1、第 1 页（共 22 页） 2021 年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）年甘肃省高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |230Ax xx ， 1B ，1，2，则(AB ) A1，2 B 1，1，2 C0，1，2 D 1， 0， 1， 2，3 2 （5 分）若复数z满足 13 (12 )| 22 i zi，则z的共轭复数是( ) A 12 55 i B 12 55 i C 12
2、 55 i D 12 55 i 3 （5 分）抛物线 2 2(0)ypx p的准线经过椭圆 22 1 95 xy 的右焦点，则(p ) A2 B4 C8 D12 4（5 分） 甲、 乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击 10 次， 中靶环数情况如图所示 则 甲、乙两人中靶环数的方差分别为( ) A7，7 B7，1.2 C1.1，2.3 D1.2，5.4 5 （5 分）已知函数( )() xx f xx ee，则( )(f x ) A是奇函数，且在(0,)单调递减 B是奇函数，且在(0,)单调递增 C是偶函数，且在(0,)单调递减 D是偶函数，且在(0,)单调递增 6 （5 分）已知m，n表示
3、两条不同直线，表示两个不同平面设有四个命题： 1 p：若/ /m，mn，则n； 2 p：若/ /m，n，则mn； 第 2 页（共 22 页） 3 p：若/ /m，则/ /m； 4 p：若/ /m，/ /m，则/ / 则下列复合命题中为真命题的是( ) A 12 pp B 14 pp C 23 pp D 34 pp 7 （5 分）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑 是数学与建筑完美结合造就的艺术品 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲 线 22 22 1(0,0) yx ab ab 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 2，离心
4、率 为 2，则该双曲线的渐近线方程为( ) A3yx B 3 3 yx Cyx D2yx 8 （5 分）已知是第四象限角，且 5 sin 5 ，则cos(2)( 4 ) A 2 10 B 2 10 C 7 2 10 D 7 2 10 9 （5 分）圆 22 4xy上任意一点M到直线34150 xy的距离大于 2 的概率为( ) A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 5 6 10 （5 分）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为 “六器” ，是古人用于祭祀神祇的一种礼器 周礼中载有“以玉作六器，以礼天地四方， 以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文如图为齐家文化玉琮，该玉琮
5、中方内空，形状对称，圆筒 内径2.0cm，外径2.4cm，通高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为( )（单位： 3) cm 第 3 页（共 22 页） A23.043.92 B34.563.92 C34.563.12 D23.043.12 11 （5 分）在ABC中，120A，6BC ，则ABC的面积的最大值为( ) A 1 2 B1 C 3 3 2 D3 3 12 （5 分）若对任意的(1,)x，不等式0(0) x lnx e 恒成立，则的最小值为( ) A 1 e B 2 e C 1 2e D 3 e 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
6、共 20 分。分。 13 （5 分）设 2021 log2022a ， 1 2022 2021b ， 2022 1 log 2021 c ，则a，b，c的大小关系是 .（按照从大到小的顺序排列） 14 （5 分）已知向量a与向量b夹角为60，且| 1a ，(3,4)b ，要使2ab与a垂直， 则 15 （5 分） 54 (1 2 ) (1)xx展开式中 3 x的系数为 16 （5 分）函数( )cos23sin2f xxx，xR，有下列命题： ( )yf x的表达式可改写为2cos(2) 3 yx ； 直线 12 x 是函数( )f x图象的一条对称轴； 函数( )f x的图象可以由函数2si
7、n2yx的图象向右平移 6 个单位长度得到； 满足( )3f x 的x的取值范围是 3 | 124 xkxk 剟，kZ 其中正确的命题序号是 .（注:把你认为正确的命题序号都填上） 第 4 页（共 22 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）已知数列 n a的前n项
8、和为 n S，且 1 1a ， 1 1 (*) 2 nn SanN （1）求 n S； （2）设 3 log nn bS，求使得 233412 11199 400 nn b bb bbb 成立的最小正整数n 18 （12 分）2020 年 10 月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了关于全面加强和改进 新时代学校体育工作的意见 ，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育 心功能，决定在 2021 年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实 心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分 20 分学校为掌握九年级学生一分钟跳 绳情况，随机抽取了 100 名学生测试，其
