1、第 1 页（共 20 页） 2021 年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第二次质检年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第二次质检 试卷（文科）试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 |012Mxx ， | 11Nxx ，则(MN ) A 1 B | 11xx 剟 C | 11xx D 1，0，1 2 （5 分）若复数z满足(1)2i z，则 2 |2 | (zz ) A0 B
2、1 C2 D2 3 （5 分）随着“互联网”上升为国家战略，某地依托“互联网智慧农业”推动精准扶 贫其地域内A山村的经济收入从 2018 年的 4 万元，增长到 2019 年的 14 万元，2020 年更 是达到 52 万元，在实现华丽蜕变的过程中，村里的支柱性收入也在悄悄发生变化，具体如 图所示则下列结论正确的是( ) A2020 年外出务工收入比 2019 年外出务工收入减少 B种植收入 2020 年增长不足 2019 年的 2 倍 C2020 年养殖收入与 2019 年其它收入持平 D2020 年其它收入比 2019 年全部收入总和高 4 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0) 1
3、 xy Cm mm 的焦点为 1 F， 2 F，虚轴上端点为A，若 12 2 3 F AF ，则(m ) A2 B 2 2 C1 D2 5 （5 分）已知直线m，n和平面， 命题p：若m，n，/ /，则直线m与直线n平行或异面； 第 2 页（共 20 页） 命题q：若/ /m，/ /，则/ /m； 命题s：若，m，过平面内一点作直线m的垂线n，则n 则下列为真命题的是( ) A()pq B()ps C()qs D()()pq 6 （5 分）如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉 子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间小 球每
4、次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不 同位置收集到小球若一个小球从正上方落下，落到 2 号位置的概率是( ) A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 1 6 7 （5 分）在四边形ABCD中，/ /ADBC，2AB ，4AD ，60A，点E在线段CB的 延长线上，且AEBE，则(EA BD ) A6 B6 C5 D5 8 （5 分）将函数3sin(2) 4 yx 的图象向左平移 6 个单位长度，则平移后的图象与y轴最 近的对称轴方程是( ) A 5 24 x B 7 24 x C 24 x D 5 24 x 9 （5 分）已知5630 xy ，logxz
5、y，则x，y，z的大小关系为( ) Axyz Bzyx Cyxz Dzxy 10 （5 分）已知直线l过第一象限的点( , )m n和(1,5)，直线l的倾斜角为135，则 14 mn 的 最小值为( ) 第 3 页（共 20 页） A4 B9 C 2 3 D 3 2 11 （5 分） 已知抛物线 2 4yx， 过其焦点F作抛物线相互垂直的两条弦AB、CD， 设AB、 CD的中点分别为M、N，则直线MN与x轴交点的坐标是( ) A(2,0) B(3,0) C(4,0) D不能确定 12 （5 分）设函数 322 ( )2()f xxmxm xm xR当3m 时，对于三角形的内角A， 若存在 1
6、x ，0，使 22 (cos)(cos1)f xAfxA 成立，则A的可能取值是( ) A 2 5 B 3 8 C 4 5 D 2 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）函数( ) xx f xxee的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为 14 （5 分）已知实数x，y满足约束条件1 1 y x xy y ，则2zxy的最小值为 15（5 分） 已知ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c， 且3b ，2ac， 2 3 A 则 ABC的面积为 16（5 分） 已知四棱锥PABCD的顶点均在球O的球面上，
7、底面ABCD是正方形，2 3AB ， 120APB，当ADAP时，球O的表面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）2020 年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者 8 万多人.2019年 7 月份 以来，共完成 1931 个志愿服务项目，8900 多名志愿者开展
