1、第 1 页（共 20 页） 2021 年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（理科）年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 42Mxx ， 3 |0 2 x Nx x ，则(MN ) A | 43xx B | 42xx C | 22xx D |23xx 2 （5 分）若复数z满足(34 )|43 |i zi，则z的虚部为( ) A 4 5 B4 C 4 5 D
2、4 3 （5 分）已知平面，直线m，n满足m，n，则“/ /m”是“/ /mn”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）设x，y满足 2 239 0 xy xy x ，则 22 (1)xy的取值范围是( ) A0，10 B1，10 C1，17 D0，17 5（5 分） 已知函数( )f x是定义在R上的偶函数， 当0 x 时，( )f xlnxx， 则 3 2 ( 2)af， 2 (log 9)bf，( 5)cf的大小关系为( ) Aabc Bacb Cbca Dbac 6 （5 分） 8 ( 2)xy的展开式中， 26 x y项的系
3、数是( ) A28 B28 C56 D56 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近 线的距离之比为3:1，则双曲线C的渐近线方程为( ) A2 2yx B2yx C 2 2 yx D 2 4 yx 8 （5 分）已知函数( )sincos(0)f xxx的最小正周期为，则该函数的图象( ) A关于点( 3 ，0)对称 B关于直线 8 x 对称 第 2 页（共 20 页） C关于点( 8 ，0)对称 D关于直线 3 x 对称 9 （5 分）已知点A是抛物线 2 :2(0)C xpy p上一点，O为坐标原点，若以点(0,8)M
4、为 圆心，|OA的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且ABO为等边三角形，则p的 值是( ) A 3 8 B2 C6 D 2 3 10 （5 分） 易系辞上有“河出图，洛出书“之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数 之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十 背中如图，白圈为阳数，黑点为阴数若从这 10 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少 有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为( ) A 1 5 B 1 20 C 1 12 D 3 40 11 （5 分）四棱锥PABCD的三视图如图所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球 面上，E、F分别是棱AB
5、、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2 2，则该球 表面积为( ) A12 B24 C36 D48 12 （5 分）已知ABC的三边分别为a，b，c，若满足 222 28abc，则ABC面积的 最大值为( ) 第 3 页（共 20 页） A 5 5 B 2 5 5 C 3 5 5 D 5 3 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）分，将答案填在答题卡上） 13 （5 分）函数( )cos22cosf xxx的最大值为 14（5 分） 若非零向量( )f x满足 2 2 | 3 ab， 且() ( 32)a bab ， 则a与b的夹角为 1
6、5 （5 分） 若曲线ylnx在点(1,0)的切线与曲线 2 17 ( ) 22 g xxmx也相切， 则m 16 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，M、N、P、Q分别是AB、 1 AA、 11 C D、 1 CC 的中点，给出以下四个结论： 1 ACMN； 1/ / AC平面MNPQ； 1 AC与PM相交； 1 NC与PM异面其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，首项 1
7、1a ，且 1 S， 2 S， 4 S成等比数列 （1）求 n a的通项公式； （2） 若数列 n a是单调数列， 数列 n b满足 2 log nn bS ， 记数列 nn a b的前n项和为 n T， 求证：3 n T 18 （12 分）如图，在平面五边形ABCDE中，/ /ABCE，且2AE ，60AEC， 7CDED， 5 cos 7 EDC，将CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且3AP ， 得到如图 2 所示的四棱锥PABCE （1）求证：AP 平面ABCE； （2）求平面PAB与平面PCE所成锐二面角的大小 19 （12 分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的
