1、第 1 页（共 20 页） 2021 年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的项是符合要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |40Ax x，BN，则(AB ) A1 B0，1 C 1，01 D | 22xx 2 （5 分）若复数z满足(2)4i z，则复数z在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知 n a为等差数列， 4 5
2、a ， 7 7a ，则其前 10 项和 10 (S ) A40 B20 C10 D8 4 （5 分）若l，m是平面外的两条不同直线，且/ /m，则“/ /lm”是“/ /l”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）某学校调查了高三 1000 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示 的频率分布直方图， 其中自习时间的范围是17.5，30， 样本数据分组为17.5，20)，20， 22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30根据直方图，以下结论不正确的是( ) A估计这 1000 名学生中每周的自习时间不少于
3、25 小时的人数是 300 B估计这 1000 名学生每周的自习时间的众数是 23.85 C估计这 1000 名学生每周的自习时间的中位数是 23.75 D估计这 1000 名学生每周的自习时间的平均数是 23.875 6 （5 分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该 程序框图，若输入2x ，2n ，依次输入a的值为 1，2，3，则输出的(s ) 第 2 页（共 20 页） A10 B11 C16 D17 7 （5 分）函数 2 ( ) xx x f x ee 的部分图象大致为( ) A B C D 8 （5 分）已知直线:2l yx与圆 22 :4O xy相
4、交于A，B两点，则AB AO的值为( ) A8 B4 2 C4 D2 9 （5 分）设 0.4 0.6a ， 0.6 0.4b ， 0.6 log0.4c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 10 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足23 nn Sa，则 5612 1256 ( SSSS aaaa 第 3 页（共 20 页） ) A543 B546 C1013 D1022 11（5 分） 已知A，B是以F为焦点的抛物线 2 4yx上的两点， 点A在第一象限且3AFFB， 以AB为直径的圆与准线的公共点为C，则点C的纵坐标为( ) A1 B
5、 4 3 C3 D 2 3 3 12 （5 分）已知函数 3(9 1) ( )1 x log f x x ，下列说法正确的是( ) A( )f x既不是奇函数也不是偶函数 B( )f x的图象与sinyx有无数个交点 C( )f x在(0,)上为减函数 D( )f x的图象与2y 有两个交点 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）二项式 6 2 2 ()x x 展开式中的常数项为 14 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线过点(1, 3)，则C的离心率 为 15
6、（5 分）将函数3sin(2) 6 yx 的图象向右平行移动 6 个单位长度得到函数( )yf x的 图象，若( )2f，则(2) 6 f 16（5 分） 在三棱锥DABC中，ABC是边长为2 3的等边三角形且平面ABC 平面ABD， 若三棱锥DABC的四个顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为20，则三棱维 DABC体积的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考
7、题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sincos() 6 bAaB （1）求B； （2）设2a ，7b ，延长AC到点D使2ACCD，求BCD的面积 18 （12 分）某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一、方案二为了了解运 动员对活动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了 100 名运动员，获得数 第 4 页（共 20 页） 据如表： 方案一 方案二 支持 不支持 支持 不支持 男运动员 20 人 40 人 40 人 20 人 女运动员 30 人 10 人 20 人 2
8、0 人 假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立 （1）根据所给数据，判断是否有99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？ （2）视频率为概率，从全体男运动员中随机抽取 2 人，全体女运动员中随机抽取 1 人； （）估计这 3 人中恰有 2 人支持方案二的概率； （）设抽取的 3 人中支持方案二的人数为X，求X的分布列和数学期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19 （12 分）已知四边形ABCD是直角梯形，/ /ABCD，45C
9、，4CD ，2 2BC ， E，F分别为CD、BC的中点（如图1)，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点S的 位置且平面SAE 平面ABCE（如图2) （1）求证：AS 平面SEF； （2）求二面角CSEF的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F， 点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段(OB O为坐标原点） ， 3 | 2 PF 第 5 页（共 20 页） （1）求椭圆C的方程； （2）过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足(OQOMON Q，M，N三点不共 线） ，求四边形OMQN面积的取值范围 21 （12
