1、第 1 页（共 22 页） 2021 年辽宁省抚顺市高考数学模拟试卷（一模）年辽宁省抚顺市高考数学模拟试卷（一模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的个是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 3A ，2，1，2，3， |(3)(2)0Bxxx，则(AB ) A( 3，2，1，2 B 2，1，2 C 2，1 D 2，1，2，3 2 （5 分）已知复数 1 12zi ， 2 3zi（其中i为虚数单位） ，若 12 zz z，则| | (z ) A5 B
2、5 2 C10 D2 5 3 （5 分）在边长为 1 的正三角形ABC中，若2DCBD，则AB CD的值是( ) A 1 3 B 1 3 C 2 3 D 2 3 4 （5 分）2020 年 12 月 18 日，国家统计局发布了 2019 年中国儿童发展纲要(20112020 年） 统计监测报告，报告指出学前教育得到进一步重视和加强如图为 2010 年2019年全 国幼儿园数及学前教育毛入园率的统计图： 则以下说法正确的是( ) A2015 年我国约有 75 万所幼儿园 B这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长且增长率相同 C2019 年我国幼儿园数比上年增长了约5.2% D2019 年我国学前教
3、育毛入园率比上年提高了1.7% 第 2 页（共 22 页） 5 （5 分） 5 (2)(1)xx展开式中 2 x的系数为( ) A15 B16 C24 D32 6 （5 分）已知函数sin()(0yAxA，0，|) 2 ，其部分图象如图所示，则这 个函数的解析式为( ) A 3 sin(4) 23 yx B 32 sin(4) 23 yx C 3 sin(2) 23 yx D 3 sin(2) 23 yx 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为(4,0)F，直线 3 7 7 yx与双曲 线C相交于A，B两点，O为坐标原点， 线段AF、BF的中点分别
4、为P、Q， 且O PO Q， 则双曲线C的离心率为( ) A3 B5 C4 D2 8 （5 分） 已知定义在R上的可导函数( )f x满足( )( )0fxf x， 令 2 2 1 () () mm f mm amR e ， bf（1） ，则有( ) Aa b Bab Ca b Dab 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知
5、函数 43,1 ( ) ,1 x x f x lnx x ，则下列结论正确的是( ) A函数( )f x的定义域为R B函数( )f x在R上为增函数 C函数( )f x的值域为( 3,) D函数( )f x只有一个零点 10 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G分别是棱 11 AD，BC， 11 C D的 中点，则下列结论正确的是( ) 第 3 页（共 22 页） AFG 平面 1 ABC BEF 平面 11 ABC D C/ /FG平面 11 BB D D D/ /EG平面 1 ACD 11 （5 分）已知直线 1: 40lxy与圆心为(0,1)M且半径为
6、3 的圆相交于A，B两点， 直线 2:2 2350lmxym与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD的面积的值可以是( ) A9 3 B9 2 C6 2 D9( 21) 12 （5 分）下列说法正确的是( ) A已知函数( )f x的定义域为( , )a b，若“( , )xa b ，使得( )()0f xfx”是假命题， 则()0f ab B已知函数( )f x的定义域为R，且(1)f x为偶函数，若 1 x， 2 xR， 12 1xx都有 21 21 ()( ) 0 f xf x xx ，则f（3）(0)f C已知函数( ) 1 x f x x ，若对定义域内的任意x值，均有( )(2)2f
7、 xfaxb，则 2ab D已知偶函数( )f x在0，)上单调递增，则对任意实数a，b， “|ab”是“f（a） f（b） ”的充要条件 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知数列 n a、 n b都是等差数列，若 21 26ab， 45 212ab，则 33 2ab的 值是 14（5 分） 已知函数( )cos() 6 f xx ， 若 4 s i n 5 ， 且为锐角， 则 5 () 12 f 的值是 15 （5 分）已知抛物线 2 :6C yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的
