1、第 1 页（共 25 页） 2021 年广东省汕头市高考数学一模试卷（年广东省汕头市高考数学一模试卷（B 卷）卷） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合|04AxZx， |(1)(2)0Bxxx，xN，则(AB ) A1 B1，2 C0，1，2，3 D 1， 0， 1， 2，3 2 （5 分）在复平面内，复数 3 1 i i 的共轭复数对应点的坐标所在的象限是( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第
2、四象限 3 （5 分）若 1 ( )3 5 a ，则 1 5 log 15(a ) A1 B1 C 1 5 D3 4 （5 分）已知sin()3cos() 36 ，则sin2的值是( ) A2 3 B 4 3 7 C2 3 D 4 3 7 5 （5 分）在正项等比数列 n a中， 24 16aa， 45 24aa，则数列 n a的通项公式为( ) A 1 2n n a B2n n a C3n n a D 1 3n n a 6 （5 分）已知1x ，0y ，且3 (1)8yxx，则3xy的最小值是( ) A8 B6 C15 2 D 13 2 7 （5 分）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金
3、螺旋” ，它的画法是：以斐波那契 数：1，1，2，3，5，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90 的圆弧， 这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线 自然界存在很多斐波拉契螺旋线的 图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对 应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为( ) 第 2 页（共 25 页） A 4 60 3 B 2 60 3 C125 15 192 D125 15 64 8 （5 分）在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照 3（语文、数学、英语） 2（物理、历史）选14（化学、生物、地理、政治）选 2 的模式设置的，
4、则在选考的科 目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为( ) A 1 4 B 1 3 C 5 12 D 1 2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项符合符合 题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知椭圆 22 :1 63 xy C的左、右两个焦点分别为 1 F， 2 F，直线(0)ykx k与C 交于A，B两点，AEx轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正
5、 确的是( ) A四边形 12 AF BF为平行四边形 B 12 90FPF C直线BE的斜率为 1 2 k D90PAB 10（5 分） 已知定义在R上的奇函数， 满足(2)( )0fxf x， 当(0 x，1时， 2 ( )logf xx ， 若函数( )( )tan()F xf xn在区间 1，m上有 10 个零点，则m的取值可以是( ) A3.8 B3.9 C4 D4.1 11 （5 分）已知函数( )sin()(0) 4 f xx ，则下述结论中正确的是( ) A若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则( )f x在0，2 有且仅有 2 个极小值点 B若( )f x在0，2
6、有且仅有 4 个零点，则( )f x在 2 (0,) 15 上单调递增 第 3 页（共 25 页） C若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则的范围是 15 19 ,) 88 D若( )f x图象关于 4 x 对称，且在 5 (,) 18 36 单调，则的最大值为 9 12 （5 分）函数( ) lnx f x x ，则下列说法正确的是( ) Af（2）f（3） Bln e C若( )f xm有两个不相等的实根 1 x、 2 x，则 2 1 2 x xe D若25 xy ，x、y均为正数，则25xy 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
7、20 分分. 13 （5 分）已知向量(2,2)a ，(8, 6)b ，则tana，b 14 （5 分）国家发展改革委、住房城乡建设部于 2017 年发布了生活垃圾分类制度实施方 案 规定 46个城市在2020 年底实施生活垃圾强制分类， 垃圾回收、 利用率要达35%以上 某 市在实施垃圾分类之前， 从本市人口数量在两万人左右的240个社区中随机抽取50个社区， 对这 50 个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如表频数分布表，并将人 口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过 28 吨/天的确定为“超标”社区： 垃圾量x 12.5， 15.5) 15.5， 18.5) 18.5， 21
