2021年江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高考数学第二次调研试卷（二模）.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2021 年江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、年江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、 宿迁）高考数学第二次调研试卷（二模）宿迁）高考数学第二次调研试卷（二模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）设集合M，N，P均为R的非空真子集，且MNR，MNP，则 ()( R MP ) AM BN C RM D RN 2 （5 分）已知xR，则“34x 剟”是“ 2

2、 (2) 1lg xx”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 3 （5 分）欧拉恒等式：10 i e 被数学家们惊叹为“上帝创造的等式” 该等式将数学中 几个重要的数：自然对数的底数e、圆周率、虚数单位i、自然数 1 和 0 完美地结合在一 起，它是在欧拉公式：cossin () i eiR 中，令得到的根据欧拉公式， 2i e在 复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4 （5 分） “帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“惺帐” 如图是的一种幄帐示意图，帐顶 采用“五脊四坡式” ，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底

3、面若各斜坡面与底面所成 二面角的正切值均为 1 2 ， 底面矩形的长与宽之比为5:3， 则正脊与斜脊长度的比值为( ) A 3 5 B 8 9 C 9 10 D1 5 （5 分）已知a，b，c均为单位向量，且22abc，则(a c ) A 1 2 B 1 4 C 1 4 D 1 2 6 （5 分）函数 2 ( )sin cos3cosf xxxx的图象的一条对称轴为( ) 第 2 页（共 21 页） A 12 x B 6 x C 3 x D 2 x 7 （5 分） 某班 45 名学生参加 “3 12” 植树节活动， 每位学生都参加除草、 植树两项劳动 依 据劳动表现，评定为“优秀” 、 “合格

4、”2 个等级，结果如表： 等级 项目 优秀 合格 合计 除草 30 15 45 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多有 10 人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为( ) A5 B10 C15 D20 8 （5 分）若1alnablnbclnc，则( ) A b cc aa b elnaelnbelnc B c ab ca b elnbelnaelnc C a bc ab c elncelnbelna D a bb cc a elncelnaelnb 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有

5、多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知数列 n a是等比数列，下列结论正确的为( ) A若 12 0a a ，则 23 0a a B若 13 0aa，则 12 0aa C若 21 0aa，则 132 2aaa D若 12 0a a ，则 2123 ()()0aaaa 10 （5 分）已知函数 2 ( )|()f xxaaR，则( )yf x的大致图象可能为( ) A B C D 第 3 页（共 21 页） 11 （5 分） “杨辉三角”是

6、中国古代数学杰出的研究成果之一如图所示，由杨辉三角的左 腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8， 13，则( ) A在第 9 条斜线上，各数之和为 55 B在第(5)n n条斜线上，各数自左往右先增大后减小 C在第n条斜线上，共有 21 ( 1) 4 n n 个数 D在第 11 条斜线上，最大的数是 3 7 C 12 （5 分）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(AB A为塔顶，B为塔底）的高度， 选取与B在同一水平面内的两点C与(D B，C，D不在同一直线上） ，测得CDs测绘 兴趣小组利用测角仪可测得的角有：ACB，ACD，BCD，ADB，

7、ADC，BDC， 则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( ) As，ACB，BCD，BDC Bs，ACB，BCD，ACD Cs，ACB，ACD，ADC Ds，ACB，BCD，ADC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知随机变量 2 (2,)XN，(0)0.9P X ，则(24)PX 14 （5 分）能使“函数( )|1|f xx x在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的 集合为0，2 ”是真命题的一个区间I为 第 4 页（共 21 页） 15 （5 分）已知椭圆 22 1 22 :1(0

8、) xy Cab ab 的右顶点为P，右焦点F与抛物线 2 C的焦点 重合， 2 C的顶点与 1 C的中心O重合若 1 C与 2 C相交于点A，B，且四边形OAPB为菱形， 则 1 C的离心率为 16 （5 分）在三棱锥PABC中，ABBC，8AC ，点P到底面ABC的距离为 7若点 P，A，B，C均在一个半径为 5 的球面上，则 222 PAPBPC的最小值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，5bc，si

