1、第 1 页（共 13 页） 2021 年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（五）年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（五） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 90 分每小题中只有一个选项是符合题分每小题中只有一个选项是符合题 意的，不选、多选、错选均不得分）意的，不选、多选、错选均不得分） 1 （6 分）已知集合0A，2，4， 2B ，0，2，则(AB ) A0，2 B 2，4 C0，2 D 2，0，2，4 2 （6 分）如果在两个平面内分别有一条直线，它们互相平行，那么这两个平面的位置关系 一定是( ) A平行 B相交 C平行或相
2、交 D垂直相交 3 （6 分）向量( 1,3)a ，(2, 4)b ，则(ab ) A(3,1) B( 3,7) C(3, 7) D(1, 1) 4 （6 分）等差数列 n a中， 2 4a ， 3 5a ，则 8 (a ) A7 B8 C9 D10 5 （6 分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为( ) A12 B45 C57 D81 6 （6 分）下列函数中，既是偶函数又在(0,)上单调递减的是( ) Ayx Bcosyx Cyx D 2 yx 7 （6 分）不等式 2 90 x 的解集为( ) A |3x x B |3x x C |3x x 或3x D | 33xx 8 （6 分）数据
3、 5，7，7，8，10，11 的标准差是( ) A8 B4 C2 D1 9 （6 分）如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( ) 第 2 页（共 13 页） A甲运动员的成绩好于乙运动员 B乙运动员的成绩好于甲运动员 C甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D甲运动员的最低得分为 0 分 10 （6 分）在ABC中，:1:2A B ，sin1C ，则: :(a b c ) A1:2:3 B3:2:1 C2:3:1 D1:3:2 11 （6 分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、 丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、
4、辰、已、午、未、申、酉、 戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在 后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子” ，第二年为“乙丑” ，第三 年为“丙寅” ， ，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌” ， “乙亥” ，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子” ，以此类推已知 1949 年为“己丑”年， 那么到中华人民共和国成立 70 年时为( ) A丙酉年 B戊申年 C己申年 D己亥年 12 （6 分）已知圆C与y轴相切于点(0,5)，半径为 5，则圆C的标准方程是( ) A 22 (5)(5)25xy B 22 (5
5、)(5)25xy C 22 (5)(5)5xy或 22 (5)(5)5xy D 22 (5)(5)25xy或 22 (5)(5)25xy 13 （6 分）将函数cosyx的图象向左平移 2 个单位，得到函数( )yf x的图象，则下列 说法正确的是( ) A( )yf x的最小正周期为 B( )yf x是偶函数 第 3 页（共 13 页） C( )yf x的图象关于点( 2 ，0)对称 D( )yf x在区间0， 2 上是减函数 14 （6 分）求值：sin45 cos15cos45 sin 15( ) A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 15 （6 分）设a，b为实数，且3ab，
6、则22 ab 的最小值是( ) A6 B4 2 C2 2 D8 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分将正确答案填在题中横线上）分将正确答案填在题中横线上） 16 （6 分）计算： 22 log 1log 4 17 （6 分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (4, 3)P，则cos 18 （6 分）已知直线 1: 30laxy和直线 2:3 230lxy垂直，则a 19 （6 分） 1 2 3 2,2 ( ) log (1),2. x ex f x xx ，则(f f（2）)的值为 三、解答题（本大题
7、共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 36 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤）步骤） 20 （12 分） 如图， 三棱锥PABC中，PAPB，PBPC，PCPA，2PAPBPC， E是AC的中点，点F在线段PC上 （1）求证：PBAC； （2）若/ /PA平面BEF，求四棱锥BAPFE的体积 （参考公式：锥体的体积公式 1 3 VSh，其中S是底面积，h是高) 第 4 页（共 13 页） 21 （12 分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试 方式二：周六一天培训 4
8、小时，周日测试 测试达标的员工停止参加培训，没达标的继续培训，公司有多个班组，每个班组 60 人，现 任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测 试达标的人数如表： 第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组 8 16 20 16 （1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1)，并据此判 断哪种培训方式效率更高？ （2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中至少有 1 人来自甲组的概率 22 （12 分）已知函数( ) 31
