1、第 1 页（共 17 页） 2021 年北京市平谷区高考数学质量监控试卷（一模）年北京市平谷区高考数学质量监控试卷（一模） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分；在每个小题列出的四个选项中，分；在每个小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项.） 1 （4 分）若集合 | 12|Axx 剟， |1Bx x，则AB等于( ) A |12xx B |1x x C |1x x D | 12xx 剟 2 （4 分）设复数z满足(1)1i zi ，则z等于( ) Ai Bi C2i D2i 3 （4 分） 8 2
2、()x x 的展开式中 4 x的系数是( ) A28 B56 C112 D256 4 （4 分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( ) A3 B8 C12 D14 5 （4 分）设P是圆 22 106250 xyxy上的动点，Q是直线4x 上的动点，则|PQ 的最小值为( ) A6 B4 C3 D2 6 （4 分）函数( )(1)f xln x的图象与函数 2 ( )44f xxx的图象的交点个数为( ) A0 B1 C2 D3 7（4 分） 已知函数( )sin()(0f xAxA，0，)R， 则 “( )f x是偶函数” 是 “ 2 ” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充
3、分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页（共 17 页） 8 （4 分）已知 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两个焦点，双 曲线 1 C和圆 222 2: Cxyc的一个交点为P，且 21 3 PF F ，那么双曲线 1 C的离心率为( ) A 5 2 B3 C2 D31 9 （4 分）已知数列 n a满足 1 2 5 a ，且对任意 * nN，都有 11 42 2 nn nn aa aa ，那么 4 a为( ) A 1 7 B7 C 1 10 D10 10 （4 分） 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离
4、为5cm， 秒针绕点O匀速旋转， 当时间： 0t 时， 点A与钟面上标 12 的点B重合， 当0t，60，A，B两点间的距离为d（单位： )cm，则d等于( ) A5sin 2 t B10sin 2 t C5sin 30 t D10sin 60 t 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分；请把答案填在答题卡中相应题中横分；请把答案填在答题卡中相应题中横 线上）线上） 11 （5 分）函数( )3(1)f xxln x的定义域是 12 （5 分）已知抛物线 2 4yx上一点M到焦点的距离为 3，则点M到y轴的距离为 13（5 分） 已知
5、在直角三角形ABC中，90A，1AB ，2BC ， 那么AB BC等于 ； 若AM是BC边上的高，点P在ABC内部或边界上运动，那么AM BP的最大值是 14 （5 分）已知函数( )sin(0)f xx在 2 , 43 上单调递增，那么常数的一个取 值 15 （5 分）从 2008 年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民 经济和日常生活中扮演着日益重要的角色 如图是 2009 年至 2016 年高铁运营总里程数的折 线图（图中的数据均是每年 12 月 31 日的统计结果） 根据上述信息，下列结论中正确的是 2015 年这一年，高铁运营里程数超过 0.5 万公里； 20
6、13 年到 2016 高铁运营里程平均增长率大于 2010 到 2013 高铁运营里程平均增长率； 从 2010 年至 2016 年，新增高铁运营里程数最多的一年是 2014 年； 第 3 页（共 17 页） 从 2010 年至 2016 年，新增高铁运营里程数逐年递增 其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 16 （13 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，PAB为正 三角形，且侧面PAB 底面ABCD，PMMD （
7、）求证：/ /PB平面ACM； （）求二面角MBCD的余弦值 17 （13 分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且32 sin0cbC （）求角B的大小； （）再从下面条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求ABC的面积条件 条件：3 3b ，2a ； 条件：2a ， 4 A 18 （14 分）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生 产的鲜奶和酸奶， 在一地区进行了质量满意调查， 现从消费者人群中随机抽取 500 人次作为 样本，得到如表（单位：人次）: 满意 度 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 第 4 页（共 1
8、7 页） 满意 100 120 120 100 150 120 不满 意 50 30 30 50 50 80 （）从样本中任取 1 个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； （）从该地区的老年人中抽取 2 人，青年人中随机选取 1 人，估计这三人中恰有 2 人对生 产的鲜奶质量满意的概率； （）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升 0.1，使得整 体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果） 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，并且经过(0, 3)P点 （）求椭圆C的方程； （）设过点P的直线与x轴交于N