9、n1cA ， 点D是AC中点，BDAB，求c和ABC 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 4 nn Sa ，*nN，且 1 4a （1）证明： 1 2 nn aa 是等比数列，并求 n a的通项公式； （2）在 1nnn baa ； 2 log n n a b n ； 2 1 n n nn a b aa 这三个条件中任选一个补充在下面横 线上，并加以解答 已知数列 n b满足_，求 n b的前n项和 n T 19（12 分） 如图， 在三棱台 111 ABCABC中， 1 ACAB，O是BC的中点， 1 AO 平面ABC （1）求证：ACBC； （2）若 1 1AO

10、，2 3AC ， 11 2BCAB，求二面角 1 BBCA的大小 20 （12 分）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5 局 3 胜制” （即有一支球队先胜 3 局即获胜，比赛结束） 比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜 的球队积 3 分， 负队积 0 分； 以3:2取胜的球队积 2 分， 负队积 1 分， 已知甲、 乙两队比赛， 甲每局获胜的概率为 2 3 （1）甲、乙两队比赛 1 场后，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （2）甲、乙两队比赛 2 场后，求两队积分相等的概率 第 5 页（共 21 页） 21 （12 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0

11、) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点(3,1 )P在 C上，且 12 | | 10PFPF （1）求C的方程； （2）斜率为3的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D若直线PA， PD的斜率存在且分别为 1 k， 2 k，证明： 12 kk为定值 22 （12 分）已知函数( )(1)() ax f xelnxaR，( )fx为( )f x的导数 （1）设函数 ( ) ( ) ax fx g x e ，求( )g x的单调区间； （2）若( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()xxx， 求实数a的取值范围； 证明：当 3 2 2ae时， 12 1

12、2 ( )()f xf x xx 第 6 页（共 21 页） 2021 年江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、年江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、 宿迁）高考数学第二次调研试卷（二模）宿迁）高考数学第二次调研试卷（二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）设集合M，N，P均为R的非空真子集，且MNR，MNP，则 ()( R MP ) AM B

13、N C RM D RN 【解答】解：集合M，N，P均为R的非空真子集，且MNR，MNP，如图所 示： 所以() RR MPN痧 故选：D 2 （5 分）已知xR，则“34x 剟”是“ 2 (2) 1lg xx”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：因为 2 (2) 110lg xxlg，所以 2 02 10 xx ， 解得31x或24x ， 因为“34x 剟”不能推出“31x或24x ” ，不符合充分性， 而“31x或24x ”能推出“34x 剟”满足必要性， 所以“34x 剟”是“ 2 (2) 1lg xx”的必要不充分条件 故选：B

14、3 （5 分）欧拉恒等式：10 i e 被数学家们惊叹为“上帝创造的等式” 该等式将数学中 几个重要的数：自然对数的底数e、圆周率、虚数单位i、自然数 1 和 0 完美地结合在一 起，它是在欧拉公式：cossin () i eiR 中，令得到的根据欧拉公式， 2i e在 第 7 页（共 21 页） 复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：欧拉公式：cossin () i eiR 中 根据欧拉公式， 2 cos2sin2 i ei，因为cos20，sin20， 所以 2i e在复平面内对应的点在第二象限， 故选：B 4 （5 分） “帷幄”是古代打仗

15、必备的帐篷，又称“惺帐” 如图是的一种幄帐示意图，帐顶 采用“五脊四坡式” ，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面若各斜坡面与底面所成 二面角的正切值均为 1 2 ， 底面矩形的长与宽之比为5:3， 则正脊与斜脊长度的比值为( ) A 3 5 B 8 9 C 9 10 D1 【解答】解：设正脊长为a，斜脊长为b，底面矩形的长与宽分别为5t和3t， 如图过S作SO 上底平面于O，过O作OEAE于E，作OFAF于F， 连接SE、SF，由题意知 1 tantan 2 SEOSFO， 222 5 () 2 ta SEb ， 222 3 () 2 t SFb，所以 53 22 tat ，于是2at，

