1、正比例的意义正比例的意义 一、教学内容： 苏教版小学数学第十二册 P56-57 例 1、试一试、练一练、练习十第 1-2 题。 二、教材分析： 首先，教材通过例 1，让学生充分观察，分析得出路程和时间是两种相关联的变量，并 引导学生探索二者的变化规律，归纳出数量关系式，初步体会函数思想；其次，通过“试一 试” ，借助总价和数量这两种变量之间的数量关系，进一步丰富学生的认识，进而通过比较， 抽象出成正比例量的字母表达式；最后，借助富有层次性的练习题，由浅入深，由表及里， 促使学生逐步把握成正比例量的特点，深化对正比例意义的理解。 三、教学目标：（知识与技能、方法与过程、情感态度与价值观）（知识与
2、技能、方法与过程、情感态度与价值观） 知识与技能：使学生结合具体实例认识成正比例的量，初步理解正比例的意义，能正确 判断两种相关联的量是不是成正比例。 方法与过程：使学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会变量的特点，感受用数学 模型表示特定数量关系及其变化规律的过程和方法， 获得从生活现象中抽象出数学知识和规 律的意识，发展数学思维能力。 情感态度与价值观： 使学生在参与数学活动的过程中， 进一步体会数学与日常生活的密 切联系，获得一些学习成功的体验，激发对数学学习的兴趣。 四、教学重、难点： 教学重点：能结合情境认识成正比例量的特点，加深对正比例量的理解。 教学难点：能根据正比例的意义，正
3、确判断两种相关联的量是否成正比例。 五、设计理念： 从教学内容上看，本课的核心问题有两个： “两个相关联的量”和“它们的比值一定” 。 相关联的量是成正比例的量的上位概念， 厘清其内涵可以为学生的学习提供一个广阔的知识 背景，使学生能够洞察知识发生、发展的过程。课堂始终围绕这两个核心问题展开。例 1 采用导学方式，教师借助核心问题帮助学生初步理解正比例的意义； “试一试”采用自主学 习的方式，学生参照核心问题与书本对话、与同伴对话，进一步理解正比例的意义，并抽象 出一般表达式。在教学设计时，又适当地重新组织教学内容，教学例 1 时，同时出示了分别 记录甲、乙两车 2 份不同的行驶时间和路程的情
4、况的表让学生研究；教学试一试时，让学生 自主选择一种学习用品进行填表，引导学生发现其中的规律，最后通过比较，得出判断两种 量能不能成正比例的一般条件，并抽象出正比例关系的一般表达式。 六、教法与学法： 教法：以导为主，给予学生充分的时间和空间，引导学生质疑、比较、概括，以学定教； 运用启发式教学，精心设计富有启发性、针对性、层次性的问题。 学法：采用自主学习、小组合作学习方式，充分运用观察、比较、归纳、概括等方法。 七、教学准备： 课件 1 套、课堂导学单 1 份、课堂检测单 1 份。 八、教学过程设计： 创设情境，建立表象创设情境，建立表象 1.导入： 同学们， 告诉大家一个好消息， 下周我
5、们学校将要组织同学们去天目湖开展社会实践活 动。 大家高兴吗？那， 外出之前我们肯定要做一些准备工作。 先来看小明购买矿泉水的情况： 数量/瓶 1 2 3 4 总价/元 2 1 瓶矿泉水 2 元，2 瓶多少元？3 瓶呢？（生：）观察表格，你发现了什么？（生：） 也就是说：总价随着单价的变化而变化。 继续来看！小丽带了 20 元钱去买面包： 单价/元 1 2 4 5 10 数量/个 买 1 元一个的能买几个？2 元一个的能买几个？你又发现了什么？ 也就是说：数量随着单价的变化而变化。 生活中经常会遇到这样的情况：一种量变化，另一种量也随着变化。指出：像这样的两 种量我们把它叫做“两种相关联的量”
