2021年山东省青岛市高考数学质检试卷（一模）.docx

1、第 1 页（共 22 页） 2021 年山东省青岛市高考数学质检试卷（一模）年山东省青岛市高考数学质检试卷（一模） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |logAy yx，4x ， 1 2 |BxR yx，则()( RA B ) A(，2 B2，) C0，2 D(0,2) 2 （5 分）若，表示两个不同的平面，m为平面内一条直线，则( ) A “/ /m”是“/ /”的充分不必要条件 B

2、“/ /m”是“/ /”的必要不充分条件 C “m”是“”的必要不充分条件 D “m”是“”的充要条件 3 （5 分）已知双曲线 22 22 1 yx ab 的一条渐近线的倾斜角为 3 ，则该双曲线的离心率为( ) A 1 2 B 3 2 C 2 3 3 D2 4 （5 分）18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数 及共运算具有了几何意义，例如，| |zOZ，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到 原点的距离 在复平面内， 复数 0 2 ( 1 ai zi i 是虚数单位，)aR是纯虚数， 其对应的点为 0 Z， Z为曲线| 1z 上的动点，则 0 Z与Z之

3、间的最小距离为( ) A 1 2 B1 C 3 2 D2 5 （5 分）若 3( 1),0 ( ) 2 ,0 x logxx f x x ，则不等式 1 ( ) 2 f x 的解集为( ) A( 1，0)( 31，) B(，13)(1，) C( 1，0)(0，31) D(，1)( 31，) 6 （5 分）已知角终边上有一点 4 (tan 3 P， 17 2sin() 6 ，则cos的值为( ) A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 7（5 分） 已知( )yf x为奇函数，(1)yf x为偶函数， 若当0 x，1时， 2 ( )log ()f xxa， 则(2021)(f ) 第 2

4、 页（共 22 页） A1 B0 C1 D2 8（5 分） 在抛物线 2 1 2 xy第一象限内一点( n a，) n y处的切线与x轴交点的横坐标记为 1n a ， 其中 * nN，已知 2 32a ， n S为 n a的前n项和，若 n m S恒成立，则m的最小值为( ) A16 B32 C64 D128 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题。每小题小题。每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分。部分选对的得分。部分选对的得 3 分，有选错的得分，

5、有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）关于圆 222 1 :210 4 C xykxykk ，下列说法正确的是( ) Ak的取值范围是0k B若4k ，过(3,4)M的直线与圆C相交所得弦长为2 3，其方程为125160 xy C若4k ，圆C与 22 1xy相交 D若4k ，0m ，0n ，直线10mxny 恒过圆C的圆心，则 12 8 mn 恒成立 10 （5 分）已知向量 4 (2sin 2 x a ， 4 cos( ) 2 x f x， 1 (1,) 2 b ，若a与b共线，则下列说 法正确的是( ) A将( )f x的图象向左平移 3 个单位得到函数 13 cos(2) 434 y

6、x 的图象 B函数( )f x的最小正周期为 C直线 3 2 x 是( )f x图象的一条对称轴 D函数( )f x在( 2 ，) 4 上单调递减 11 （5 分）若实数ab，则下列不等关系正确的是( ) A 223 ( )( )( ) 555 baa B若1a ，则log2 aab C若0a ，则 22 11 ba ab D若 5 3 m ，a，(1,3)b，则 3322 1 ()()0 3 abm abab 12 （5 分）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗 第 3 页（共 22 页） 笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐浙成为一种时

7、尚旅游产 品有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠” ，根据人的体型、高矮等制作成大小不 一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直 径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠” ，帽坡长 20 厘米，帽底宽20 3厘米，关 于此斗笠，下面说法正确的是( ) A分笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120 B过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100 3平方厘米 C若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表而积为1600平方厘米 D此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为20 330厘米 三、

