2021年北京市门头沟区高考数学一模试卷.docx

1、第 1 页（共 18 页） 2021 年北京市门头沟区高考数学一模试卷年北京市门头沟区高考数学一模试卷 一、选择题共一、选择题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合分。在每小题给出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1 （4 分）复数(1)zii的模| (z ) A2 B2 C1 D4 2 （4 分）集合 |0Ax x， |2Bx x，则(AB ) AR B 2，) C(0，2 D(0,) 3 （4 分）二项式 25 2 ()x x 展开式中， 4 x的系数是( ) A40 B10 C40 D10 4 （4

2、分）某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为( ) A2 B2 2 C4 D2 3 5 （4 分）数列 n a中， 1 1a ， 1 2 nn aa ，数列 n b满足| nn ba，则数列 n b的前n项 和( n S ) A |1( 2) | 3 n B 12 3 n C21 n D( 2)1 n 6 （4 分）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径 88 米，最高点A距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟由于受到周边建筑物的 影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时 长为( ) 第 2 页

3、（共 18 页） A10 分钟 B12 分钟 C14 分钟 D16 分钟 7 （4 分） “(1)0ln x ”的一个必要而不充分条件是( ) A 1 1x e B0 x C10 x D0 x 8 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对 称若 2 5 cos 5 ，则cos()( ) A 3 5 B 3 5 C1 D 3 4 9 （4 分） 已知抛物线 2 :2C ypx的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为 3 的点， 过点A 的直线交x轴的正半轴于点B，且ABF为正三角形，则(p ) A1 B2 C9 D18 10 （4 分） 在平面直角坐标系中， 从

4、点( 3,2)P 向直线20kxyk作垂线， 垂足为M， 则点(2,4)Q与点M的距离|MQ的最小值是( ) A52 2 B4 2 C6 2 D17 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分。分。 11 （5 分）在ABC中， 2 3 B ，1AB ，2BC ，则AC的长为 12 （5 分）在边长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是该正方体表面及其内部的一 动点，且/ /BM平面 1 ADC，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 13 （5 分）已知双曲线C的中心在坐标原点，且经过点( 2P，3)，下列条件中哪一个条 件能确定唯一双

5、曲线C， 该条件的序号是 ； 满足该条件的双曲线C的标准方程是 条件：双曲线C的离心率2e ； 第 3 页（共 18 页） 条件：双曲线C的渐近线方程为3yx ； 条件：双曲线C的实轴长为 2 14 （5 分）函数 2 3 ( )sincos3cos(0) 2 f xxxx在区间(,) 6 2 上单调，且 ()()0 62 f ，则的最小值为 15（5 分） 正ABC的边长为 1， 中心为O， 过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、 N，AMAB，ANAC，BDDC给出下列四个结论： 11 33 AOABAC； 若2ANNC，则 1 4 AD NC ； 11 不是定值，与直线 1 的位置

6、有关； AMN与ABC的面积之比的最小值为 4 9 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16（12 分） 第 24 届冬季奥运会将于 2022 年 2 月在北京和张家口举办， 为了普及冬奥知识， 京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了 20 名学生 作为样本，得到他们的分数统计如表： 分数段 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 人数 1 2 2 8 3 3 1 我们规定

7、 60 分以下为不及格； 60 分及以上至 70 分以下为及格； 70 分及以上至 80 分以下为 良好；80 分及以上为优秀 （）从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好 2 名学生都是优秀的概率是多少？ （）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取 2 人，以X表示这 2 人 中优秀人数，求X的分布列与期望 17（15 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，ABPA，PA底面ABCD， 3 ABC ，E是PC上任一点，ACBDO （）求证：平面EBD 平面PAC； （）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值 第 4 页（共 18 页） 18

8、 （13 分）已知各项均为正数的数列 n a，其前n项和为 n S，数列 n b为等差数列，满足 2 12b ， 5 30b 再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （）求数列 n a的通项公式 n a和它的前n项和 n S； （）若对任意 * nN不等式 nn kSb恒成立，求k的取值范围 条件 2 2 nnn aaS； 条件 1 9a ，当2n， 2 2a ， 1 2 nn aa 19 （15 分） 曲线C上任一点( , )M x y到点 1( 1,0) F ， 2( 1,0) F 距离之和为2 2， 点 0 (P x， 0) y 是曲线C上一点，直线l过点P且与直线