10、 分）已知函数( ) alnx f x x （1）若( )f x在1x 处取得极值，求实数a的值； （2）讨论( )f x在(0,1)上的单调性； （3）证明：在（1）的条件下( )0 x f xxe 四、 （二）选考题：共四、 （二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答题中选一题作答.如果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 11 () 2 ( 1 xt t t yt t 为参数） ，以原 点O为极点，x轴正半轴为极轴
11、建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cossin )2 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知点(3,1)P，直线l与曲线C交于A，B两点，求|PAPB的值 五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|5|f xxx （1）解不等式( ) 6f x ； （2）若正实数a，b满足abab，且函数( )f x的最小值为m，求证：ab m 第 6 页（共 20 页） 2021 年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题
12、小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的项是符合要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |40Ax x，BN，则(AB ) A1 B0，1 C 1，01 D | 22xx 【解答】解： | 22Axx ，BN， 0AB，1 故选：B 2 （5 分）若复数z满足(2)4i z，则复数z在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：因为(2)4i z，所以 44(2)8484 2(2)(2)555 ii zi iii ， 故复数z在复平面内对应的点为 84 ( ,) 55
13、，位于第四象限 故选：D 3 （5 分）已知 n a为等差数列， 4 5a ， 7 7a ，则其前 10 项和 10 (S ) A40 B20 C10 D8 【解答】解：由等差数列的性质可得： 11047 572aaaa ， 则其前 10 项和 110 10 10() 5210 2 aa S ， 故选：C 4 （5 分）若l，m是平面外的两条不同直线，且/ /m，则“/ /lm”是“/ /l”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：l，m是平面外的两条不同的直线，/ /m， 若/ /lm，则推出“/ /l” ， 若/ /l，则/ /lm或l
14、与m相交， 故若l，m是平面外的两条不同直线，且/ /m，则“/ /lm”是“/ /l”的充分不必要 条件 第 7 页（共 20 页） 故选：A 5 （5 分）某学校调查了高三 1000 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示 的频率分布直方图， 其中自习时间的范围是17.5，30， 样本数据分组为17.5，20)，20， 22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30根据直方图，以下结论不正确的是( ) A估计这 1000 名学生中每周的自习时间不少于 25 小时的人数是 300 B估计这 1000 名学生每周的自习时间的众数是 23.85 C估计这 1000
15、名学生每周的自习时间的中位数是 23.75 D估计这 1000 名学生每周的自习时间的平均数是 23.875 【解答】解：对于A，每周的自习时间不小于 25 小时的频率为(0.080.04)2.50.3， 所以估计这 1000 名学生每周的自习时间不小于 25 小时的人数是0.3 1000300， 故选项A 正确 对于B，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， 故估计这 1000 名学生每周的自习时间的众数是(22.525)223.75，故选项B错误； 对于C， 在频率直方图中， 中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标， 设中位数
16、为x，则有0.022.50.1 2.5(22.5)0.160.5x，解得23.75x ， 所以估计这 1000 名学生每周的自习时间的中位数是 23.75，故选项C正确； 对于D，在频率分布直方图中，平均数即为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点 的横坐标之和， 所以估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是 0.022.518.750.12.521.250.162.523.750.082.526.250.042.528.2723.875 ，故选项D正确 故选：B 6 （5 分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该 第 8 页（共 20 页） 程序框图，若
17、输入2x ，2n ，依次输入a的值为 1，2，3，则输出的(s ) A10 B11 C16 D17 【解答】解：输入的2x ，2n ， 当输入的a为 1 时，1S ，1k ，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a为 2 时，4S ，2k ，不满足退出循环的条件； 当输入的a为 3 时，11S ，3k ，满足退出循环的条件； 故输出的S值为 11， 故选：B 7 （5 分）函数 2 ( ) xx x f x ee 的部分图象大致为( ) A B C D 第 9 页（共 20 页） 【解答】解： 2 ()( ) xx x fxf x ee ，函数( )f x为奇函数，排除选项B和C， 当x时， x