8、质量( )y g与尺寸 ()x mm之间近似满足关系式( b yc x b ，c为大于 0 的常数） 按照某项指标测定，当产品 质量与尺寸的比在区间(9 e ，)(0.302 7 e ，0.388)内时为优等品 现随机抽取 6 件合格产品， 第 4 页（共 20 页） 测得数据如下： 尺寸()x mm 38 48 58 68 78 88 质量( )y g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸 的比 y x 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 （1） 现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件， 记为取到优等品的件数， 试求随机变
9、量的 期望； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表： 6 1 () ii i lnxlny 6 1 () i i lnx 6 1 () i i lny 6 2 1 () i i lnx 75.3 24.6 18.3 101.4 （）根据所给统计量，求y关于x的回归方程； （）已知优等品的收益z（单位：千元）与x，y的关系为20.32zyx，则当优等品的 尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？ 附：对于样本( i v，)(1 i ui ，2，)n，其回归直线ub va的斜率和截距的最小二乘 估计公式分别为： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii
10、 vv uuvunvu b vvvnv ， a ubv，2.7182e 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ，点E，F分别为其下顶点 和右焦点，坐标原点为O，且EOF的面积为2 （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为EAB的垂心？若存 在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 1 ( ) lnx f x xx 第 5 页（共 20 页） （1）若1x时，( ) 1 m f x x ，求实数m的取值范围； （2）求证：(Tex translation failed
11、) 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计 分作答时，用分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选修选修 4-4：极坐：极坐 标与参数方程标与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2sin2cos ( 2sin2cos x y 为参 数） 经过伸缩变换 2 2 : 1 2 xx yy 后，曲线 1 C变为曲线 2 C （1）求曲线 1 C和曲线 2 C的普通方程； （2）已知
12、点P是曲线 2 C上的任意一点，曲线 1 C与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B， 试求PAB面积的最大值和此时点P的坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2|f xxxa （1）当1a 时，画出( )yf x的图象； （2）若关于x的不等式( ) 3f xa有解，求a的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2021 年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（理科）年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选
13、项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 42Mxx ， 3 |0 2 x Nx x ，则(MN ) A | 43xx B | 42xx C | 22xx D |23xx 【解答】解： | 42Mxx ， 3 |0 | 23 2 x Nxxx x ， | 43MNxx ， 故选：A 2 （5 分）若复数z满足(34 )|43 |i zi，则z的虚部为( ) A 4 5 B4 C 4 5 D4 【解答】解：由(34 )|43 |i zi，得 55(34 )34 34(34 )(34 )55 i zi iii ， z的虚部为
14、4 5 故选：C 3 （5 分）已知平面，直线m，n满足m，n，则“/ /m”是“/ /mn”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为m，n，当/ /m时，m与n不一定平行，即充分性不成立； 当/ /mn时，满足线面平行的判定定理，/ /m成立，即必要性成立； 所以“/ /m”是“/ /mn”的必要不充分条件 故选：B 4 （5 分）设x，y满足 2 239 0 xy xy x ，则 22 (1)xy的取值范围是( ) A0，10 B1，10 C1，17 D0，17 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 7 页（共 20 页）