8、.5) 21.5， 24.5) 24.5， 27.5) 27.5， 30.5) 30.5， 33.5 频数 5 6 9 12 8 6 4 通过频数分布表估算出这 50 个社区这一天垃圾量的平均值x （精确到0.1)；假设该 市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 2 ( ,)N ，其中近似 为样本平均值x， 2 近似为样本方差 2 s， 经计算得5.2s 请利用正态分布知识估计这 240 个社区中“超标”社区的个数 （ 参 考 数 据 ：()0.6827PX；(22 )0.9545PX； (33 )0.9974)PX 15 （5 分）写一个焦点在y轴上且离心率为3的双曲线方
9、程 16 （5 分）在三棱锥SABC中，ABC是边长为 2 的等边三角形，SAB是以AB为斜边 的直角三角形，二面角SABC的大小为60，则该三棱锥外接球的表面积为 第 4 页（共 25 页） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，给出条件： 3 2 n n Sm，()mR； 1 1 2 nn Sam ，()mR，且 1 1a 若_， 请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答（注： 若选择条件和条件分别解答， 按
10、第一个解答计分） （1）求m的值及数列 n a的通项公式； （2）设 1 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知：5b ，2c ， 45B （1）求边BC的长和三角形ABC的面积； （2）在边BC上取一点D，使得 4 cos 5 ADB，求tanDAC的值 19（12 分） 如图， 在圆柱 1 OO中， 四边形ABCD是其轴截面，EF为 1 O的直径， 且EFCD， 2AB ，(0)BCa a （1）求证：BEBF； （2） 若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为 2 6 ， 求二面角
11、ABEF平面角的余弦值 第 5 页（共 25 页） 20 （12 分）为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基 础在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对 比升级前和升级后的效果， 其中甲生产线继续使用旧的生产模式， 乙生产线采用新的生产模 式质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各 100 件玩具，在抽取的 200 件玩具中，根据 检测结果将它们分为“A” 、 “ B” 、 “ C”三个等级，A、B等级都是合格品，C等级是 次品，统计结果如表所示： 等级 A B C 频数 100 75 25 （表一） 合格品 次品 合计 甲 80
12、 乙 5 合计 （表二） 在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由 厂家自行销毁 （1）请根据所提供的数据，完成上面的22列联表（表二） ，并判断是否有99.5%的把握 认为产品的合格率与技术升级有关？ （2）每件玩具的生产成本为 20 元，A、B等级产品的出厂单价分别为m元、40 元若甲生 产线抽检的玩具中有 35 件为A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生 产一件玩具比技术升级前多盈利 12 元，则A等级产品的出产单价为多少元？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 0
13、()P Kk 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分）已知函数( )f xxlnxa有两个相异零点 1 x， 212 ()xxx （1）求a的取值范围； （2）求证： 12 42 3 a xx 第 6 页（共 25 页） 22 （12 分） 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，( 3M，0)， 已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于 4 （1）求动点P的轨迹方程； （2）过( 3M，0)作互相垂直的两条直线 1 l、 2 l， 1 l与动点P的轨迹交于A、B， 2 l与动 点
14、P的轨迹交于点C、D，AB、CD的中点分别为E、F， 证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标 求四边形ACBD面积的最小值 第 7 页（共 25 页） 2021 年广东省汕头市高考数学一模试卷（年广东省汕头市高考数学一模试卷（B 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合|04AxZx， |(1)(2)0Bxxx，xN，则(AB ) A1 B1，2 C0，1，2，3