8、一个交点，若3FPFQ，则|QF的值是 16 （5 分）已知正三棱柱 111 ABCABC的所有棱长之和为 36，则当此正三棱柱的侧面积取 得最大值时，其外接球的体积为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 4 页（共 22 页） 17 （10 分）在 1 31 nn SS ， 2 1 9 a ；1 nn Sa； 1 1a ， 1 21 nn aS 这三个条件 中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足_ （1）求 n a的通项公式；
9、 （2）求 1335572121nn a aa aa aaa 的值 18 （12 分）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且6a ，2b ， 2 coscbbA （1）求sin B的值； （2）若AD平分BAC交BC于D，求三角形ADC的面积S的值 19（12 分） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，1CACB， 1 2AA ，D，E分别是棱 1 CC， 1 AA的中点，EBAD （1）证明： 1 BCEC； （2）求二面角 1 ADBB的余弦值 20 （12 分）为了解篮球爱好者小张每天打篮球的时长与投篮的命中率之间的关系，将小张 某月 1 日到 10 日每天打篮
10、球的时长x（单位：)h与当天投篮的命中率y的数据记录如表： x（时 长） 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 y（命 中率） 0.4 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.6 0.4 0.4 0.3 （1）当x不取整数时，从中任取两个时长，求小张的命中率之和为 1 的概率； （2）从小张的命中率为 0.4 和 0.6 的几天中选出 3 天，用X表示所选 3 天中命中率为 0.6 的天数，求X的数学期望()E X； 第 5 页（共 22 页） （3）当x取整数时，设r表示变量x与y之间样本相关系数，求r（精确到0.01)，并说明 此时去求回归直线方程是否有意义？ 相
11、关性检验的临界值表 2n 小概率 0.05 0.01 1 0.997 1.000 2 0.950 0.990 3 0.878 0.959 4 0.811 0.917 5 0.754 0.874 注：表中的n为数据的对数 附：103.16； 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，点(2,1)A在椭圆C上 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 不过点A的直线l与椭圆相交于不同的两点M，N， 若直线AM与直线AN的斜率 1 k， 2 k总满足 12 1 2
12、 kk ，求证：直线l必过定点 22 （12 分）已知函数 2 ( )()f xlnxa xx， 3 ( )5g xxx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当2a 时，证明： 3 ( )( ) 2 f xg x 第 6 页（共 22 页） 2021 年辽宁省抚顺市高考数学模拟试卷（一模）年辽宁省抚顺市高考数学模拟试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的个是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合
13、3A ，2，1，2，3， |(3)(2)0Bxxx，则(AB ) A( 3，2，1，2 B 2，1，2 C 2，1 D 2，1，2，3 【解答】解：集合 3A ，2，1，2，3， |(3)(2)0 | 32Bxxxxx ， 2AB ，1 故选：C 2 （5 分）已知复数 1 12zi ， 2 3zi（其中i为虚数单位） ，若 12 zz z，则| | (z ) A5 B5 2 C10 D2 5 【解答】解： 12 (12 )(3)55zz ziii， 22 | |5( 5)5 2z ， 故选：B 3 （5 分）在边长为 1 的正三角形ABC中，若2DCBD，则AB CD的值是( ) A 1 3
14、 B 1 3 C 2 3 D 2 3 【 解 答 】 解 ：在 边 长 为1的 正 三 角 形ABC中 ，2D CB D， 221 |cos60 333 AB CDABCBAB CB 故选：A 4 （5 分）2020 年 12 月 18 日，国家统计局发布了 2019 年中国儿童发展纲要(20112020 年） 统计监测报告，报告指出学前教育得到进一步重视和加强如图为 2010 年2019年全 国幼儿园数及学前教育毛入园率的统计图： 第 7 页（共 22 页） 则以下说法正确的是( ) A2015 年我国约有 75 万所幼儿园 B这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长且增长率相同 C2019 年