9、00 220 x xy y垂直，直线l与x轴交于点Q （）求曲线C的方程及点Q的坐标（用点 0 (P x， 0) y的坐标表示） ； （）比较 1 2 | | PF PF 与 1 2 | | QF QF 的大小，并证明你的结论 20 （15 分）已知函数 2 1 ( )() 2 x f xeaxaR （）若曲线( )yf x在(0,)上单调递增，求a的取值范围； （）若( )f x在区间(0,)上存在极大值M，证明： 2 a M 21 （15 分）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件： ( , )|Da baA，bA； aA ，( , )a aD； a，bA，若( , )a bD且(

10、 , )b aD，则ab； a，b，cA，若( , )a bD且( , )b cD，则( , )a cD， 则称集合D为A的一个偏序关系 （）设1A ，2，3，判断集合(1,1)D ，(1，2)(2，2)，(2,3)，(3,3)是不是集合A 的偏序关系，请你写出一个含有 4 个元素且是集合A的偏序关系的集合D； （）证明：( , )|Ra baR ，bR，a b是实数集R的一个偏序关系： 第 5 页（共 18 页） （） 设E为集合A的一个偏序关系，a，bA 若存在cA， 使得( , )c aE，( , )c bE， 且dA ， 若(, )daE ，( , )d bE， 一定有( , )d c

11、E， 则称c是a和b的交， 记为cab 证 明：对A中的两个给定元素a，b，若ab存在，则一定唯一 第 6 页（共 18 页） 2021 年北京市门头沟区高考数学一模试卷年北京市门头沟区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合分。在每小题给出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1 （4 分）复数(1)zii的模| (z ) A2 B2 C1 D4 【解答】解：(1)1ziii ， 22 |112z 故选：A 2 （4 分）集合 |0A

12、x x， |2Bx x，则(AB ) AR B 2，) C(0，2 D(0,) 【解答】解：集合 |0Ax x， |2 | 22Bx xxx剟?， |02(0ABxx，2 故选：C 3 （4 分）二项式 25 2 ()x x 展开式中， 4 x的系数是( ) A40 B10 C40 D10 【解答】解：由通项公式得： 10 3 15 ( 2) rrr r TCx ，令1034r，求得2r ， 可得含有 4 x的系数是 22 5( 2) 40C ， 故选：C 4 （4 分）某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为( ) 第 7 页（共 18 页） A2 B2 2 C4 D2 3 【解答】

13、解：根据直观图不难得出， PC是最长的棱长，长度为： 222 2222 3 故选：D 5 （4 分）数列 n a中， 1 1a ， 1 2 nn aa ，数列 n b满足| nn ba，则数列 n b的前n项 和( n S ) A |1( 2) | 3 n B 12 3 n C21 n D( 2)1 n 【解答】解：由题设可知： 11 | 1ba， 11 | 2 | nn nn ba ba ， 数列 n b是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 12 21 12 n n n S ， 故选：C 6 （4 分）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径 88 米，最高点

14、A距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟由于受到周边建筑物的 影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时 长为( ) A10 分钟 B12 分钟 C14 分钟 D16 分钟 【解答】解：如图所示， 第 8 页（共 18 页） 解法一，转动的角速度为 2 189 ， 计算44(34 12)22OC ， 所以 3 BOC ， 所以最佳观赏期的圆心角为 24 2 33 ， 在运行的一圈里最佳观赏时长为 4 3 12 9 （分钟） 解法二，转动的角速度为 2 189 ， 所以点P到从最下端开始运动，运行中到地面距离为 ( )44sin()56(

15、018) 92 f ttt 剟， 令( ) 34f t ，得 1 sin() 922 t ， 解得 7 6926 t 剟， 即315t剟， 所以最佳观赏期的时长为15312（分钟） 故选：B 7 （4 分） “(1)0ln x ”的一个必要而不充分条件是( ) A 1 1x e B0 x C10 x D0 x 【解答】解：设(1)0ln x ， 整理得(1)1ln xln， 解得： | 10Mxx ， 它的必要条件的集合为N，则M是N的真子集 故选：D 8 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对 第 9 页（共 18 页） 称若 2 5 cos 5 ，则

16、cos()( ) A 3 5 B 3 5 C1 D 3 4 【解答】解：由题意得，coscos，sinsin ， 222 3 cos()coscossinsincossin2cos1 5 故选：B 9 （4 分） 已知抛物线 2 :2C ypx的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为 3 的点， 过点A 的直线交x轴的正半轴于点B，且ABF为正三角形，则(p ) A1 B2 C9 D18 【解答】解：由题意可知，当B在焦点F的右侧时， 1 3,33(3)2 22222 pppp AFFDp， 当B在焦点F的左侧时，同理可得18P ，此时点B在x轴的负半轴，不合题意 故选：B 10 （4 分） 在平