9、x f x x ，数列 n a满足 1 1a ， * 1 ()() nn af anN （1）证明数列 1 n a 是等差数列，并求出数列 n a的通项公式； （2）记 12231nnn Sa aa aa a ，求 n S 第 5 页（共 13 页） 2021 年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（五）年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（五） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 90 分每小题中只有一个选项是符合题分每小题中只有一个选项是符合题 意的，不选、多选、错选均不得分）意的，不选、多选、
10、错选均不得分） 1 （6 分）已知集合0A，2，4， 2B ，0，2，则(AB ) A0，2 B 2，4 C0，2 D 2，0，2，4 【解答】解：0A，2，4， 2B ，0，2， 由并集的定义，可得 2AB ，0，2，4 故选：D 2 （6 分）如果在两个平面内分别有一条直线，它们互相平行，那么这两个平面的位置关系 一定是( ) A平行 B相交 C平行或相交 D垂直相交 【解答】解：在两个平面内分别有一条直线， 这两条直线互相平行， 当两个平面相交时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行 当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行 故这两个平面有可能相交或平行
11、 这两个平面的位置关系是相交或平行 故选：C 3 （6 分）向量( 1,3)a ，(2, 4)b ，则(ab ) A(3,1) B( 3,7) C(3, 7) D(1, 1) 【解答】解：因为向量( 1,3)a ，(2, 4)b ， 所以( 1 2ab ，3( 4)( 3 ，7) 故选：B 4 （6 分）等差数列 n a中， 2 4a ， 3 5a ，则 8 (a ) A7 B8 C9 D10 【解答】解：等差数列 n a中， 2 4a ， 3 5a ， 第 6 页（共 13 页） 1 1 4 25 ad ad ， 解得 1 3a ，1d ， 81 73710aad 故选：D 5 （6 分）某
12、几何体的三视图如图所示，它的体积为( ) A12 B45 C57 D81 【解答】解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为 5，底面圆半径是 3 的圆锥，下 部是一个高为 5，底面半径是 3 的圆柱 故它的体积是 2222 1 5335357 3 故选：C 6 （6 分）下列函数中，既是偶函数又在(0,)上单调递减的是( ) Ayx Bcosyx Cyx D 2 yx 【解答】解：yx 是奇函数，A错误； cosyx在(0,)上没有单调性，B错误； yx是非奇非偶函数，C错误； 2 yx 是偶函数，且在(0,)上单调递减，D正确 故选：D 7 （6 分）不等式 2 90 x 的解集为( )
13、 A |3x x B |3x x C |3x x 或3x D | 33xx 【解答】解：由 2 90 x ， 可得 2 9x ， 第 7 页（共 13 页） 解得33x 可得不等式 2 90 x 的解集为 | 33xx 故选：D 8 （6 分）数据 5，7，7，8，10，11 的标准差是( ) A8 B4 C2 D1 【解答】解：这组数据的平均数(5778 1011)68x ， 方差 222222 1(5 8)(78)(78)(88)(108)(118) 4 6 ， 标准差2 故选：C 9 （6 分）如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( ) A甲运动员的成绩好于乙运动员
14、 B乙运动员的成绩好于甲运动员 C甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D甲运动员的最低得分为 0 分 【解答】解：分析茎叶图可得： 甲运动员的得分为：22，23，34，35，37，38，44，44，49， 乙运动员的得分为：8，12，14，17，21，29，29，33，36，52， 则甲运动员得分的平均数为 1 (222334353738444449)36.22 9 ， 乙运动员得分的平均数为 1 (8121417212929333652)25.1 10 ， 故选：A 10 （6 分）在ABC中，:1:2A B ，sin1C ，则: :(a b c ) A1:2:3 B3:2:1 C2:3:
15、1 D1:3:2 【解答】解：在ABC中，:1:2A B ，sin1C ， 可得30A ，60B ，90C 第 8 页（共 13 页） 13 : :sin:sin:sin:1 1: 3:2 22 a b cABC 故选：D 11 （6 分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、 丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、 戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在 后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子” ，第二年为“乙丑” ，第三 年为“丙寅” ， ，以此类推，排列
16、到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌” ， “乙亥” ，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子” ，以此类推已知 1949 年为“己丑”年， 那么到中华人民共和国成立 70 年时为( ) A丙酉年 B戊申年 C己申年 D己亥年 【解答】解：天干是以 10 为构成的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列， 从 1949 年到 2029 年经过 70 年，且 1949 年为“己丑”年，以 1949 年的天干和地支分别为 首项， 则70107，则 2019 的天干为己， 70125余 10，则 2019 的地支为亥， 故选：D 12 （6 分）已知圆C与y轴相切于点(0,5)，半径为 5
17、，则圆C的标准方程是( ) A 22 (5)(5)25xy B 22 (5)(5)25xy C 22 (5)(5)5xy或 22 (5)(5)5xy D 22 (5)(5)25xy或 22 (5)(5)25xy 【解答】解：由题意得圆C的圆心为(5,5)或( 5,5)， 故圆C的标准方程为 22 (5)(5)25xy，或 22 (5)(5)25xy 故选：D 13 （6 分）将函数cosyx的图象向左平移 2 个单位，得到函数( )yf x的图象，则下列 说法正确的是( ) A( )yf x的最小正周期为 第 9 页（共 13 页） B( )yf x是偶函数 C( )yf x的图象关于点( 2