18、 e比x增长的快，( )0f x，排除选项D， 故选：A 8 （5 分）已知直线:2l yx与圆 22 :4O xy相交于A，B两点，则AB AO的值为( ) A8 B4 2 C4 D2 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 22 2 4 yx xy 得 2 20 xx， 解得0 x ，2x ， 设(0,2)A，则( 2,0)B ， 则( 2AB AO ，2) (0，2)2 0224 故选：C 9 （5 分）设 0.4 0.6a ， 0.6 0.4b ， 0.6 log0.4c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 【
19、解答】解指数函数0.4xy 为减函数， 0.60.4 00.40.41 ， 幂函数 0.4 yx为增函数， 0.40.4 10.60.40 ， 10ab 对数函数 0.6 logxy 为减函数， 0.40.6 0.60.6 loglog1c ，即1c ， cab 故选：D 10 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足23 nn Sa，则 5612 1256 ( SSSS aaaa ) A543 B546 C1013 D1022 【解答】解：23 nn Sa， 11 23(2) nn San ， 第 10 页（共 20 页） 两式相减得： 1 20 nnn aaa ，即 1 1
20、3 nn aa ，2n， 又当1n 时，有 11 23Sa，可得： 1 1a ， 数列 n a是首项为 1，公比为 1 3 的等比数列， 1 1 1( ) 3 1 1 31 3 1 22 ( ) 3 n n n n n S a ， 6 2365612 1256 1113(1 3 ) (3333 )63543 2221 3 SSSS aaaa ， 故选：A 11（5 分） 已知A，B是以F为焦点的抛物线 2 4yx上的两点， 点A在第一象限且3AFFB， 以AB为直径的圆与准线的公共点为C，则点C的纵坐标为( ) A1 B 4 3 C3 D 2 3 3 【解答】解：如图， 根据抛物线的定义，可得
21、AAAF，BBBF ， 2AABBADBF， 4AFBFBF， 60DAB， 即直线AB的倾斜角为60， :3(1)AB yx， 2 3(1) (3 4 yx A yx ，2 3)， 1 (3B， 2 3) 3 ， 第 11 页（共 20 页） 设( 1,)Cm，因为C为圆上的点， 故ACBC，( 4,2 3)ACm ， 4 ( 3 CB ， 2 3 ) 3 m， 22 162 34 342 3 042 300 33333 AC BCmmmmmm 故选：D 12 （5 分）已知函数 3(9 1) ( )1 x log f x x ，下列说法正确的是( ) A( )f x既不是奇函数也不是偶函数
22、 B( )f x的图象与sinyx有无数个交点 C( )f x在(0,)上为减函数 D( )f x的图象与2y 有两个交点 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，函数 3(9 1) ( )1 x log f x x ，其定义域为 |0 x x ， 则 3 333 91 () (91)(91)(91) 9 ()( )1120 () x xxx x log logloglog fxf x xxxx ，则( )f x 为奇函数，A错误； 对于B，函数 3 3 3 1 9(1) (91)11 9 ( )111log (1) 9 x x x x log log f x xxx ， 当0 x 时，
23、 1 0 x ， 1 11 9x ， 3 11 log (1)0 9xx ，( )1sinf xx ， 又由( )f x为奇函数，则当0 x 时，( )1f x ， 则( )f x的图象与sinyx没有交点，B错误； 对于C，当0 x 时， 1 x ， 1 1 9x 都是单调递减， 3 1 log (1) 9x 单调递减， 故( )f x单调递减，C正确； 对于D，若( )2f x ，则有 3(9 1) 12 x log x ，即 3 log (91)3 x x，变形可得9127 xx ， 即 11 ( )()1 327 xx ， 设 11 ( )( )() 327 xx g x ，则( )g
24、 x为减函数且在其值域为(0,)， 则( )1g x 有且只有 1 解，即( )f x的图象与2y 只有一个交点，D错误， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 12 页（共 20 页） 13 （5 分）二项式 6 2 2 ()x x 展开式中的常数项为 60 【解答】解： 6 2 2 ()x x 的展开式的通项公式为 66 3 166 2 2 ()( 2) rrrrrr r TCxCx x ， 令630r，求得2r ，展开式中常数项为 22 6 ( 2)60C 故答案为：60 14 （5 分）已知双曲线 22
25、 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线过点(1, 3)，则C的离心率 为 10 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线过点(1, 3)， 可得双曲线的一条渐近线方程0bxay， 3ba， 22 10caba ， 10 c e a 故答案为：10 15 （5 分）将函数3sin(2) 6 yx 的图象向右平行移动 6 个单位长度得到函数( )yf x的 图象，若( )2f，则(2) 6 f 5 3 【解答】解：将函数3sin(2) 6 yx 的图象向右平行移动 6 个单位长度， 得到函数( )3sin(2) 6 yf xx 的图象， 若