17、面直角坐标系中， 从点( 3,2)P 向直线20kxyk作垂线， 垂足为M， 则点(2,4)Q与点M的距离|MQ的最小值是( ) A52 2 B4 2 C6 2 D17 【解答】解：直线20kxyk过定点(1, 2)N， PMMN， 可知点M是在以PN为直径的圆 22 :(1)8Cxy上， 又 22 (2 1)(40)5QC ， 可得：|52 2 min MQ， 故选：A 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分。分。 第 10 页（共 18 页） 11 （5 分）在ABC中， 2 3 B ，1AB ，2BC ，则AC的长为 7 【解答】解：ABC

18、中， 2 3 B ，1AB ，2BC ，如图所示： 由余弦定理得： 22222 2 2cos122 1 2cos7 3 ACABBCAB BCB ， 解得7AC 故答案为：7 12 （5 分）在边长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是该正方体表面及其内部的一 动点，且/ /BM平面 1 ADC，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 2 3 【解答】解：因为平面 11/ / BAC平面 1 ACD，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且 / /BM平面 1 ADC， 所以点M的轨迹是 11 AC B三角形及其内部， 所以 11 A BC的面积为 2 3 (2 2)2 3 4 S

19、故答案为：2 3 13 （5 分）已知双曲线C的中心在坐标原点，且经过点( 2P，3)，下列条件中哪一个条 件能确定唯一双曲线C， 该条件的序号是 ； 满足该条件的双曲线C的标准方程是 条件：双曲线C的离心率2e ； 第 11 页（共 18 页） 条件：双曲线C的渐近线方程为3yx ； 条件：双曲线C的实轴长为 2 【解答】解：设双曲线方程为 22 22 1 xy ab 或 22 22 1 yx ab ， 条件：因为2 c e a ，且 222 cab， 又 2222 2332 11 abab 或，解得 2 2 1 3 a b 或 2 2 7 3 7 a b ， 所以双曲线方程为 2 2 1

20、3 y x 或 22 1 7 7 3 yx ，故有两条双曲线； 条件：因为3yx，则3 b a 或3 a b ， 又 2222 2332 11 abab 或，解得 2 1a ， 2 3b 或无解，故只有一条双曲线； 条件：因为实轴长为 2，故22a ，所以1a ， 又 2222 2332 11 abab 或，所以 2 1b 或 2 3b ， 所以双曲线方程为 22 1xy或 2 2 1 3 y x ，故有两条双曲线， 综上，只有能确定一条双曲线，且双曲线方程为 2 2 1 3 y x ， 故答案为： 2 2 ;1 3 y x 14 （5 分）函数 2 3 ( )sincos3cos(0) 2

21、f xxxx在区间(,) 6 2 上单调，且 ()()0 62 f ，则的最小值为 1 【解答】解：因为 2 313 ()sincos3cossin2cos2sin(2) 2223 fxxxxxxx ， 又由函数在区间(,) 6 2 上单调，且()()0 62 f ， 可得： 3 x 是它的一个称中心， 所以2231 33 kk ，kZ， 因为0， 所以最小值为 1 故答案为：1 第 12 页（共 18 页） 15（5 分） 正ABC的边长为 1， 中心为O， 过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、 N，AMAB，ANAC，BDDC给出下列四个结论： 11 33 AOABAC； 若2AN

22、NC，则 1 4 AD NC ； 11 不是定值，与直线 1 的位置有关； AMN与ABC的面积之比的最小值为 4 9 其中所有正确结论的序号是 【解答】解：对于， 211 ()() 323 AOABACABAC，可得正确； 对于，2ANNC， 11 () 23 AD NCABACAC 2111111 1 1 666264 AB ACAC ，显然不正确； 对于， 11 , 33 AMAB ANACAOAMAN ， 又因为，O，M，N三点共线 所以 1111 13 33 是定值，可得不正确 对于，设 11 ,3AMAB ANAC ， 由均值不等得 4| | 9| | AMN ABC SAMAN

23、SABAC ， 由得： 114 3 9 ， 当且仅当 2 3 时，取等号，可得正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16（12 分） 第 24 届冬季奥运会将于 2022 年 2 月在北京和张家口举办， 为了普及冬奥知识， 第 13 页（共 18 页） 京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了 20 名学生 作为样本，得到他们的分数统计如表： 分数段 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，1

24、00 人数 1 2 2 8 3 3 1 我们规定 60 分以下为不及格； 60 分及以上至 70 分以下为及格； 70 分及以上至 80 分以下为 良好；80 分及以上为优秀 （）从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好 2 名学生都是优秀的概率是多少？ （）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取 2 人，以X表示这 2 人 中优秀人数，求X的分布列与期望 【解答】解： （）设恰好 2 名学生都是优秀这一事件为A，（1 分） 2 4 2 20 3 ( ) 95 C P A C （2 分） （）设每名同学为优秀这一事件为B，由题意可得 41 ( ) 205 P B ，（2 分