16、222 3339 ()()() 2244 tttt b ，所以 28 9 9 4 at t b ， 故选：B 第 8 页（共 21 页） 5 （5 分）已知a，b，c均为单位向量，且22abc，则(a c ) A 1 2 B 1 4 C 1 4 D 1 2 【解答】解：a，b，c均为单位向量，且22abc， 22acb 222 44414cosaa ccba ，44cosca ， 1 4 c ， 则 11 1 1 44 a c ， 故选：C 6 （5 分）函数 2 ( )sin cos3cosf xxxx的图象的一条对称轴为( ) A 12 x B 6 x C 3 x D 2 x 【解答】解：

17、 2 11cos21333 ()sincos3cossin23sin2cos2sin(2) 2222232 x fxxxxxxxx ， 令2 32 xk 得 122 k x ，kZ， 当0k 时， 12 x ，A符合题意，B，C，D不符合题意 故选：A 7 （5 分） 某班 45 名学生参加 “3 12” 植树节活动， 每位学生都参加除草、 植树两项劳动 依 据劳动表现，评定为“优秀” 、 “合格”2 个等级，结果如表： 等级 项目 优秀 合格 合计 除草 30 15 45 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多有 10 人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为( ) A5

18、 B10 C15 D20 【解答】解：设都合格的人数为a，除草合格植树优秀的人数为b， 除草优秀植树合格的人数为c，除草与植树都优秀的人数为d， 第 9 页（共 21 页） 则 15 30 25 20 ab cd ac bd ， 在两个项目中都“合格”的学生最多有 10 人， 3030(25)515dcaa 在两个项目中都“优秀”的人数最多为 15 人 故选：C 8 （5 分）若1alnablnbclnc，则( ) A b cc aa b elnaelnbelnc B c ab ca b elnbelnaelnc C a bc ab c elncelnbelna D a bb cc a eln

19、celnaelnb 【解答】解：设( )g xxlnx，( )1g xlnx，令( )10g xlnx ， 1 x e ， 1x ，( )g x递增函数， 设( ) x lnx f x e ， 2 11 1 ( ) xx xxx eelnxlnx xlnx xx fx eexe ， 1clnc ，当x c时，1xlnx，( ) 0fx ， ( )f x在1，)上单调递减， 1alnablnbclnc，1abc， f（a）f（b）f（c） ， abc l n a l n b l n c eee ， ab e lnbe lna， ac e lnce lna， bc e lnce lnb， a cb

20、 c elnbelna ， a bb c elncelna ， a ba c elncelnb ， a ba cb c elncelnbelna ， 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知数列 n a是等比数列，下列结论正确的为( ) A若 12 0a a ，则 23 0a a B若 13 0aa，则 12 0

21、aa C若 21 0aa，则 132 2aaa 第 10 页（共 21 页） D若 12 0a a ，则 2123 ()()0aaaa 【解答】解：数列 n a是等比数列， 对于A， 12 0a a ，即 2 1 0a q ，可得0q ，则 23 231 0a aa q，故A正确； 对于B， 2 131(1 )0aaaq， 可得 1 0a ， 由于 121(1 )aaaq， 当1q 时， 12 0aa， 当1q时， 12 0aa，故B不正确； 对于C， 21 0aa，可得1q ，所以 22 13211 2(1 2)(1)0aaaaqqaq，故 132 2aaa，C正确； 对于D，由 12 0a