26、( )3sin(2)2 6 f ，则 2 sin(2) 63 ， (2)3sin2(2)3sin(4)3cos(4 )3cos(4) 666633 f 2 25 3 12sin (2)3 (12) 693 ， 故答案为： 5 3 16（5 分） 在三棱锥DABC中，ABC是边长为2 3的等边三角形且平面ABC 平面ABD， 若三棱锥DABC的四个顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为20，则三棱维 DABC体积的最大值为 3 3 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：取AB的中点E，连结CE，设 O 为ABC的中心，则 O 在直线CE上， 因为平面ABC 平面ABD，平面ABC平面ABDA
27、B，CE 平面ABC，所以CE 平 面ABD， 设ABD所在的截面圆的圆心为 1 O， 过 1 O作CE的平行线，过 O 作 1 O E的平行线，两平行线交于点O， 则O为外接球的球心，连结OC， 设外接球的半径为R，则有 2 420R，故5R ，即5OC 在等边ABC中， 3 2 33 2 CE ，所以 2 2 3 COCE ， 在RtCO O中， 2222 ( 5)21OOCOCO，故 1 1O E ， 在Rt 1 EO E中， 2222 11 ( 3)12O BEBEO， 所以ABD所在的截面圆的半径为2r ， 故点D到直线AB距离的最大值为 1 123O Er ， 所以三棱维DABC体
28、积的最大值为 2 113 3(2 3)33 3 334 ABC VS 故答案为：3 3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sincos() 6 bAaB （1）求B； （2）设2a ，7b ，延长AC到点D使2ACCD，求BCD的面
29、积 第 14 页（共 20 页） 【解答】解： （1）sincos() 6 bAaB 由正弦定理 sinsin ab AB ，可得sinsinbAaB， 可得：sincos() 6 aBaB ，可得：sincos() 6 BB ，化简可得：tan3B ， (0, )B， 3 B （2）由 sinsin ab AB ，可得 3 2 sin21 2 sin 77 aB A b ， 可得 2 7 cos 7 A， 3 21 sinsin()sincoscossin 14 CABABAB， 所以 113 213 3 2sin27 22142 ABCBCD SSabC ，可得 3 3 4 BCD S 1
30、8 （12 分）某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一、方案二为了了解运 动员对活动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了 100 名运动员，获得数 据如表： 方案一 方案二 支持 不支持 支持 不支持 男运动员 20 人 40 人 40 人 20 人 女运动员 30 人 10 人 20 人 20 人 假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立 （1）根据所给数据，判断是否有99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？ （2）视频率为概率，从全体男运动员中随机抽取 2 人，全体女运动员中随机抽取 1 人； （）估计这 3 人中恰有 2 人支持方案二的概率； （）设抽取
31、的 3 人中支持方案二的人数为X，求X的分布列和数学期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （1）由题意可得 2 2 100 (20 1040 30) 16.66710.828 6040 50 50 k ， 有99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关 第 15 页（共 20 页） （2）( ) i男生支持的概率为 402 40203 ，男生不支持的概率为 21 1 33 ； 女生支持的概率为 201 20202 ，女生
32、不支持的概率为 11 1 22 ； 3 人中恰有 2 人支持的概率为 2212114 2 3323329 ； ( )ii X的可能取值为 0，1，2，3， 1111 (0) 33218 P X ； 1111215 (1)2 33233218 P X ； 2212114 (2)2 3323329 P X ； 2212 (3) 3329 P X ； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 18 5 18 4 9 2 9 154211 ()0123 1818996 E X 19 （12 分）已知四边形ABCD是直角梯形，/ /ABCD，45C，4CD ，2 2BC ， E，F分别为CD、BC
33、的中点（如图1)，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点S的 位置且平面SAE 平面ABCE（如图2) （1）求证：AS 平面SEF； （2）求二面角CSEF的余弦值 【解答】 （1）证明：因为平面SAE 平面ABCE， 由题意得EFAE，平面SAE平面ABCEAE，所以EF 平面SAE， 第 16 页（共 20 页） 又因为SA平面SAE，所以SAEF， 又因为SASE，SEEFE，SE、EF 平面SEF，所以AS 平面SEF （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， (0E，0，0)，(2C ，2，0)，( 2S，0，2)，(0F，2，0)， ( 2ES ，0，2)，(0EF ，2，0)，
34、(2EC ，2，0)， 设平面ESF和平面ESC的法向量分别为(mx，y，) z，(nu，v，)w， 220 20 ES mxz EF my ，令1z ，(1m ，0，1)， 220 220 ES nuw EC nuv ，令1u ，(1n ，1，1)， 所以二面角CSEF的余弦值为 |26 | |323 m n mn 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F， 点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段(OB O为坐标原点） ， 3 | 2 PF （1）求椭圆C的方程； （2）过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足(OQOMON