9、成绩均在165，215间，并得到如图所示频率分 布直方图，计分规则如表： 一分钟跳 绳个数 165， 175) 175， 185) 185， 195) 195， 205) 205， 215 得分 16 17 18 19 20 （1）补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数； （2）若两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于 35 分，则称该小队为“潜力队” ，用 频率估计概率，求从进行测试的 100 名学生中任意选取 2 人，恰好选到“潜力队”的概率 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，2 2PAPD， 24DCADAB，ABAD，/ /ABCD，平
10、面PAD 平面ABCD，E为棱PB上一点 （1）在平面PAB内能否作一条直线与平面PAD垂直？若能，请画出直线并加以证明；若 第 5 页（共 22 页） 不能，请说明理由； （2）若 1 3 PE PB 时，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 4，且经过点(2,3)P （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C上存在两点M，N，使得PM的斜率与PN的斜率之和为1，直线MN是 否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xxaxalnx （1）求函数(
11、)f x的单调区间； （2）设函数( )2 ( )(2)242g xf xax lnxxa，若( )g x在 1 2 ，)上有两个零点，求 实数a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上 将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分不将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；涂、多涂均按所答第一题评分； 多答按所答第一题评分。多答按所答第一题评分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平
12、面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为(0,2)，直线 1 C的方程为： cos 2sin xt yt （其中t为参数） 以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为： 2 cos4 3cos0 （1）将直线 1 C的方程化为普通方程，曲线 2 C的方程化为直角坐标方程； （2） 若直线 1 C过点( 3Q，1)且交曲线 2 C于A，B两点， 设线段AB的中点为M， 求|PM 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 6 页（共 22 页） 23已知函数( ) |2|f xxa，( ) |g xxb （1）若1a ，3b ，解不等式( )( ) 4f xg
13、 x； （2）当0a ，0b 时，( )2 ( )f xg x的最大值是 3，证明： 22 9 4 2 ab 第 7 页（共 22 页） 2021 年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）年甘肃省高考数学一诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |230Ax xx ， 1B ，1，2，则(AB ) A1，2 B 1，1，2 C0，1，2 D 1， 0， 1
14、， 2，3 【解答】解： 2 |230 | 13Ax xxxx ， 1B ，1，2， 1AB，2 故选：A 2 （5 分）若复数z满足 13 (12 )| 22 i zi，则z的共轭复数是( ) A 12 55 i B 12 55 i C 12 55 i D 12 55 i 【解答】解：由 22 1313 (12 )|( )()1 2222 i zi， 得 22 1121212 12(12 )(12 )1255 ii zi iii ， 12 55 zi 故选：C 3 （5 分）抛物线 2 2(0)ypx p的准线经过椭圆 22 1 95 xy 的右焦点，则(p ) A2 B4 C8 D12 【
15、解答】解：椭圆 22 1 95 xy 的右焦点(2,0)， 抛物线 2 2(0)ypx p的准线经过椭圆 22 1 95 xy 的右焦点， 可得2 2 p ，解得4p 故选：B 4（5 分） 甲、 乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击 10 次， 中靶环数情况如图所示 则 甲、乙两人中靶环数的方差分别为( ) 第 8 页（共 22 页） A7，7 B7，1.2 C1.1，2.3 D1.2，5.4 【解答】解：实线的数据为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10， 虚线的数据为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7， 所以实线数据的平均数为 1 (24687789910)7 10 ， 实线
