1、第 1 页（共 19 页） 2021 年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（文科） （年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（文科） （3 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知全集U，集合M，N是U的子集，且MN，则下列结论中一定正确的是 ( ) A()() UU MNU痧 B() U MN C() U MNU D() UM N 2 （5 分）在复平面内，若复数z与 1 12 i i 表示的点关于虚轴
2、对称，则复数(z ) A 13 55 i B 13 55 i C 13 55 i D 13 55 i 3 （5 分）关于x的方程 2 0 xaxb，有下列四个命题： 甲：1x 是方程的一个根；乙：4x 是方程的一个根； 丙：该方程两根之和为 3；丁：该方程两根异号 如果只有一个假命题，则假命题是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 4 （5 分）在平面直角坐标系中定义点( , )P x y的“准奇函数点”为(2,2)Paxby，若函 数C上所有点的“准奇函数点”都在函数C上，则称函数C为“准奇函数” 下列函数不是 “准奇函数”的是( ) A( )cos(1)f xx B 21 ( ) 1 x f x
3、 x C | | ( ) x f xe D( )f xx 5 （5 分）已知空间中不重合的直线a，b和不重合的平面，下列判断正确的是( ) A若/ /a，/ /b，则/ /ab B若/ /ab，b，则/ /a C若ab，a，则/ /b D若a，a，则/ / 6 （5 分）已知单位向量a，b满足0a b，若向量53cab，则sina，(c ) A 10 4 B 6 4 C 5 8 D 59 8 第 2 页（共 19 页） 7 （5 分）已知x，y满足约束条件 0 4 0 1 xy xy y ，则2zxy 的最大值是( ) A1 B2 C5 D7 8 （5 分）下列函数中，同时满足以下两个条件“x
4、R ，()()0 66 fxfx ” ； “将图象向左平移 12 个单位长度后得到的图象对应函数为( )cos2g xx”的一个函数是( ) A 5 sin(2) 6 x Bcos(2) 3 x C 5 cos(2) 6 x Dsin(2) 3 x 9（5 分） 在平面直角坐标系xOy中，(3,0)A，(0, 3)B， 点M满足OMxOAyOB，1xy， 点N为曲线 2 2yxx上的动点，则|MN的最小值为( ) A2 21 B2 2 C 3 2 2 D 3 2 1 2 10 （5 分）已知双曲线T的焦点在x轴上，对称中心为原点，ABC为等边三角形若点A 在x轴上，点B，C在双曲线T上，且双曲
5、线T的虚轴为ABC的中位线，则双曲线T的渐 近线方程为( ) A 15 3 yx B 5 3 yx C 3 3 yx D 5 5 yx 11 （5 分）已知正方体棱长为 6，如图，有一球的球心是 1 AC的中点，半径为 2，平面 11 B DC 截此球所得的截面面积是( ) A B7 C4 D3 12 （5 分）数列 n a各项均是正数， 1 1 2 a ， 2 3 2 a ，函数 3 1 3 yx在点( n a， 3 1 ) 3 n a处的切 线过点 21 (2 nn aa ， 3 7 ) 3 n a，则下列命题正确的个数是( ) 34 18aa； 数列 1 nn aa 是等比数列； 数列
6、1 3 nn aa 是等比数列； 第 3 页（共 19 页） 1 3n n a A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分） 函数( )3cosf xxx在(0，(0)f处的切线与直线210 xmy 垂直， 则实数m 的值为 14 （5 分）已知函数( )f x满足( )()2f xfx， 1 ( )1g x x ，( )yf x与( )yg x交于点 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，则 12 yy 15 （5 分）已知等比数列 n a满足 13 8 27 aa ， 24 8 9
7、 aa ，则使得 12n a aa取得最小 值的n为 16 （5 分）已知过点(2,2)A作直线AB，AC与圆 22 (2)1xy相切，且交抛物线 2 2xy 于B，C两点，则BC的直线方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题题 为必考题，每个试题考生都必须作答。第为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）题为选考题，考生根据要求作答。 （一） 必考题：共必考题：共 60 分。分。 17（12 分） 如图， 在ABC中，60B，