15、我国幼儿园数比上年增长了约5.2% D2019 年我国学前教育毛入园率比上年提高了1.7% 【解答】解：对于A，由统计图可知，2015 年我国约有 22.4 万所幼儿园，故选项A错误； 对于B，这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长，但是增长率不相同，故选项B错误； 对于C，2019 年我国约有 28.1 万所幼儿园，2018 年我国约有 26.7 万所幼儿园， 所以增长了 28.126.7 5.2% 26.7 ，故选项C正确； 对于D，2019 年入园率为83.4%，2018 年入园率为81.7%， 所以增长了 83.481.7 2% 81.7 ，故选项D错误 故选：C 5 （5 分） 5 (
16、2)(1)xx展开式中 2 x的系数为( ) A15 B16 C24 D32 【解答】解：因为 5 (1) x展开式的通项为 15 rr r TC x ， 所以 5 (2)(1)xx展开式中 2 x的系数为 21 55 2205 15CC ， 故选：A 6 （5 分）已知函数sin()(0yAxA，0，|) 2 ，其部分图象如图所示，则这 个函数的解析式为( ) 第 8 页（共 22 页） A 3 sin(4) 23 yx B 32 sin(4) 23 yx C 3 sin(2) 23 yx D 3 sin(2) 23 yx 【解答】解：根据函数sin()(0yAxA，0，|) 2 ，其部分图
17、象， 可得 3 2 A ， 25 66 ，2 结合五点法作图，可得 5 22 6 ， 3 ，故 3 ( )sin(2) 23 f xx ， 故选：C 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为(4,0)F，直线 3 7 7 yx与双曲 线C相交于A，B两点，O为坐标原点， 线段AF、BF的中点分别为P、Q， 且O PO Q， 则双曲线C的离心率为( ) A3 B5 C4 D2 【解答】解：设点A在第一象限，设坐标为(m， 3 7 )(0) 7 m m ， 因为点P，Q，O分别为三角形ABF的三边的中点，且OPOQ， 所以四边形OPFQ为矩形，所以AFB
18、F，而4OF ， 则4OAOB，所以 222 3 716 ()4 77 mmm，解得7m （负值舍去） ， 所以点A的坐标为( 7，3)，代入双曲线方程可得： 22 79 1 ab ， 又 22 16ab，解得2a ，2 3b ， 所以双曲线的离心率为 4 2 2 c e a ， 故选：D 8 （5 分） 已知定义在R上的可导函数( )f x满足( )( )0fxf x， 令 2 2 1 () () mm f mm amR e ， bf（1） ，则有( ) 第 9 页（共 22 页） Aa b Bab Ca b Dab 【解答】解：设( )( ) x g xe f x， ( )( )0fxf
19、x， ( )( )( )0 x g xef xf x 函数( )g x为R上的增函数， 22 11 ()1 24 mmm ， 2 ()g mmg（1） ， 即 22 1 () m mm m ef ee f （1） ， 2 2 1 () mm f mm f e （1） ，即ab， 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已
20、知函数 43,1 ( ) ,1 x x f x lnx x ，则下列结论正确的是( ) A函数( )f x的定义域为R B函数( )f x在R上为增函数 C函数( )f x的值域为( 3,) D函数( )f x只有一个零点 【解答】解：选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确； 选项B：当1x 时，函数( )f x为增函数，当1x时，函数为增函数，且 1 43110ln ， 所以函数在R上不单调，故B错误； 选项C：当1x 时，3( )1f x ，当1x时，( ) 0f x ，所以函数的值域为( 3,) ，故C 正确； 选项D：当1x 时，令430 x ，解得 4 log 3x ，当1x时，
21、令0lnx ，解得1x ， 故函数有两个零点，故D错误， 故选：AC 10 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G分别是棱 11 AD，BC， 11 C D的 中点，则下列结论正确的是( ) 第 10 页（共 22 页） AFG 平面 1 ABC BEF 平面 11 ABC D C/ /FG平面 11 BB D D D/ /EG平面 1 ACD 【解答】 解： 设正方体的棱长为 2， 以D为坐标原点， 分别以DA，DC， 1 DD所在直线为x， y，z轴 建立空间直角坐标系， 则(1E，0，2)，(1F，2，0)，(0G，1，2)，(2A，0，0)， 1(2 B，