22、 a ，可得 2 1 0a q，可得0q ，所以 2222 212311 ()()(1)()(1)0aaaaa qqqa q q，故D不正确 故选：AC 10 （5 分）已知函数 2 ( )|()f xxaaR，则( )yf x的大致图象可能为( ) A B C D 【解答】解：当0a 时，( ) |f xx，则A符合，C不符合； 当0a 时， 222 ( ) |fxxay， 若 2 xa，即xa或xa时，则 22 yxa，即 22 xya，则其图象为双曲线在x轴 上方的部分， 若 2 xa，即axa 时，则 22 yxa，即 22 xya，则其图象为圆在x轴上方 的部分，故B符合； 当0a

23、时， 222 ( )fxxay， 即 22 yxa， 其图象表示为双曲线的上支， 故D符合 故选：ABD 第 11 页（共 21 页） 11 （5 分） “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一如图所示，由杨辉三角的左 腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8， 13，则( ) A在第 9 条斜线上，各数之和为 55 B在第(5)n n条斜线上，各数自左往右先增大后减小 C在第n条斜线上，共有 21 ( 1) 4 n n 个数 D在第 11 条斜线上，最大的数是 3 7 C 【解答】解：由题意，根据杨辉三角定义继续往下写三行有： 1 7 21 3

24、5 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 A：由图知，第九条斜线上，各数之和为1 10157134 ，A 错误 B：由定义及图中规律可知，都是从左向右先增后减，B正确 C：由图，每条斜线个数为 1，1，2，2，3，3，代入 21 ( 1) 4 n n 符合，C正确 D：第 11 条斜线上最大数为 3 7 35C，D正确 故选：BCD 12 （5 分）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(AB A为塔顶，B为塔底）的高度， 选取与B在同一水平面内的两点C与(D B，C，D不在同一直线上） ，测得CDs测绘 兴趣

25、小组利用测角仪可测得的角有：ACB，ACD，BCD，ADB，ADC，BDC， 则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( ) 第 12 页（共 21 页） As，ACB，BCD，BDC Bs，ACB，BCD，ACD Cs，ACB，ACD，ADC Ds，ACB，BCD，ADC 【解答】解：对于A，已知s，ACB，BCD，BDC， 在BCD中，利用三角形内角和为180可求得CBDBDCBCD， 利用正弦定理 sinsin CDBC CBDBCD ，可求得BC， 在ABC中，ABBC，由tan AB ACB BC ，即可求AB； 对于B，在BCD中，已知一边CD，一角BCD，无法求解三角形

26、， 在ABC中，已知两角90ABC，ACB，无法求解三角形， 在ACD中，已知一边CD，一角ACD，无法求解三角形； 对于C，在ACD中，已知一边CD，两角ACD，ADC， 由三角形内角和可求得CAD，由正弦定理可求得AC， 在ABC中， 已知两角ACB，90ABC， 一边AC， 利用sin AB ACB AC ， 可求得AB； 对于D，在ABC中，已知两角90ABC，ACB， 由tan AB ACB BC ，可用AB表示BC，由sin AB ACB AC ，可用AB表示AC， 在ACD中，已知ADC，边CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD， 在Rt ABD中，利用勾股定理可用AB

27、表示BD， 在BCD中，已知BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC， 利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知随机变量 2 (2,)XN，(0)0.9P X ，则(24)PX 0.4 【解答】解：因为随机变量X服从正态分布(2N， 2)( 0)，且(0)0.9P X ， 第 13 页（共 21 页） 所以该正态分布曲线的对称轴为2x ，故(2)(2)0.5P XP X， 所以(24)(02)(0)(2)0.90.50.4PXPXP XP X剟 故答案

28、为：0.4 14 （5 分）能使“函数( )|1|f xx x在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的 集合为0，2 ”是真命题的一个区间I为 1 2 ，2 【解答】解： (1),1 ( )|1| (1),1 x xx f xx x xx x ， 其图像如图所示， 易得 11 ( ) 24 f，f（1）0，f（2）2， 结合图像可知，函数在区间 1 ,2 2 上符合条件 故答案为： 1 ,2 2 15 （5 分）已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为P，右焦点F与抛物线 2 C的焦点 重合， 2 C的顶点与 1 C的中心O重合若 1 C与 2 C相交于点A，