8、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题。每小题个小题。每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 6 2 ()x x 的展开式中常数项是 14 （5 分）已知非零向量a，b满足| 2|ba，且()aba，则a与b的夹角为 15 （5 分）某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周 末分散培训两种方式的效果，调查了 105 名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的 55 个学员中有 45 名学员一次考试通过， 接受周末分散培训的学员一次考试通过的有 30 个 根 据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过 附： 2 2

9、() ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 ()P Kk 0.05 0.025 0.010 0.001 k 3.841 5.024 6.635 10.828 16 （5 分）2021 年是中同传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的 形象已知抛物线 2 :4Z xy的焦点为F，圆 22 :(1)4F xy与抛物线Z在第一象限的交 第 4 页（共 22 页） 点为( ,) 4 m P m， 直线:(0)l xttm 与抛物线Z的交点为A， 直线l与圆F在第一象限的交 点为B，则m ；FAB周长的取值范围为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，

10、共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）从“ 1 () 2 n a Sn n； 23 Sa， 412 aa a； 1 2a ， 4 a是 2 a， 8 a的等比中 项 ”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，公差d不等于零，_， * nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 22 nn n bSS ，数列 n b的前n项和为 n W，求 n W 18 （12 分）如图，在ABC中，ABAC，2ABAC，点E，F是线段BC（含端点） 上的动点，且点E在

11、点F的右下方，在运动的过程中，始终保持 4 EAF 不变，设 EAB弧度 （1）写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式； （2）求EAF面积S的最小值 19（12 分） 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，/ /ADBC，BCCD，2PAAD， 1CD ，3BC ，点M，N在线段BC上，21BMMN，ANMDE，Q为线段PB 上的一点 （1）求证：MD 平面PAN； （2）若平面MQA与平面PAN所成锐二面角的余弦值为 4 5 ，求直线MQ与平面ABCD所成 角的正弦值 第 5 页（共 22 页） 20 （12 分）某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员

12、参加特价购 物赠券活动，今年活动的主题为“购物三选一，真情暖心里” ，符合条件的会员可以特价购 买礼包A（十斤肉类） 、礼包B（十斤蔬菜）和礼包C（十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意 一类，并且根据购买的礼包不同可以获赠价值不等的代金券，根据以往经验得知，会员购买 礼包A和礼包B的概率均为 2 5 （1）预计今年有 400 名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合 理； （2）在促销活动中，若有甲、乙、 丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互独立， 已知购买礼包A或礼包B均可以获得 50 元商场代金券，购买礼包C可以获得 25 元商场代 金券，设Y是三人获得代金券金额之和

13、求Y的分布列和数学期望 21 （12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，右焦 点为 2 F，上顶点为 2 A，点( , )P a b到直线 22 F A的距离等于 1 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线:(0)l ykxm m与椭圆C相交于A，B两点，D为AB中点， 直线DE，DF分 别与圆 222 :(3 )W xymm相切于点E，F，求EWF的最小值 22 （12 分）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重 要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若( )fx是( )f x的导函数，( )fx是(

14、 )fx的导函数， 则曲线( )yf x在点(x，( )f x处的曲率 3 2 2 |( )| (1( ) ) fx K fx 已知函数( )cos(1)(0 x f xaelnxbxa，0)b ， 若0a ， 则曲线( )yf x在点(1，f（1） 第 6 页（共 22 页） )处的曲率为 2 2 （1）求b； （2）若函数( )f x存在零点，求a的取值范围； （3）已知1.09831.099ln， 0.048 1.050e， 0.045 0.956e，证明：1.141.15ln 第 7 页（共 22 页） 2021 年山东省青岛市高考数学质检试卷（一模）年山东省青岛市高考数学质检试卷（一

15、模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |logAy yx，4x ， 1 2 |BxR yx，则()( RA B ) A(，2 B2，) C0，2 D(0,2) 【解答】解： |2Ay y， |0Bx x， |2 RA y y，()0 RA B ，2 故选：C 2 （5 分）若，表示两个不同的平面，m为平面内一条直线，则( ) A “/ /m”是“/

