1、 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 1 页页 共共 15 页页 2020-2021 学年第二学期期中 高三年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1本试卷共 21 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4可使用符合规定的计算器答题 一、填空题一、填空题( (本大题共有本大题共有12题，满分题，满分54分分，其中第，其中第1题至第题至第6题每题题每题填对得填对得4分，否则一律得分
2、，否则一律得 零分零分；第；第7题至第题至第12题每题题每题填对得填对得5分，否则一律得零分分，否则一律得零分 ) )考生应在答题纸相应编号的空格考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果内直接填写结果 1. 抛物线y2=8x的焦点到准线的距离为 2. 不等式|x1|2的解集为 3. 若关于x，y的方程组 xy=m xny=1有无穷多组解，则mn的值为 4. 若12i （i 为虚数单位） 是方程x2bxc0 （b、cR） 的一个根， 则cb 5. 已知常数mR，若函数f (x)=2x m的反函数的图像经过点(4，2)，则m 6. 设无穷等比数列xn的公比为m，若lim n(x6x7xn)x4
3、，则m 7. 某四棱锥的三视图如图所示， 则该四棱锥的最长侧 棱的长度为 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 2 页页 共共 15 页页 M DC BA 8. 在(1x)8(1x)9的展开式中，x4项的系数为 （结果用数值表示） 9. 如图， 点M为矩形ABCD的边BC的中点， AB1，BC2 将矩形ABCD 绕直线AD旋转所得到的几何体体积记为V1，将MCD绕直线CD旋 转所得到的几何体体积记为V2，则V 1 V2的值为 10. 为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续 15 天中随机选择 4 天进行交通
4、安全知 识的抽查，则选择的 4 天恰好为连续 4 天的概率是 （结果用最简分数表示） 11. 设函数f (x)a x 3 28x 1 2 x8 （aR） ， 若函数y4f (x)5的零点为 4， 则使得8f (n23)630 成立的整数 n 的个数为 12. 如图，若同一平面上的四边形PQRS满足：mnRP =n(13m)QPm(n1)SP （m0、 n0） ， 则当PRS的面积是PQR的面积的1 3倍时， 1 mn的最大值为 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有4题，满分题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号
5、上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13. 设xR，则 “x3” 是 “x29” 的 （ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分条件又非必要条件 14. 某班有学生 40 人，将这 40 人编上 1 到 40 的号码，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4的样本 已知编号为3、 23、 33的学生在样本中， 则另一学生在样本中的编号为 （ ） （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级
6、数学学科教学质量监测试卷 第第 3 页页 共共 15 页页 15. 在平面直角坐标系中，角 （3 2 ）的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半 轴重合， 终边经过函数f (x)=2x与g(x)=log1 2 (x)的交点， 角(0， 4)， 则 （ ） （A）1cot() 2 2 （B）1tan() 2 2 （C）1cos() 2 2 （D）1sin() 2 2 16. 如果数列u1，u2，u10同时满足以下四个条件： （1）uiZ（i1，2，10） ； （2）点(u5，2u2 u8)在函数y4x的图像上； （3）向量 a (1，u 1)与 b (3，u 10)互相平行； （4）ui1u
7、i与 2 ui1ui的等差中项为 3 2（i1，2，9） 那么， 这样的数列u1，u2，u10的个数为 （ ） （A）78 （B）80 （C）82 （D）90 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有5题，满分题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤内写出必要的步骤 17. （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 6 分，第分，第 2 题满分题满分 8 分分 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD， ABCD是边长为 2 的正方形， PA4， M
8、为侧棱PA的中点 （1）求四棱锥PABCD的体积； （2）求直线PD与平面MBC所成角的正弦值 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 4 页页 共共 15 页页 18. （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 6 分，第分，第 2 题满分题满分 8 分分 将关于x的函数ym(x2) 2 x （mR） 的图像向右平移 2 个单位后得到的函数图像记为C， 并设C所对应的函数为f (x) （1）当m0时，试直接写出函数f (x)的单调递减区间； （2）设f (
