1、 第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年甘肃省兰州市四片区高一（上）期末数学试卷学年甘肃省兰州市四片区高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，只有一项符合题目要求，请将答分，只有一项符合题目要求，请将答 案填入答题卡内。 ）案填入答题卡内。 ） 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|0 x2，Bx|x1，则 A（RB）（ ） Ax|0 x1 Bx|0 x1 Cx|1x2 Dx|1x2 2 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ） Ay2x By2x2 Cyx Dy= 1
2、3 （5 分）若经过 A（3，m） ，B（1，2）两点的直线的倾斜角为 45，则 m（ ） A4 B6 C6 D4 4 （5 分）函数 f（x）2x3x 的零点所在的一个区间是（ ） A （2，1） B （0，1） C （1，2） D （1，0） 5 （5 分）m，n 是空间两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 mn，m，n，则 D若 m，n，mn，则 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧） ，则该几何体的表面 积为（ ） A4+6 B6+6 C4+3 D6+3 7 （5 分）函数 y
3、|log2x|（1 2） x 的零点个数是（ ） A0 B1 C2 D3 8 （5 分）用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为（ ） A8 3 B82 3 C82 D32 3 9 （5 分）在ABC 中，AB2，BC1.5，ABC120，若将ABC 绕直线 BC 旋转一 第 2 页（共 17 页） 周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A9 2 B7 2 C5 2 D3 2 10 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1B 与平面 BB1D1D 所成的角的大小是 （ ） A90 B30 C45 D60 11 （5 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，
4、若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1 与 AC1所成的角等于（ ） A30 B45 C60 D90 12 （5 分）已知正四棱锥 SABCD 的底面是边长为 4 的正方形，若一个半径为 1 的球与此 四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（ ） A23 3 B8 3 C9 2 D9 4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填入答题卡内分，请将答案填入答题卡内.） 13 （5 分）若三个球的表面积之比是 1：2：3，则它们的体积之比是 14 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是上底面 ABCD 中心
5、，若棱长为 a，则三棱锥 OAB1D1的体积为 15 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这 个球的体积为 16 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x（0，+）时，f（x）log2x，则不等式 f（x） 1 的解集是 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 第 3 页（共 17 页） 骤，请将答案填入答题卡内骤，请将答案填入答题卡内.） 17 （10 分）已知函数() = 1 （1）求：函数 f（x）的定义域；判断函
6、数 f（x）的奇偶性并说明理由； （2）判断函数 f（x）在（0，+）上的单调性，并用定义加以证明 18 （12 分）如图，ABCD 是正方形，直线 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点 （1）证明：直线 PA平面 EDB； （2）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值 19 （12 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，DAB90，ADC135，AB5，CD 22，AD2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积 20 （12 分）已知幂函数 g（x）（m23）xm（mR）在（0，+）为减函数，且对数函 数 f（x）满足 f（m+1）+f（m1）=