16、 /”的充分不必要条件 B “/ /m”是“/ /”的必要不充分条件 C “m”是“”的必要不充分条件 D “m”是“”的充要条件 【解答】解：因为m为平面内一条直线，/ /m，所以/ /或与相交， 故“/ /m”不能推出“/ /” ， 而/ /，则两平面没有公共点，而m为平面内一条直线，所以/ /m， 所以“/ /”可以推出“/ /m” ， 所以“/ /m”是“/ /”的必要不充分条件，故A不正确，B正确； 根据面面垂直的判定可知，m为平面内一条直线， “m”可以推出“” ， 但“”不能推出“m” ，所以“m”是“”的充分不必要条件，故C、 D不正确 故选：B 3 （5 分）已知双曲线 22

17、 22 1 yx ab 的一条渐近线的倾斜角为 3 ，则该双曲线的离心率为( ) A 1 2 B 3 2 C 2 3 3 D2 【解答】解：双曲线 22 22 1 yx ab 的一条渐近线的倾斜角为 3 ， 第 8 页（共 22 页） 它的斜率：3， 所以3 a b ，所以 2222 333abca， 解得 2 3 3 c e a 故选：C 4 （5 分）18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数 及共运算具有了几何意义，例如，| |zOZ，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到 原点的距离 在复平面内， 复数 0 2 ( 1 ai zi i 是虚数单位，)a

18、R是纯虚数， 其对应的点为 0 Z， Z为曲线| 1z 上的动点，则 0 Z与Z之间的最小距离为( ) A 1 2 B1 C 3 2 D2 【解答】解： 2 0 22 2(2 )(1)2222 1(1)(1)1122 aiaiiaiaiiaa zi iii ， 0 z为纯虚数， 20 20 a a ，即2a 0 2zi，则 0(0,2) Z，Z为曲线| 1z 上的动点， 其轨迹为以原点为圆心，以 1 为半径的圆， 则 0 Z与Z之间的最小距离为2 1 1 故选：B 5 （5 分）若 3( 1),0 ( ) 2 ,0 x logxx f x x ，则不等式 1 ( ) 2 f x 的解集为( )

19、 A( 1，0)( 31，) B(，13)(1，) C( 1，0)(0，31) D(，1)( 31，) 【解答】解：因为 3( 1),0 ( ) 2 ,0 x logxx f x x ， 当0 x时，不等式 1 ( ) 2 f x 化为 3 1 log (1) 2 x ， 所以13x ，解得31x ； 当0 x 时，不等式 1 ( ) 2 f x 化为 1 2 2 x ， 解得1x ，即10 x ； 第 9 页（共 22 页） 综上知，不等式 1 ( ) 2 f x 的解集为( 1，0)( 31，) 故选：A 6 （5 分）已知角终边上有一点 4 (tan 3 P， 17 2sin() 6 ，

20、则cos的值为( ) A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【解答】解：因为角终边上有一点 4 (tan 3 P， 17 2sin() 6 ， 所以可得 22 417 (tan)4312 36 rsin ， 所以 4 tan 3 3 cos 22 故选：D 7（5 分） 已知( )yf x为奇函数，(1)yf x为偶函数， 若当0 x，1时， 2 ( )log ()f xxa， 则(2021)(f ) A1 B0 C1 D2 【解答】解：根据题意，( )yf x为奇函数，则()( )fxf x (1)yf x为偶函数，则(1)(1)fxfx，变形可得()(2)fxfx， 则有(2)(

21、 )f xf x ， 则有(4)(2)( )f xf xf x ，即函数是周期为 4 的周期函数， 则(2021)(1505 4)fff（1） ， ( )yf x为奇函数，当0 x，1时， 2 ( )log ()f xxa，则 2 (0)log0fa，必有1a ， 则当0 x，1时， 2 ( )log (1)f xx，f（1） 2 log (1 1)1， 故(2021)ff（1）1， 故选：C 8（5 分） 在抛物线 2 1 2 xy第一象限内一点( n a，) n y处的切线与x轴交点的横坐标记为 1n a ， 其中 * nN，已知 2 32a ， n S为 n a的前n项和，若 n m S