6、 。 （板书 1：两种相关联的量） 2.举例： 你还能举出这样“两种相关联的量”的例子来吗？谁来说一说？（生：做题目：已做 的和未做的；速度一样的情况下：时间和路程；） 3.判断： 老师也带来了一些，请看。判断下面的两种量是不是相关联的量？ 三（3）班的分组情况 新华字典的本数和高度情况 小明从家去学校的情况 圆周长和圆周率 学生逐一判断并说明理由。 （其中，表这两种量不是相关联的量，因为圆周率不会随 着圆周长的变化而变化。 ） 【设计意图：什么是“两种相关联的量”是本节课的核心问题之一，成正比例的量的前 提是两种相关联的量，弄清相关联的量是学习成正比例的关键。对于何为相关联，学生会觉 得很抽
7、象，因此我创设了“同学们开展社会实践活动的准备”这一现实情境，从 2 个简单的 数量关系入手，让学生感受到两种量之间的“连动”关系，从而清楚认识两种相关联的量。 在此基础上，让学生进一步辨析，深刻理解两种相关联量的含义。 】 抽象概括，揭示意义抽象概括，揭示意义 1.出示： （结合例题） 表：指：这是甲车行驶的时间和所行的路程情况； 时间/时 1 2 3 4 5 路程/千米 80 160 240 320 400 表：乙车行驶的时间和所行的路程情况。 时间/时 1 2 3 4 5 路程/千米 80 150 246 308 415 思考一： （老师带来了 2 个问题，首先来看第 1 个） 表、表中
8、各有哪两种量?（生：）它们相关联吗?（生：） 哪个表中的两种量的变化更有规律?（生：） 分析： （好，那我们现在重点来研究表。 ） 思考二： 看一看：观察表中的数据，你有什么发现？（生：时间扩大，路程也随着扩大，反 之，）引导学生横向看：时间和路程这两种相关联的量是变化的。 （板书 2：变化） 算一算：写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值，看看有什么发现？（师结 合学生回答。板书 3：80/180；160/2=80；240/3=80）这里的比值，表示什么？（生：速 度。 ）这些比值都是 80，又说明了什么？（生：速度保持不变）其实如果我们纵向看：也能 得到速度这个比值是不变的。 （板书
9、4：不变） 想一想：像这样的比的式子多不多，能写得完吗？怎么办？（生：）如果用一个 式子来概括这些算式，这个式子该怎么写？ 板书 5：路程 时间 速度（一定 一定） 强调：这里的速度是“一定”的。补充板书：一定。 揭示：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和相对应的 时间的比值总是一定（也就是速度一定）时，路程和时间成正比例关系，路程和时间是成正 比例的量。这就是我们今天要研究的内容。 （板书 6：正比例） 验证判断：现在我们再回过头来来看表，表中的时间和路程也是相关联的量，这 两个量也能成正比例吗？（生：）为什么？（生：） 【设计意图： 核心问题是统整全课的大问题，
10、它需要一系列的关键性问题来引导学生思 考。上述教学环节，我借助几个关键性的问题，让学生充分经历数据的变化过程，体会变化 中的不变。 首先指向关联的问题， 促使学生发现时间和路程之间的变化规律， 即时间在扩大， 路程也随着扩大，反之亦然；其次是指向比值的问题，让学生发现变化中的不变，即速度始 终是一定的；再次是指向数形关系的问题，在很多“数”的基础上引导概括出“关系式” ， 帮助学生建立成正比例的两种量的表象， 基于了学生深入学习的需求； 最后指向判断的问题， 充分利用不成正比例的表格数据，引导学生观察、思考，并和例题 1 的表格数据形成强烈的 对比，进一步弄清成正比例的两个必要条件之一就是“比