9、点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称 点为 B ，直线 PB 交x轴于点M，求证：| |OMON为定值 20 （15 分）已知函数 2 1 ( ) x axx f x e （）当0a 时，求函数( )yf x的单调区间； （）当1a 时，过点( 1,0)P 可作几条直线与曲线( )yf x相切？请说明理由 21 （15 分）已知数列 1 :A a， 2 a， 12 (0 nn aaaa，3)n，具有性质P：对任意 i，(1) ji ji j n aa剟?与 ji aa， 两数中至少有一个是该数列中的一项， n S为数列A的前n项 和 （）分别判断数列 0，1，3，5 与数列 0，2，
10、4，6 是否具有性质P； （）证明： 1 0a ，且 2 n n na S ； （）证明：当4n 时， 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a成等差数列 第 5 页（共 17 页） 2021 年北京市平谷区高考数学质量监控试卷（一模）年北京市平谷区高考数学质量监控试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分；在每个小题列出的四个选项中，分；在每个小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项.） 1 （4 分）若集合 | 12|Axx 剟， |1Bx x，则
11、AB等于( ) A |12xx B |1x x C |1x x D | 12xx 剟 【解答】解： | 12|Axx 剟， |1Bx x， |12ABxx 故选：A 2 （4 分）设复数z满足(1)1i zi ，则z等于( ) Ai Bi C2i D2i 【解答】解：由(1)1i zi ，得 2 22 1(1)(1)122 1(1)(1)112 iiiiii zi iii ， 故选：B 3 （4 分） 8 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数是( ) A28 B56 C112 D256 【解答】解： 8 2 ()x x 的展开式的通项公式为 88 2 188 2 ( )2 rrrrrr r
12、 TC xC x x ， 令824r，解得2r ， 所以 8 2 ()x x 的展开式中 4 x的系数是 22 8 2112C 故选：C 4 （4 分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( ) A3 B8 C12 D14 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：由三视图可知，该几何体为圆柱， 其底面半径为 1，高为 3； 故其表面积为： 2 21238 ， 故选：B 5 （4 分）设P是圆 22 106250 xyxy上的动点，Q是直线4x 上的动点，则|PQ 的最小值为( ) A6 B4 C3 D2 【解答】解：P是圆 22 106250 xyxy，即 22 (5)(3)9xy上
13、的动点， 由于圆心(5,3)C，半径等于3R ， Q是直线4x 上的动点，则|PQ的最小值为|936PCR， 故选：A 6 （4 分）函数( )(1)f xln x的图象与函数 2 ( )44f xxx的图象的交点个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】 解： 在同一坐标系中分别画出函数( )(1)f xln x与函数 2 ( )44f xxx的图象， 如图所示， 故函数( )(1)f xln x与函数 2 ( )44f xxx的图象的交点个数为 2， 故选：C 7（4 分） 已知函数( )sin()(0f xAxA，0，)R， 则 “( )f x是偶函数” 是 “ 2 ” 的( ) A
14、充分不必要条件 B必要不充分条件 第 7 页（共 17 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若( )sin()f xAx为偶函数， 则, 2 kkZ ， “( )f x是偶函数”是“ 2 ”的必要不充分条件 故选：B 8 （4 分）已知 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两个焦点，双 曲线 1 C和圆 222 2: Cxyc的一个交点为P，且 21 3 PF F ，那么双曲线 1 C的离心率为( ) A 5 2 B3 C2 D31 【解答】解：由题意如图所示：由题意可得 12 2 FPF ， 因为 21
15、 3 PF F ，所以可得 212 1 | 2 PFFFc， 12 |3|3PFPFc， 所以 12 2|3( 31)aPFPFccc， 所以双曲线的离心率 2 31 31 c e a ， 故选：D 9 （4 分）已知数列 n a满足 1 2 5 a ，且对任意 * nN，都有 11 42 2 nn nn aa aa ，那么 4 a为( ) A 1 7 B7 C 1 10 D10 【解答】解：由 11 42 2 nn nn aa aa ，得 111 422 nnnnnn aaaaaa ， 第 8 页（共 17 页） 1 2 32 n n n a a a ， 2 2 2 1 5 2 4 32 5
16、 a ； 3 1 2 2 4 1 11 32 4 a ； 4 2 2 1 11 2 7 32 11 a ； 故选：A 10 （4 分） 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm， 秒针绕点O匀速旋转， 当时间： 0t 时， 点A与钟面上标 12 的点B重合， 当0t，60，A，B两点间的距离为d（单位： )cm，则d等于( ) A5sin 2 t B10sin 2 t C5sin 30 t D10sin 60 t 【解答】解：因为经过t秒，秒针转过的角度为：2 6030 tt AOB ， 如图，取AB的中点C，连接OC， 则根据直角三角形的性质可得： 1 | 2|sin25sin10sin