22、恒成立，则m的最小值为( ) A16 B32 C64 D128 【解答】解： 2 1 2 xy， 2 2(0)yx x ， 4yx ， 第 10 页（共 22 页） 2 1 2 xy在第一象限内图象上一点( n a， 2 2) n a处的切线方程是： 2 24() nnn yaa xa， 整理，得 2 420 nn a xya， 切线与x轴交点的横坐标为 1n a ， 1 1 2 nn aa ，又 2 32a ， 1 64a， n a是首项为 1 64a ，公比 1 2 q 的等比数列， 1 64(1) 1 2 128(1)128 1 2 1 2 n n n S ， n m S恒成立，128m

23、 ， 即m的最小值为 128 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题。每小题小题。每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分。部分选对的得分。部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）关于圆 222 1 :210 4 C xykxykk ，下列说法正确的是( ) Ak的取值范围是0k B若4k ，过(3,4)M的直线与圆C相交所得弦长为2 3，其方程为125160 xy C若4k ，圆C与 22 1xy相交 D若

24、4k ，0m ，0n ，直线10mxny 恒过圆C的圆心，则 12 8 mn 恒成立 【解答】解：圆C的标准方程为： 22 ()(1) 2 k xyk，故A正确； 当4k 时，圆C的圆心(2, 1)，半径为 2， 对于选项B，当直线为3x 时，该直线过点M，此时截得弦长为2 3，故选项B不正确； 对于选项C，两圆的圆心距为 22 (20)( 1 0)5 ， 大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和，故正确； 对于选项D，易得210mn ，即21mn，0m ，0n ， 1212 ()(2)448 nm mn mnmnmn ， 第 11 页（共 22 页） 当且仅当4 nm mn ，即 1 2

25、2 nm时取等号，故正确 故选：ACD 10 （5 分）已知向量 4 (2sin 2 x a ， 4 cos( ) 2 x f x， 1 (1,) 2 b ，若a与b共线，则下列说 法正确的是( ) A将( )f x的图象向左平移 3 个单位得到函数 13 cos(2) 434 yx 的图象 B函数( )f x的最小正周期为 C直线 3 2 x 是( )f x图象的一条对称轴 D函数( )f x在( 2 ，) 4 上单调递减 【解答】解：若a与b共线， 则 44 1 2sincos( )0 222 xx f x， 即 44222222 111cos213 ( )sincos(sincos)2s

26、incos1sin1cos2 22222222244 xxxxxxx f xxx ， A将( )f x的图象向左平移 3 个单位，得 13123 cos2()cos(2) 434434 yxx ，则无 法得到函数 13 cos(2) 434 yx ，故A错误， B函数( )f x的最小正周期为 2 2 T ，故B正确， C由2xk，得 2 k x ，kZ，则当3k 时，对称轴为 3 2 x ，故C正确， D当222kxk，kZ，得 2 kxk ，kZ， 当1k 时，函数( )f x在(,) 2 上为减函数，当0k 时，( )f x在(0,) 2 上为减函数， 则( )f x在( 2 ，) 4

27、上单调递减错误，故D错误， 故选：BC 11 （5 分）若实数ab，则下列不等关系正确的是( ) A 223 ( )( )( ) 555 baa B若1a ，则log2 aab 第 12 页（共 22 页） C若0a ，则 22 11 ba ab D若 5 3 m ，a，(1,3)b，则 3322 1 ()()0 3 abm abab 【解答】解：对于A：幂函数 a yx，当1a 时，函数单调递减，所以 11 23 ( )( ) 55 ，故A 错误； 对于B：当logloglog1 12 aaa abab ，故B正确； 对于 2222 ()() : 11(1)(1) baba baabab C