8、志愿服务活动累计超过 150 万小 时为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了 500 名志愿者，得到其平 均每月的志愿服务时长（单位：小时）频数分布表如下： 500 名志愿者平均每月的志愿服务时长频数分布表 服务时长 5.5，6.5) 6.5， 7.5) 7.5， 8.5) 8.5，9.5) 9.5， 10.5) 10.5， 11.5) 11.5， 12.5 频数 10 50 100 190 90 40 20 第 4 页（共 20 页） （1）作出这 500 名志愿者平均每月的志愿服务时长的频率分布直方图； （2）求这 500 名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差
9、2 s（同一组中的数据 用该组区间的中间值代表） 18 （12 分）已知数列 n a为等比数列， 3 8a ，其中 3 a， 4 4a ， 5 a成等差数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba， 1 1 n nn c bb ，求数列 n c的前n项和 n T 19 （12 分）如图所示的五面体中，四边形ABCD是正方形，平面ADE 平面CDEF， 22ABEDEF，60EAD （1）证明：平面ADE 平面ABCD； （2）求三棱锥FABD的体积 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 2 2 e ，过右焦点( ,0)F
10、c的直线 yxc与椭圆交于A，B两点，A在第一象限，且|2AF （1）求椭圆C的方程； （2）若过点F的任一直线l与椭圆C交于两点P、Q证明：在x轴上存在点M，使得 MP MQ为定值 第 5 页（共 20 页） 21 （12 分）已知函数( )1f xax，( )(g xlnx a 为常数，)aR （1）若( )( )f xg x恒成立，求实数a的取值范围； （2）判断方程 2 sin(1)xxxlnx是否存在实数解；如果存在，求出解的个数；如果不存 在，请说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选
11、一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 1 C的参数方程为 cos ( 1sin x y 为参数） ，直线l的极坐标方程为 1 sin()0 32 （1）求曲线 1 C普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知曲线 1 C和直线l相交于A、B两点，求三角形ABO面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( )2|1|1|f xxx （1）解不等式( ) 1f x ； （2）对xR ，( )|33|f xm
12、x恒成立，求m的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2021 年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第二次质检年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第二次质检 试卷（文科）试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 |012Mxx ， | 11Nxx ，则(MN ) A 1 B | 11xx 剟 C | 11xx D 1，0，1 【解答】解： |
13、 11Mxx， | 11Nxx ， | 11MNxx 剟 故选：B 2 （5 分）若复数z满足(1)2i z，则 2 |2 | (zz ) A0 B1 C2 D2 【解答】解：(1)2i z， (1)(1)2(1)ii zi，1zi 则 22 2(1)12zzz ， 2 |2 | 2zz， 故选：D 3 （5 分）随着“互联网”上升为国家战略，某地依托“互联网智慧农业”推动精准扶 贫其地域内A山村的经济收入从 2018 年的 4 万元，增长到 2019 年的 14 万元，2020 年更 是达到 52 万元，在实现华丽蜕变的过程中，村里的支柱性收入也在悄悄发生变化，具体如 图所示则下列结论正确的
14、是( ) 第 7 页（共 20 页） A2020 年外出务工收入比 2019 年外出务工收入减少 B种植收入 2020 年增长不足 2019 年的 2 倍 C2020 年养殖收入与 2019 年其它收入持平 D2020 年其它收入比 2019 年全部收入总和高 【解答】解：对于A，2020 年外出务工收入为525%2.6万元， 2019 年外出务工收入为14 15%2.1万元， 2020年外出务工收入比 2019 年外出务工收入增加，故A错误； 对于B，2020 年种植收入为5250%26万元， 2019 年种植收入为1445%6.3万元， 种植收入 2020 年增长是 2019 年的 266