8、8AB ，7AD ， 点D在BC上， 且 1 cos 7 ADC （1）求BD； （2）若 3 cos 2 CAD，求ABC的面积 18 （12 分）某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗 6 元，售价每 碗 10 元，未售出的螺蛳粉降价处理，以每碗 5 元的价格当天全部处理完根据往年销售经 验，每天需求量与当天最高气温（单位：C) 有关如果最高气温不低于 25，需求量为 200 碗；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 碗；如果最高气温低于 20，需求量为 500 碗为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的 频数分布表： 第 4
9、 页（共 19 页） 最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40) 天数 4 7 25 36 16 2 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 （1）求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过 300 碗的概率； （2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为Y（单位：元） ，当六月份这种螺蛳粉一天的进 货量为 450 碗时，写出Y的所有可能值，并估计Y的平均值（即加权平均数） 19 （12 分）图 1 是由正方形ABCD，Rt ABE，Rt CDF组成的一个平面图形，其中 1ABAEDF，将其沿AB、CD折起使得点E与点F重合，如图 2 （
10、1）证明：图 2 中的平面ABE与平面ECD的交线平行于底面ABCD； （2）求二面角BECD的余弦值 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ， 且过点(0,1)如图所示，斜率为(0)k k 且过点( 1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，线 段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，若F在射线OE上，且 2 | |OGOEOF （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：点F在定直线上 21 （12 分） 已知函数( )32sin31(0)f xxxx，( )2 35sin3cos3g xxxx 第 5 页（共 19
11、 页） （1）求( )f x在0，上的最小值； （2）证明：( )( )g xf x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 3cos ( 2 32 3sin x y 为参 数且 2 ，) 2 ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的 极坐标方程为4cos （1）说明 1 C是哪种曲线，并将 1 C的方
12、程化为极坐标方程； （2）设点A的极坐标为(4 3，) 2 ，射线(0) 2 与 1 C的交点为M（异于极点） ， 与 2 C的交点为N（异于极点） ，若|3|MNMA，求tan的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2 |2|f xxx （1）求不等式( ) 1f x 的解集； （2）若xR ，使得( ) cosf xxa成立，求实数a的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2021 年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（文科） （年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（文科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共
13、 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。 1 （5 分）已知全集U，集合M，N是U的子集，且MN，则下列结论中一定正确的是 ( ) A()() UU MNU痧 B() U MN C() U MNU D() UM N 【解答】解：对于A，()() UUU MNMU痧?，所以A错误； 对于B，因为MN，所以() U MN ，选项B正确； 对于C，因为MN，且() U MN 所以() U MNU，选选C错误； 对于D，因为MN，所以() UM N ，选选D错误 故选：B
14、 2 （5 分）在复平面内，若复数z与 1 12 i i 表示的点关于虚轴对称，则复数(z ) A 13 55 i B 13 55 i C 13 55 i D 13 55 i 【解答】解：因为 22 1(1)(12 )(12)( 12)13 121(2 )555 iiii i ii ， 该复数表示的点是 1 ( 5 ， 3) 5 ，关于虚轴对称点为 1 (5， 3) 5 ， 所以复数 13 55 zi 故选：A 3 （5 分）关于x的方程 2 0 xaxb，有下列四个命题： 甲：1x 是方程的一个根；乙：4x 是方程的一个根； 丙：该方程两根之和为 3；丁：该方程两根异号 如果只有一个假命题，