9、4)=8，若函数g(x)= x22ax5（a1）对于任意t10，1，总存在t20，1， 使得g(t2)=f (t1)成立，求a的取值范围 19. （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 6 分，第分，第 2 题满分题满分 8 分分 在某地区的平面规划图中（如图） ，三点A、B、C分别表示三个街区，ABC 3现准 备在线段AB上的点 D 处建一个停车场，它到街区 B 的距离为 1， 到街区A、C的距离相等 （1）若线段AD的长为 3，求sinBCD的值； （2）若BCD的面积为 3，求点 A 到直线BC的距离 20202020 学年第学年
10、第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 5 页页 共共 15 页页 20. （本题满分（本题满分 16 分）分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 4 分，第分，第 2 题满分题满分 6 分，第分，第 3 题题 满分满分 6 分分 设平面直角坐标系中的动点P到两定点(2，0)、(2，0)的距离之和为4 2，记动点P的 轨迹为 （1）求的方程； （2）过上的点Q作圆x2y2=1的两条切线，切点为Q1、Q2，直线Q1Q2与x、y轴的交点依次 为异于坐标原点O的点Q3、Q4，试求Q3OQ4的面积的最小值； （3） 过点(
11、2，0)且不垂直于坐标轴的直线l交于不同的两点M、N， 线段MN的垂直平分线与 x轴交于点D， 线段MN的中点为H 是否存在 （ 2 4 ） ， 使得 0 2 13 1 9 |DH| 0 2|MN| 0成 立？请说明理由 21. （本题满分（本题满分 18 分）分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 4 分，第分，第 2 题满分题满分 6 分，第分，第 3 题题 满分满分 8 分分 若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的（R）倍，则称该数列具有 性质P() （1）已知数列1，2x，3x具有性质P(4)，求实数x的取值范围； （2）删除数列31，32，3n，中
12、的第 3 项，第 6 项，第3n项，余下的项按原来 顺序组成一个新数列tn，且数列tn的前n项和为Tn，若数列Tn具有性质P()，试求实数 的最大值； （3）记 n i=m uiumum1um2un（mN） ，如果ak0（k=1，2，2021） 证明： “ 2021 k=1 ak1”的充要条件是“存在数列xn具有性质P(1)，且同时满足以下三个条件： （）数列xn的各项均为正数，且互异； （）存在常数A0，使得数列xn收敛于A； （）xnxn 1 2021 k=1 akxnk 2020 k=0 ak1xnk（n=1，2，这里x00） ” 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年
13、级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 6 页页 共共 15 页页 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、填空题一、填空题( (本大题共有本大题共有12题，满分题，满分54分分) ) 14 2(1，3) 32 41 50 6 51 2 7 3 828 96 10 4 455 11 14 12105 3 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有4题，满分题，满分20分）分） 13A 14B 15D 16B 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有5题，满分题，满分76分）分） 17 （本题满分（本题满分 14 分）分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，
14、第 1 题满分题满分 6 分，第分，第 2 题满分题满分 8 分分 解解： （1）PA平面ABCD， 点P到平面ABCD的距离为 PA4， 1/ 又ABCD是边长为 2 的正方形， 四棱锥PABCD的体积 VPABCD 1 3SABCD PA 4 / 1 3(2 2)4 5/ 16 3 6/ （2）以 A 为坐标原点，AB、AD、AP依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系, 由 已 知 条 件 可 得 B(2，0，0) 、 C(2，2，0) 、 D(0，2，0) 、 M(0，0，2) 、 P(0，0，4) 8/ MB (2，0，2)，MC(2，2，2)， 设平面MBC的一个法向量为 n (x，
15、y，z)， 则 n MB =0， n MC =0， 可 得 2x2z=0， 2x2y2z=0， xz，y 0， 9/ 于是，可取 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 7 页页 共共 15 页页 n (1，0，1)， 10/ 又 PD (0，2，4)， 11/ 直线PD与平面MBC所成角的正弦值为 |n PD | |n |PD | 12 / 4 22 5 13/ 10 5 14/ 18 （本题满分（本题满分 14 分）分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 6 分，第分，第 2 题满分