15、.3 3.1272 6.3 倍，故B错误； 对于C，2020 年养殖收入为525%2.6万元， 2019 年其它收入为145%0.7万元， 2020 年养殖收入与 2019 年其它收入并不持平，故C错误； 对于D，2020 年其它收入为5240%20.8万元， 2019 年全部收入总和为 14 万元， 2020年其它收入比 2019 年全部收入总和高，故D正确 故选：D 4 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0) 1 xy Cm mm 的焦点为 1 F， 2 F，虚轴上端点为A，若 12 2 3 F AF ，则(m ) A2 B 2 2 C1 D2 【解答】解：双曲线 22 22 :1(
16、0) 1 xy Cm mm 的焦点为 1 F， 2 F，虚轴上端点为A， 12 2 3 F AF ， 可得tan3 3 c b ， 即 2 21 3 m m ， 解得1m 故选：C 第 8 页（共 20 页） 5 （5 分）已知直线m，n和平面， 命题p：若m，n，/ /，则直线m与直线n平行或异面； 命题q：若/ /m，/ /，则/ /m； 命题s：若，m，过平面内一点作直线m的垂线n，则n 则下列为真命题的是( ) A()pq B()ps C()qs D()()pq 【解答】解：若/ /，m，n，由于平面与平面没有交点，所以直线m与直 线n平行或异面，即命题p是真命题； 若/ /m，/ /
17、，则直线m与平面没有交点，/ /m成立，即命题q是真命题； 若，m，过平面内一点作直线m的垂线n，由面面垂直的性质定理得， n命题s是真命题 则对于A，()pq 是真命题， 对于B，p是真命题，则p是假命题，s是真命题，则()ps是假命题，故B错误， 对于C，s是真命题，则s是假命题，q是真命题，则()qs 是假命题，故C错误， 对于D，p是真命题，则p是假命题，q是真命题，则q是假命题，则pq 是假命 题， 故选：A 6 （5 分）如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉 子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间小 球每次下落
18、，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不 同位置收集到小球若一个小球从正上方落下，落到 2 号位置的概率是( ) 第 9 页（共 20 页） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 1 6 【解答】解：小球落到位置 1 的概率为 2 11 ( ) 24 ， 小球落到位置 3 的概率为 2 11 ( ) 24 ， 所以小球落到位置 2 的概率为 111 1 442 ， 故选：C 7 （5 分）在四边形ABCD中，/ /ADBC，2AB ，4AD ，60A，点E在线段CB的 延长线上，且AEBE，则(EA BD ) A6 B6 C5 D5 【解答】解：如图 因为：在四
19、边形ABCD中，/ /ADBC，2AB ，4AD ，60A， 点E在线段CB的延长线上，且AEBE； 2AEBEAB； / /BEAD且 1 2 BEAD， 22 22 113131 () ()() ()42426 222222 EA BDEBBAADABADABADABADAD ABAB ， 故选：A 8 （5 分）将函数3sin(2) 4 yx 的图象向左平移 6 个单位长度，则平移后的图象与y轴最 近的对称轴方程是( ) A 5 24 x B 7 24 x C 24 x D 5 24 x 【 解 答 】 解 ： 函 数3sin(2) 4 yx 的 图 象 向 左 平 移 6 个 单 位
20、长 度 ， 得 到 3sin(2)3sin(2) 3412 yxx ， 第 10 页（共 20 页） 令2() 122 xkkZ ，解得 5 () 224 k xkZ ， 当0k 时， 5 24 x ， 当1k 时， 7 24 x ， 故选：A 9 （5 分）已知5630 xy ，logxzy，则x，y，z的大小关系为( ) Axyz Bzyx Cyxz Dzxy 【解答】解：由5630 xy ，得 55 log 301log 6x ， 66 log 301log 5y ， 56 log 6log 50，1xy ； 又loglog1 xx zyx， zyx 故选：B 10 （5 分）已知直线l
21、过第一象限的点( , )m n和(1,5)，直线l的倾斜角为135，则 14 mn 的 最小值为( ) A4 B9 C 2 3 D 3 2 【解答】解：根据题意，直线l过第一象限的点( , )m n和(1,5)，直线l的倾斜角为135， 则 5 1 1 n m ，变形可得6mn， 则 1411414 ()()(5) 66 mn mn mnmnnm ， 又由点( , )m n在第一象限，即0m ，0n ， 则有 44 24 mnmn nmnm ，当且仅当2nm时等号成立， 故 14143 (5) 62 mn mnnm ，即 14 mn 的最小值为 3 2 ， 故选：D 11 （5 分） 已知抛物