15、则假命题是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解：根据题意：甲，乙，丙，三个说法矛盾，其中有一个假命题， 第 7 页（共 19 页） 故丁说法正确，两根异号， 故甲和乙中有一个错误， （因为甲，乙同号，必有矛盾） ， 若甲错误，4x ，1x 成立， 若乙错误，1x ，3x 不成立， 故甲为假命题 故选：A 4 （5 分）在平面直角坐标系中定义点( , )P x y的“准奇函数点”为(2,2)Paxby，若函 数C上所有点的“准奇函数点”都在函数C上，则称函数C为“准奇函数” 下列函数不是 “准奇函数”的是( ) A( )cos(1)f xx B 21 ( ) 1 x f x x C | |
16、 ( ) x f xe D( )f xx 【解答】解：根据题意，若函数的图象关于点( , )a b对称，则点( , )P x y与(2,2)Paxby都 在函数的图象上， 此时函数为“准奇函数” ， 若函数( )f x存在对称中心，则( )f x是“准奇函数” ， 对于A，( )cos(1)f xx，存在对称中心(1 2 k ，0)，是“准奇函数” ； 对于B， 213 ( )2 11 x f x xx ，其对称中心为( 1,2)，是“准奇函数” ； 对于C， | | ( ) x f xe，是偶函数不是奇函数，不存在对称中心，不是“准奇函数” ； 对于D，( )f xx，是正比例函数，函数图象
17、上存在无数个对称中心，是“准奇函数” 故选：C 5 （5 分）已知空间中不重合的直线a，b和不重合的平面，下列判断正确的是( ) A若/ /a，/ /b，则/ /ab B若/ /ab，b，则/ /a C若ab，a，则/ /b D若a，a，则/ / 【解答】解：若/ /a，/ /b，则a、b平行、相交或异面，故A错误； 若/ /ab，b，且a，则/ /a，故B错误； 若ab，a，则/ /b或b，故C错误； 若a，a，由线面垂直的性质定理可得/ /，故D正确 第 8 页（共 19 页） 故选：D 6 （5 分）已知单位向量a，b满足0a b，若向量53cab，则sina，(c ) A 10 4 B
18、 6 4 C 5 8 D 59 8 【解答】解：单位向量a，b满足0a b，且向量53cab， 222 |( 53 )52 153532 2cabaa bb， cosa， 2 35510 | |42 22 2 a ca ba c ac ， sina， 2 106 1() 44 c ， 故选：B 7 （5 分）已知x，y满足约束条件 0 4 0 1 xy xy y ，则2zxy 的最大值是( ) A1 B2 C5 D7 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立 0 40 xy xy ，解得(2,2)A， 由2zxy ，得2yxz，由图可知，当直线2yxz过A时， 直线在y轴上的截距最大，z有
19、最大值为2 故选：B 8 （5 分）下列函数中，同时满足以下两个条件“xR ，()()0 66 fxfx ” ； 第 9 页（共 19 页） “将图象向左平移 12 个单位长度后得到的图象对应函数为( )cos2g xx”的一个函数是( ) A 5 sin(2) 6 x Bcos(2) 3 x C 5 cos(2) 6 x Dsin(2) 3 x 【解答】解：同时满足以下两个条件“xR ，()()0 66 fxfx ” ； 即函数( )f x的图象，当 6 x 时，()0 6 f ，符合选项的为C和D 对于“将图象向左平移 12 个单位长度后得到的图象对应函数为( )cos2g xx” 由于s
20、in(2)sin(2)cos2 632 xxx ，故D正确； 故选：D 9（5 分） 在平面直角坐标系xOy中，(3,0)A，(0, 3)B， 点M满足OMxOAyOB，1xy， 点N为曲线 2 2yxx上的动点，则|MN的最小值为( ) A2 21 B2 2 C 3 2 2 D 3 2 1 2 【解答】解：因为(3,0)A，(0, 3)B，所以直线AB的方程为3yx， 又因为点M满足OMxOAyOB，1xy， 故点M，A，B三点共线，即M在直线AB上， 点N在曲线 2 2yxx上，即点N在曲线： 22 (1)1(0)xyy上， 作出图形如图所示， 所以|MN的最小值为点O到直线3yx的距离，
21、故最小值为 |003|3 2 22 d 故选：C 10 （5 分）已知双曲线T的焦点在x轴上，对称中心为原点，ABC为等边三角形若点A 在x轴上，点B，C在双曲线T上，且双曲线T的虚轴为ABC的中位线，则双曲线T的渐 近线方程为( ) 第 10 页（共 19 页） A 15 3 yx B 5 3 yx C 3 3 yx D 5 5 yx 【解答】解：设双曲线方程为 22 22 1 xy ab ，点B，C在双曲线的左支上，由题意可知， 4BCb，且B，C两点关于x轴对称，根据ABC为等边三角形，可得3 B xb ， (3Bb，2 )b， 22 22 34 1 bb ab ，即 2 2 5 3 b
22、 a ， 渐近线方程为 15 3 yx ， 故选：A 11 （5 分）已知正方体棱长为 6，如图，有一球的球心是 1 AC的中点，半径为 2，平面 11 B DC 截此球所得的截面面积是( ) A B7 C4 D3 【解答】解：正方体棱长为 6，正方体的对角线长为6 3， 三棱锥 111 CBCD的侧棱长为 6，底面边长为6 2，则高为 22 6(2 6)2 3h ， 球心到平面 11 B DC的距离为3d ， 又球的半径为 2，球面被面 11 B DC所截圆的半径为 22 2( 3)1， 截面圆的面积为 2 1 故选：A 12 （5 分）数列 n a各项均是正数， 1 1 2 a ， 2 3