16、的方差为 2222222222 1 (27)(47)(67)(87)(77)(77)(87)(97)(97)(107)5.4 10 ， 同理可求出虚线的平均数为 7，方差为 1.2， 所以甲、乙两人中靶环数的方差分别为 1.2，5.4 故选：D 5 （5 分）已知函数( )() xx f xx ee，则( )(f x ) A是奇函数，且在(0,)单调递减 B是奇函数，且在(0,)单调递增 C是偶函数，且在(0,)单调递减 D是偶函数，且在(0,)单调递增 【解答】解：根据题意，函数( )() xx f xx ee，其定义域为R， 有()()()()( ) xxxx fxx eex eef x
17、，则( )f x是偶函数， 在区间(0,)上，设 12 0 xx， 则有 1 2 1 x x ， 12 1 xx ee， 12 1 xx ee ， 则有 1122 1 xxxx eeee ， 第 9 页（共 22 页） 故 11 22 11 22 ( ) 1 () xx xx f xxee f xxee ，即 12 ()()f xf x， 故选：D 6 （5 分）已知m，n表示两条不同直线，表示两个不同平面设有四个命题： 1 p：若/ /m，mn，则n； 2 p：若/ /m，n，则mn； 3 p：若/ /m，则/ /m； 4 p：若/ /m，/ /m，则/ / 则下列复合命题中为真命题的是(
18、) A 12 pp B 14 pp C 23 pp D 34 pp 【解答】解：m，n表示两条不同直线，表示两个不同平面 1 p：若/ /m，mn，则n也可能/ /n，也可能n与相交，所以它是假命题 2 p：若/ /m，n，则mn，正确、 3 p：若/ /m，则/ /m也可能m，也可能m与相交，所以它是假命题； 4 p：若/ /m，/ /m，则/ /，也可能与相交，所以它是假命题 所以 23 pp是真命题 故选：C 7 （5 分）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑 是数学与建筑完美结合造就的艺术品 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲 线
19、 22 22 1(0,0) yx ab ab 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 2，离心率 为 2，则该双曲线的渐近线方程为( ) A3yx B 3 3 yx Cyx D2yx 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的 距离为 2，离心率为 2， 第 10 页（共 22 页） 可得： 22 222 2 2 c a bc ab cab ，解得 2 3 3 a ， 4 3 3 c ，2b ， 所以双曲线的渐近线方程为： 3 3 a yxx b 故选：B 8 （5 分）已知是第四象限角，且 5 sin 5 ，则cos(
20、2)( 4 ) A 2 10 B 2 10 C 7 2 10 D 7 2 10 【解答】解：是第四象限角，且 5 sin 5 ， 2 5 cos 5 ， 22 53 cos212sin12() 55 ， 52 54 sin22sincos2() 555 ， 22 347 2 cos(2)(cos2sin2 )() 4225510 故选：D 9 （5 分）圆 22 4xy上任意一点M到直线34150 xy的距离大于 2 的概率为( ) A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 5 6 【 解 答 】 解 ： 圆 22 4xy的 圆 心(0,0)O到 直 线341 50 xy的 距 离 为 |001
21、5| |3 916 dOC ， 如图所示： 第 11 页（共 22 页） AB上的点到直线34150 xy的距离小于或等于 2， 所以321OD ，2OA ，所以 3 AOD ， 2 3 AOB ， 所以圆上任意一点M到直线34150 xy的距离大于 2 的概率为 2 2 2 3 1 223 P 故选：C 10 （5 分）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为 “六器” ，是古人用于祭祀神祇的一种礼器 周礼中载有“以玉作六器，以礼天地四方， 以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒 内径2.0cm，外径2.4cm，通高6.0c
22、m，方高4.0cm，则其体积约为( )（单位： 3) cm A23.043.92 B34.563.92 C34.563.12 D23.043.12 【解答】解：由题意，该玉琮的体积V为底面边长为2.4cm，高为6cm的长方体的体积减去 底面直径为2cm，高为2cm的圆柱的体积， 第 12 页（共 22 页） 再加上底面直径为2.4cm，高为6cm的圆柱的体积 则 2223 22.4 2.46( )6()223.0462.8823.043.12 () 22 Vcm 故选：D 11 （5 分）在ABC中，120A，6BC ，则ABC的面积的最大值为( ) A 1 2 B1 C 3 3 2 D3 3