35、 Q，M，N三点不共 线） ，求四边形OMQN面积的取值范围 【解答】解： （1）由题意可知( ,0)F c，( ,0)B a， PF恰好垂直平分线段OB， 2ac， 第 17 页（共 20 页） 令xc，代入 22 22 1 xy ab 得： 2 b y a ， 2 3 2 b a ， 2 222 2 3 2 ac b a abc ，解得 2 3 1 a b c ， 椭圆C的方程为： 22 1 43 xy （2）由题意可知直线l的斜率不为 0，设直线l的方程为：1xmy， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 联立方程 22 1 43 1 xy xmy ，消去x得： 2
36、2 (34)690mymy， 22 3636(34)0mm， 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 设MN的中点为E，则2OQOMONOE， MN与OQ互相平分，四边形OMQN为平行四边形， OMQN S 平行四边形 2 OMN S 12 1 2| 2 OFyy 12 |yy 2 1212 ()4yyy y 2 222 3636 (34)34 m mm 2 2 121 34 m m ， 令 2 1 1tm ，则 2 1212 1 1 31 3 OMQN t St t t t 平行四边形 ， 第 18 页（共 20 页） 1 1 3 33()ytt tt 在1
37、，)上单调递增， 1 34t t ， 12 (0 1 3t t ，3， 03 OMQN S 平行四边形 综上所述，四边形OMQN面积的取值范围为(0，3 21 （12 分）已知函数( ) alnx f x x （1）若( )f x在1x 处取得极值，求实数a的值； （2）讨论( )f x在(0,1)上的单调性； （3）证明：在（1）的条件下( )0 x f xxe 【解答】 （1）解：因为 2 1 ( ) alnx fx x ， ( )f x在1x 处取得极值，则 f （1）0， 所以110aln ，解得1a ， 验证知1a 符合条件 （2）解： 2 1 ( ) alnx fx x ， 当1a
38、时，在(0,1)x上，( )0fx恒成立，( )f x单调递减； 当1a 时，令( )0fx，解得 1a xe ， 当 1 (0,) a xe 时，( )0fx，( )f x单调递减， 当 1 ( a xe ，1)时，( )0fx，( )f x单调递增 综上，当1a时，( )f x在(0,1)上单调递减； 当1a 时，( )f x在 1 (0,) a e 上单调递减，在 1 ( a e ，1)上单调递增 （3）证明：由（1）知 1 ( ) lnx f x x ，则 2 1 ( ) x x x elnx f xxe x ， 令 2 ( )1 x g xx elnx， 2 1 ( )2 xx g
39、xxex e x ，( )g x在(0,)上单调递增， 当0 x 时，( )g x，当 1 2 x 时， 1 2 1558 ( )20 244 e ge ， 则 0 1 (0, ) 2 x，使 0 ()0g x，即 0 2 00 1 (2) x e xx ， 则当 0 (0,)xx时，( )0g x，( )g x单调递减，当 0 (x，)时，( )0g x，( )g x单调递增， 第 19 页（共 20 页） 所以 00 0 1 ( )()1 2 g xg xlnx x ， 令 1 ( )1 2 h xlnx x ， 1 (0, ) 2 x， 2 11 ( )0 (2) h x xx ，所以(
40、 )h x单调递减， 所以 13 ( )( )20 25 h xhln， 所以( )0g x ， 所以( )0 x f xxe，得证 四、 （二）选考题：共四、 （二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答题中选一题作答.如果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 11 () 2 ( 1 xt t t yt t 为参数） ，以原 点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cossin )2 （1）求曲线
41、C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知点(3,1)P，直线l与曲线C交于A，B两点，求|PAPB的值 【解答】解： （1）曲线C的参数方程为 11 () 2 ( 1 xt t t yt t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 2 1 4 y x ， 直线l的极坐标方程为(cossin )2，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为 20 xy （2） 直线l的直线坐标方程转换为参数方程为： 2 3 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ， 代入 2 2 1 4 y x ， 得到 2 3 11 2310 2 tt， 所以 12 22 2 3 tt，
42、1 2 62 3 t t ， 所以： 12 22 2 | | 3 PAPBtt 五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 20 页（共 20 页） 23已知函数( ) |1|5|f xxx （1）解不等式( ) 6f x ； （2）若正实数a，b满足abab，且函数( )f x的最小值为m，求证：ab m 【解答】解： （1）因为( ) |1|5|f xxx，( ) 6f x ， 所以当1x 时，不等式即为15 6xx ，解得0 x，得01x 当15x剟时，不等式即为15 64 6xx 剟，得15x剟 当5x 时，不等式即为15 6xx ，解得6x，得56x 综上，不等式( ) 6f x 的解集为0，6 （2）证明：( ) |1|5|(1)(5)| 4f xxxxx，所以4m 正实数a，b， 11 1abab ab ， 所以 11 ()()2224 aba b abab abbab a ， （当且仅当 ab ba ，即2ab时等号成立） 所以ab m