15、 联立 239 2 xy xy ，解得(3, 1)A， 22 (1)xy的几何意义为可行域内动点与定点( 1,0)P 距离的平方， 由图可知，可行域内动点与定点( 1,0)P 距离的最小值且为 1， 最大值为 22 |( 1 3)117PA ， 22 (1)xy的取值范围是1，17 故选：C 5（5 分） 已知函数( )f x是定义在R上的偶函数， 当0 x 时，( )f xlnxx， 则 3 2 ( 2)af， 2 (log 9)bf，( 5)cf的大小关系为( ) Aabc Bacb Cbca Dbac 【解答】解： 根据题意， 函数( )f x是定义在R上的偶函数， 则 33 22 (
16、2 )(2 )( 8)afff， 当0 x 时，( )f xlnxx，其导数为 1 ( )1fx x ，则( )f x在(0,)上为增函数， 又由 22 0583log 8log 9，则 3 2 2 ( 5)(2 )(log 9)fff， 故有bac， 故选：D 6 （5 分） 8 ( 2)xy的展开式中， 26 x y项的系数是( ) A28 B28 C56 D56 【解答】解： 8 ( 2)xy的展开式中，通项公式为 86 18 ( 1)( 2) rrrrr r TCxy ， 令6r ，可得 26 x y项的系数是 6 8 256C ， 故选：C 第 8 页（共 20 页） 7 （5 分）
17、已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近 线的距离之比为3:1，则双曲线C的渐近线方程为( ) A2 2yx B2yx C 2 2 yx D 2 4 yx 【解答】解：设顶点( ,0)A a焦点( ,0)F c，其中一条渐近线的方程为：0bxay， 设A到渐近线的距离为 22 abab d c ab ， 焦点F到渐近线的距离为 bc db c ， 由题意可得:3:1 ab b c 即3 c a ，所以 2222 9acab，可得 22 8ba， 所以渐近线的方程为：2 2 b yxx a ， 故选：A 8 （5 分）已知函数( )sinc
18、os(0)f xxx的最小正周期为，则该函数的图象( ) A关于点( 3 ，0)对称 B关于直线 8 x 对称 C关于点( 8 ，0)对称 D关于直线 3 x 对称 【解答】解：函数( )sincos2sin()(0) 4 f xxxx 的最小正周期为 2 ， 2， ( )2sin(2) 4 f xx 令 3 x ，求得 11 ( )sin0 12 f x ，且( )f x不是最值，故A、D错误； 令 8 x ，求得( )2f x ，为最大值，故函数( )f x的图象关于直线 8 x 对称，故B正确， C错误； 故选：B 9 （5 分）已知点A是抛物线 2 :2(0)C xpy p上一点，O为
19、坐标原点，若以点(0,8)M为 圆心，|OA的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且ABO为等边三角形，则p的 值是( ) A 3 8 B2 C6 D 2 3 【解答】解：由题意，| |MAOA，A的纵坐标为 4， 第 9 页（共 20 页） ABO为等边三角形， A的横坐标为 4 3 3 ， 点A是抛物线 2 :2(0)C xpy p上一点， 16 24 3 p， 2 3 p 故选：D 10 （5 分） 易系辞上有“河出图，洛出书“之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数 之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十 背中如图，白圈为阳数，黑点为阴数若从这 1
20、0 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少 有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为( ) A 1 5 B 1 20 C 1 12 D 3 40 【解答】解：河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、 十背中如图， 白圈为阳数，黑点为阴数 若从这 10 个数中任取 3 个数，基本事件总数 3 10 120nC， 这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列包含的基本事件有 10 个，分别为： (1，3，5)，(3，5，7)，(5，7，9)，(1，5，9)，(1，2，3)，(1，4，7)，(3，4，5)， (3，6，9)，(5，6，7)，(7，8，9)， 则这 3
21、 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为 101 12012 p 故选：C 11 （5 分）四棱锥PABCD的三视图如图所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球 第 10 页（共 20 页） 面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2 2，则该球 表面积为( ) A12 B24 C36 D48 【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥PABCD的五个顶点位于同一个 正方体的顶点处， 且与该正方体内接于同一个球且该正方体的棱长为a 设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG 根据题意，直线EF被球面所截得的线段