23、 【解答】解：由题意，由余弦定理可得 22 362cos120bcbc， 22 36bcbc， 22 2bcbc， 336bc，可得12bc，当且仅当bc时等号成立， 1 sin1203 3 2 Sbc，当且仅当bc时等号成立，即ABC面积的最大值是3 3 故选：D 12 （5 分）若对任意的(1,)x，不等式0(0) x lnx e 恒成立，则的最小值为( ) A 1 e B 2 e C 1 2e D 3 e 【解答】解：由0 x lnx e ，得 x lnx e ，即 x elnx ， (1) x xexlnx x ，于是 xlnx xeelnx ， 设( ) x F xxe，可知( )F
24、 x在(0,)上单调递增， 原不等式等价于()()FxF lnx， x lnx，即 lnx x ， 令( )(1) lnx g xx x ，则 2 1 ( ) lnx g x x ， 当(1, )xe时，( )0g x，( )g x单调递增， 当( ,)xe时，( )0g x，( )g x单调递减 当xe时，( )g x取得最大值为 1 e ， 1 e 即的最小值为 1 e 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 第 13 页（共 22 页） 13 （5 分）设 2021 log2022a ， 1 2022 2021b ，
25、 2022 1 log 2021 c ，则a，b，c的大小关系是 bac .（按照从大到小的顺序排列） 【解答】解： 20212021 1 log2022log2022(0,1) 2 a ， 1 0 2022 202120211b ， 20222022 1 loglog10 2021 c ， bac 故答案为：bac 14 （5 分）已知向量a与向量b夹角为60，且| 1a ，(3,4)b ，要使2ab与a垂直， 则 4 5 【解答】解：向量a与向量b夹角为60，且| 1a ，(3,4)b ，|9165b， 5 1 5cos60 2 a b 要使2ab与a垂直，则 2 5 (2)220 2 a
26、baaa b， 求得 4 5 ， 故答案为： 4 5 15 （5 分） 54 (1 2 ) (1)xx展开式中 3 x的系数为 24 【解答】解： 5 (12 ) x展开式的通项公式为 15( 2 ) kk k TCx ， 4 (1) x展开式的通项公式为 14 mm m TC x ， 则 3 x的系数为 03122130 54545454 248460 1608024C CC CC CC C， 故答案为：24 16 （5 分）函数( )cos23sin2f xxx，xR，有下列命题： ( )yf x的表达式可改写为2cos(2) 3 yx ； 直线 12 x 是函数( )f x图象的一条对称
27、轴； 函数( )f x的图象可以由函数2sin2yx的图象向右平移 6 个单位长度得到； 第 14 页（共 22 页） 满足( )3f x 的x的取值范围是 3 | 124 xkxk 剟，kZ 其中正确的命题序号是 .（注:把你认为正确的命题序号都填上） 【解答】解：函数 13 ( )cos23sin22( cos2sin2 )2cos(2) 223 f xxxxxx ，xR， 故正确； 当 12 x 时，2 32 x ，cos(2)0 3 x ，故 12 x 不是( )f x的对称轴，故错误； 由函数2sin2yx的图像向右平移 6 个单位得到函数： 2sin2()2sin(2)2cos(2
28、) 633 yxxx ，故错误； 由( )3f x ，即 3 cos(2) 32 x ，解得 11 222 636 kxk 剟，kZ， 所以， 3 124 kxk 剟，kZ，故正确 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且
29、 1 1a ， 1 1 (*) 2 nn SanN （1）求 n S； （2）设 3 log nn bS，求使得 233412 11199 400 nn b bb bbb 成立的最小正整数n 【解答】解： （1） 11 11 () 22 nnnn SaSS ， 1 3 nn SS ，又 11 1Sa， 数列 n S是以首项为 1，公比为 3 的等比数列， 1 3n n S ； （2） 22 33 loglog ( 3)22 n nn bSn ， 12 111 11 () 2 (22)41 nn bbnnnn ， 233412 11111111199 (1)()() 4223144400 nn
30、n b bb bbbnnn ， 99n， 第 15 页（共 22 页） 故使得 233412 11199 400 nn b bb bbb 成立的最小正整数100n 18 （12 分）2020 年 10 月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了关于全面加强和改进 新时代学校体育工作的意见 ，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育 心功能，决定在 2021 年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实 心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分 20 分学校为掌握九年级学生一分钟跳 绳情况，随机抽取了 100 名学生测试，其成绩均在165，215间，并得到如图所示频率