29、B，且四边形OAPB为菱形， 则 1 C的离心率为 1 3 【解答】解：由题意设抛物线的方程为 2 2ypx，焦点F坐标( 2 p ，0)， 由题意可得 2 p c， 由四边形OAPB为菱形可得AB与OP互相垂直平分，设A在x轴上方， 所以可得( 2 a A，2) 2 a p，即( 2 a ，2)ac， 第 14 页（共 21 页） 代入椭圆的方程为： 2 22 ( ) 2 2 1 a ac ab ，而 222 bac， 整理可得： 2 3830ee，解得 1 3 e ， 故答案为： 1 3 16 （5 分）在三棱锥PABC中，ABBC，8AC ，点P到底面ABC的距离为 7若点 P，A，B，

30、C均在一个半径为 5 的球面上，则 222 PAPBPC的最小值为 198 【解答】解：ABC的外接圆的圆心为AC的中点 1 O，点P到底面ABC的距离为 7， 设P所在截面圆的圆心为 2 O，此截面与平面ABC平行，球心O在 12 O O上， 2222 1 543OOROC， 2121 734OOOOOO， 则 22 22 3rO PROO 设P在平面ABC上的射影为Q，则Q在以 1 O为圆心，3 为半径的圆上， PQ 平面ABC，PQ与平面ABC内所有直线垂直，7PQ ， 222222222222 147PAPBPCPQQAPQQBPQQCQAQBQC 而 222222 111111 ()

31、()()QAQBQCQOO AQOO BQOOC 2222 1111111111 3222QOO AOBOCQO O AQO OBQO OC 11111 271616162()2QOO AOCQO O B 11 752QO O B 当 1 QO， 1 O B反向时， 11 QO O B取得最小值为12 222 PAPBPC的最小值为147752 12198 故答案为：198 第 15 页（共 21 页） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在ABC中，角A，

32、B，C所对边分别为a，b，c，5bc，sin1cA ， 点D是AC中点，BDAB，求c和ABC 【解答】解：Rt ABD中， 22 2222 44 bc BDADABc， 所以 2 c BD ， 所以 5 sin 5 BD A AD ， 又因为sin1cA ， 所以5c ， 由55bcc， 因为 5 sin 5 A，A为锐角， 所以 2 52 5 cos1() 55 A ， ABC中，由余弦定理得 22 2 5 5( 5)25510 5 a ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，即 510 sin5 5 ABC ， 所以 2 sin 2 ABC， 因为(, ) 2 ABC ， 所以 3

33、4 ABC 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 4 nn Sa ，*nN，且 1 4a （1）证明： 1 2 nn aa 是等比数列，并求 n a的通项公式； 第 16 页（共 21 页） （2）在 1nnn baa ； 2 log n n a b n ； 2 1 n n nn a b aa 这三个条件中任选一个补充在下面横 线上，并加以解答 已知数列 n b满足_，求 n b的前n项和 n T 【解答】 （1）证明： 1 4 nn Sa ， 1 4(2) nn San ， 两式相减得： 11 44 nnn aaa ，即 11 22(2) nnnn aaaa ，2n，

34、 又当1n 时，有 21 4Sa， 1 4a ， 2 12a， 21 24aa， 数列： 1 2 nn aa 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， 11 1 24 22 nn nn aa ，两边除以 1 2n得： 1 1 1 22 nn nn aa ， 又 1 1 2 2 a ， 数列 2 n n a 是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 211 2 n n a nn ， (1) 2n n an； （2）解：若选： 1 1 (2) 2(1) 2(3) 2 nnn nnn baannn ， 123 4 25 26 2(3) 2n n Tn ， 又 231 24 25 2(2) 2(3) 2