22、长为2 2，即正方体面对角线长也是2 2， 得 2 2 2 AGa，所以正方体棱长2a Rt OGA中， 1 1 2 OGa，3AO ， 即外接球半径3R ，得外接球表面积为 2 412R 故选：A 12 （5 分）已知ABC的三边分别为a，b，c，若满足 222 28abc，则ABC面积的 最大值为( ) A 5 5 B 2 5 5 C 3 5 5 D 5 3 【解答】解：由三角形面积公式可得： 1 sin 2 SabC， 第 11 页（共 20 页） 可得： 222 2222222 11 (1 cos)1 () 442 abc Sa bCa b ab ， 222 28abc， 222 82
23、abc，可得： 222 822abcab，解得： 2 4abc，当且仅当ab时等号 成立， 222 2222 1 1() 42 abc Sa b ab 2 222 183 1() 42 c a b ab 2 2 22 1(83) 416 c a b 2 2 2 2 1(83) (4) 416 c c 4 2 5 16 c c 22 458 () 5165 c，当且仅当ab时等号成立， 当 2 8 5 c 时， 4 2 5 16 c c取得最大值 4 5 ，S的最大值为 2 5 5 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）分，将答案填在答题
24、卡上） 13 （5 分）函数( )cos22cosf xxx的最大值为 3 【解答】解：函数 22 13 ( )cos22cos2cos2cos12(cos) 22 f xxxxxx ， 当cos1x 时，函数( )f x取得最大值， 93 ( )( 1)3 22 max f xf， 故答案为：3 14 （5 分）若非零向量( )f x满足 2 2 | 3 ab，且()(32 )abab，则a与b的夹角为 4 【解答】解：根据条件， 22222 82 2 () (32 )3|cos,2cos,20 33 ababaa ba bbbba bb ； 82 2 cos,20 33 a b ； 2 c
25、os, 2 a b； 第 12 页（共 20 页） a与b的夹角为 4 故答案为： 4 15 （5 分）若曲线ylnx在点(1,0)的切线与曲线 2 17 ( ) 22 g xxmx也相切，则m 2 或 4 【解答】解：ylnx的导数为 1 y x ， 可得曲线ylnx在点(1,0)的切线斜率为 1，切线的方程为1yx， 联立 2 1 17 22 yx yxmx ，可得 2 (22)90 xmx， 由切线与曲线 2 17 ( ) 22 g xxmx也相切， 可得 2 (22)4 90m ， 解得4m 或2 故答案为：2或 4 16 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，M、N、P
26、、Q分别是AB、 1 AA、 11 C D、 1 CC 的中点，给出以下四个结论： 1 ACMN； 1/ / AC平面MNPQ； 1 AC与PM相交； 1 NC与PM异面其中正确结论的序号是 【解答】解：在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 ADAD， CD 面1 1AA D D，1AD 面1 1AA D D， 1 CDAD， 1 AD面 1 ACD， 11 ACAD M，N分别是 1 AA， 11 AD的中点， 1/ / ADMN，即 1 ACMN，故正确； 由于M、N、P、Q分别是AB、 1 AA、 11 C D、 1 CC的中点， 则 1 AC与PM相交，故不正确，正确； N
27、 面 11 ACC A，而M，P，C面 11 ACC A，NC与PM异面，故正确； 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，首项 1 1a ，且 1 S， 2 S， 4 S成等比数列 （1）求 n a的通项公式； 第 13 页（共 20 页） （2） 若数列 n a是单调数列， 数列 n b满足 2 log nn bS ， 记数列 nn a b的前n项和为 n T， 求证：3 n T 【解答】 （1）解：
28、设等差数列 n a的公差为d， 1 1a ，且 1 S， 2 S， 4 S成等比数列， 2 214 SS S，即 2 43 (2)4 2 d d ，即 2 20dd，解得：0d 或 2， 1 n a或12(1)21 n ann ，即1 n a 或21 n an； （2）证明：数列 n a是单调数列， 21 n an， 2 (121) 2 n nn Sn ， 又 2 log nn bSn ， 2 n n b ， 21 2 nn n n a b ， 23 13521 2222 n n n T ， 又 231 1132321 22222 n nn nn T ， 两式相减得： 1 2311 11 (1