11、值一定” 。 】 2.探究： （试一试） 课堂导学单：购买同一种学习用品的数量和总价如下表： （部分学习用品的参考价格： 铅笔 0.4 元/支；橡皮 0.5 元/块；练习本 0.8 元/本；圆规 5 元/把；钢笔 8 元/支。 ） 我想购买的学习用品是： 。 数量/( ) 总价/元 【导学提示】 （请一位同学读一下导学提示） 自己选择一种学习用品后把上表填写完整。 说说总价是随着哪个量的变化而变化的？ 写出几组相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小。 你能用一个式子来概括一下上面第题的这些算式吗？ 请两位学生上台汇报交流！ （生：）同学们有没有发现：尽管我们所购买的学习用 品不一样， 它们的
12、比值也有所区别， 但都可以用同一个式子来概括！什么式子？（生：） 板书 7：总价 数量 单价（一定 一定） 这里的单价一定吗？（生：）补充板书：一定。 【设计意图：为充分发挥学生的主体作用，体现学习的自主性，我对“试一试”进行了 适当的拓展，即利用学生熟悉的购物经历，让学生自主选择一种学习用品进行填表，从而引 导学生在另一组数量关系中继续感知正比例关系， 它的认知线索与例题 1 相似， 但留给学生 的空间更大。因此，我在教学方式上由扶到放，通过设计的几个关键问题，在导学提示下让 学生自主探究，通过汇报交流后得出：尽管他们所选的学习用品不一样，相应的比值也不一 样，但它们的函数关系式却是一样的，
13、从而得到另一组正比例关系的量。 】 3.比较： 异中求同：观察这里的例题和试一试，它们有什么相同的地方？（生：） （补充 板书 8：它们的比值一定）指出：这就是判断两个量能否成正比例关系的条件！ 丰富感知： 生活中还有哪些成正比例的量？你能举例说一说吗？ （生： ） 还有吗？ （生：）这样的例子太多太多了，我们可以用省略号来表示。 （板书 9：） 概括：如果把这么多表示正比例关系的式子概括成一个式子，你有什么好办法？ （生：）指出：一般情况下，我们可以借助字母来表示，如果用 x、y 表示两种量，用 k 表示它们的比值，正比例关系该如何表示？k 保持不变，可以怎么加以强调？（生：） 板书 10：
14、y x k（一定 一定） 问：在这个关系式中，谁是变化的？ 思考： 你觉得要判断两个量能否成正比例应具备几个条件？哪两个条件？ （生： ） 【设计意图：这一环节突破了具体实例，实现对核心问题的最终解决。问题是对前两 个问题的归纳抽象，为由特殊到一般进行铺垫；问题引导学生寻找生活中相似的实例，可 以进一步丰富学生的体验； 问题基于问题解决的需要， 促使学生寻求更为一般的表达方法， 即字母表达式，这一过程使得学生的思维从感性走向理性，也为学习积累了经验；问题通 过追问提升学生思维水平，同时很有针对性的指向了问题的核心，即“变化两种相关联的 量”和“不变它们的比例一定” ，这也是判断两个量能否成正比
15、例的必备条件。 】 分层练习，深化拓展分层练习，深化拓展 接下来我们能不能用我们学过的正比例的知识来解决一些实际问题呢？大家有没有信 心？（生：） 1.判断下面题中的两种量是不是成正比例的量。 购买桔子数/千克 1 2 3 4 应付钱数/元 3.6 7.2 10.8 36 用去的绳子/米 10 20 30 40 50 52 剩下的绳子/米 50 40 30 20 10 8 圆柱的体积/立方厘米 50 100 150 200 250 300 高/厘米 2 4 6 8 10 12 圆柱：这个 25 其实是什么？（生：）你会用式子来表示吗？（生：）老师带 来了这当中的几个圆柱。指出：这里，变的是它的
16、高，变的是它的体积，而不变的是它的底 面积。正所谓“变化”之中有“不变” ！ 2.练习十第 2 题。 课堂检测单： 3.判断：下面哪一个式子表示 a 和 b 这两种量是成正比例关系？ ab8 ba8 ab8 b8a 【设计意图：对于核心问题的深化理解离不开多样的、富有层次的练习。通过正比例中 的“变”与“不变” ，促使学生正确地进行决策，同时对未来进行合理地预测；正例和反例 的运用，让学生牢牢抓住正比例的核心要素“比值一定” ，从而排除其它的诸如“和一定” 、 “差一定” 、 “乘积一定”的不成正比例的反例；通过表格数据的呈现，到解析式的得出，再 到图形的动态演示，加强了表、式、图之间的联系，