35、nn n Tnn ， 两式相减得： 21 2311 2 (12) 8222(3) 28(3) 2 12 n nnn n Tnn ， 整理得： 1 (2) 24 n n Tn 若选： 2222 (1)2 logloglog (1)log n n n an bnnn nn ， 2222222 (1) (log 2log 1)(log 3log 2)log (1)log(12)log (1) 2 n nn Tnnnn 若选： 21 111 4411 4() nnn n nnnnnn aaa b aaaaaa ， 第 17 页（共 21 页） 11 1223111 11111111111 4()4()

36、41 4(2)2(2)2 n nn nnn T aaaaaaaann 19（12 分） 如图， 在三棱台 111 ABCABC中， 1 ACAB，O是BC的中点， 1 AO 平面ABC （1）求证：ACBC； （2）若 1 1AO ，2 3AC ， 11 2BCAB，求二面角 1 BBCA的大小 【解答】 （1）证明：因为 1 AO 平面ABC，AC 平面ABC，所以 1 AOAC， 又因为 1 ACAB， 111 ABAOA， 1 A B 平面 1 A BO， 1 AO 平面 1 A BO， 所以AC 平面 1 A BO，又因为BC 平面 1 A BO， 所以ACBC； （2）解：以O为坐标

37、原点，与CA平行的直线为x轴，OB所在直线为y轴， 1 OA所在直线 为z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则 1 (0,0,0), (2 3, 1,0), (0,1,0),(0,0,1)OABA， 所以 1 (0,1,0),( 2 3,2,0),(0,0,1)OBABOA ， 于是4AB ，因为 111 ABCABC是三棱台，所以 11 / /ABAB， 又因为 11 2A B ，所以 11 1 (3,1,0) 2 ABAB ， 所以 1111 (3,1,1)OBOAAB ， 设平面 11 BBC C的法向量为( , , )nx y z， 则 1 0 0 n OB n OB ，即 0 30

38、y xyz ， 令1x ，则0y ，3z ，故(1,0, 3)n ， 因为 1 OA 平面ABC，所以平面ABC的法向量为 1 (0,0,1)OA ， 第 18 页（共 21 页） 所以 1 1 222222 1 1 0003 13 cos, 2| 10( 3)001 n OA n OA n OA ， 因为二面角 1 BBCA为钝二面角， 所以二面角 1 BBCA的大小为 5 6 20 （12 分）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5 局 3 胜制” （即有一支球队先胜 3 局即获胜，比赛结束） 比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜 的球队积 3 分， 负队积 0

39、 分； 以3:2取胜的球队积 2 分， 负队积 1 分， 已知甲、 乙两队比赛， 甲每局获胜的概率为 2 3 （1）甲、乙两队比赛 1 场后，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （2）甲、乙两队比赛 2 场后，求两队积分相等的概率 【解答】解： （1）随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3， 312 3 12111 (0)( )( ) 33339 P XC， 222 4 2118 (1)( )( ) 33381 P XC， 222 4 21216 (2)( )( ) 33381 P XC， 223 3 21 2216 (3)( )( ) 33 3327 P XC， 所以X的分布列为 X

40、 0 1 2 3 P 1 9 8 81 16 81 16 27 所以数学期望 181616184 ()0123 981812781 E X （2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A， 第 19 页（共 21 页） 设第i场甲、乙两队积分分别为 i X， i Y，则3 ii XY，1i ，2， 因两队积分相等，所以 1212 XXYY，即 1212 (3)(3)XXXX，则 12 3XX， 所以P（A） 12121212 (0) (3)(1) (2)(2) (1)(3) (0)P XP XP XP XP XP XP XP X 1168161681611120 9278181818127