15、 D 1， 0， 1， 2，3 【解答】解：1A，2，3， | 21Bxx ，0 xN， 0AB，1，2，3 故选：C 2 （5 分）在复平面内，复数 3 1 i i 的共轭复数对应点的坐标所在的象限是( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：复数 33 (1)3333 1(1)(1)222 iiii i iii ， 故其共轭复数为 33 22 i， 所以对应的点的坐标为 33 (,) 22 ，在第三象限 故选：C 3 （5 分）若 1 ( )3 5 a ，则 1 5 log 15(a ) A1 B1 C 1 5 D3 【解答】解：因为 1 ( )3 5 a ，则 1
16、 5 3alog， 所以 11111 55555 31 log 153151 155 aloglogloglog 故选：B 4 （5 分）已知sin()3cos() 36 ，则sin2的值是( ) A2 3 B 4 3 7 C2 3 D 4 3 7 【解答】解：sin()3cos() 36 ， 第 8 页（共 25 页） 1331 sincos3(cossin) 2222 ，化简得2sin3cos ， sin3 tan cos2 ， 222 2 3 2() 2sincos2tan4 3 2 sin22sincos 173 ()1 2 sincostan 故选：D 5 （5 分）在正项等比数列
17、n a中， 24 16aa， 45 24aa，则数列 n a的通项公式为( ) A 1 2n n a B2n n a C3n n a D 1 3n n a 【解答】解：根据题意，设正项等比数列 n a的公比为q， 若 24 16aa，则 2 3 ()16a，必有 3 4a ， 又由 45 24aa，则 2 33 24a qa q，即 2 60qq， 解可得2q ， 则有 3 1 2 1 a a q ， 则 11 1 2 nn n aaq ， 故选：A 6 （5 分）已知1x ，0y ，且3 (1)8yxx，则3xy的最小值是( ) A8 B6 C15 2 D 13 2 【解答】解：因为3 (1
18、)8yxx， 所以 8 3 1 x y x ， 所以 22 888(1)2(1)99 3(1)2 11111 xxxxx xyxxx xxxxx ， 又因为1x ， 所以10 x ， 所以 9 32 (1)28 1 xyx x ，当且仅当 9 1 1 x x 即4x 时取等 故选：A 7 （5 分）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋” ，它的画法是：以斐波那契 第 9 页（共 25 页） 数：1，1，2，3，5，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90 的圆弧， 这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线 自然界存在很多斐波拉契螺旋线的 图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如
19、图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对 应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为( ) A 4 60 3 B 2 60 3 C125 15 192 D125 15 64 【解答】解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， 即接下来的底面半径是358，对应的弧长 1 284 4 l ， 设圆锥底面半径为r，则24r，即2r ， 圆锥的高 22 8260h， 则该圆锥的体积为 2 14 60 260 33 V 故选：A 8 （5 分）在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照 3（语文、数学、英语） 2（物理、历史）选14（化学、生物、地理、政治）选 2
20、 的模式设置的，则在选考的科 目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为( ) A 1 4 B 1 3 C 5 12 D 1 2 【解答】解：在选考的科目中甲、乙两位同学选考的基本事件总数 1212 2424 144nC CC C， 其中甲、乙两位同学恰有两科相同包含的基本事件个数： 121111212 241222412 60mC CC C CC CC C， 在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为： 第 10 页（共 25 页） 605 14412 m P n 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中
21、，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知椭圆 22 :1 63 xy C的左、右两个焦点分别为 1 F， 2 F，直线(0)ykx k与C 交于A，B两点，AEx轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正 确的是( ) A四边形 12 AF BF为平行四边形 B 12 90FPF C直线BE的斜率为 1 2 k D90PAB 【解答】解：如图 1，直线(0)ykx k与C交于A，B两点， 由椭圆的对称性可得O为AB的中点， 又