29、) 1111121121 22 2() 1 22222222 1 2 n n nnn nn T ， 整理得： 23 3 2 n n n T ， 3 n T 18 （12 分）如图，在平面五边形ABCDE中，/ /ABCE，且2AE ，60AEC， 7CDED， 5 cos 7 EDC，将CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且3AP ， 得到如图 2 所示的四棱锥PABCE （1）求证：AP 平面ABCE； 第 14 页（共 20 页） （2）求平面PAB与平面PCE所成锐二面角的大小 【解答】 （1）证明：在CDE中，因为7CDED， 5 cos 7 EDC， 由余弦定理可得 22 5 2co
30、s772772 7 CECDEDCD EDEDC， 连结AC，因为2AECE，60AEC，所以2AC ， 又因为3AP ，故在PAE中， 222 APAEPE， 所以APAE，同理可证APAC，因为ACAEA，AE，AC 平面ABCE， 所以AP 平面ABCE； （2） 解： 以A为坐标原点，AB，AP所在直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 则(0,0, 3),(1, 3,0), ( 1,3,0)PCE ， 平面PAB的一个法向量为(0,1,0)m ， 设平面PCE的法向量为( , , )nx y z， 因为(1, 3,3),( 2,0,0)PCCE ， 所以 0 0 n PC n
31、CE ，即 330 20 xyz x ， 令1y ，则1z ，故(0,1,1)n ， 所以 |12 |cos,| |22 1 n m n m n m ， 故平面PAB与平面PCE所成锐二面角的大小为45 19 （12 分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量( )y g与尺寸 ()x mm之间近似满足关系式( b yc x b ，c为大于 0 的常数） 按照某项指标测定，当产品 第 15 页（共 20 页） 质量与尺寸的比在区间(9 e ，)(0.302 7 e ，0.388)内时为优等品 现随机抽取 6 件合格产品， 测得数据如下： 尺寸()x mm 38 48 58
32、68 78 88 质量( )y g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸 的比 y x 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 （1） 现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件， 记为取到优等品的件数， 试求随机变量的 期望； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表： 6 1 () ii i lnxlny 6 1 () i i lnx 6 1 () i i lny 6 2 1 () i i lnx 75.3 24.6 18.3 101.4 （）根据所给统计量，求y关于x的回归方程； （）已知优等品的收益z（单位：千元
33、）与x，y的关系为20.32zyx，则当优等品的 尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？ 附：对于样本( i v，)(1 i ui ，2，)n，其回归直线ub va的斜率和截距的最小二乘 估计公式分别为： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii vv uuvunvu b vvvnv ， a ubv，2.7182e 【解答】解： （1）由表可知，抽取的 6 件合格产品中有 3 件优等品， 的所有可能取值为 0，1，2，3， 3 3 3 6 1 (0) 20 C P C ， 12 33 3 6 9 (1) 20 C C P C ， 21 33 3 6 9 (2)
34、20 C C P C ， 3 3 3 6 1 (3) 20 C P C ， 随机变量的期望为 19913 ( )0123 202020202 E （2） （） b yc x ，lnylncblnx， 6 1 ()24.6 i i lnx ， 6 1 ()18.3 i i lny ， 6 1 1 ()4.1 6 i i lnxlnx ， 6 1 1 ()3.05 6 i i lnylny ， 第 16 页（共 20 页） 6 1 62 22 1 ()6 75.364.1 3.05 0.5 101.464 1 ()6() ii i i i lnx lnylnxlny b lnxlnx ， 3.05
35、0.5 4.1 1alnyblnx， 10.5lnylnx ， 故y关于x的回归方程为 0.5 y ex （）由( ) i知， 0.5 y ex， 2 0.52 20.3220.320.32() 0.320.32 ee zyxexxx ， 当 0.32 e x ，即 2 ()72 0.32 e x 时， z 取得最大值， 故当优等品的尺寸x为72mm时，收益z的预报值最大 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ，点E，F分别为其下顶点 和右焦点，坐标原点为O，且EOF的面积为2 （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线l，使得l与椭圆C相