23、 2 a ，函数 3 1 3 yx在点( n a， 3 1 ) 3 n a处的切 线过点 21 (2 nn aa ， 3 7 ) 3 n a，则下列命题正确的个数是( ) 34 18aa； 数列 1 nn aa 是等比数列； 数列 1 3 nn aa 是等比数列； 第 11 页（共 19 页） 1 3n n a A1 B2 C3 D4 【解答】解：函数 3 1 3 yx的导数为 2 yx， 由题意可得 33 2 21 71 33 2 nn n nnn aa a aaa ， 由于0 n a ，可得 21 32 nnn aaa ， 由 1 1 2 a ， 2 3 2 a ，可得 3 9 2 a ，
24、 4 27 2 a ， 则 34 18aa，故正确； 又 211 3() nnnn aaaa ， 可得数列 1 nn aa 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，故正确； 由 211 3(3) nnnn aaaa ，但 21 30aa， 所以数列 1 3 nn aa 不是等比数列， 则 1 30 nn aa ，可得数列 n a是首项为 1 2 ，公比为 3 的等比数列， 则 1 1 3 2 n n a ，故，都不正确 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分） 函数( )3cosf xxx在(0，(0)f
25、处的切线与直线210 xmy 垂直， 则实数m 的值为 6 【解答】解：( )3sinf xx，(0)3f ， ( )f x在(0，(0)f处的切线斜率为 3，直线210 xmy 的斜率为 2 m ， ( )f x在(0，(0)f处的切线与直线210 xmy 垂直， 2 31 m ，解得6m 故答案为：6 14 （5 分）已知函数( )f x满足( )()2f xfx， 1 ( )1g x x ，( )yf x与( )yg x交于点 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，则 12 yy 2 【解答】解：根据函数( )f x满足( )()2f xfx可得函数( )yf x关于点(0,1)
26、中心对称， 即若点( , )x y在( )yf x的图象上，则点(,2)xy也在( )yf x的图象上， 第 12 页（共 19 页） 而 11 ()( )112gxg x xx ，可知函数( )yg x也关于点(0,1)中心对称， 所以( )yf x与( )yg x交于点应成对出现，且每对交点关于(0,1)中心对称， 所以 12 0 xx， 12 2yy 故答案为：2 15 （5 分）已知等比数列 n a满足 13 8 27 aa ， 24 8 9 aa ，则使得 12n a aa取得最小 值的n为 3 【解答】解：因为等比数列 n a满足 13 8 27 aa ， 2413 8 () 9
27、aaaa q ， 所以3q ， 1 1 27 a ， 令 12nn Aa aa， 当 n A取得最小值时， 1 1 nn nn AA AA ， 即 12121nn a aaa aa ， 12121nn a aaa aa ， 所以1 n a ， 1 1 n a ， 所以 14 1 331 27 nn n a ， 3 1 1 331 27 nn n a ， 即 4 0 3 0 n n ，解得，34n剟， 故 12n a aa取得最小值的3n 故答案为：3 16 （5 分）已知过点(2,2)A作直线AB，AC与圆 22 (2)1xy相切，且交抛物线 2 2xy 于B，C两点，则BC的直线方程为 4
28、2 3 yx 【解答】解：显然直线AB，AC的斜率存在且不为 0，设过A的Q切线的方程为： 2(2)yk x， 即220kxyk， 圆的圆心的坐标(0,2)， 由直线与圆相切可得 2 |2 | 1 1 k k ，可得 3 3 k ， 设直线AB的斜率为 3 3 ，所以直线AB的方程为： 3 2(2) 3 yx， 第 13 页（共 19 页） 设 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y， 即 32 3 2 33 yx代入抛物线的方程可得： 2 2 34 3 40 33 xx， 解得： 2 3 2 3 x ，即B的横坐标 1 2 3 2 3 x ， 同理可得C的横坐标为 2 2 3
29、2 3 x ， 所以直线BC的方程为： 22 21 2112 1111 2121 22 ()()() 2 xx yyxx yyxxxxxx xxxx ， 所以 2 112 1 () 22 xxx yxx ， 即 2 2 3 (2) 2 3 3 2(2) 23 yx ， 整理可得直线BC的方程为： 4 2 3 yx 故答案为： 4 2 3 yx 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题题 为必考题，每个试题考生都必须作答。第为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题