22、线 2 4yx， 过其焦点F作抛物线相互垂直的两条弦AB、CD， 设AB、 CD的中点分别为M、N，则直线MN与x轴交点的坐标是( ) A(2,0) B(3,0) C(4,0) D不能确定 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点(1,0)F，显然过F的互相垂直的直线的斜率存在且 不为 0， 第 11 页（共 20 页） 设直线AB的方程为：1xmy，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 1 4 xmy yx ，整理可得： 2 440ymy， 所以 12 4yym，则 2 1212 ()242xxm yym， 所以AB的中点M的坐标 2 (21m ，2 )m， 由题意
23、可得直线CD的方程为： 1 1xy m ，设 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y， 联立 2 1 1 4 xy m yx 整理可得： 2 4 40yy m ， 则 34 4 yy m ， 所以CD的中 点N的纵坐标 为： 2 m ，代 入直线CD的方 程为 2 122 ()11x mmm ， 所以CD的中点 2 2 (1N m ， 2 ) m ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 211 MN m m m k m m m ， 所以直线MN的方程为： 2 2 2(21) 1 m ymxm m ， 令0y ，可得：3x ， 故选：B 12 （5 分）设函数 322 ( )2()f
24、 xxmxm xm xR当3m 时，对于三角形的内角A， 若存在 1x ，0，使 22 (cos)(cos1)f xAfxA 成立，则A的可能取值是( ) A 2 5 B 3 8 C 4 5 D 2 3 【解答】 解： 函数 322 ( )2()f xxmxm xm xR， 22 ( )343()() 3 m fxxmxmxm x， 当3m 时，( )0fx在(，1上恒成立， 所以( )f x在(，1上单调递增， 当 1x ，0时， 22 cos1xA，cos1 1xA ， 所以不等式 22 (cos)(cos1)f xAfxA 等价于 22 coscos1xAxA ， 第 12 页（共 20
25、 页） 即 22 coscos1AAxx， 因为存在 1x ，0，使 22 (cos)(cos1)f xAfxA 成立， 则 22 coscos(1)minAAxx， 因为 22 133 1() 244 xxx ， 所以 2 3 coscos 4 AA，所以 2 1 (cos)1 2 A， 所以 1 cos 2 A ，因为0A， 所以 2 3 A ， 结合选项可知，A的可能取值为 4 5 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）函数( ) xx f xxee的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为 yexe
26、 【解答】解：函数( ) xx f xxee的导数为：( ) x f xxe， 所以f（1）e，f（1）0， 所以函数( ) xx f xxee的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为：(1)ye x， 故答案为：yexe 14 （5 分）已知实数x，y满足约束条件1 1 y x xy y ，则2zxy的最小值为 3 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分 由2zxy可得2yxz ，则z表示直线2yxz 在y轴上的截距，截距越小，z越小 由题意可得，当2yxz 经过点C时，z最小 由 1y yx ，可得( 1, 1)A ， 此时3z 故答案为：3 第 13 页（共 20 页
27、） 15（5 分） 已知ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c， 且3b ，2ac， 2 3 A 则 ABC的面积为 15 3 4 【解答】解：由已知得 222 3 2 2 2cos 3 b ac abcbc ， 将前两个式子代入第三个式子后解得：5c ，7a 故 11215 3 sin3 5 sin 2234 ABC SbcA 故答案为：15 3 4 16（5 分） 已知四棱锥PABCD的顶点均在球O的球面上， 底面ABCD是正方形，2 3AB ， 120APB，当ADAP时，球O的表面积为 28 【解答】解：如图所示： 由于四棱锥PABCD的顶点均在球O的球面上，底面ABCD是正方形