31、分 布直方图，计分规则如表： 一分钟跳 绳个数 165， 175) 175， 185) 185， 195) 195， 205) 205， 215 得分 16 17 18 19 20 （1）补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数； （2）若两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于 35 分，则称该小队为“潜力队” ，用 频率估计概率，求从进行测试的 100 名学生中任意选取 2 人，恰好选到“潜力队”的概率 【解答】解： （1）195，205)的频率为1 10 (0.0050.0060.0090.05)0.3， 频率/组距为 0.03， 补全频率分布直方图如图所示， 第 16 页
32、（共 22 页） (0.0050.009) 100.140.5， (0.0050.0090.05) 100.640.5， 样本的中位数落在185，195)， 设中位数为m，则0.14(185)0.050.5m， 解得192.2m ， 故样本中位数为 192.2 （2）一分钟跳绳个数在165，175)的可得 16 分，人数为1000.005 105人； 一分钟跳绳个数在175，185)的可得 17 分，人数为1000.009 109人； 一分钟跳绳个数在185，195)的可得 18 分，人数为1000.05 1050人， “潜力队”的两人组合有 4 种情况，得分之和分别为 32，33，34，34
33、， 恰好选到“潜力队”的概率 211211 5599550 2 100 341 4950 CC CCC C P C 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，2 2PAPD， 24DCADAB，ABAD，/ /ABCD，平面PAD 平面ABCD，E为棱PB上一点 （1）在平面PAB内能否作一条直线与平面PAD垂直？若能，请画出直线并加以证明；若 不能，请说明理由； （2）若 1 3 PE PB 时，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值 第 17 页（共 22 页） 【解答】解： （1）过E作/ /EFAB交棱PA于F，EF为所求作的直线 因为平面PAD 平面ABCD，且
34、ABAD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面 ABCD， 所以AB 平面PAD，又因为/ /EFAB， 所以EF 平面PAD； （2）取AD的中点O，BC的中点M，连结OM，则OM 平面PAD， 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则(2A，0，0)，(2B，2，0)，( 2C ，4，0)，(0P，0，2)， 所以(2,2, 2),( 4,2,0)PBBC ， 设平面PBC的法向量为( , , )nx y z， 则 2220 420 n PBxyz n BCxy ， 令1x ，则2y ，3z ，所以(1,2,3)n ， 因为 1 3 PE PB ，所以 2 2 4 ( , ) 3
35、3 3 E，所以 4 2 4 (, ) 3 3 3 AE ， 设AE与平面PBC所成的角为，则 |14 sin|cos,| 7| n AE n AE nAE ， 故直线AE与平面PBC所成角的正弦值 14 7 第 18 页（共 22 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 4，且经过点(2,3)P （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C上存在两点M，N，使得PM的斜率与PN的斜率之和为1，直线MN是 否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由 【解答】解： （1）由题意可知，焦点为( 2,0)， 故 2222 2(22)(30)(22)(3
36、0)8a ， 所以 2 16a ， 2 12b ， 所以椭圆的方程为 22 1 1612 xy （2）当直线MN的斜率存在时，设方程为ykxm， 代入椭圆的方程，得 222 (34)84480kxkmxm，(*)， 设点 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 则 12 2 8 34 km xx k ， 2 12 2 448 34 m x x k ， 设直线PM的斜率与直线PN的斜率分别为 1 k， 2 k， 根据 11 ykxm， 22 ykxm， 则 12 12 12 33 1 32 kxmkxm kk xx ， 所以 1212 (12 )(25)()1640k x xmk
37、xxm， 将代入，整理化简得 22 16102430kkmkmm， 即(23)(8)0kmkm， 因为(2,3)P不在直线MN上，所以230km， 所以8mk ， 要使(*)方程判别式大于 0，需 1 ( 2 k ， 1 ) 2 ， 第 19 页（共 22 页） 于是直线MN的方程为(8)yk x， 1 ( 2 k ， 1 ) 2 ， 所以直线过定点(8,0)， 当直线MN的斜率不存在时，可得 1 (M x， 1) y， 1 (N x， 1) y， 则由 11 12 11 33 1 22 yy kk xx ，解得 1 8x ，不合题意， 综上所述，直线MN过定点(8,0) 21 （12 分）已