41、96561 21 （12 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点(3,1 )P在 C上，且 12 | | 10PFPF （1）求C的方程； （2）斜率为3的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D若直线PA， PD的斜率存在且分别为 1 k， 2 k，证明： 12 kk为定值 【解答】解： （1）设 1( ,0)Fc， 2( F c，0)(0)c ，其中 22 cab， 因为 12 | | 10PFPF，所以 22 (3)1(3)110cc ，解得4c ， 所以 22 2(34)1(34)14 2a ，解得2 2a ，

42、 所以 222 8bca， 所以双曲线C的方程为 22 1 88 xy ； （2）证明：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 (Dx， 2) y， 设直线l的方程为3yxm ， 与双曲线的方程联立， 消去y， 可得， 22 8680 xmxm， 由 22 ( 6 )32(8)0mm ，可得| 8m ， 12 3 4 m xx， 2 12 8 8 m x x ， 所以 1212 ( 3)( 3)y yxmxm 22 22 1212 83 93 ()939 848 mmm x xm xxmmm ， 所以 2 12 121212 12 2 121212 12 83() 1

43、11 8 1 33339 83() 8 m xx yyy yyy k k mxxx xxx xx ， 所以 12 kk为定值1 22 （12 分）已知函数( )(1)() ax f xelnxaR，( )fx为( )f x的导数 （1）设函数 ( ) ( ) ax fx g x e ，求( )g x的单调区间； 第 20 页（共 21 页） （2）若( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()xxx， 求实数a的取值范围； 证明：当 3 2 2ae时， 12 12 ( )()f xf x xx 【解答】解： （1）( )f x的定义域是(0,)， ( )1 ( ) ax fx g xaln

44、xa ex ，则 2 1 ( ) ax g x x ， 当0a时，( )0g x在(0,)x上恒成立，( )g x单调递减， 当0a 时，令( )0g x，解得： 1 x a ， 故 1 (0,)x a 时，( )0g x，( )g x递减， 当 1 (x a ，)时，( )0g x，( )g x递增， 综上：当0a时，( )g x在(0,)递减，误递增区间， 当0a 时， 1 ( )2g xgalna a 极小值 ； （2）( )f x有 2 个极值点，( )g x有 2 个零点， 由（1）得：0a时不合题意， 当0a 时， 1 ( )2g xgalna a 极小值 ， ( ) i当 2 0

45、ae时， 1 ( )( )0g xg a ，( )g x没有零点，不合题意， ( )ii当 2 ae时， 1 ( )0g a ，( )g x有 1 个零点 1 a ，不合题意， ()iii当 2 ae时， 1 ( )0g a ， 2 1 ()(12)ga alna a ，设（a）12alna ， 2 ae，则（a） 2 10 a ， 故（a） 22 ()30ee ，即 2 1 ()0g a ， 故存在 1 2 1 (x a ， 1) a ，使得 1 ()0g x，又 1 ( )0ge e ， 故存在 2 1 (x a ， 1) e ，使得 2 ()0g x， x，( )fx，( )f x的变化

46、如下： x 1 (0,)x 1 x 1 (x， 2) x 2 x 2 (x，) ( )fx 0 0 第 21 页（共 21 页） ( )f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 故当 2 ae时，( )f x有 2 个极值点， 综上：a的取值范围是 2 (e，)； 3 2 2ae， 232 ( )()0 2 galn aa ， 12 2 112 xx aaa ， 1 x， 2 x是 1 ( )g xalnxa x 的两个零点， 1 1 1 1lnx ax ， 2 2 1 1lnx ax ， 11 11 2 111 ( )(1) axax f xelnxe xxax ， 22 22 2 222 ()(1) axax f xelnxe xxax ， 记 22 12 ( )() ax e h xx axaa ，则 3 2 () ( )0 ax ex a h x x ， 故( )h x在 2 1 (a， 2) a 上单调递增， 又 12 2 112 xx aaa ， 12 ()()h xh x， 即当 3 2 2ae时， 12 12 ( )()f xf x xx