角坐标系中，直线 l：y= x+m 交 x 轴 于点 A，二次函数 y=ax23ax+c（a0，且 a、c 是常数）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 侧） ，与 y 轴交于点 C，与直线 l 交于点 D，已知 CD 与 x 轴平行，且 SACD：SABD=3：5 （1）求点 A 的坐标； （2）求此二次函数的解析式； （3）点 P 为直线 l 上一动点，将线段 AC 绕点 P 顺时针旋转 （0 360 ）得到线段 AC（点 A，A 是对应点，点 C，C是对应点） 请问：是否存在这样的点 P，使得旋转后点 A和点 C分别落在直线 l 和抛 物线 y=ax23ax
40、+c 的图象上？若存在，请直接写出点 A的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) A（1，0）;(2) y= （x+1） （x4）= x2+ x+2;(3)见解析. 【解析】解： （1） SACD：SABD=3：5且ACD 和ABD 是等高的. . AB=5. 直线 y= x+m 与 x 轴交于 A 点， A（2m，0）. 点 A，点 B 关于对称轴 x= 对称. 2 （2m）=5. m= . A（1，0） ，且 AB=5. B（4，0）. （3）点 A 在直线 l 上，旋转后 A点落在直线 l 上， 点 A 与点 A重合，或者点 A 绕着点 P 旋转 180 . 当点 A 与点 A重合时
41、，A（1，0）. 当点 A 绕着点 P 旋转 180 得到 A，点 C 绕着点 P 旋转 180 得到 C AP=AP，CP=CP. 如图 2: 设 C（a， a2+ a+2）. C（ 0，2） ，CP=CP. P（ a， a2+ a+2）. 点 P 在直线 l 上， a2+ a+2=a+ . P（，）. AP=AP. A（2，）. 综上所述 A（2，） ， （2+，） ， （1，0）. 针对训练针对训练 1.（208 宁波市江北中学）已知直线，抛物线 当，时，求直线 与抛物线 的交点坐标； 当，时，将直线 绕原点逆时针旋转后与抛物线 交于 ， 两点（ 点在 点的左侧） ，求 ， 两点的坐标；
42、 若将中的条件“”去掉，其他条件不变，且，求 的取值范围 【答案】(1) 直线 与抛物线 的交点坐标是或；(2) ， ；(3) 旋转后的直线的解析式为， 解得或， ，； 2 （广西玉林市 2018 届九年级中考三模）如图，抛物线 y=+bx+c 交 x 轴于点 A（2，0）和点 B， 交 y 轴于点 C（0，3） ，点 D 是 x 轴上一动点，连接 CD，将线段 CD 绕点 D 旋转得到 DE，过点 E 作直线 l x 轴，垂足为 H，过点 C 作 CFl 于 F，连接 DF （1）求抛物线解析式； （2）若线段 DE 是 CD 绕点 D 顺时针旋转 90 得到，求线段 DF 的长； （3）若
43、线段 DE 是 CD 绕点 D 旋转 90 得到，且点 E 恰好在抛物线上，请求出点 E 的坐标 【答案】(1) 抛物线解析式为 y=；(2) DF=3；(3) 点 E 的坐标为 E1（4，1）或 E2（ ， ）或 E3（ ，）或 E4（，） （3）如图 2，设点 D 的坐标为（t，0） 点 E 恰好在抛物线上，且 EH=OD，DHE=90 ，由（2）知，CODDHE，DH=OC，EH=OD， 分两种情况讨论： 综上所述：点 E 的坐标为 E1（4，1）或 E2（ ，）或 E3（，）或 E4（， ） 3 （华东师大版九年级数学下册第 26 章二次函数单元检测试卷）如图，在平面直角坐标系中，CD
44、E 的顶 点 C 点坐标为 C（1，2） ，点 D 的横坐标为，将CDE 绕点 C 旋转到CBO，点 D 的对应点 B 在 x 轴 的另一个交点为点 A （1）图中，OCE 等于_； （2）求抛物线的解析式； （3）抛物线上是否存在点 P，使 S PAE = SCDE？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）BCD； （2）y= x2x ； （3）存在； （1+，1）或（1，1）或（1+，1）或（1， 1） CD2=（1）2+（2n）2 ， CB2=（1m）2+22 ， DE2=（2）2+n2 ， （1）2+（2n）2=（1m）2+22 ， （2）2+n2=m2