22、2，2)，(0D，0，0)， ( 1, 1,2)FG ，(0,2, 2)EF ， 1 (0,2,2)AB ，(2,0,0)DA， 1 2420FG AB ，FG与 1 AB不垂直，则FG 平面 1 ABC错误，故A错误； 1 440EF AB，0EF DA， 1 EFAB，EFAD，有 1 ABADA， EF平面 11 ABC D，故B正确； 取 11 BC中点H，连接FH，GH，可得 1 / /FHBB， FH 平面 11 BB D D， 1 BB 平面 11 BB D D， 得/ /FH平面 11 BB D D， 同理/ /GH平面 11 BB D D， 又FHGHH，平面/ /FGH平面
23、 11 BB D D，则/ /FG平面 11 BB D D，故C正确； 连接 11 AC，可得 11/ / ACAC，又 11 / /EGAC，/ /EGAC， AC 平面 1 ACD，EG平面 1 ACD，/ /EG平面 1 ACD，故D正确 故选：BCD 11 （5 分）已知直线 1: 40lxy与圆心为(0,1)M且半径为 3 的圆相交于A，B两点， 第 11 页（共 22 页） 直线 2:2 2350lmxym与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD的面积的值可以是( ) A9 3 B9 2 C6 2 D9( 21) 【解答】 解： 根据题意， 圆M的圆心为(0,1)M且半径为 3， 则
24、圆M的方程为 22 (1)9xy， 即 22 280 xyy ， 直线 1: 40lxy与圆M相交于A，B两点， 则有 22 280 40 xyy xy ，解可得： 3 1 x y 或 0 4 x y ，即A、B的坐标为(3,1)，(0,4)， 则|993 2AB ，且AB的中点为 3 ( 2 ， 5) 2 ， 直线 2:2 2350lmxym，变形可得(23)250mxy，直线 2 l恒过定点 3 ( 2 ， 5) 2 ， 设 3 ( 2 N， 5) 2 ， 当CD与AB垂直时，四边形ACBD的面积最大， 此时CD的方程为 53 22 yx，变形可得1yx，经过点(0,1)M， 则此时| 6
25、CD ， 故 ACBD S四边形的最大值 1 63 29 2 2 ACBADB SS ， 故9 2 ACBD S四边形， 分析选项：BC符合题意， 故选：BC 12 （5 分）下列说法正确的是( ) A已知函数( )f x的定义域为( , )a b，若“( , )xa b ，使得( )()0f xfx”是假命题， 则()0f ab B已知函数( )f x的定义域为R，且(1)f x为偶函数，若 1 x， 2 xR， 12 1xx都有 21 21 ()( ) 0 f xf x xx ，则f（3）(0)f C已知函数( ) 1 x f x x ，若对定义域内的任意x值，均有( )(2)2f xfa
26、xb，则 2ab D已知偶函数( )f x在0，)上单调递增，则对任意实数a，b， “|ab”是“f（a） 第 12 页（共 22 页） f（b） ”的充要条件 【解答】解：对于A：若“( , )xa b ，使得( )()0f xfx”是假命题，则对( , )xa b ， 使得( )()0f xfx” 是真命题， 故函数( )f x为奇函数， 故0ab， 所以()(0)0f abf， 故A正确； 对于B：函数( )f x的定义域为R，且(1)f x为偶函数，则函数(1)f x关于y轴对称，则 ( )f x关于1x 对称， 故(1)(1)fxfx，由于 1 x， 2 xR， 12 1xx都有 2
27、1 21 ()( ) 0 f xf x xx ， 所以函数在(，1上单调递减， 所以f（3）( 1)(0)ff故B正确； 对于C：函数 1 ( )1 11 x f x xx ， 故 1 (2)1 21 fax ax ， 所以 1122 ( )(2)1122 121(1)(21) a f xfaxb xaxxax ， 该式对任意的x恒成立，故22b ，220a ，所以1ab，故2ab，故C正确； 对于D：偶函数( )f x在0，)上单调递增，则在(，0上单调递减，对“f（a）f （b） ”| | |ab，所以， “|ab”或|ab ，非充要条件，故D错误 故选：ABC 三、填空题：本大题共三、填
28、空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知数列 n a、 n b都是等差数列，若 21 26ab， 45 212ab，则 33 2ab的 值是 9 【解答】解：由等差数列的性质得， 214533 222(2)ababab， 因为 21 26ab， 45 212ab， 所以 33 29ab 故答案为：9 14 （5 分）已知函数( )cos() 6 f xx ，若 4 sin 5 ，且为锐角，则 5 () 12 f 的值是 2 10 【解答】解： 4 sin 5 ，且为锐角， 2 3 cos1 5 sin， 第 13 页（共 22 页）