22、O为 12 F F的中点可得四边形 12 AF BF为平行四边形， 故A正确； 由椭圆方程可得6a ，3bc，以 12 F F为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，P 在圆外，可得 12 90FPF，故B正确； 取AE的中点D， 则 1 ( ,) 222 AA AOD A yy D xkk x ， 易知/ /BEOD， 故直线BE的斜率也为 1 2 k， 故C正确； 设直线BE的方程为 2 12 () 2 12 yk x k ，联立椭圆方程 22 24xy， 可得 222 2 2 2 22 (1)40 212 12 kk xk x k k ， 由 2 22 22 1212 P k x x kk
23、 ，解得 2 22 46 12(2) P k x kk ， 即有 2 22 46 ( 12(2) k P kk ， 3 22 2 ) 12(2) k kk ， 可得 2 4 ( 12 AB k ， 2 4 ) 12 k k ， 2 22 4 ( 12(2) k AP kk ， 22 4 ) 12(2) k kk ， 即有 22 2222 1616 0 (12)(2)(12)(2) kk AB AP kkkk ， 可得ABAP， 即90PAB， 故D 错误 第 11 页（共 25 页） 故选：ABC 10（5 分） 已知定义在R上的奇函数， 满足(2)( )0fxf x， 当(0 x，1时， 2
24、 ( )logf xx ， 若函数( )( )tan()F xf xn在区间 1，m上有 10 个零点，则m的取值可以是( ) A3.8 B3.9 C4 D4.1 【解答】解：( )f x为R上的奇函数，()( )fxf x ， (2)( )()fxf xfx ， (2)( )f xf x， 函数( )f x是周期为 2 的奇函数， 函数tan()yn是周期1T 的奇函数， 画出函数( )yf x与函数tan()yn的图像，如图所示： 注意到(0)0f，(0)ff（2）f（4）0， 由图像可知在区间 1，4上有 11 个交点，其中1x 时是第 1 个交点，4x 时是第 11 个 交点， 第 1
25、2 页（共 25 页） 在 1 (0, ) 2 上， 2 111 ( )2tan()1 444 flog ， 在 1 (0, ) 2 上的交点的横坐标大于 1 4 ， 同理在 1 ( 2 ，0)上的交点的横坐标小于 1 4 ， 第 10 个交点的横坐标小于 115 43.75 44 ， 3.754m符合题意， m可取 3.8，3.9， 故选：AB 11 （5 分）已知函数( )sin()(0) 4 f xx ，则下述结论中正确的是( ) A若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则( )f x在0，2 有且仅有 2 个极小值点 B若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则( )f
26、x在 2 (0,) 15 上单调递增 C若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则的范围是 15 19 ,) 88 D若( )f x图象关于 4 x 对称，且在 5 (,) 18 36 单调，则的最大值为 9 【解答】解：令 4 tx ，sinyt，其图象如图所示， ( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，即( )f t在 4 ，2 4 有且仅有 4 个零点 对于A，由图象知( )f x在0，2 有且仅有 2 个极小值点，所以A对； 对于C，425 4 ，解得15 19 88 ，所以C对 对于B，因为 2 (0,) 15 x 时，( 44 x ， 2 ) 154 ， 由C知15 19
27、 88 ， 所以 219 2154604 ， 所以( )f x在 2 (0,) 15 上不单调， 所以B错； 对于D，因为( )f x图象关于 4 x 对称，所以 42 xk ，kZ，于是14k ， 又因为( )f x在 5 (,) 18 36 单调，所以 5 2361812 T ， 所以12，于是的最大值为 9，所以D对 故选：ACD 第 13 页（共 25 页） 12 （5 分）函数( ) lnx f x x ，则下列说法正确的是( ) Af（2）f（3） Bln e C若( )f xm有两个不相等的实根 1 x、 2 x，则 2 1 2 x xe D若25 xy ，x、y均为正数，则25
28、xy 【解答】解：函数( ) lnx f x x ，故函数( )f x的定义域为(0,)，且 1 ( ) lnx fx x ， 令( )0fx，解得xe，当x变化时，( )fx，( )f x的变化如下表： x (0, ) e e ( ,)e ( )fx 0 ( )f x 单调递增 极大值 1 e 单调递减 故( )f x的图象如图所示： 对于选项A， 22 24 ( ) 244 lnlnln f xf（4） ， 又函数( )f x在( ,)e 上单调递减，所以f（4）f（3） ，即f（2）f（3） ，故选项A错 误； 对于选项B，因为ee且( )f x在(0, ) e上单调递增， 所以()()