45、， m=3，n=， B（3，0） ， 设抛物线解析式为 y=a（x1）22， 把 B（3，0）代入得 4a2=0，解得 a= ， 抛物线解析式为 y= （x1）22，即 y= x2x ； 解方程 t2t =1 得 t1=1+，t2=1，此时 P 点坐标为（1+，1）或（1，1） ； 解方程 t2t =1 得 t1=1+，t2=1，此时 P 点坐标为（1+，1）或（1，1） ； 综上所述，满足条件的 P 点坐标为（1+，1）或（1，1）或（1+，1）或（1，1） 4 （2018 年浙江省温州市苍南县中考一模）如图，ABCD 位于直角坐标系中，AB=2，点 D（0，1） ，以点 C 为顶点的抛物线
46、 y=ax2+bx+c 经过 x 轴正半轴上的点 A，B，CEx 轴于点 E （1）求点 A，B，C 的坐标 （2）将该抛物线向上平移 m 个单位恰好经过点 D，且这时新抛物线交 x 轴于点 M，N 求 MN 的长 点 P 是新抛物线对称轴上一动点， 将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60 得 AQ， 则 OQ 的最小值为 （直 接写出答案即可） 【答案】 （1）A（1，0） ，B（3，0） ，C（2，1） ； （2）MN； （2）由（1）知，抛物线的顶点 C（2，1） ， 设抛物线的解析式为 y=a（x2）2+1， A（1，0）在抛物线上， a（12）2+1=0， a=1， 抛物线解析式为
47、 y=（x2）2+1， 该抛物线向上平移 m 个单位恰好经过点 D，设平移后的抛物线解析式为 y=（x2）2+1+m， D（0，1） ， （2）2+1+m=1， m=4， 平移后的抛物线解析式为 y=（x2）2+5， 令 y=0， 0=（x2）2+5， x=2， M（2+，0） ，N（2，0） ， MN=2； Q3（0，） ， 点 Q3在直线 Q1Q2上， 点 Q 的运动轨迹是直线 Q1Q2， 当 OQQ1Q2时，OD 最短， Q1Q3=2 OD最小=， 故答案为 5 （北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_单元检测）在平面直角坐标系中（如图） ，已知抛物线 经过，顶点为 求该抛物线的表达
48、方式及点 的坐标； 将中求得的抛物线沿 轴向上平移个单位，所得新抛物线与 轴的交点记为点 当时 等腰三角形时，求点 的坐标； 若点 在中求得的抛物线的对称轴上，联结，将线段绕点 逆时针转得到线段，若点恰 好落在中求得的抛物线上，求点 的坐标 【答案】（1）； 顶点 坐标为；（2）坐标为；（3）的坐标为， 【解析】 将 ， 坐标分别代入抛物线解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为， 顶点 坐标为； 设，如图所示，过作轴，交 轴于点，过 作，垂足为 ， 易得， ， ， 四边形为矩形， ， 当时，代入抛物线解析式得：， 解得：或（舍去） ； 当时，代入抛物线解析式得：， 解得：（舍去）或， 综上得到
49、或， 则 的坐标为， 6 （河南省 2018 届九年级中考数学二模）如图，直线 AB 的解析式为，抛物线 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点，点 P 是抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m 求抛物线的解析式； 如图，当点 P 在第一象限内的抛物线上时，求面积的最大值，并求此时点 P 的坐标； 过点 A 作直线轴，过点 P 作于点 H，将绕点 A 顺时针旋转，使点 H 的对应点恰好落 在直线 AB 上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点 P 的坐标 【答案】 （1）抛物线解析式为； （2）当时，面积有最大值，最大值为 8，此时 P 点坐标为； （3）P 点坐标为或； 抛物线解析式为； 在中， 当点落在 x 轴上，如图 2， 绕点 A 顺时针旋转，使点 H 的对应点恰好落在直线 AB 上，同时恰好落在 x 轴上 ， ， ， ：OB，即：3， ， ， ，解得，舍去 ，此时 P 点坐标为； 当点落在 y 轴上，如图 3， 7 （成都市郫都区 2017-2018 学年九年级下第二次诊断性检测数学）如图，顶点为 C 的抛物线 y=ax2+bx（a 0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，连接 OC、OA、AB，已知 OA=OB=2，AOB=120 （1）求这条抛物线的表达式； （2）过点 C 作 CEOB，垂足为 E，点 P 为 y 轴上的动点，若以 O、C、P
