1、20202020- -20212021 学年高一数学下学期期中学年高一数学下学期期中 模拟试题（三）模拟试题（三） 一选择题一选择题 1已知( 2,1)A ，(3, 2)B两点，且4APPB，则点P的坐标为 A 7 (2, ) 5 B 7 ( ,2) 5 C 7 (2,) 5 D 7 (,2) 5 2设复数z满足(1)1i zi ，则z等于 Ai Bi C2i D2i 3若复数z满足(1)1zii ，i为虚数单位，则 2019 z A2i Bi Ci D2i 4设复数 2021 1 2 i z i ，则z的虚部是 A 3 5 B 3 5 i C 1 5 D 1 5 i 5若单位向量a，b满足|
2、2| 2 2ab，则向量a，b夹角的余弦值为 A 3 4 B 3 5 C 3 4 D 3 5 6 已知矩形 ABCD 中，3AB，4AD ，E为 AB 上的点， 且2BEEA，F为 BC 的中点， 则AF DE A2 B5 C6 D8 7已知a，b是两条直线，是三个平面，则下列命题正确的是 A若/ /a，/ /b，/ /ab，则/ / B若，a，则/ /a C若，a，则a D若/ /，/ /a，则/ /a 8在四面体 PABC 中，PAPB，3PAPB，2 3AC ，6BC ，则该四面体外接球的表面积 为 A12 B14 C16 D18 二多选题二多选题 9已知向量(2,1)a ，( 3,1)
3、b ，则 A()/ /aba B向量a在向量b上的投影向量为 1 2 b Ca与()ab的夹角余弦值为 2 5 5 D若 52 5 (,) 55 c ，则ac 10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscosaAbB，且2c ， 3 sin 5 C ， 则ABC的面积为 A3 B 2 3 C 1 3 D6 11如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 4AAAB，2BC ，M，N分别为棱 11 C D， 1 CC的中点， 则下列说法正确的是( ) AA、M、N、B四点共面 B直线BN与 1 B M所成角的为60 C/ /BN平面ADM D平面ADM 平面 11 C
4、DDC 12在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为 AB， 11 AD的中点，则 A 1 BDBC B/ /EF平面 1 DB B C 1 AC 平面 11 B DC D过直线EF且与直线 1 BD平行的平面截该正方体所得截面面积为2 三填空题三填空题 13已知i为虚数单位，若复数 3 () 12 ai zaR i 为纯虚数，则a 14已知向量(2, 1)a ，( 3,)bm ，若/ /ab，则|2 |ab 15已知单位向量a、b的夹角为120，kab与2ab垂直，则k 16直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在球O的球面上，且1ABAC，3BC ，若球O的表
5、面 积为20，则这个三棱柱的体积为 四解答题四解答题 17已知复数z为纯虚数，且 2 1 z i 为实数 （1）求复数z； （2）设mR，若复数 2 ()mz在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围 18已知 22 (815)(56)zmmmmi，其中i是虚数单位，m为实数 （1）当z为纯虚数时，求m的值； （2）当复数z i在复平面内对应的点位于第二象限时，求m的取值范围 19平面内给定两个向量(3,1),( 1,2)ab （1）求|32 |ab； （2）若()/ /(2)akbab，求实数k的值 20如图，在四边形ABCD中，2AB ，1PDDCBC，/ /ABDC，90BCD，F为
6、AB上的点且 1 2 AF ，若PD 平面ABCD，E为PC的中点 （1）求证：/ /EF平面PAD； （2）求四棱锥PABCD的侧面积 21在ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c，且满足 5 cos4 4cos5sinsincos aBbc BABC （1）求cos A； （2）若3a ，求bc的最大值 22如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，2PAAB，2 2PB ，60ABC，且平 面PAC 平面ABCD （1）证明：PA平面ABCD； （2）若M是PC上一点，且BMPC，求三棱锥MBCD的体积 20202020- -20212021 学年高一数学下学期期中学
7、年高一数学下学期期中 模模拟拟试题试题（三）（三） 一选择题一选择题 1已知( 2,1)A ，(3, 2)B两点，且4APPB，则点P的坐标为 A 7 (2, ) 5 B 7 ( ,2) 5 C 7 (2,) 5 D 7 (,2) 5 【答案】C 【解析】设( , )P x y，则(2,1)APxy，(3, 2)PBxy ， 4APPB， (2x，1)4( 3yx ，2)y ，即(2x，1)(124yx，84 )y ， 故 2124 184 xx yy ， 解得2x ， 7 5 y ， 所以 7 (2,) 5 P 故选 C 2设复数z满足(1)1i zi ，则z等于 Ai Bi C2i D2i