17、260 t dABOAAOCAOB ， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分；请把答案填在答题卡中相应题中横分；请把答案填在答题卡中相应题中横 线上）线上） 11 （5 分）函数( )3(1)f xxln x的定义域是 (1，3 【解答】解：由题意得： 30 10 x x ， 第 9 页（共 17 页） 解得：13x ， 故函数的定义域是(1，3， 故答案为：(1，3 12（5 分） 已知抛物线 2 4yx上一点M到焦点的距离为 3， 则点M到y轴的距离为 2 【解答】解：抛物线方程为 2 4yx 焦点为(1,0)F，准线
18、为:1l x 设所求点坐标为( , )M x y 作MQl于Q 根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离 即13x ，解之得2x ， 代入抛物线方程求得4y 故点M坐标为：(2, )y 即点M到y轴的距离为 2 故答案为：2 13 （5 分）已知在直角三角形ABC中，90A，1AB ，2BC ，那么AB BC等于 1 ；若AM是BC边上的高，点P在ABC内部或边界上运动，那么AM BP的最大值 是 【解答】解：如图， 第 10 页（共 17 页） 由1AB ，2BC ，可得3AC ， 以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则(1,0)B，(0, 3)C，直线
19、BC方程为1 3 y x ，则直线AM方程为 3 3 yx， 2 ()1AB BCABACABAB， 联立，解得：(M 3 4 ， 3) 4 ， 由图可知，当P在线段BC上时，AM BP有最大值为 0 故答案为：1.0 14 （5 分）已知函数( )sin(0)f xx在 2 , 43 上单调递增，那么常数的一个取值 3 4 【解答】解：因为函数( )sinf xx的周期 2 T ， 所以 2 ， 2 是( )f x的一个单调递增区间， 又函数( )sin(0)f xx在 2 , 43 上单调递增， 所以 2 , 432 ， 2 ， 于是有， 24 ， 2 23 ， 又0， 解得 3 0 4
20、，故可得常数的一个取值为 3 4 故答案为： 3 4 15 （5 分）从 2008 年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民 第 11 页（共 17 页） 经济和日常生活中扮演着日益重要的角色 如图是 2009 年至 2016 年高铁运营总里程数的折 线图（图中的数据均是每年 12 月 31 日的统计结果） 根据上述信息，下列结论中正确的是 2015 年这一年，高铁运营里程数超过 0.5 万公里； 2013 年到 2016 高铁运营里程平均增长率大于 2010 到 2013 高铁运营里程平均增长率； 从 2010 年至 2016 年，新增高铁运营里程数最多的一年是 201
21、4 年； 从 2010 年至 2016 年，新增高铁运营里程数逐年递增 其中所有正确结论的序号是 【解答】解：看 2014，2015 年对应的纵坐标之差小于21.50.5，故错误， 连线观察 2013 年到 2016 年两点连线斜率更大，故正确， 看两点纵坐标之差哪组最大，故正确， 看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故错误， 故正确的是， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 16 （13 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2
22、 的正方形，PAB为正 三角形，且侧面PAB 底面ABCD，PMMD （）求证：/ /PB平面ACM； （）求二面角MBCD的余弦值 第 12 页（共 17 页） 【解答】证明： （）连接BD交AC于H点，连接MH， 四边形ABCD是菱形，点H为BD的中点 又M为PD的中点，/ /MHBP， 又BP平面ACM，MH 平面ACM， / /PB平面ACM； 解： （）取AB中点O，连接PO， PAB为正三角形，且侧面PAB 底面ABCD，PO平面ABCD， 以O为原点，分别以OB，OH，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则(1B，0，0)，(1C，2，0)， 1 ( 2 M ，1，
23、3) 2 ， (0BC ，2，0)， 3 ( 2 BM ，1， 3) 2 ， 设平面MBC的一个法向量为( , , )mx y z， 由 20 33 0 22 m BCy m BMxyz ，取3z ，得(1,0, 3)m ， 平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n ， 33 cos, |21 3 1 m n m n m n 由图可知，二面角MBCD为锐角，则其余弦值为 3 2 第 13 页（共 17 页） 17 （13 分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且32 sin0cbC （）求角B的大小； （）再从下面条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求ABC的面积条件
24、条件：3 3b ，2a ； 条件：2a ， 4 A 【解答】解：( ) I因为32 sin0cbC， 由正弦定理得，3sin2sinsin0CBC， 因为sin0C ， 所以 3 sin 2 B ， 由B为三角形内角且B为锐角得 3 B ； ()II选：3 3b ，2a ， 由余弦定理得 22 42bcc， 即 2 2230cc， 解得12 6c ， 11336 2 sin2(12 6) 2222 SacB ； 选：2a ， 4 A ， 由正弦定理 2 32 22 b ， 所以6b ， 5 3412 C ， 故 62 sinsin() 434 C ， 第 14 页（共 17 页） 133 si