30、，考生根据要求作答。 （一）题为选考题，考生根据要求作答。 （一） 必考题：共必考题：共 60 分。分。 17（12 分） 如图， 在ABC中，60B，8AB ，7AD ， 点D在BC上， 且 1 cos 7 ADC （1）求BD； （2）若 3 cos 2 CAD，求ABC的面积 【解答】解： （1）在ABD中，由余弦定理知， 222 2cosADABBDAB BDB， 2 49642 8cos60BDBD ，即 2 8150BDBD， 解得3BD 或 5， 1 cos 7 ADC，coscos(180)cos0ADBADCADC ， 当5BD 时， 222 cos0 2 ADBDAB AD
31、B AD BD ，不符合题意，舍去， 第 14 页（共 19 页） 3BD （2）在ACD中， 1 cos 7 ADC， 3 cos 2 CAD， 4 3 sin 7 ADC， 1 sin 2 CAD， sinsin()CADCCAD sincoscossinADCCADADCCAD 4 331113 727214 ， 由正弦定理知， sinsin CDAD CADC ， 7 113 214 CD ， 49 13 CD， 4988 3 1313 BCBDCD， ABC的面积 11883176 3 sin8 2213213 SAB BCB 18 （12 分）某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量
32、相同，进货成本每碗 6 元，售价每 碗 10 元，未售出的螺蛳粉降价处理，以每碗 5 元的价格当天全部处理完根据往年销售经 验，每天需求量与当天最高气温（单位：C) 有关如果最高气温不低于 25，需求量为 200 碗；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 碗；如果最高气温低于 20，需求量为 500 碗为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的 频数分布表： 最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40) 天数 4 7 25 36 16 2 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 （1）求
33、六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过 300 碗的概率； （2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为Y（单位：元） ，当六月份这种螺蛳粉一天的进 货量为 450 碗时，写出Y的所有可能值，并估计Y的平均值（即加权平均数） 【解答】解： （1）设六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过 300 碗为事件A， P（A） 4711 47253616290 ； （2）当一天需求量为 200 碗时，450 6200 10(450200) 5550Y 元， 当一天需求量为 300 碗时，450 6300 10(450300) 51050Y 元， 第 15 页（共 19 页） 当一天需求量为 500 碗时，45064
34、50 101800Y 元， 所以Y的所有可能值为 550，1050，1800； 361623 (550) 905 P Y ， 255 (1050) 9018 P Y ， 4711 (1800) 9090 P Y ， 所以 3511 ( )55010501800841.7 51890 E Y 元 19 （12 分）图 1 是由正方形ABCD，Rt ABE，Rt CDF组成的一个平面图形，其中 1ABAEDF，将其沿AB、CD折起使得点E与点F重合，如图 2 （1）证明：图 2 中的平面ABE与平面ECD的交线平行于底面ABCD； （2）求二面角BECD的余弦值 【解答】（1） 证明： 因为/ /
35、CDAB，AB平面ABE，CD平面ABE， 所以/ /CD平面ABE， 因为CD 平面ECD，设平面ABE平面ECDl，所以/ /lCD， 因为l 平面ABCD，CD 平面ABCD， 所以/ /l平面ABCD，即平面ABE与平面ECD的交线平行底面ABCD； （2）解：建立空间直角坐标系如图所示， 则 3111 (0,0,), (1,0),(1,0),(0,0) 2222 EBCD， 所以 13 (0,1,0),(1,),(1,0,0) 22 BCECDC， 设平面EBC的法向量 1 (nx，y，) z，平面ECD的法向量为 2 (na，b，)c， 则有 1 1 0 13 0 22 BC ny
36、 EC nxyz ， 2 2 13 0 22 0 EC nabc DC na ， 令1z ，则 3 2 x ，令1c ，则3b ， 所以 12 3 (,0,1),(0, 3,1) 2 nn， 第 16 页（共 19 页） 所以 12 12 12 17 cos, 7|7 2 4 nn n n nn ， 所以二面角BECD的余弦值为 7 7 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ， 且过点(0,1)如图所示，斜率为(0)k k 且过点( 1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，线 段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G