8、 【答案】B 【解析】由(1)1i zi ，得 2 22 1(1)(1)122 1(1)(1)112 iiiiii zi iii ， 故选 B 3若复数z满足(1)1zii ，i为虚数单位，则 2019 z A2i Bi Ci D2i 【答案】C 【解析】由(1)1zii ，得 2 1(1) 1(1)(1) ii zi iii ， 201920194 504 3 ziii 故选 C 4设复数 2021 1 2 i z i ，则z的虚部是 A 3 5 B 3 5 i C 1 5 D 1 5 i 【答案】A 【解析】复数 2021 11(1)(2)13 22(2)(2)55 iiii zi iii
9、i ， z的虚部是 3 5 故选 A 5若单位向量a，b满足|2| 2 2ab，则向量a，b夹角的余弦值为 A 3 4 B 3 5 C 3 4 D 3 5 【答案】A 【解析】根据题意，设向量a，b夹角为， 若单位向量a，b满足|2| 2 2ab， 则有 222 (2)4454cos8ababa b ， 则有 3 cos 4 ， 故选 A 6 已知矩形 ABCD 中，3AB，4AD ，E为 AB 上的点， 且2BEEA，F为 BC 的中点， 则AF DE A2 B5 C6 D8 【答案】B 【解析】以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，距离如图所示的直角坐标系， 则(0,0
10、)B，(0,3)A，(4,3)D，(0,2)E，(2,0)F，(2, 3)AF ，( 4, 1)DE ， 则2 ( 4)( 3)( 1)5AF DE 故选 B 7已知a，b是两条直线，是三个平面，则下列命题正确的是 A若/ /a，/ /b，/ /ab，则/ / B若，a，则/ /a C若，a，则a D若/ /，/ /a，则/ /a 【答案】C 【解析】A若/ /a，/ /b，/ /ab，则/ /，不正确，可能相交； B若，a，则/ /a或a，因此不正确； C若，a，则a，正确； 证明：设b，c，取P，过点P分别作mb，nc， 则m，n，ma，na，又mnP，a D若/ /，/ /a，则/ /a
11、或a 故选 C 8在四面体 PABC 中，PAPB，3PAPB，2 3AC ，6BC ，则该四面体外接球的表面积 为 A12 B14 C16 D18 【答案】D 【解析】由PAPB，3PAPB，可知3 2AB 因为2 3AC ，6BC ，所以 222 ABACBC，即ACBC 设AB的中点为O，则 3 2 2 OAOBOCOP， 即四面体的外接球半径为 3 2 2 ，外接球表面积为18 故选 D 二多选题二多选题 9已知向量(2,1)a ，( 3,1)b ，则 A()/ /aba B向量a在向量b上的投影向量为 1 2 b Ca与()ab的夹角余弦值为 2 5 5 D若 52 5 (,) 55
12、 c ，则ac 【答案】BCD 【解析】对于A，向量(2,1)a ，( 3,1)b ，所以( 1,2)ab ，且1 1 2 250 ，所以ab与a 不平行，A错误； 对于B，向量a在向量b上的投影向量为 2 51 |cos 102| ba b abbb bb ，所以B正确； 对于C，因为(5,0)ab，所以cosa， ()102 5 5| |55 aab ab aab ，所以C正确； 对于C，因为 52 5 (,) 55 c ，所以 52 5 21 ()0 55 a c ，所以ac，选项D正确 故选 BCD 10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscosaAbB，且2c ，
13、 3 sin 5 C ， 则ABC的面积为 A3 B 2 3 C 1 3 D6 【答案】AC 【解析】由coscosaAbB，利用正弦定理可得sincossincosAABB， 即sin2sin2AB， A，(0, )B， AB或 2 AB ， 又 3 sin 5 C ，AB， 当C为锐角时， 3 sin 5 C ， 4 cos 5 C ， 10 sin 210 C ， 由 22 sin 2 cc C ab ，10ba， ABC中AB边上的高为 3， 1 233 2 S ； 当C为钝角时， 3 sin 5 C ， 4 cos 5 C ， 3 10 sin 210 C ， 由 22 sin 2
14、cc C ab ， 10 3 ba， ABC中AB边上的高为 1 3 ， 111 2 233 S 故选 AC 11如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 4AAAB，2BC ，M，N分别为棱 11 C D， 1 CC的中点， 则下列说法正确的是( ) AA、M、N、B四点共面 B直线BN与 1 B M所成角的为60 C/ /BN平面ADM D平面ADM 平面 11 CDDC 【答案】 【解析】对于A，A、B、M在平面 11 ABC D内，N在平面 11 ABC D外，故A错误； 对于B，如图，取CD中点E，连接BE，NE，可得 1 / /BEB M，EBN为直线BN与 1 B M