18、 ，0)对称 D( )yf x在区间0， 2 上是减函数 【 解 答 】 解 ： 将 函 数c o syx的 图 象 向 左 平 移 2 个 单 位 ， 得 到 函 数 ( )cos()sin 2 yf xxx 的图象， 再结合正弦函数的图象特征， 故选：D 14 （6 分）求值：sin45 cos15cos45 sin 15( ) A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 【解答】解：sin45 cos15cos45 sin 3 15sin60 2 故选：D 15 （6 分）设a，b为实数，且3ab，则22 ab 的最小值是( ) A6 B4 2 C2 2 D8 【解答】解：根据基本不
19、等式的性质，有222 ab 2 22 2 aba b ， 又由3ab， 则222 24 2 aba b ， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分将正确答案填在题中横线上）分将正确答案填在题中横线上） 16 （6 分）计算： 22 log 1log 4 2 【解答】解： 222 log 1log 40log 2 2 2 故答案为：2 17 （6 分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (4, 3)P，则cos 4 5 【解答】 解： 角的顶点与坐标原点重合， 始边与x轴的非负半轴重合， 终边经过
20、点(4, 3)P， | 5rOP ， 4 cos 5 x r 第 10 页（共 13 页） 故答案为： 4 5 18 （6 分）已知直线 1: 30laxy和直线 2:3 230lxy垂直，则a 2 3 【解答】解：直线 1: 30laxy和直线 2:3 230lxy垂直， 320a，则 2 3 a ， 故答案为： 2 3 19 （6 分） 1 2 3 2,2 ( ) log (1),2. x ex f x xx ，则(f f（2）)的值为 2 【解答】解：由题意，自变量为 2， 故内层函数f（2） 2 3 log (21)12 ， 故有f（1） 1 1 22e ， 即(f f（2）)f（1）
21、 1 1 22e ， 故答案为 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 36 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤）步骤） 20 （12 分） 如图， 三棱锥PABC中，PAPB，PBPC，PCPA，2PAPBPC， E是AC的中点，点F在线段PC上 （1）求证：PBAC； （2）若/ /PA平面BEF，求四棱锥BAPFE的体积 （参考公式：锥体的体积公式 1 3 VSh，其中S是底面积，h是高) 第 11 页（共 13 页） 【解答】 解： （1）PAPB，PBPC，PA平面PAC，PC 平面PAC，PAP
22、CP， PB平面PAC 又AC 平面PAC，PBAC （2）/ /PA平面BEF，PA平面PAC，平面BEF平面PACEF，/ /PAEF 又E为AC的中点，F为PC的中点 3 4 PACFECPACAPFE SSSS 四边形 PCPA，2PAPC， 1 222 2 PAC S 3 2 APFE S 四边形 由（1）得PB 平面PAC， 2PB是四棱锥BAPFE的高 113 21 332 B APFEAPFE VSPB 四棱锥四边形 21 （12 分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试 方式二：周六一天培训 4 小时，周日测试 测试达标
23、的员工停止参加培训，没达标的继续培训，公司有多个班组，每个班组 60 人，现 任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测 试达标的人数如表： 第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组 8 16 20 16 （1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1)，并据此判 断哪种培训方式效率更高？ （2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中至少有 1 人来自甲组的概率 【解答】解： （1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为 1 t、
24、 2 t， 则 1 20525 1010 15520 10 60 t （小时） （2 分） 第 12 页（共 13 页） 2 8416 820 1216 16 10.9 60 t （小时） （4 分） 据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为 10 小时和 10.9 小时， 因1010.9，据此可判断培训方式一比方式二效率更 高 （6 分） （2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人， 则这6人中来自甲组的人数为： 6 102 30 ， （7 分） 来自乙组的人数为： 6 204 30 ， （8 分） 记来自甲组的 2 人为：a、b；来自乙组的 4 人为：c
25、、d、e、f， 则从这 6 人中随机抽取 2 人的不同方法数有： ( , )a b，( , )a c，( , )a d，( , )a e，( , )a f，( , )b c，( , )b d，( , )b e，( ,)b f， ( , )c d，( , )c e，( ,)c f，( , )d e，( , )d f，( ,)e f，共15种， （10 分） 其中至少有 1 人来自甲组的有：( , )a b，( , )a c，( , )a d，( , )a e，( , )a f，( , )b c，( , )b d，( , )b e， ( ,)b f，共 9 种， 故这2人中至少有1人来自甲组的概率
26、 93 155 P （12 分） 22 （12 分）已知函数( ) 31 x f x x ，数列 n a满足 1 1a ， * 1 ()() nn af anN （1）证明数列 1 n a 是等差数列，并求出数列 n a的通项公式； （2）记 12231nnn Sa aa aa a ，求 n S 【解答】解： （1）证明：由已知得， 1 31 n n n a a a 第 13 页（共 13 页） 1 11 3 nn aa 即 1 11 3 nn aa 数列 1 n a 是首项 1 1 1 a ，公差3d 的等差数列 1 1(1)332 n nn a 故 * 1 () 32 n anN n （2） 1 1111 () (32)(31)3 3231 nn a a nnnn 12231nnn Sa aa aa a 111111 (1)()() 34473231nn 11 (1) 33131 n nn