29、fef，则 ln eln e ，即 11 22 lneln e ，故ln e ，故选项B正确； 对于选项C，因为( )f xm有两个不相等的实根 1 x、 2 x， 所以 12 ()()f xf xm，不妨设 12 0 xex，要证 2 1 2 x xe， 即要证 2 1 2 e x x ，因为 2 xe，所以 2 2 e e x ， 因为( )f x在(0, ) e上单调递增， 第 14 页（共 25 页） 所以只需证 2 1 2 ()() e f xf x ，即证 2 2 2 ()() e f xf x ，只需证 2 2 2 ()()0 e f xf x ， 令 2 ( )( )(), e
30、 g xf xfxe x ，则 22 11 ( )(1)()g xlnx ex ， 当xe时， 22 11 1,lnx ex ，所以( )0g x，所以( )g x在( ,)e 上单调递增， 因为 2 xe，所以 2 ()g xg（e）0，即 2 2 2 ()()0 e f xf x ，这与矛盾，故选项C错误； 对于选项D，设25 xy k且x，y均为正数，则 25 , 25 lnklnk xlog kylog k lnln ， 所以 25 2,5 25 xlnkylnk lnln ， 因为 11 52 25 2 ,5 25 lnln lnln且 11 52 25（因为 11 1010 52
31、(2 )(5 ) )， 所以 25 0 25 lnln ，所以 25 25lnln ，故25xy，故选项D正确 故选：BD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(2,2)a ，(8, 6)b ，则tana，b 7 【解答】解：根据题意，向量(2,2)a ，(8, 6)b ， 则2 82 64a b ，| 2 2a ，| 10b ， 则cosa， 2 10| a b b a b ， 则有sina， 27 2 1 10010 b ， 故tana， 7 2 10 7 2 10 b ， 故答案为：7 14 （5 分
32、）国家发展改革委、住房城乡建设部于 2017 年发布了生活垃圾分类制度实施方 第 15 页（共 25 页） 案 规定 46个城市在2020 年底实施生活垃圾强制分类， 垃圾回收、 利用率要达35%以上 某 市在实施垃圾分类之前， 从本市人口数量在两万人左右的240个社区中随机抽取50个社区， 对这 50 个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如表频数分布表，并将人 口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过 28 吨/天的确定为“超标”社区： 垃圾量x 12.5， 15.5) 15.5， 18.5) 18.5， 21.5) 21.5， 24.5) 24.5， 27.5) 27.5， 30
33、.5) 30.5， 33.5 频数 5 6 9 12 8 6 4 通过频数分布表估算出这 50 个社区这一天垃圾量的平均值x 22.8 （精确到0.1)；假设 该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 2 ( ,)N ，其中近 似为样本平均值x， 2 近似为样本方差 2 s，经计算得5.2s 请利用正态分布知识估计这 240 个社区中“超标”社区的个数 （ 参 考 数 据 ：()0.6827PX；(22 )0.9545PX； (33 )0.9974)PX 【解答】解：由频率分布表可得， 14517620923 1226 8296324 22.7622.8 50 x ； 由题
34、意，22.8，5.2s ，5.2s， 10.6827 (28)()0.15865 2 P XP X ， 2400.1586538.07638 估计这 240 个社区中“超标”社区的个数为 38 故答案为：22.8；38 15 （5 分）写一个焦点在y轴上且离心率为3的双曲线方程 2 2 1 2 x y 【解答】解：焦点在y轴上且离心率为3，可得 22 3ca，所以 22 2ba， 所以所求的双曲线方程可以为： 2 2 1 2 x y 故答案为： 2 2 1 2 x y 16 （5 分）在三棱锥SABC中，ABC是边长为 2 的等边三角形，SAB是以AB为斜边 的直角三角形，二面角SABC的大小
35、为60，则该三棱锥外接球的表面积为 52 9 【解答】解：如图所示，过等边ABC中心 1 O作直线l 平面ABC， 第 16 页（共 25 页） SAB是以AB为斜边的直角三角形， 外接球的球心在过Rt ABS的斜边AB的中点 2 O并且垂直于Rt ABS的直线上，即与直线l 的交点O的位置 过 2 O作垂直于AB的直线交AB于点D， 由于二面角SABC的大小为60，即 2 60DO C 所以 2 30CO O， 由于ABC为等边三角形， 所以 22 12 13 21 33 OO ， 则 1 31 tan30 33 OO ， 则 22 12 313 ( )() 333 ROC， 所以 2 13