38、知函数 2 1 ( )(1) 2 f xxaxalnx （1）求函数( )f x的单调区间； （2）设函数( )2 ( )(2)242g xf xax lnxxa，若( )g x在 1 2 ，)上有两个零点，求 实数a的取值范围 【解答】解： （1）( )f x的定义域为(0,)， 2 (1)(1)() ( )(1) axaxaxxa fxxa xxx ， 当0a时，令( )0fx，得到01x；令( )0fx，得到1x ， 此时( )f x在(0,1)上为减函数，在(1,)上为增函数； 当01a时，令( )0fx，得到1ax；令( )0fx，得到0 xa或1x ， 此时( )f x在( ,1)
39、a上为减函数，在(0, )a和(1,)上为增函数； 当1a 时，显然( ) 0fx恒成立，此时( )f x在(0,)上为增函数； 当1a 时，令( )0fx，得到1xa，令( )0fx，得到01x或xa， 此时( )f x在(1, )a上为减函数，在(0,1)和( ,)a 上为增函数； 综上：当0a时，( )f x在(0,1)上为减函数，在(1,)上为增函数； 当01a时，( )f x在( ,1)a上为减函数，在(0, )a和(1,)上为增函数； 当1a 时，( )f x在(0,)上为增函数； 当1a 时，( )f x在(1, )a上为减函数，在(0,1)和( ,)a 上为增函数 （2） 2
40、( )2 ( )(2)242242g xf xax lnxxaxaxxlnxa， ( )g x在 1 2 x，)上有两个零点， 即关于x的方程 2 2 2 2 xxlnx a x 在 1 2 x，)上有两个不相等的实数根 令函数 2 2 ( ) 2 xxlnx h x x ， 1 2 x，) 第 20 页（共 22 页） 则 2 2 324 ( ) (2) xxlnx h x x 令函数 2 ( )324p xxxlnx， 1 2 x，) 则 (21)(2) ( ) xx p x x 在 1 2 x，)上有( ) 0p x 故( )p x在 1 2 x，)上单调递增 p（1）0， 1 2 x
41、，1)时，有( )0p x ，即( )0h x，( )h x单调递减； 当(1,)x时，有( )0p x ，即( )0h x，( )h x单调递增 192 ( ) 2105 ln h，h（1）1，h（4） 41 32( ) 32 lnh， a的取值范围是 1 ( 2 ， 92 2010 ln （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上 将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所
42、答第一题评分； 多答按所答第一题评分。多答按所答第一题评分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为(0,2)，直线 1 C的方程为： cos 2sin xt yt （其中t为参数） 以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为： 2 cos4 3cos0 （1）将直线 1 C的方程化为普通方程，曲线 2 C的方程化为直角坐标方程； （2） 若直线 1 C过点( 3Q，1)且交曲线 2 C于A，B两点， 设线段AB的中点为M， 求|PM 【解答】解： （1）直线 1 C的方程为： cos
43、 2sin xt yt （其中t为参数）消去参数转换为普通 方程为sincos2cos0 xy； 曲线 2 C的极坐标方程为： 2 cos4 3cos0，根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐 标方程为 2 4 3yx （2）直线 1 C过点( 3Q，1)，所以把点的坐标代入sincos2cos0 xy；得到 tan3 ， 第 21 页（共 22 页） 所以 2 3 ， 所以直线的参数方程为 1 2 ( 3 2 2 xt t yt 为参数） ， 代入 2 4 3yx， 得到 2 316 3160tt， 则 12 16 3 3 tt ， 根据参数的几何意义： 12 0 8 3
44、| | | 23 tt PMt 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2|f xxa，( ) |g xxb （1）若1a ，3b ，解不等式( )( ) 4f xg x； （2）当0a ，0b 时，( )2 ( )f xg x的最大值是 3，证明： 22 9 4 2 ab 【解答】 （1）解：当1a ，3b 时， 1 23 , 2 1 ( )( ) |21|3|4,3 2 32,3 x x f xg xxxxx xx ， 当 1 2 x时，由234x，解得 2 3 x； 当 1 3 2 x 时，4 4x ，解得03x剟； 当3x 时，由32 4x ，解得3x ， 所以不等式( )( ) 4f xg x的解集为(， 2 0 3 ，) （2）证明：当0a ，0b 时，由不等式的基本性质， 得( )2 ( ) |2|22 |222 |2f xg xxaxbxaxbab， 所以23ab， 因为 22 24 22 abab ，即 22 4 3 2 ab ，所以 22 9 4 2 ab 另解：根据柯西不等式，得 22222 (11 )(2 ) (2 )9abab， 第 22 页（共 22 页） 即 22 9 4 2 ab，当且仅当2ab，即 3 2 a ， 3 4 b 时取得等号