15、所成角， 由题意可得BEN为边长为2 2的等边三角形，则60EBN，故B正确； 对于C，若/ /BN平面ADM，又/ /BC平面ADM，则平面 11/ / BCC B平面ADM， 而平面 11/ / BCC B平面 11 ADD A，矛盾，故C错误； 对于D， 在长方体 1111 ABCDABC D中，AD 平面 11 CDDC，AD 平面ADM，平面ADM 平面 11 CDDC， 故D正确 故选：BD 12在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为 AB， 11 AD的中点，则 A 1 BDBC B/ /EF平面 1 DB B C 1 AC 平面 11 B DC D
16、过直线EF且与直线 1 BD平行的平面截该正方体所得截面面积为2 【答案】BC 【解析】对于A， 11 / /BCAD， 1 ADB是BD与 1 B C所成角（或所成角）的补角， 11 ADBDAB， 1 60ADB，BD与 1 B C不垂直，故A错误； 对于B，取AD中点G，连接FG，EG，则/ /EGBD， 1 / /FGBB， EGFGG， 1 BDBBB，平面/ /EFG平面 1 DB B， EF 平面EFG，/ /EF平面 1 DB B，故B正确； 对于C， 1111 ACB D， 111 AAB D， 1111 ACAAA， 11 AC、 1 AA 平面 11 AAC， 11 B
17、D平面 11 AAC， 1 AC 平面 11 AAC， 111 ACB D， 同理 11 ACBC， 1111 B DBCB， 11 B D、 1 BC 平面 11 B DC， 1 AC平面 11 B DC，故C正确； 对于D，取 11 A B中点H，连接FH、EH， 则 11 / /FHB D， 1 / /GFBB， FHGFF， 1111 B DBBB，平面/ /EHFG平面 11 BB D D， 1 BD 平面 11 BB D D，EF 平面EHFG， 过直线EF且与直线 1 BD平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG， 2GF ， 11 442 22 GEBD， 过直线EF且与直线
18、 1 BD平行的平面截该正方体所得截面面积为2 2S ，故D错误 故选 BC 三填空题三填空题 13已知i为虚数单位，若复数 3 () 12 ai zaR i 为纯虚数，则a 【答案】2 【解析】 ()(12 )(2)(21) 12(12 )(12 )5 aiaiiaai z iii 因为z为纯虚数，所以20a ，得2a 故答案为：2 14已知向量(2, 1)a ，( 3,)bm ，若/ /ab，则|2 |ab 【答案】2 5 【解析】/ /ab，230m，解得 3 2 m ，则 3 ( 3, ) 2 b ， 2( 4,2)ab ， 22 |2 |( 4)22 5ab 故答案为：2 5 15已
19、知单位向量a、b的夹角为120，kab与2ab垂直，则k 【答案】 4 5 【解析】根据题意，单位向量a、b的夹角为120，则 1 2 a b ， 若kab与2ab垂直，则() (2)2110 2 k kababk ， 解可得： 4 5 k ， 故答案为： 4 5 16 直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在球O的球面上， 且1ABAC，3BC ， 若球O的表面积为20， 则这个三棱柱的体积为 【答案】3 【解析】设ABC和 111 ABC的外心分别为 1 O、 2 O，连接 12 O O， 可得外接球的球心O为 12 O O的中点，连接OA、OB、OC、 1 O A、 1 O B、 1
20、OC， ABC中， 222 1 cos 22 ABACBC A AB AC ， (0, )A， 2 3 A ， 根据正弦定理，得ABC外接圆半径 1 1 2sin BC O A A 球O的表面积为20， 2 420R，5R ， Rt 1 OOA中， 22 11 2OOOAO A，可得 121 24OOOO， 直三棱柱 111 ABCABC的底面积 123 sin 234 ABC SAB AC ， 直三棱柱 111 ABCABC的体积为 12 3 ABC SOO 故答案为：3 四解答题四解答题 17已知复数z为纯虚数，且 2 1 z i 为实数 （1）求复数z； （2）设mR，若复数 2 ()m