7、 1 2 （1）求 g（x） 、f（x）的解析式 （2）若实数 a 满足 f（2a1）f（5a） ，求实数 a 的取值范围 21 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2， D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 （1）求证：PABD； （2）求证：平面 BDE平面 PAC； （3）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积 第 4 页（共 17 页） 22 （12 分）如图：在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，其它四个侧 面都是侧棱长为5的等腰三角形 （1）求二面角 VABC 的平面角的大小；
8、（2）求四棱锥 VABCD 的体积 第 5 页（共 17 页） 2020-2021 学年甘肃省兰州市四片区高一（上）期末数学试卷学年甘肃省兰州市四片区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，只有一项符合题目要求，请将答分，只有一项符合题目要求，请将答 案填入答题卡内。 ）案填入答题卡内。 ） 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|0 x2，Bx|x1，则 A（RB）（ ） Ax|0 x1 Bx|0 x1 Cx|1x2 Dx|1x2 【解答】解：因为 Bx|x1，所以RB
9、x|x1， 所以 A（RB）x|1x2 故选：D 2 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ） Ay2x By2x2 Cyx Dy= 1 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，y2x为指数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于 B，y2x2，是二次函数，不是奇函数，不符合题意； 对于 C，yx，是正比例函数，既是奇函数又在定义域上是增函数，符合题意； 对于 D，y= 1 ，是反比例函数，是奇函数但在其定义域上不是单调性函数，不符合题意 故选：C 3 （5 分）若经过 A（3，m） ，B（1，2）两点的直线的倾斜角为 45，则 m（ ） A4 B6 C6 D4 【解
10、答】解：由题意得 tan451= 2 13， 解得 m4， 故选：A 4 （5 分）函数 f（x）2x3x 的零点所在的一个区间是（ ） A （2，1） B （0，1） C （1，2） D （1，0） 【解答】解：函数 f（x）2x3x 是连续函数， f（0）100， f（1）230， f（0）f（1）0， 第 6 页（共 17 页） 由零点判定定理可知函数的零点在（0，1） 故选：B 5 （5 分）m，n 是空间两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 mn，m，n，则 D若 m，n，mn，则 【解答】解：对于选项
11、 A：若 m，n，则 mn 或 m 和 n 异面，故 A 错误； 对于选项 B：若 m，n，则 m 和 n 可能平行，也可能垂直，故 B 错误； 对于选项 C：若 mn，m，n，则 或 ，故 C 错误； 对于选项 D：若 m， 直线 m 相当于平面 的法线，n，则 n 相当于平面 的法线， 由于 mn，则 ，故 D 正确 故选：D 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧） ，则该几何体的表面 积为（ ） A4+6 B6+6 C4+3 D6+3 【解答】解：根据三视图知，该几何体是半圆柱体，如图所示； 则该几何体的表面积为 23+2 1 2 12+ 1 2 2136+4
12、 故选：A 第 7 页（共 17 页） 7 （5 分）函数 y|log2x|（1 2） x 的零点个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：由|log2x|（1 2） x0，得|log2x|（1 2） x， 作出函数 y|log2x|与 y（1 2） x 的图形如图， 由图可知，函数 y|log2x|（1 2） x 的零点个数是 2 故选：C 8 （5 分）用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为（ ） A8 3 B82 3 C82 D32 3 【解答】解：截面面积为 截面圆半径为 1，又与球心距离为 1球的半径是2， 所以根据球的体积公式知球= 43 3 =
13、 82 3 ， 故选：B 9 （5 分）在ABC 中，AB2，BC1.5，ABC120，若将ABC 绕直线 BC 旋转一 周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A9 2 B7 2 C5 2 D3 2 【解答】解：如图：ABC 中，绕直线 BC 旋转一周， 第 8 页（共 17 页） 则所形成的几何体是以 ACD 为轴截面的圆锥中挖去了一个以 ABD 为轴截面的小圆锥后剩余的部分 AB2，BC1.5，ABC120，AEABsin60= 3， BEABcos601， V1= 1 3 2 = 5 2 ，V2= 1 3 2 =， VV1V2= 3 2 ， 故选：D 10 （5 分）如图，在正方体 ABC