28、 abab ， 由于0ba，故 22 11 ba ab 成立，故C正确； 对于D：当2m 时， 332222 11 ()()()221 33 abm ababba ababab， 22 1 () (1)(1)1 3 abab， 当2a ，2.5b 时，该不等式不成立，故D错误 故选：BC 12 （5 分）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗 笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐浙成为一种时尚旅游产 品有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠” ，根据人的体型、高矮等制作成大小不 一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）

29、和帽底宽（底面圆直 径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠” ，帽坡长 20 厘米，帽底宽20 3厘米，关 于此斗笠，下面说法正确的是( ) A分笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120 B过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100 3平方厘米 C若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表而积为1600平方厘米 D此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为20 330厘米 第 13 页（共 22 页） 【解答】解：对于A，作出图形如图所示， 22 20(10 3)40030010PO ， 所以 10 33 sin 202 AO

30、BPO AP ， 故60BPO，所以120APB，故选项A正确； 对于B，设APB，截面三角形面积为 2 1 sin200sin200 2 SPA，故选项B不正 确； 对于C，设外接球球心为M，半径为R，所以MAMPR， 在AOM中，由勾股定理可得 22 300(10)RR，解得20R ， 所以该球的表面积 2 4201600S，故选项C正确； 对于D，设球心为 O ，截面主视图如图所示，设内切圆半径为r， ABP各边长分别为20PAPB，20 3AB ， 所以 11 (202020 3)20 3 10 22 r，解得20 330r ，故选项D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：

31、本题共 4 个小题。每小题个小题。每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 14 页（共 22 页） 13 （5 分） 6 2 ()x x 的展开式中常数项是 160 【解答】解：展开式的通项为 3 16 ( 2)r rr r TC x 令30r得3r 所以展开式的常数项为 33 6 ( 2)160C 故答案为：160 14 （5 分） 已知非零向量a，b满足| 2|ba， 且()aba， 则a与b的夹角为 2 3 【解答】解：根据题意，设a与b的夹角为，|at，则| 2bt， 若()aba，则 222 ()2 cos0abaaa btt， 变形可得： 1 cos 2 ， 又由0 剟，则 2

32、 3 ， 故答案为： 2 3 15 （5 分）某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周 末分散培训两种方式的效果，调查了 105 名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的 55 个学员中有 45 名学员一次考试通过， 接受周末分散培训的学员一次考试通过的有 30 个 根 据统计结果， 认为 “能否一次考试通过与是否集中培训有关” 犯错误的概率不超过 0.025 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 ()P Kk 0.05 0.025 0.010 0.001 k 3.841 5.024 6.635 10.828 【解答】解

33、：22列联表如下： 通过 未通过 总计 集中培训 45 10 55 分散培训 30 20 50 总计 75 30 105 2 2 105 (45 2030 10) 6.1095.024 75 30 50 55 K ， 认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过 0.025， 第 15 页（共 22 页） 故答案为：0.025 16 （5 分）2021 年是中同传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的 形象已知抛物线 2 :4Z xy的焦点为F，圆 22 :(1)4F xy与抛物线Z在第一象限的交 点为( ,) 4 m P m， 直线:(0)l xttm 与抛物

34、线Z的交点为A， 直线l与圆F在第一象限的交 点为B，则m 2 ；FAB周长的取值范围为 【解答】解： （1）联立方程 2 22 4 (1)4 xy xy ，解得 2 1 x y 或 2 1 x y ， 又因为点P在第一象限，所以(2,1)P， 即2m ； （2）由题意可知抛物线Z的焦点和圆F的圆心是同一个点(0,1)， | 2FB，|1 A AFy，| BA AByy， ABF的周长为213 ABAB yyyy ， 2otm ，13 B y ， ABF的周长取值范围是(4,6) 故答案为：2，(4,6) 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明

35、，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）从“ 1 () 2 n a Sn n； 23 Sa， 412 aa a； 1 2a ， 4 a是 2 a， 8 a的等比中 项 ”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，公差d不等于零，_， * nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 22 nn n bSS ，数列 n b的前n项和为 n W，求 n W 【解答】解： （1）选 1 () 2 n a Sn n， 可得 1 11 1 2 a aS ，解得 1 2a ， 即 2 n Snn， 则 12