25、） X可取 0，1，2，（1 分） 02 2 116 (0)(1) 525 P XC， 1 2 118 (1)(1) 5525 P XC， 22 2 11 (2)( ) 525 P XC，（3 分） X 0 1 2 P 16 25 8 25 1 25 （1 分） 16812 ()012 2525255 E X （2 分） 17（15 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，ABPA，PA底面ABCD， 3 ABC ，E是PC上任一点，ACBDO （）求证：平面EBD 平面PAC； （）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值 第 14 页（共 18 页） 【解答】解

26、： （）PA平面ABCDPABD，（1 分） 底面ABCD菱形，可得BDAC，（1 分） 又PAACA， 又PABD，BDAC， PA平面PAC，AC 平面PAC，BD 平面PAC，（2 分） BD平面EBD，平面EBD 平面PAC（2 分） （）若E是PC的中点，连结OE，则/ /OEPAOE平面ABCD，（1 分） 所以，OB，OC，OE两两垂直，建立如图所示的坐标系，（1 分） 不妨设2AB ，则( 3,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1)BDCE（2 分） 设平面EBC的法向量为(nx，y，) z， 30 30 n BExz n BCxy ， 取1x ，则3yz，所

27、以，(1n ，3，3)， 直线DE的方向向量为( 3m ，0，1)， 21 cos, |7 m n m n m n ED与平面EBC所成角的正弦值为： 21 7 18 （13 分）已知各项均为正数的数列 n a，其前n项和为 n S，数列 n b为等差数列，满足 第 15 页（共 18 页） 2 12b ， 5 30b 再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （）求数列 n a的通项公式 n a和它的前n项和 n S； （）若对任意 * nN不等式 nn kSb恒成立，求k的取值范围 条件 2 2 nnn aaS； 条件 1 9a ，当2n， 2 2a ， 1 2 nn a

28、a 【解答】选择 2 2 nnn aaS 解： （）得：当1n 时， 1 1a ， 当2n时， 2 111 2 nnn aaS （1） ， 2 2 nnn aaS（2） ， 两式相减得： 22 11nnnn aaaa ， 而0 n a ，可得： 1 1 nn aa ，数列 n a为等差数列， 所以，1(1) 1 n ann ， (1) 2 n n n S ； （）设 1 (1) n bbnd， 2 12b ， 5 30b ，即 1 12bd， 1 430bd， 解得 1 6b ，6d ， 所以，6 n bn， 由 nn kSb得： 1212 (1)1 n k n nn ， 设 12 1 n c

29、 n ，则 n c是递减数列， 所以，当 1 12 6 2 c ， n c达到最大， 所以，k的取值范围为6，)， 选择 1 9a ，当2n， 2 2a ， 1 2 nn aa 解： （）当2n， 11 22 nnnn aaaa ， 当2n， 2 (2)222 nn aanan， 所以， 91 222 n n a nn ， 2 12 (1)(222) 99 2 nn nn Saaann ， （）设 1 (1) n bbnd， 2 12b ， 5 30b ，代入得：6 n bn， 第 16 页（共 18 页） 由 nn kSb得： 2 6 9 n k nn ， 设 2 6666 9 96 15

30、1 n n c nn n n ， 当且仅当3n 时，上式取得等号， 所以 6 5 k， 综上所述，k的取值范围是 6 ,) 5 19 （15 分） 曲线C上任一点( , )M x y到点 1( 1,0) F ， 2( 1,0) F 距离之和为2 2， 点 0 (P x， 0) y 是曲线C上一点，直线l过点P且与直线 00 220 x xy y垂直，直线l与x轴交于点Q （）求曲线C的方程及点Q的坐标（用点 0 (P x， 0) y的坐标表示） ； （）比较 1 2 | | PF PF 与 1 2 | | QF QF 的大小，并证明你的结论 【解答】解： （）由题意可知，曲线C是焦点在x轴上的

31、椭圆，1c ，2a ，所以1b ， （2 分） 曲线C的方程为： 2 2 1 2 x y，（2 分） 当 0 0y 时，直线l与x轴重合，不合题意， 当 0 0 x 时，直线l与y轴重合，点Q是原点，(0,0)Q，（1 分） 当 0 0 x ， 0 0y 时，由题意得： 0 0 2 l y k x ，直线l的方程： 0000 20y xx yx y，（2 分） 得 0 (,0) 2 x Q，（1 分） 综上所述，点 0 (,0) 2 x Q（1 分） （）点 0 (P x， 0) y满足方程： 2 20 0 1 2 x y，（1 分） 22 00 1 22 2 00 (1)| | (1) xy