36、52 4() 39 S 球 故答案为： 52 9 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，给出条件： 3 2 n n Sm，()mR； 1 1 2 nn Sam ，()mR，且 1 1a 若_， 请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答（注： 若选择条件和条件分别解答， 按第一个解答计分） （1）求m的值及数列 n a的通项公式； （2）设 1 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和
37、n T 【解答】解： （1）等比数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 第 17 页（共 25 页） 若选得：由于 3 2 n n Sm， 当2n时， 1 1 3 2 n n Sm ， 所以 1 1 3n nnn aSS ， 当1n 时， 11 3 2 aSm， 解得： 1 2 m 故 1 3n n a ， 若选： 1 1 2 nn Sam ，()mR，且 1 1a 当2n时， 1 1 2 nn Sam ， 所以 11 11 22 nnnnn aSSaa ， 整理得 1 3 nn aa ， 当1n 时， 1 3 2 am， 当2n 时， 2 3a ， 整理得： 1 2 m ， 故
38、1 3n n a （2）由（1）得： 1 11 1 3111 () (1)(1)(31)(31)2 3131 n n n nnnn nn a b aa ， 故 12 1 11111111 11 ()() 22441031312 231 nn nnn Tbbb 18 （12 分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知：5b ，2c ， 45B （1）求边BC的长和三角形ABC的面积； （2）在边BC上取一点D，使得 4 cos 5 ADB，求tanDAC的值 第 18 页（共 25 页） 【解答】解： （1）在ABC中，由余弦定理知， 222 2cosbacacB， 2 2 522
39、 2 2 aa ，解得3a 或1（舍)， 3BC， ABC的面积 1123 sin32 2222 SacB （2）在ABC中，由正弦定理知， sinsin bc BC ， 52 sin45sinC ， 5 sin 5 C， 52bc，C为锐角， 2 5 cos 5 C ， 4 cos 5 ADB， 3 sin 5 ADB， 32 5452 5 sinsin()sincoscossin 555525 DACADBCADBCADBC ， 由图可知，DAC为锐角， 11 5 cos 25 DAC， sin2 tan cos11 DAC DAC DAC 19（12 分） 如图， 在圆柱 1 OO中，
40、四边形ABCD是其轴截面，EF为 1 O的直径， 且EFCD， 2AB ，(0)BCa a （1）求证：BEBF； （2） 若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为 2 6 ， 求二面角ABEF平面角的余弦值 第 19 页（共 25 页） 【解答】 （1） 证明： 连结 1 BO， 在圆柱 1 OO中， 因为EFCD，EFBC， 且C DB CC ， CD，BC 平面ABCD， 所以EF 平面ABCD，又 1 BO 平面ABCD，所以 1 EFBO， 在BEF中， 1 O为EF的中点，所以BEBF； （2）解：连结 1 AO，过A作 1 AHBO， 平面BEF 平面 1 ABCDBO，AH 平面
41、ABCD，所以AH 平面BEF， 连结EH，则AEH为AE与平面BEF所成的角， 在 1 ABO中， 2 11 1AOBOa， 由等面积法可得 2 11 21 22 aaAH ，解得 2 2 1 a AH a ， 所以 22 26 sin 3 (1)(2) AHa AEH AE aa ， 化简可得 22 (2)(1)0aa，因为1a ，所以2a ， 所以2ABBEAE， 取BE的中点M，连结AM，HM， 则AMBE，HMBE， 所以AMH为二面角ABEF的平面角， 因为3AM ，所以 22 83 3 33 HMAMAH， 故 1 cos 3 HM HMA AM ， 第 20 页（共 25 页）
42、 所以二面角ABEF平面角的余弦值为 1 3 20 （12 分）为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基 础在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对 比升级前和升级后的效果， 其中甲生产线继续使用旧的生产模式， 乙生产线采用新的生产模 式质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各 100 件玩具，在抽取的 200 件玩具中，根据 检测结果将它们分为“A” 、 “ B” 、 “ C”三个等级，A、B等级都是合格品，C等级是 次品，统计结果如表所示： 等级 A B C 频数 100 75 25 （表一） 合格品 次品 合计 甲 80 乙
43、5 合计 （表二） 在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由 厂家自行销毁 （1）请根据所提供的数据，完成上面的22列联表（表二） ，并判断是否有99.5%的把握 认为产品的合格率与技术升级有关？ 第 21 页（共 25 页） （2）每件玩具的生产成本为 20 元，A、B等级产品的出厂单价分别为m元、40 元若甲生 产线抽检的玩具中有 35 件为A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生 产一件玩具比技术升级前多盈利 12 元，则A等级产品的出产单价为多少元？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，