29、5522342 ()cos()cos()(cossin)() 121264225510 f 故答案为： 2 10 15 （5 分）已知抛物线 2 :6C yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若3FPFQ，则|QF的值是 2 【解答】解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N， 3FPFQ， 2 3 NQ MF ， 又|3MFp，| 2NQ， | |NQQF，| 2QF 故答案为：2 16 （5 分）已知正三棱柱 111 ABCABC的所有棱长之和为 36，则当此正三棱柱的侧面积取 得最大值时，其外接球的体积为 32 3 【解答】 解： 设正三棱柱
30、111 ABCABC底面边长为x， 侧棱为y， 则633 6xy， 即21 2xy， 三棱柱 111 ABCABC侧面积3Sxy 2 3636Sxyxx， 3x时，S取最小值，此时，6y ， 此时底面外接圆半径为： 13 3 2 sin60 ， 正三棱柱 111 ABCABC的外接球的球心O到顶点A的距离为 22 3( 3)2 3R ， 该球的体积为 3 4 32 3 3 R 故答案为：32 3 第 14 页（共 22 页） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）
31、在 1 31 nn SS ， 2 1 9 a ；1 nn Sa； 1 1a ， 1 21 nn aS 这三个条件 中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足_ （1）求 n a的通项公式； （2）求 1335572121nn a aa aa aaa 的值 【解答】解：若选： （1） 1 31 nn SS ，当1n 时， 21 31SS，即 121 331aaa， 因为 2 1 9 a ，所以 1 1 3 a ， 当2n时， 1 31 nn SS ，所以 1 3 nn aa ，即 1 1 3 n n a a ， 又 2 1 1 3 a a ，所以 1
32、1 3 n n a a ，*nN， 所以数列 n a是以 1 3 为首项， 1 3 为公比的等比数列， 所以 1 ( ) 3 n n a （2） 4 2121 1 ( ) 3 n nn aa ， 所以 484 1335572121 111 ( )( )( ) 333 n nn a aa aa aaa 44 4 4 11 ( ) 1( ) 13 33 1 80 1( ) 3 n n 若选： （1）因为1 nn Sa，当1n 时，可得 1 1 2 a ， 当2n时， 11 1 nn Sa ，可得 1 2 nn aa ，即 1 1 2 n n a a ， 所以数列数列 n a是以 1 2 为首项，
33、1 2 为公比的等比数列， 所以 1 ( ) 2 n n a （2） 4 2121 1 ( ) 2 n nn aa ，所以 484 1335572121 111 ( )( )( ) 222 n nn a aa aa aaa 第 15 页（共 22 页） 44 4 4 11 ( ) 1( ) 12 22 1 15 1( ) 2 n n 若选： （1） 1 1a ， 1 21 nn aS ， 当1n 时， 21 213aS ， 当2n时， 1 21 nn aS ， 两式相减得 1 3 nn aa ，即 1 3 n n a a ， 又 2 1 3 a a ，所以 1 3 n n a a ，*nN，
34、所以数列 n a是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， 所以3n n a （2） 4 2121 3 n nn aa ，所以 484 1 335572121 333 n nn aaa aa aaa 44 4 4 3 (1 3 )81(1 3 ) 1 380 n n 18 （12 分）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且6a ，2b ， 2 coscbbA （1）求sin B的值； （2）若AD平分BAC交BC于D，求三角形ADC的面积S的值 【解答】解： （1）因为2 coscbbA， 又由余弦定理可得 222 2cosabcbcA， 所以 222 ()abcc cb，可得
35、 22 bbca， 因为6a ，2b ， 可得1c ， 由 余 弦 定 理 222 2c o sabcb cA， 将6a ，2b ，1c ， 代 入 ， 可 得 641221c o sA，可得 1 cos 4 A ， 所以 15 sin 4 A，由正弦定理 sinsin ab AB ，可得 10 sin 4 B （2）由（1）可知 15 sin 4 A，6a ，1c ， 第 16 页（共 22 页） 则由正弦定理可得 sinsin ac AC ，可得 10 sin 8 C ， 在ABD中， sinsin BDAB BADADB ， 在ACD中， sinsin CDAC DACADC ， 又因为