14、DA1B1C1D1中，A1B 与平面 BB1D1D 所成的角的大小是 （ ） A90 B30 C45 D60 【解答】解：连接 A1C1交 B1D1于 O，连接 OB， 因为 B1D1A1C1，A1C1BB1，所以 A1C1平面 BB1D1D， 所以A1BO 为 A1B 与平面 BB1D1D 所成的角， 设正方体棱长为 1，所以 A1O= 2 2 ，A1B= 2， sinA1BO= 2 2 2 = 1 2， A1BO30 故选：B 第 9 页（共 17 页） 11 （5 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1 与 AC1所成的角等于（ ） A30
15、B45 C60 D90 【解答】解：延长 CA 到 D，使得 ADAC，则 ADA1C1为平行四边形， DA1B 就是异面直线 BA1与 AC1所成的角， 又 A1DA1BDB= 2AB， 则三角形 A1DB 为等边三角形，DA1B60 故选：C 12 （5 分）已知正四棱锥 SABCD 的底面是边长为 4 的正方形，若一个半径为 1 的球与此 四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（ ） A23 3 B8 3 C9 2 D9 4 【解答】解：正四棱锥 SABCD 的底面是边长为 4 的正方形， 球的球心 O 在四棱锥的高 PH 上过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图： 其中 PE，PF 是斜高，
16、A 为球面与侧面的切点 设 PHh，由几何体可知，RTPAORTPHF， = ，即 1 2 = ;1 2:22， 解得 h= 8 3或 h0（舍） 该四棱锥的高是8 3 故选：B 第 10 页（共 17 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填入答题卡内分，请将答案填入答题卡内.） 13 （5 分）若三个球的表面积之比是 1：2：3，则它们的体积之比是 1：22：33 【解答】解：三个球的表面积之比是 1：2：3， 三个球的半径之比是 1：2：3， 三个球的体积之比是三个球的半径之比的立方 三个球的体积之比是1：22：
17、33 故答案为：1：22：33 14 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是上底面 ABCD 中心，若棱长为 a，则三棱锥 OAB1D1的体积为 1 6 3 【解答】解：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 是上底面 ABCD 的中心，棱长为 a， 对角线 AC平面 BDD1B1， 三棱锥 OAB1D1的体积为 三棱锥;11= 1 311AO = 1 3 1 2B1D1BB1AO = 1 3 1 22aa 2 2 = 1 6 3 故答案为：1 6 3 第 11 页（共 17 页） 15 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这
18、 个球的体积为 9 2 【解答】解：设正方体的棱长为 a， 这个正方体的表面积为 18， 6a218， 则 a23，即 a= 3， 一个正方体的所有顶点在一个球面上， 正方体的体对角线等于球的直径， 即3a2R， 即 R= 3 2， 则球的体积 V= 4 3 （ 3 2） 3=9 2 ； 故答案为：9 2 16 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x（0，+）时，f（x）log2x，则不等式 f（x） 1 的解集是 （，2）（0，1 2） 【解答】解：设 x0，则x0， 当 x（0，+）时，f（x）log2x，f（x）log2（x） ， f（x）是奇函数，f（x）f（x）log2
19、（x） ， 当 x（0，+）时，f（x）1，即 log2x1= 2 1 2， 解得 0 x 1 2， 当 x（，0）时，f（x）1，即log2（x）1， 则 log2（x）1log22，解得 x2， 第 12 页（共 17 页） 综上，不等式的解集是（，2）（0，1 2） 故答案为： （，2）（0，1 2） 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤，请将答案填入答题卡内骤，请将答案填入答题卡内.） 17 （10 分）已知函数() = 1 （1）求：函数 f（x）的定义域；判
20、断函数 f（x）的奇偶性并说明理由； （2）判断函数 f（x）在（0，+）上的单调性，并用定义加以证明 【解答】解： （1）定义域： （，0）（0，+） ，定义域关于原点对称， f（x）x 1 = x+ 1 = f（x） ， 函数 f（x）是奇函数 （2）判断：函数 f（x）在（0，+）上是增函数， 证明：任取 x1，x2（0，+）且 x1x2， f（x1）f（x2）= 1 1 1 （2 1 2）（x1x2） （1+ 1 12） x1x2，x1，x2（0，+） x1x20，1+ 1 12 0 f（x1）f（x2）0 f（x1）f（x2） 函数 f（x）在（0，+）上是增函数 18 （12 分）
21、如图，ABCD 是正方形，直线 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点 （1）证明：直线 PA平面 EDB； （2）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值 第 13 页（共 17 页） 【解答】证明： （1）连结 AC，BD，交于点 O，连结 OE， ABCD 是正方形，O 是 AC 中点， E 是 PC 的中点，OEPA， PA平面 BDE，OE平面 BDE， 直线 PA平面 EDB 解： （2）直线 PD底面 ABCD，ABCD 是正方形，PDDC， PBD 是直线 PB 与平面 ABCD 所成角， 设 PDDCa，则 BD= 2+ 2= 2， tanPBD= = 2