44、其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由题意知 合格品 次品 合计 甲 80 20 100 乙 95 5 100 合计 175 25 200 2 2 200 (80 595 20)72 10.3007.879 175 25 100 1007 K ， 2 0 ()0.005P Kk， 有99.5%的把握认为产品的合格率与技术升级有关 （2）甲生产线抽检的玩具中有 35 件为A等级，45 件B等级，20 件C等级， 乙生产线抽检的产品中有 65 件A等
45、级，30 件B等级，5 件C等级， 因为用样本估计概率， 所以对于甲生产线，单品利润 354540100207 2 10020 mm x 甲 ， 对于乙生产线，单品利润 6530401002013 8 10020 mm x 乙 ， 依题意， 1376 82612 202020 mmm xx 乙甲 ， 60m，即A等级产品出产单价为 60 元 21 （12 分）已知函数( )f xxlnxa有两个相异零点 1 x， 212 ()xxx （1）求a的取值范围； （2）求证： 12 42 3 a xx 【解答】解： （1） 1 ( )(0) x fxx x ， 当01x时，( )0fx，( )f x
46、单调递减， 第 22 页（共 25 页） 当1x 时，( )0fx，( )f x单调递增； 要使函数( )f xxlnxa有两个相异零点，必有f（1）10a ，1a， 当1a 时，1 a e，且()0 aa f ee ，函数( )f x在(0,1)有一个零点 1 a e ，()20 aa f eea，函数( )f x在(1,)有一个零点， a的取值范围为(1,) （2）由（1）知， 12 01xx ， 11 0 xlnxa， 11 axlnx， 要证 12 42 3 a xx ， 1111 211 4()24242 333 xlnxxlnxa xxx ， 故构造函数 42 ( ) 3 xlnx
47、 g x ，(01)x， 则 4 ( )0 3 x g x x ，所以( )g x在(0,1)单调递减，( )g xg（1）1 2 1x， 11 42 1 3 xlnx ， 构造函数 42 ( )( )() 3 xlnx h xf xf ，(01)x 2114 ( ) 342 xx h x xxlnxx ， 下面证明( )0h x，即证明 (5)(1) 0 42 xx lnx x ， 构造函数 (5)(1) ( ) 42 xx H xlnx x ，(01)x 3 2 (1) ( )0 (21) x H x xx 在(0,1)上恒成立， 因此( )H x在(0,1)递增，从而( )H xH（1）
48、0， ( )0h x ，( )h x在(0,1)递增， ( )h xh（1）0， 11 1 42 ()() 3 xlnx f xf 11 2 42 ()() 3 xlnx f xf ， 1x 时，( )0fx，( )f x单调递增， 11 2 42 3 xlnx x ， 即 12 42 3 a xx 第 23 页（共 25 页） 22 （12 分） 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，( 3M，0)， 已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于 4 （1）求动点P的轨迹方程； （2）过( 3M，0)作互相垂直的两条直线 1 l、 2 l， 1 l与动点P的轨迹交于A、B， 2 l与动
49、 点P的轨迹交于点C、D，AB、CD的中点分别为E、F， 证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标 求四边形ACBD面积的最小值 【解答】解： （1）设点( , )P x y， 根据题意可得| | 4MPONOPOMOPOM， 所以动点P的轨迹为椭圆（左右顶点除外） ， 所以24a ，3c ， 所以 222 1bac， 所以动点P的轨迹方程为 2 2 1(0) 4 x yy （2）当 1 l垂直于x轴时，AB的中点( 3E，0)， 直线 2 l为x轴，与椭圆 2 2 1(0) 4 x yy，无交点，不合题意， 当直线 1 l不垂直于x轴时，不妨设直线 1 l的方程为(3)(0)yk xk， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 22 (3) 44 yk x xy ，得 2222 (14)8 31240kxk xk， 所以 22222 ( 8 3)4(41)(124)16(1)0kkkk ， 所以 2 12 2 8 3 41 k xx k ， 2 12 2 124 41 k x x k ， 第 24 页（共 25 页） 所以 3 1212 22 8 32 3 ()2 32 3 1414 kk yyk xxkk kk ， 所以 2 2 4 3 (4 1 k E k ， 2 3 ) 41 k k ， 因为 12 ll， 所以 1 k 代替k，得 2 4