28、，2 3AB ， 第 14 页（共 20 页） 120APB， 所以PAB为等腰三角形， 设PAB的外接圆的圆心为E， 设外接圆的半径为R， 所以在PAB中，利用正弦定理 2 3 24 sin1203 2 AB R ，解得2R ， 四棱锥PABCD的顶点均在球O的球面上，所以球心在垂直于平面ABCD，经过正方形 ABCD的中心， 设球心为O， 所以球的半径 2222 (2)( 3)7POPEOE， 所以 2 4( 7)28S 球 故答案为：28 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题
29、为必考 题，每个试题考生题，每个试题考生都必须作答。第都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）2020 年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者 8 万多人.2019年 7 月份 以来，共完成 1931 个志愿服务项目，8900 多名志愿者开展志愿服务活动累计超过 150 万小 时为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了 500 名志愿者，得到其平 均每月的志愿服务时长（单位：小时）频数分布表如下： 500 名志愿者平均每月的志愿服务时长频数分布表 服务时长
30、 5.5，6.5) 6.5， 7.5) 7.5， 8.5) 8.5，9.5) 9.5， 10.5) 10.5， 11.5) 11.5， 12.5 频数 10 50 100 190 90 40 20 （1）作出这 500 名志愿者平均每月的志愿服务时长的频率分布直方图； （2）求这 500 名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差 2 s（同一组中的数据 用该组区间的中间值代表） 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）频率分布直方图如图所示： （2）样本平均数60.0270.180.290.38100.1811 0.08120.049x ； 样本方差 22222222 (69
31、)0.02(79)0.1(89)0.2(99)0.38(109)0.18(119)0.08(129)0.041.64s 18 （12 分）已知数列 n a为等比数列， 3 8a ，其中 3 a， 4 4a ， 5 a成等差数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba， 1 1 n nn c bb ，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1）设数列 n a的公比为q， 3 8a ， 3 a， 4 4a ， 5 a成等差数列， 435 2(4)aaa，即 2 2(84)88qq ，解得：2q 或0q （舍)， 3 3 2 nn n aa q ； （2）由（1
32、）可得： 2 log 2 n b n n， 111 (1)1 n c n nnn ， 第 16 页（共 20 页） 111111 11 223111 n n T nnnn 19 （12 分）如图所示的五面体中，四边形ABCD是正方形，平面ADE 平面CDEF， 22ABEDEF，60EAD （1）证明：平面ADE 平面ABCD； （2）求三棱锥FABD的体积 【解答】解： （1）证明：由ABED，60EAD，可得ADE为等边三角形， 取DE的中点H，连接AH，可得AHDE， 由平面ADE 平面CDEF，平面ADE平面CDEFED， 可得AH 平面CDEF，则AHCD， 由四边形ABCD是正方形
33、， 可得CDAD， 由ADAHA，可得CD 平面ADE， 而CD 平面ABCD， 所以平面ADE 平面ABCD； （2）由/ /CDAB，AB平面CDEF，CD 平面CDEF， 可得/ /AB平面CDEF， 又平面ABEF平面CDEFEF，可得/ /ABEF， EF 平面ABCD，AB平面ABCD， 可得/ /EF平面ABCD， 所以F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离 取AD的中点G，连接EG，可得EGAD， 由平面ADE 平面ABCD，可得EG 平面ABCD， 由边长为 2 的等边三角形ABD，可得3EG ， 第 17 页（共 20 页） 所以三棱锥FABD的体积为 1112 3
34、 322 3323 ABD EG S 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 2 2 e ，过右焦点( ,0)F c的直线 yxc与椭圆交于A，B两点，A在第一象限，且|2AF （1）求椭圆C的方程； （2）若过点F的任一直线l与椭圆C交于两点P、Q证明：在x轴上存在点M，使得 MP MQ为定值 【解答】解： （1）直线yxc的倾斜角为45，且|2AF ， 点(1,1)A c， 2 22 222 2 2 (1)1 1 c a c ab abc ，解得： 3 2 3 3 a b c ， 椭圆C的方程为： 22 1 189 xy 第 18 页（共 20 页