37、，若F在射线OE上，且 2 | |OGOEOF （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：点F在定直线上 【解答】解： （1）由题意可得 6 3 c e a ，1b ， 222 abc， 可得 2 3a ， 2 1b ， 所以椭圆的标准方程为： 2 2 1 3 x y； （2）证明：设 0 (F x， 0 1 ) 3 x k ，由（1）即 0 (x， 0) 3 m x ， 所以 22 22 000 9 | 93 mm OFxxx ， 第 17 页（共 19 页） 联立 2 2 3 1 3 m yx x y ，整理可得： 2 2 9 3 x m ， 可得 2 3 3 G x m ， 所以 2 3
38、( 3 G m ， 2 ) 3 m m ， 所以 22 2 222 99 | 333 mm OG mmm ， 因为 2 2 3 (1 3 k E k ， 2) 13 k k ，即 2 3 ( 3m ， 2) 3 m m 所以 22 22222 99 | (3)(3)3 mm OE mmm ， 因为 2 |OGOE OF， 即 222 0 22 999 | 333 mmm x mm ， 所以 0 | 3x ， 因为F在射线OE上，所以 0 3x ， 所以 1 ( 3,)F k ， 所以可证点F在定直线3x 上 21 （12 分） 已知函数( )32sin31(0)f xxxx，( )2 35si
39、n3cos3g xxxx （1）求( )f x在0，上的最小值； （2）证明：( )( )g xf x 【解答】解： （1）函数( )32sin31f xxx， 所以( )32cosfxx， 令( )0fx，即 3 cos 2 x ， 由于定义域为0，所以 6 x ， 在0, 6 x 时，函数( )0fx，在, 6 x 时，函数( )0fx， 即函数在 6 x 时取得最小值， 3 ( )()32 66 min f xf 第 18 页（共 19 页） （2）证明：令( )( )( )h xg xf x 2 35sin332sin31xxxx， 32 3sin()43 6 xx ， 所以( )32
40、 3cos() 6 h xx ， 令( )0h x，解得 6 x ， 所以(0,) 6 x 时，( )0h x，函数( )h x为减函数， 在(, ) 6 x 时，( )0h x，函数( )h x为单调递增函数， 故 3 ( )()130 66 min h xh ， 即( )( )( )0g xf xh x， 故( )( )g xf x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直
41、角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 3cos ( 2 32 3sin x y 为参 数且 2 ，) 2 ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的 极坐标方程为4cos （1）说明 1 C是哪种曲线，并将 1 C的方程化为极坐标方程； （2）设点A的极坐标为(4 3，) 2 ，射线(0) 2 与 1 C的交点为M（异于极点） ， 与 2 C的交点为N（异于极点） ，若|3|MNMA，求tan的值 【解答】解： （1）曲线 1 C的参数方程为 2 3cos ( 2 32 3sin x y 为参数且 2 ，) 2 ，转 换为直角坐标方程为 22 (2 3)12
42、xy，(0)x， 故该曲线为以(0，2 3)为圆心以2 3为半径的右半圆 根据 222 cos sin x y xy 转换为极坐标方程为4 3cos，且 2 ， 2 ， 第 19 页（共 19 页） （2）曲线 2 C的极坐标方程为4cos， 设 1 (M，)， 2 (N，)， 所以| 4 3sinOM，| 4cosON， 所以| 4|3sincos|MN， | |sin()4 3cos 2 MAOA ， 由于|3|MNMA， 所以4|3sincos| 4 3cos， 解得 4 3 tan 3 ， 由于0 2 ， 所以 4 3 tan 3 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2 |2|f xxx （1）求不等式( ) 1f x 的解集； （2）若xR ，使得( ) cosf xxa成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）( ) 1f x 即为|2 |2| 1xx， 等价为 2 22 1 x xx 或 20 22 1 x xx 或 0 22 1 x xx ， 解得x或10 x或03x ， 则所求解集为 1，3； （2）xR ，使得( ) cosf xxa成立， 可得 ( )cos minaf xx， 由( )cos| (|2|)cos0 |2| 13f xxxxxxxx ， 当且仅当0 x 时，上式取得等号 则3a ，即a的取值范围是(，3