36、AD平分ADC， 所以sinsinADBADC， ，可得2 bACCD cABBD ，可得 2 6 3 CD ， 所以 112 61015 sin2 22386 ADC SDC ACC 19（12 分） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，1CACB， 1 2AA ，D，E分别是棱 1 CC， 1 AA的中点，EBAD （1）证明： 1 BCEC； （2）求二面角 1 ADBB的余弦值 【解答】 （1）证明：连结EC，在直线棱柱 111 ABCABC中，因为D，E分别是棱 1 CC， 1 AA 的中点， 所以 1 / /C DEA，且 1 C DEA， 所以四边形 1 EADC是平行四
37、边形，故 1/ / ECAD， 又因为EBAD，所以 1 EBEC， 因为1CACB， 11 2AACC， 所以 1 2ECEC，因此 222 11 ECECCC， 所以 1 ECEC，又因为EBECE，EB，EC 平面ECB， 所以 1 EC 平面ECB，因为BC 平面ECB， 第 17 页（共 22 页） 所以 1 BCEC； （2）解：因为 1 CC 平面ABC，BC 平面ABC，所以 1 CCBC， 由（1）可知， 1 BCEC，又因为 11 CCECC， 1 CC， 1 EC 平面 11 A ACC， 所以BC 平面 11 A ACC，又CA平面 11 A ACC，故BCCA， 所以
38、CB，CA， 1 CC两两垂直， 建立空间直角坐标系如图所示， 则(1A，0，0)，(0B，1，0)，(0D，0，1)， 1(0 B，1，2)， 所以 1 (0,1,1),( 1,0,1)DBAD ， 设平面 1 ADB的一个法向量为( , , )nx y z， 则有 1 0 0 n DByz n ADxz ， 令1x ，则1y ，1z ，故(1, 1,1)n ， 因为x轴平面 1 DB B， 所以取平面 1 DB B的一个法向量为(1,0,0)m ， 所以 13 cos, |33 n m n m n m ， 又因为二面角 1 ADBB是锐二面角， 所以二面角 1 ADBB的余弦值为 3 3
39、20 （12 分）为了解篮球爱好者小张每天打篮球的时长与投篮的命中率之间的关系，将小张 某月 1 日到 10 日每天打篮球的时长x（单位：)h与当天投篮的命中率y的数据记录如表： x（时1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 第 18 页（共 22 页） 长） y（命 中率） 0.4 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.6 0.4 0.4 0.3 （1）当x不取整数时，从中任取两个时长，求小张的命中率之和为 1 的概率； （2）从小张的命中率为 0.4 和 0.6 的几天中选出 3 天，用X表示所选 3 天中命中率为 0.6 的天数，求X的数学期望()E X； （3
40、）当x取整数时，设r表示变量x与y之间样本相关系数，求r（精确到0.01)，并说明 此时去求回归直线方程是否有意义？ 相关性检验的临界值表 2n 小概率 0.05 0.01 1 0.997 1.000 2 0.950 0.990 3 0.878 0.959 4 0.811 0.917 5 0.754 0.874 注：表中的n为数据的对数 附：103.16； 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 【解答】解： （1）由题意可知，小张的命中率之和为 1 的概率为 2 5 33 10 P C ； （2）由题意可得，X的可能取值是 0，1，2，3，
41、 又 3 34 3 7 ()(0 kk C C P Xkk C ，1，2，3)， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 第 19 页（共 22 页） 所以数学期望 4181219 ()0123 353535357 E X ； （3）由题意可知，3,0.5xy， 所以 5 1 ()()0.1 ii i xxyy ， 5 2 1 ()10 i i xx ， 5 2 1 ()0.04 i i yy ， 所以 0.1 0.16 100.04 r ， 由相关性检验的临界值表可得， 0.05 0.878r，因此 0.05 |rr， 所以此时去求回归直线方程
42、是毫无意义的 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，点(2,1)A在椭圆C上 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 不过点A的直线l与椭圆相交于不同的两点M，N， 若直线AM与直线AN的斜率 1 k， 2 k总满足 12 1 2 kk ，求证：直线l必过定点 【解答】解： （1）由已知可得 2 2 c a ，且 22 41 1 ab ，又 222 abc， 解得 2 6a ， 2 3b ，所以椭圆的方程为： 22 1 63 xy ； （2）证明：当l与x轴垂直时，设l方程为：xt，由已知可得| |6t ， 可得M，N的坐标分别为 2 6 (