32、PF PF xy ，（1 分） 将 2 20 0 1 2 x y 代入整理得： 22 0 00 01 22 20 00 0 1 |2| (1)|2| 2 1 |2| (1) |2| 2 x xyxPF PFx xy x ，（2 分） 0 01 0 20 |1| |2| 2 |2| |1| 2 x xQF x QFx ，（1 分） 第 17 页（共 18 页） 所以， 11 22 | | PFQF PFQF （1 分） 20 （15 分）已知函数 2 1 ( )() 2 x f xeaxaR （）若曲线( )yf x在(0,)上单调递增，求a的取值范围； （）若( )f x在区间(0,)上存在极

33、大值M，证明： 2 a M 【解答】解： （）( ) x f xeax（1 分） 由题意得：( )0 x x e fxeaxa x 厔（1 分） 设( ) x e g x x ，求导得： 2 (1) ( ) x xe g x x （1 分） ( )g x在区间(0,1)上减，在区间(1,)上增， ( )g x的最小值为g（1）e （1 分） 所以，a e（1 分） （）证明：由（）可知，当a e时，函数( )f x在(0,)上递增，无极大值1分 所以，ae （1 分） 设( )( ) x h xf xeax，则( )0 x h xeaxlna（1 分） ( )fx在(0,)lna上减，在(,)

34、lna 上增， ( )fx的最小值()(1)0f lnaalna （1 分） 而(0)10f ，f（1）0ea， 2 ()(2)f lnaa alna， 设( )2()t xxlnx xe， 求导得： 2 ( )0 x t x x ，( )t xt（e）20e，所以， 2 ()(2)0f lnaa alna （2 分） 由零点存在定理得：( )fx在(0,)lna，(,)lna 上分别有一个零点 1 x， 2 x， 即 1 11 ( )0 x f xeax， 2 22 ()0 x f xeax，且 1 01x （1 分） ( )f x在 1 (0,)x上增，在 1 (x， 2) x减，在 2

35、(x，)上增，( )f x极大值为 1 ()f xM（1 分） 1 22 111111 111 ()(2) 222 x Mf xeaxaxaxaxx， 由均值不等式得， 2 a M （2 分） 21 （15 分）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件： 第 18 页（共 18 页） ( , )|Da baA，bA； aA ，( , )a aD； a，bA，若( , )a bD且( , )b aD，则ab； a，b，cA，若( , )a bD且( , )b cD，则( , )a cD， 则称集合D为A的一个偏序关系 （）设1A ，2，3，判断集合(1,1)D ，(1，2)(2，2)，(2

36、,3)，(3,3)是不是集合A 的偏序关系，请你写出一个含有 4 个元素且是集合A的偏序关系的集合D； （）证明：( , )|Ra baR ，bR，a b是实数集R的一个偏序关系： （） 设E为集合A的一个偏序关系，a，bA 若存在cA， 使得( , )c aE，( , )c bE， 且dA ， 若(, )daE ，( , )d bE， 一定有( , )d cE， 则称c是a和b的交， 记为cab 证 明：对A中的两个给定元素a，b，若ab存在，则一定唯一 【解答】解： （）集合D满足，但不满足， 因为(1,2)D，(2,3)D，由题意(1,3)D，而(1,3)D，所以不满足， 集合D不是集合

37、A的偏序关系， 故(1,1)D ，(1,2)，(2,2)，(3,3)（开放性） （）证明：( , )|Ra baR ，bR，a b，满足， ( , )a bDa b ，且( , )b aDb a ，则ab，满足条件， a，b，cR，若( , )a bR 且( , )b cR ，则a b，b c，所以a c， 所以( , )a cR ，满足条件， 综上所述，( , )|Ra baR ，bR，a b是实数集R的一个偏序关系 （）证明：用反证法假设对A中的两个给定元素a，b，且ab存在，但不唯一 设 1 cab， 2 cab， 且 12 cc， 则 1 (c，)aE， 1 (c，)bE， 2 (c，)aE， 2 (c，)bE， 其中E为集合A的一个偏序关系 且dA ，若( , )d aE，( , )d bE，一定有 1 ( ,)d cE，所以 2 (c， 1) cE， 同理 1 (c， 2) cE，则 21 cc，与 12 cc矛盾 所以，对A中的两个给定元素a，b，若ab存在，则一定唯一