36、交于A，B两点，且点F恰为EAB的垂心？若存 在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）由题可知 222 3 3 1 2 2 c a bc abc ， 解得 6 2 2 a b c ， 所以椭圆C的方程为 22 1 64 xy 第 17 页（共 20 页） （2）假设满足条件的直线l存在，由(0, 2)E，( 2F，0)， 所以2 EF k， 因为点F为EAB的垂心， 所以ABEF， 所以 2 2 AB k ， 设直线l的方程为 2 2 yxt ，代入 22 1 64 xy ， 得 22 76 26(4)0 xtxt，(*)， 222 ( 6 2 )4 76(4)96672
37、0ttt ，即77t ， 记 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 2 12 6 2 7 6(4) 7 t xx t x x ， 由AFBE，得 12 2 1 2 1 2 yy xx ， 所以 121122 220y yyx xx， 将 11 2 2 yxt ， 22 2 2 yxt 代入上式， 得 2 1212 32(2)()(24 )0 x xtxxtt， 所以 2 2 6(4)6 2 32(2)(24 )0 77 tt ttt ， 所以 2 5180tt ， 解得 9 (2 5 tt 舍去） ， 代入(*)满足0， 所以直线l的方程为 29 25 yx 21
38、（12 分）已知函数 1 ( ) lnx f x xx （1）若1x时，( ) 1 m f x x ，求实数m的取值范围； （2）求证：(Tex translation failed) 第 18 页（共 20 页） 【解答】解： （1）不等式( ) 1 m f x x ，即为 (1)(1)xlnx m x ， 记 (1)(1) ( ) xlnx g x x ，故 22 (1)(1)(1)(1) ( ) xlnx xxlnxxlnx g x xx ， 令( )h xxlnx，则 1 ( )1h x x ， 1x，( ) 0h x ，( )h x在1，)单调递增， 故( )minh xh（1）10
39、 ，故( )0g x， 故( )g x在1，)上单调递增， 故( )ming xg（1）2，故2m； （2）由（1）知： 2 ( ) 1 f x x 恒成立， 即 122 11 12 x lnx xxx ， 令(1)xn n，则 2 (1)1 (1) ln n n n n ， 故 2 (1 2)1 1 2 ln ， 2 (23)1 23 ln ， 2 (34)1 34 ln ， 2 (1)1 (1) ln n n n n ， 累加得：(Tex translation failed)， 故(Tex translation failed) 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22
40、、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计 分作答时，用分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选题目对应的题号后的方框涂黑选修选修 4-4：极坐：极坐 标与参数方程标与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2sin2cos ( 2sin2cos x y 为参 数） 经过伸缩变换 2 2 : 1 2 xx yy 后，曲线 1 C变为曲线 2 C （1）求曲线 1 C和曲线 2 C的普通方程； （2）已知点P是曲线 2 C上的任意一点，曲线 1 C与x轴和y轴正半轴
41、的交点分别为A，B， 试求PAB面积的最大值和此时点P的坐标 【解答】解： （1）由题设知：曲线 1 C的参数方程为 22 22 xsincos ysincos ， 第 19 页（共 20 页） 由 22得：22 4xy， 经过伸缩变换 2 2 : 1 2 xx yy 后，曲线 1 C变为曲线 2 C， 所以 22 ( 2 )(2 )4xy， 整理得 2 2 1 2 x y ，即： 2 2 1 2 x y （2）曲线 1 C与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B，即 22 4xy与x轴的正半轴的交 点坐标为(2,0)A，与y轴的正半轴交点的坐标为(0,2)B， 所以直线AB的方程为20 xy 所
42、以：直线AB的斜率为1， 直线AB的垂直平分线的斜率为1k ， 点A和B的中点为 20 20 (,) 22 ，即(1,1) 所以l的方程为yx， 所以 2 2 1 2 x y yx ，解得 6 3 6 3 x y ， 故 66 (,) 33 P， 点 66 (,) 33 P到直线的距离 66 |2| 3 22 3 33 32 d ， 所以 162 6 | 23 PAB SAB d 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2|f xxxa （1）当1a 时，画出( )yf x的图象； （2）若关于x的不等式( ) 3f xa有解，求a的取值范围 【解答】解： （1）1a 时， 1,2 ( ) |2|1|23, 21 1,1 x f xxxxx x ， 其图像为： 第 20 页（共 20 页） （2）若关于x的不等式( ) 3f xa有解，即( )3 max f xa， ( ) |2|2| |2|f xxxaxxaa， |2|3aa，23aa 或23aa， 故 1 2 a或1a，故 1 2 a， 故a的取值范围是(， 1 2