43、 ,) 2 t t ， 2 6 ( ,) 2 t N t ， 则 22 12 2 66 (1)(1) 1 22 (2)2 tt k k t 时，解得2t （舍去）或0t ， 所以直线0 x 经过原点(0,0)， 当直线的斜率存在时，设: l ykxm， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 将ykxm代入 22 1 63 xy ，得 222 (1 2)4260kxmkxm， 第 20 页（共 22 页） 2222 164(1 2)(26)0m kkm，解得 22 630km， 所以 2 1212 22 426 , 1212 mkm xxx x kk ， 由已知可得 12 12
44、 12 111 222 yy kk xx ，即 1212 2(1)(1)(1)(2)0yyxx， 所以 12121212 22()2()60y yyyx xxx， 又 22 121221 212 ()()()()y ykxm kxm kxmk x xmk xxm， 1212 ()2yyk xxm， 代入上式有 22 1 212 (1 2)(222)()2460kx xmkkxxmm， 将代入化简可得： 2 20mmkm，则0m 或12mk ， 当12mk 时，直线为21(2)1ykxkk x 过定点A，不满足题意， 当0m 时，直线为ykx，过原点(0,0)， 综上，直线恒过定点，且定点为原点
45、(0,0) 22 （12 分）已知函数 2 ( )()f xlnxa xx， 3 ( )5g xxx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当2a 时，证明： 3 ( )( ) 2 f xg x 【解答】解： （1）( )f x的定义域为(0,)， 2 121 ( )(21) axax fxax xx ， 令 2 ( )21h xaxax，(0,)x， 当0a 时，( )10h x ，( )0fx， 所以( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时，函数( )h x的对称轴为 1 224 a x a ，且(0)10h ， 所以在(0,)上，( )0h x ，( )0fx，( )f x单
46、调递增， 当0a 时，函数( )h x的对称轴为 1 224 a x a ，且(0)10h ， 所以在(0,)上( )h x单调递减，存在 2 0 8 4 aaa x a 使得 0 ()0h x， 所以在 2 8 (0,) 4 aaa a 上( )0h x ，( )0fx，( )f x单调递增， 第 21 页（共 22 页） 在 2 8 ( 4 aaa a ，)上( )0h x ，( )0fx，( )f x单调递减， 综上所述，当0a时，( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时，( )f x在 2 8 (0,) 4 aaa a 上单调递增，在 2 8 ( 4 aaa a ，)上( )f
47、x单调递 减 （2）当2a 时， 2 ( )2()f xlnxxx， 要证 3 ( )( ) 2 f xg x， 则需证 23 3 2()5 2 lnxxxxx， 只需证 32 3 230 2 lnxxxx， 令 32 3 ( )23 2 F xlnxxxx， 32 2 13431 ( )343 xxx F xxx xx ， 令 32 ( )3431h xxxx， 2 ( )983h xxx， 2 84 ( 8) ( 3)320 ， 所以在(0,)上，( )0h x，( )h x单调递减， 又因为(0)1h， 11 ( )0 28 h， 317 ( )0 464 h ， 所以存在一个 1 1
48、(2x ， 3) 4 使得 1 ()0h x，即 32 111 34310 xxx 所以在 1 (0,)x上( )0h x ，( )0F x，( )F x单调递增， 在 1 (x，)上( )0h x ，( )0F x，( )F x单调递减， 所以 322 11111111 327 ( )()232 236 max F xF xlnxxxxlnxxx， 1 1 (2x ， 3) 4 令 2 27 ( )2 36 p xlnxxx， 1 (2x， 3) 4 2 14463 ( )2 33 xx p xx xx ， 令 2 ( )463v xxx， 1 (2x， 3) 4 第 22 页（共 22 页） 2 ( 6)4 4 3120 ， 所以( )0v x ，( )0p x，( )p x单调递增， 所以 2 33233731 ( )( )( )( )2( )0 443446424 p xplnln， 所以( )0 max F x， 所以( )0F x 恒成立，即可得证