22、= 2 2 直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2 2 19 （12 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，DAB90，ADC135，AB5，CD 22，AD2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积 【解答】 （12 分） 解： 四边形 ABCD绕AD 旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体， S表面S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面 52+（2+5）5+222 （42 +60） VV圆台V圆锥 第 14 页（共 17 页） 1 3（ 1 2 +r1r2+2 2）h1 3r2h = 1 3（25+10+4）4 1 342= 148 3 20
23、 （12 分）已知幂函数 g（x）（m23）xm（mR）在（0，+）为减函数，且对数函 数 f（x）满足 f（m+1）+f（m1）= 1 2 （1）求 g（x） 、f（x）的解析式 （2）若实数 a 满足 f（2a1）f（5a） ，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）幂函数 g（x）（m23）xm（mR）在（0，+）为减函数， 2 3 = 1 0 ， 解得 m2， g（x）x2； 又f（x）是对数函数，且 f（m+1）+f（m1）= 1 2， 设 f（x）logax（a0 且 a1） ， loga（m+1）+loga（m1）= 1 2， 即 loga（m21）loga3= 1 2， 解
24、得 a9， f（x）log9x； （2）实数 a 满足 f（2a1）f（5a） ， 且 f（x）log9x 在（0，+）上单调递增， 2 10 5 0 2 15 ， 解得 1 2 5 2 ； 即1 2 a2， 实数 a 的取值范围是（1 2，2） 21 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2， 第 15 页（共 17 页） D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 （1）求证：PABD； （2）求证：平面 BDE平面 PAC； （3）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积 【解答】解： （1）证明：由 PAAB，PABC，
25、 AB平面 ABC，BC平面 ABC，且 ABBCB， 可得 PA平面 ABC， 由 BD平面 ABC， 可得 PABD； （2）证明：由 ABBC，D 为线段 AC 的中点， 可得 BDAC， 由 PA平面 ABC，PA平面 PAC， 可得平面 PAC平面 ABC， 又平面 PAC平面 ABCAC， BD平面 ABC，且 BDAC， 即有 BD平面 PAC， BD平面 BDE， 可得平面 BDE平面 PAC； （3）PA平面 BDE，PA平面 PAC， 且平面 PAC平面 BDEDE， 可得 PADE， 又 D 为 AC 的中点， 可得 E 为 PC 的中点，且 DE= 1 2PA1， 由
26、PA平面 ABC， 第 16 页（共 17 页） 可得 DE平面 ABC， 可得 SBDC= 1 2SABC= 1 2 1 2 221， 则三棱锥 EBCD 的体积为1 3DES BDC= 1 3 11= 1 3 22 （12 分）如图：在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，其它四个侧 面都是侧棱长为5的等腰三角形 （1）求二面角 VABC 的平面角的大小； （2）求四棱锥 VABCD 的体积 【解答】解（1）取 AB 的中点 M，CD 的中点 N，连 MN、VM、VN， （1 分） 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，MNAB，MN2 （2 分） 又VAVB=
27、 5，M 为 AB 的中点，VMAB （3 分） VMN 是二面角 VABC 的平面角 （4 分） 在 RtVAM 中，AM1，VA= 5， VM= 2 2=2，同理可得 VN2 （5 分） VMN 是正三角形，可得VMN60 第 17 页（共 17 页） 即二面角 VABC 的大小为 60 （7 分） （2）由（1）知 AB平面 VMN （8 分） AB平面 ABCD，平面 ABCD平面 VMN （9 分） 过 V 作 VOMN 于点 O， 平面 ABCD平面 VMN，平面 ABCD平面 VMNMN，VO平面 VMN VO平面 ABCD，得 VO 是四棱锥 VABCD 的高 （11 分） VMMNNV2，VO= 3 （12 分） 因此，四棱锥 VABCD 的体积为 V= 1 3SABCDVO= 1 3 4 3 = 43 3 （14 分）