17、让学生意识到正比例不仅存在于数量之 中，也存在于图形之中。通过这一系列的练习，既可加深对正比例意义的理解，掌握成正比 例关系的判断方法，又可提高学生判断、推理能力，积累一定的活动经验。 】 整理回顾，全课总结整理回顾，全课总结 今天咱们学了什么内容？你有什么收获？（生：）生活中具有正比例关系的量还有 很多，让我们带着一双善于发现的眼睛下课去找一找，然后再相互说一说！好吗？ 九：板书设计： 两种相关联的量（变化变化） 正正 比比 例例 它们的比值一定（不变不变） 80 1 80，160 2 80，240 3 80， 路程 时间 速度（一定 一定） y x k（一定 一定） 总价 数量 单价（一定
18、 一定） 十：设计思考： 学生在学习正比例概念之前，接触到的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识， 虽然学生过去在学习用字母表示数和运算律的过程中， 对变量思想有过一些感知， 但真正用 函数的观念探索两种相关联的量的变化规律还是第一次。 这对学生的认识来讲是一次质的飞 跃。为此，我在设计时尽量做到以下几点： 1.适当地重新组织教学内容。 教学例题 1 时， 我出示了分别记录甲、 乙两车 2 份不同的行驶时间和路程的情况的表让 学生研究， 顺着学生的思路先来研究变化有规律的表， 在得出甲车所行的路程和时间成正 比例关系的基础上， 引导学生回过头来重新看表， 判断这里的两种相关联的量是不是也能
19、 成正比例？通过这样的正、反例，使学生加深对正比例的认识和理解。在教学试一试时，利 用学生熟悉的购物经历， 让学生自主选择一种学习用品进行填表， 引导学生发现其中的规律， 在学生交流汇报后得出：尽管他们所选的学习用品不一样，相应的比值也不一样，但它们的 函数关系式却是一样的。 2.使学生经历概念的形成过程。 首先，让学生充分经历从“具体化”到“抽象概括”再到“具体化”的过程，如判断“两 种相关联的量”引导学生从生活现象中大量感知，并利用学生比较熟悉的汽车行驶、购买商 品等生活化情境进行探究学习， 归纳出正比例的意义， 利用所学判断两种相关联的量能不能 成正比例。其次，加强了知识之间的比较，如比
20、较例 1 和试一试，有什么共同点？又如甲、 乙两车中，为什么都有两种相关联的量，一个能成正比例，一个却不能，为什么？最后，沟 通了表、式、图之间的联系，如圆柱的高和体积变化规律这道题，从表格数据的呈现，到解 析式的得出，再到图形的动态演示，使学生更直观的理解正比例关系中的“变”与“不变” 。 3.注重学生抽象概括能力的培养。 概念教学要引导学生抽象概括。本节课有三处概括提升：第一次，例题 1，像这样的比 的式子多不多？能写的完吗？如果用一个式子来概括这些算式， 这个式子该怎么写？学生自 然就会想到要把具体的数字式概括成的抽象的数量关系式；第二次，试一试，同学们尽管选 择的学习用品各不一样，比值也不尽相同，但都可以用同一个式子来概括，总价：数量单 价（一定） ，注意和例 1 的不同（例题是单个值相等到关系式；试一试是多个值分别相等到 关系式） ； 第三次， 如果把这么多表示正比例关系的式子概括成一个式子？你有什么好办法？ 表示正比例关系的字母式就呼之欲出， 从而抽象概括了正比例的意义。 通过三次的抽象概括 学生把感性认识上升为理性认识，积累了学习经验。 整节课，学生有思考、有探究，有比较、有概括，力求做到概念教学的意义建构！