36、6aa，即 2 4a ， 21 2daa， 所以22(1)2 n ann； 选 23 Sa， 412 aa a， 第 16 页（共 22 页） 可得 11 22adad， 111 3()ada ad， 解得 1 2ad， 所以22(1)2 n ann； 选 1 2a ， 4 a是 2 a， 8 a的等比中项， 可得 2 428 aa a，即 2 (23 )(2)(27 )ddd， 解得2(0dd舍去） ， 所以22(1)2 n ann； （2）由 2 n Snn， 可得 1 1 212 22 (2)2(2 )23 42 nn nnnnnn n bSS ， 所以 2323 3(4444 )(22

37、22 ) nn n W 4(14 )2(12 ) 3 1412 nn 1111 4422426 nnnn 18 （12 分）如图，在ABC中，ABAC，2ABAC，点E，F是线段BC（含端点） 上的动点，且点E在点F的右下方，在运动的过程中，始终保持 4 EAF 不变，设 EAB弧度 （1）写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式； （2）求EAF面积S的最小值 【解答】解： （1）在ABE中，由正弦定理可得 3 sinsin() 44 AEAB ， 2 3 sin() 4 AE ， 第 17 页（共 22 页） 在ABF中，由正弦定理可得 sinsin() 42 AFAB ，

38、2 cos AF ， （2）由（1）可得， 122222 |sin 3 244cos1cos2sin2 sin()12cos(2) 44 AEF SAEAF ， 0, 4 ， 22 cos(2), 422 ， 三角形AEF的面积的最小值为 1，此时0 19（12 分） 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，/ /ADBC，BCCD，2PAAD， 1CD ，3BC ，点M，N在线段BC上，21BMMN，ANMDE，Q为线段PB 上的一点 （1）求证：MD 平面PAN； （2）若平面MQA与平面PAN所成锐二面角的余弦值为 4 5 ，求直线MQ与平面ABCD所成 角的正弦值 【解答】 （1）证明

39、：因为PA平面ABCD，MD 平面ABCD，所以PAMD， 又由因为/ /ADBC，2AD ，3BC ，点M，N在线段BC上，1BM ， 所以ADMC， 所以四边形ADCM为平行四边形，因为BCCD，所以四边形ADCM为矩形， 因为 MNCD AMMC ，所以NAMDMC ，所以90DMCANM，所以MDAN， 第 18 页（共 22 页） 又因为PAANA，所以MD 平面PAN （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BQBP，(0,1)， (0P，0，2)，(1M，0，0)，(1B，1，0)，(1Q，1，2 )，(0D，2，0) (1AM ，0，0)，(1AQ，1，2 )， 设平面MAQ

40、的法向量为(mx，y，) z， 0 (1)(1)20 AM mx AQ mxyz ，令1z ，(0m，2，1)， 平面PAN法向量为( 1nMD ，2，0)， 平面MQA与平面PAN所成锐二面角的余弦值为 22 |44 | |5 (2 )(1)5 m n mn ，解得 1 2 ， (1MQ，1， 1 2 )(2， 1 2 ，1)， 平面ABCD的法向量为(0k ，0，1)， 直线MQ与平面ABCD所成角的正弦值为 |16 3| |3 1 2 MQ k MQk 20 （12 分）某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购 物赠券活动，今年活动的主题为“购物三选一，真情暖

41、心里” ，符合条件的会员可以特价购 第 19 页（共 22 页） 买礼包A（十斤肉类） 、礼包B（十斤蔬菜）和礼包C（十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意 一类，并且根据购买的礼包不同可以获赠价值不等的代金券，根据以往经验得知，会员购买 礼包A和礼包B的概率均为 2 5 （1）预计今年有 400 名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合 理； （2）在促销活动中，若有甲、乙、 丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互独立， 已知购买礼包A或礼包B均可以获得 50 元商场代金券，购买礼包C可以获得 25 元商场代 金券，设Y是三人获得代金券金额之和求Y的分布列和数学期望 【解答