25、n 22 SabC 18 （14 分）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生 产的鲜奶和酸奶， 在一地区进行了质量满意调查， 现从消费者人群中随机抽取 500 人次作为 样本，得到如表（单位：人次）: 满意 度 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满 意 50 30 30 50 50 80 （）从样本中任取 1 个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； （）从该地区的老年人中抽取 2 人，青年人中随机选取 1 人，估计这三人中恰有 2 人对生 产的鲜奶质量满意的概率； （）依据表
26、中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升 0.1，使得整 体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果） 【解答】解： （）设这个人恰好对生产的酸奶质量满意为事件A，总人次为 500 人， 共抽取得了100120150370人次对酸奶满意，故 37037 ( ) 50050 P A ； （）由频率估计总体，由已知抽取老年人满意度的概率为 4 ( ) 5 P B ， 抽取青年人满意度的概率为 3 ( ) 5 P C ， 抽取这三人中恰有 2 人对生产的鲜奶质量满意的概率 P（D） 12 2 4344356 (1)( )(1) 55555125 C， 所以这三人中恰有 2 人对生产的鲜奶
27、质量满意的概率为 56 125 ； （）青年人 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，并且经过(0, 3)P点 （）求椭圆C的方程； （）设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称 点为 B ，直线 PB 交x轴于点M，求证：| |OMON为定值 第 15 页（共 17 页） 【解答】解： （）由题意可得 1 2 c e a ，3b ， 222 cab， 解得 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆的方程为： 22 1 43 xy ； （）证明：由题意可得直线PB的斜率存在，设为k， 设 1 (P x， 1
28、) y， 2 (B x， 2) y，则 2 (B x， 2) y，( ,0)N m，( ,0)M n， 设直线PB的方程为：()yk xm， 联立 22 () 1 43 yk xm xy ，整理可得： 22222 (34)84120kxk mxk m， 42222 644(34)(412)0k mkk m， 2 12 2 8 34 k m xx k ， 22 12 2 412 34 k m x x k ， 0k ， B ，P，M三点共线， B MPM kk ， 21 21 yy xnxn ，即 1221 ()()0y xnyxn， 整理可得： 1221 ()()()()0k xm xnk xm
29、 xn， 1212 2()()20 x xmn xxmn， 代入韦达定理可得： 222 22 4128 2()20 3434 k mk m mnmn kk ， 可得4mn ，所以 4 (M m ，0)， | |4OMONmn， 当0k 时，PB与x轴重合，也满足条件， 综上所述可证得：| | 4OMON为定值 20 （15 分）已知函数 2 1 ( ) x axx f x e （）当0a 时，求函数( )yf x的单调区间； （）当1a 时，过点( 1,0)P 可作几条直线与曲线( )yf x相切？请说明理由 【解答】解： （）0a 时， 1 ( ) x x f x e ，( ) x x fx
30、 e ， 令( )0fx，解得：0 x ，令( )0fx，解得：0 x ， 故( )f x在(,0)递增，在(0,)递减； （）1a 时， 2 1 ( ) x xx f x e ， 设切点为( , )m n，则 2 ( )() m f mmm e， 第 16 页（共 17 页） 切线方程为 2 ()() m ynmm exm ， 代入( 1,0)，整理可得 32 10mm ， 设 32 ( )1g mmm， 2 ( )32g mmm， 由( )0g m，可得 2 3 m 或0m ，( )0g m，可得 2 0 3 m， 函数( )g m的单调递减区间是 2 ( 3 ，0)，单调递增区间是 2
31、(,) 3 ，(0,)； 2 ()0 3 g ，(0)0g， ( )0g m有唯一解， 过点( 1,0)P 可作 1 条直线与曲线( )yf x相切 21 （15 分）已知数列 1 :A a， 2 a， 12 (0 nn aaaa，3)n，具有性质P：对任意 i，(1) ji ji j n aa剟?与 ji aa， 两数中至少有一个是该数列中的一项， n S为数列A的前n项 和 （）分别判断数列 0，1，3，5 与数列 0，2，4，6 是否具有性质P； （）证明： 1 0a ，且 2 n n na S ； （）证明：当4n 时， 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a成等差数列 【解答
32、】解： （）解：因为134A，3 12A ，故数列 0，1，3，5 不具有性质P， 因为202，202；404，404；606，606；426，422； 628，624；6410，642， 这六组数中，每组中的两个数至少有一个是数列 0，2，4，6 中的项，故数列 0，2，4，6 具有性质P （）证明：因为数列 1 :A a， 2 a， 12 (0 nn aaaa，3)n，具有性质P， 所以 nn aa与 nn aa中至少有一个是数列A中的项， 因为 12 0 n aaa，所以 nn aaA， nn aaA， 所以 1 0a ， 由数列A具有性质P，可知(1 nk aaA k，2，3，)n， 所以 123nnnnn aaaaaaaa， 所以 1nn aaa， 21nn aaa ， 第 17 页（共 17 页） 32nn aaa ， 1nn aaa， 从而 12121 () nnnnn naaaaaaaa ， 所以 nnn naSS，所以 2 n n na S （）由（）可知 542 aaa， 533 aaa，所以 5423 2aaaa， 322 aaa，所以 32 2aa， 42 3aa， 52 4aa， 所以数列 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a是以 0 为首项， 2 a为公差的等差数列