35、） （2）设( ,0)M m，直线l的方程为：3xty， 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 联立方程 22 3 1 189 xty xy ，消去x得： 22 (2)690tyty， 12 2 6 2 t yy t ， 12 2 9 2 y y t ， 1 (MPxm， 1) y， 2 (MQxm， 2) y， 1212 ()()MP MQxm xmy y 2 1 21212 ()x xm xxmy y 2 121212 (3)(3)(33)tytym tytymy y 22 12121212 3 ()9()6t y yt yymt yymmy y 22 22 96 (1)
36、()(3)()69 22 t ttmtmm tt 22 2 2 2796 69 2 tmt mm t 令 222 22 2796(627)9 22 tmtmt tt 为定值， 则 6279 12 m ，解得： 15 4 m ， 此时 222 22 2796(627)99 222 tmtmt tt 为定值，MP MQ也为定值， 所以存在 15 ( 4 M，0)，使得MP MQ为定值 21 （12 分）已知函数( )1f xax，( )(g xlnx a 为常数，)aR （1）若( )( )f xg x恒成立，求实数a的取值范围； （2）判断方程 2 sin(1)xxxlnx是否存在实数解；如果存
37、在，求出解的个数；如果不存 在，请说明理由 【解答】 解： （1） 因为0 x ， 由( )( )f x gx对0 x 恒成立， 可得 1lnx a x 对0 x 恒成立， 设 1 ( ) lnx m x x ，则 2 ( ) lnx m x x ， 当01x时，( )0m x，则( )m x单调递减； 当1x 时，( )0m x，则( )m x单调递增， 所以当1x 时，( )m x的最小值为m（1）1，所以1a， 第 19 页（共 20 页） 故实数a的取值范围为(，1； （2）方程 2 sin(1)xxxlnx不存在实数解， 由（1）可知，当1a 时，1 0 xlnx ，即1lnx x，
38、当且仅当1x 时取等号， 设 2 ( )(1)sinh xxxlnxx， 则 2 ( )(1)(1)sin1 sinh xxxxxx （当且仅当1x 时取等号） ， 又1 sin0 x，当且仅当2, 2 xkkN 时等号成立， 所以对任意0 x ，( )0h x 恒成立， 所以函数 2 ( )(1)sinh xxxlnxx无零点， 故方程 2 sin(1)xxxlnx不存在实数解 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方
39、程：坐标系与参数方程 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 1 C的参数方程为 cos ( 1sin x y 为参数） ，直线l的极坐标方程为 1 sin()0 32 （1）求曲线 1 C普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知曲线 1 C和直线l相交于A、B两点，求三角形ABO面积 【解答】解： （1）曲线 1 C的参数方程为 cos ( 1sin x y 为参数） ，转换为普通方程为 22 (1)1xy； 直线l的极坐标方程为 1 sin()0 32 ，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为 3
40、10 xy （2）原点(0,0)到直线310 xy 的距离 2 11 2 ( 3)1 d ， 由于圆心(0,1)到直线310 xy 的距离 2 0 0 ( 3)1 d ， 第 20 页（共 20 页） 故| 2AB ， 所以 111 2 222 AOB S 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( )2|1|1|f xxx （1）解不等式( ) 1f x ； （2）对xR ，( )|33|f xmx恒成立，求m的取值范围 【解答】解： （1）函数 3,1 ( )2|1|1|31, 11 3,1 xx f xxxxx xx ， 不等式( ) 1f x 等价于 1 3 1 x x ，或 11 31 1 x x ，或 1 3 1 x x ， 解得4x，或10 x ，或1x， 所以不等式( ) 1f x 的解集为(，04，)； （2）对xR ，( )|33|f xmx恒成立， 等价于对xR ，2|1|1|33|xxmx恒成立， 即2|1| 2|1|mxx恒成立， 设( )2|1| 2|1|g xxx，xR， 则( ) 2|(1)(1)| 224g xxx，当且仅当11x 剟时取“” ， 所以( )g x的最小值为 4， 所以m的取值范围是(,4)