42、】解： （1）会员购买礼包C的概率为 21 12 55 ， 所以需要准备鸡蛋 1 40010800 5 （斤) （2）Y的所有可能取值为 150，125，100，75， 则 3 464 (150)( ) 5125 P Y ， 12 3 1448 (125)( ) 55125 P YC， 22 3 1412 (100)( ) 55125 P YC， 3 11 (75)( ) 5125 P Y ， 所以Y的分布列如下： X 150 125 100 75 P 64 125 48 125 12 125 1 125 6448121 ( )15012510075135 125125125125 E Y 2

43、1 （12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，右焦 点为 2 F，上顶点为 2 A，点( , )P a b到直线 22 F A的距离等于 1 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线:(0)l ykxm m与椭圆C相交于A，B两点，D为AB中点， 直线DE，DF分 别与圆 222 :(3 )W xymm相切于点E，F，求EWF的最小值 【解答】解： （1）直线 22 F A的方程为10 xy bxcybc cb 第 20 页（共 22 页） ( , )P a b到直线 22 F A的距离为 22 1 abbcbcab b a bc

44、 而 3 2 c a ， 222 abc， 2a， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (D x， 0) y， 2 22 4()4 44 ykxm xkxm xy ， 222 (14)8440kxkmxm， 2222 644(1 4)(44)0k mkm， 12 0 2 4 214 xxkm x k ， 2 4 (1 4 km D k ， 2) 14 m k ， 222 22 222222 1 sin 16161 (3 )(3) (14)14(14)14 mm EDW DW k mmk m kkkk 令 2 1 14

45、 t k ， 222 111 sin 2 44(3)329 EDW ttttt 30EDW， 120EWF 即EWF的最小值为120 22 （12 分）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重 要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若( )fx是( )f x的导函数，( )fx是( )fx的导函数， 则曲线( )yf x在点(x，( )f x处的曲率 3 2 2 |( )| (1( ) ) fx K fx 已知函数( )cos(1)(0 x f xaelnxbxa，0)b ， 若0a ， 则曲线( )yf x在点(1，f（1） )处的曲率为 2 2 （1）求b； 第 2

46、1 页（共 22 页） （2）若函数( )f x存在零点，求a的取值范围； （3）已知1.09831.099ln， 0.048 1.050e， 0.045 0.956e，证明：1.141.15ln 【解答】 （1）解：( )cos(1) x f xaelnxbx，若0a ，则( )cos(1)f xlnxbx ， 1 ( )sin(1)fxbx x ， 2 1 ( )cos(1)fxbx x ， 因为曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的曲率为 2 2 ， 所以 33 22 22 |(1)|1|1|2 22 2 (1 (1) )1( 1) fbb K f ， 又0b ，所以1b （2）解：

47、由（1）可得( )cos(1) x f xaelnxx， 若函数( )f x存在零点，则方程( )cos(1)0 x f xaelnxx在(0,)上有解， 即 1 cos(1) x lnxx ae e 在(0,)上有解， 1 ( ) x g xex ， 1 ( )1 x g xe ，当01x时，( )0g x，( )g x单调递减， 当1x 时，( )0g x，( )g x单调递增， 所以( )g xg（1）0，当且仅当1x 时取等号， 从而 111 1cos(1) xlnx exelnxxlnx 厖?，当且仅当1x 时取等号， 所以 1 cos(1) ( )1 x lnxx h x e ，当且仅当1x 时等号成立， 当0 x 时，( )h x ， 所以1ae，解得 1 a e ， 即实数a的取值范围是0， 1 e （3）证明：由（2）得 1 1 x elnx ， 第 22 页（共 22 页） 则 1 0.048 3 1.0501131 1.0990.1 3 eelnlnlnlnln ，则1.150ln， 又 3 1 0.045 3 1 1.0981310.956lnlnlnlnee ，则1.1421.14ln， 所以1.141.15ln