21、z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围 【答案】 （1）2zi ； （2）(2,). 【解析】 （1）设zbi，0b ，则 222(2) 112 zbibb i ii ， 2 1 z i 为实数，2b ，即2zi （2） 222 ()(2 )44mzmimmi， 由题知 2 40m 且40m， 解得2m m的取值范围是(2,) 18已知 22 (815)(56)zmmmmi，其中i是虚数单位，m为实数 （1）当z为纯虚数时，求m的值； （2）当复数z i在复平面内对应的点位于第二象限时，求m的取值范围 【答案】 （1）5m ； （2）(，2)(5，). 【解析】 （1）z为纯虚数，
22、2 2 8150 560 mm mm ，解得5m ； （2） 22 (56)(815)z immmmi在复平面内对应的点位于第二象限， 2 2 560 8150 mm mm ，解得2m 或5m m的取值范围是(，2)(5，) 19平面内给定两个向量(3,1),( 1,2)ab （1）求|32 |ab； （2）若()/ /(2)akbab，求实数k的值 【答案】 （1）7 2； （2） 1 2 k . 【解析】 （1）由条件知：32(7,7)ab， 故 22 |32 |777 2ab （2）(3,1)( 1,2)(3,12 )akbkkk，2(7,0)ab ()/ /(2)akbab， (3)
23、07(12 )0kk， 解得 1 2 k 20如图，在四边形ABCD中，2AB ，1PDDCBC，/ /ABDC，90BCD，F为AB上的点且 1 2 AF ，若PD 平面ABCD，E为PC的中点 （1）求证：/ /EF平面PAD； （2）求四棱锥PABCD的侧面积 【答案】 （1）证明见解析； （2） 4 21 2 . 【解析】 （1）证明：取CD的中点为H，连结EH，FH， 因为E为PC的中点，所以/ /EHPD， 又因为PD平面PAD，EH 平面PAD，所以/ /EH平面PAD， 又因为1CD ，/ /ABDC， 1 2 AF ，所以/ /DHAF， 1 2 DHAF， 所以四边形AFH
24、D是平行四边形，所以/ /FHAD， 又因为AD 平面PAD，FH 平面PAD，所以/ /FH平面PAD， 又EHFHH，EH，FH 平面EFH，所以平面/ /PAD平面EFH， 又因为EF 平面EFH，所以/ /EF平面PAD； （2）解：因为90BCD，所以CDBC， 又因为PD 平面ABCD，所以PDBC， 又PDCDD，PD，CD 平面PDC，所以BC 平面PDC， 又PC 平面PDC，所以PCBC， 所以PDC，PDA，PCB为直角三角形， 因为2AB ，1DCBC，/ /ABDC，90BCD， 所以2,2,3,3PCADPAPB， 所以 212 ,2 222 PBCPDCPDAPA
25、B SSSS ， 所以四棱锥PABCD的侧面积为 2124 21 2 2222 21在ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c，且满足 5 cos4 4cos5sinsincos aBbc BABC （1）求cos A； （2）若3a ，求bc的最大值 【答案】 （1） 4 cos 5 A ； （2）10. 【解析】 （1）因为 5 cos4 4cos5sinsincos aBbc BABC ， 所以由正弦定理，可得 5sincos4sinsin 4cos5sinsincos ABBC BABC ， 整理得5sincos()4sin()ABCBC， 又ABC，所以5sincos()4
26、sin()AAA， 即5sincos4sinAAA， 因为0A，sin0A， 所以 4 cos 5 A （2）因为3a ， 4 cos 5 A 由余弦定理，得 222 cos 2 bca A bc ，所以 22 94 25 bc bc ， 整理可得 22 22 ()9() 552 bc bcbc ，即 2 ()10bc， 所以10bc ，当且仅当 10 2 bc时取等号， 103bca，因此可以取到最大值， 故bc的最大值10 22如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，2PAAB，2 2PB ，60ABC，且平 面PAC 平面ABCD （1）证明：PA平面ABCD； （2）若M是P
27、C上一点，且BMPC，求三棱锥MBCD的体积 【答案】 （1）答案见解析； （2） 3 6 . 【解析】 （1）证明：四边形ABCD为菱形，BDAC 平面PAC 平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC，BD平面ABCD， BD平面PAC PA平面PAC，PABD 又2,2 2PAABPB， 222 PAABPB，得PAAB 又AB，BD平面ABCD，ABBDB， PA平面ABCD； （2）解：由（1）得PA平面ABCD， AC 平面ABCD，PAAC， 22 2 2PCPAAC，可得PBC为等腰三角形 在PBC中，由余弦定理得 222 3 cos 24 PBPCBC BPC PB PC BMPC， 3 4 PM PB ，则 3 4 PM PC 可得 1 4 CMPC， 又 1 sin1203 2 BCD SBC CD ， 311111 32 443436 BCDMBCDP BCD VVSPA 三棱锥三棱锥