16、题满分 8 分分 解： （1）依题意，得f (x)m(x2) 4 x24， 当m0时，f (x)的单调递减区间为0，2）、 (2，4 （3/+3/） （2） f (4)=8， m1， 7/ f (x) x2 x2， 由（1）可知f (x)在0，1上单调递减， f (x)在0，1上的值域为 f (1)，f (0)1，0， 8/ 又 a1 g(x)= x22ax5 在0，1上 单 调 递 减 ， 且 相 应 的 值 域 为 g(1)，g(0)62a，5， 9/ 依题意，可得 1，062a，5， 11/ 62a1， 13/ 解得a7 2， 综上，a的取值范围为 7 2，) 14 / 20202020
17、 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 8 页页 共共 15 页页 19 （本题满分（本题满分 14 分）分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 6 分，第分，第 2 题满分题满分 8 分分 解： （1）依题意可得，CDAD3，BD 1， 2/ 又ABC 3， 故，在BCD中，由正弦定理得 BD sinBCD CD sinABC， 4 / 即 1 sinBCD 3 sin 3 ， 5/ 解得 sinBCD 3 6 6/ （2）由已知得 1 2 BC BD sinABC 3， 7/ 即 1 2 BC 1
18、sin 3 3， 解得BC 4， 8/ 在BCD中，由余弦定理得 CD2BC2BD22BCBD cosABC 9/ 42122 41 cos 313， CD13， 10/ AD CD13， 11/ ABADBD13 1， 12/ 于是，点A到直线BC的距离为 ABsinABC 13/ (131) 3 2 393 2 14/ 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 9 页页 共共 15 页页 20 （本题满分（本题满分 16 分）分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 4 分，第分，第 2
19、 题满分题满分 6 分，第分，第 3 题题满满 分分 6 分分 解： （1）依题意可得是以点(2，0)、(2，0)为左、右焦点，4 2为长轴长的椭圆， 且半焦距c2，长半轴长 a2 2， 2/ 短半轴长 b2， 3/ 的方程为 x2 8 y2 4=1 4 / （2）方法一： 设点Q(u，v)，Q1(u1，v1)、Q2(u2，v2)， 则切点为Q1的切线的一个法向量OQ1 (u1，v1)， 故过切点Q1的直线方程为 u1(xu1)v1(yv1)0，即 xu1yv1u2 1v 2 1， 点Q1在圆x2y2=1上，u2 1v 2 11 因此，过切点Q1的直线方程为 xu1yv11， Q在切线QQ1上
20、，uu1vv11，（） 同理可得 uu2vv21，（） 结合（） 、 （）可得直线Q1Q2的方程为 u xv y1， 6/ Q3、Q4的坐标分别为( 1 u，0) 、 (0， 1 v)， 7 / 注意到u 2 8 v2 4=1 Q3OQ4的面积SQ3OQ4 1 2 | 1 u| | 1 v| 8 / 1 8 2 |u| 2 2 |v| 2 1 8 2 ( |u| 2 2) 2(|v| 2 )2 2 2 8， 9 / 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 10 页页 共共 15 页页 当 |u| 2 2 |v|
21、2 ，且u 2 8 v2 4=1，即Q的坐标为(2， 2)时，取“” ， Q3OQ4的面积的最小值为 2 8 10 / 方法二： 依题意，可设点Q(2 2cos，2sin)（） ，且Q1(u1，v1)、Q2(u2，v2)， 同方法一，可得过切点Q1的直线方程为 xu1yv11， Q在切线QQ1上，2 2cosu12sinv11，（） 同理可得 2 2cosu22sinv21，（） 结 合 （ ）、（ ） 可 得 直 线 Q1Q2的 方 程 为 2 2cos x2sin y1， 6/ 因此，Q3、Q4的坐标分别为( 1 2 2cos，0) 、 (0， 1 2sin)， 7 / Q3OQ4的面积S
22、Q3OQ4 1 2| 1 2 2cos| 1 2sin| 8 / 1 4 2|sin2| 1 4 2= 2 8 9 / ，当 4， 3 4 时，取“” ，此时点Q(2，2)， 即 Q3OQ4的面积的最小值为 2 8 10 / （3）使得 0 2 13 1 9 |DH| 0 2|MN| 0成立的（ 2 4 ）不存 在 11/ 理由如下： 方法一： 依题意，可设直线l的斜率为k（k0） ，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则直线l的方程为y=k(x2)， 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 11 页页 共共
23、15 页页 由 y=k(x2)， x2 8 y2 4=1 整理得(1+2k2)x28k2x8k280， 易得32(k21)0， 由韦达定理得 x1+x2 8k2 1+2k2， x1x2 8k28 1+2k2， 于是，|MN|1+k2(x1x2)24x1x2 4 2(1+k 2) 1+2k2 ， 12/ 又y1+y2k(x1+x2)4k 4k 1+2k2， 线段MN的中点H的坐标为( 4k2 1+2k2， 2k 1+2k2)， 线段MN的垂直平分线方程为 y 2k 1+2k2 1 k(x 4k2 1+2k2)，可得D( 2k2 1+2k2，0)， |DH|( 2k2 1+2k2 4k2 1+2k
24、2) 2(0 2k 1+2k2) 2 2 k 2(1+k2) 1+2k2 ， 13/ （注： 或这样： 记A(2，0)， 则在RtDAH中，|DH|AH|tanMAx|AH|k|2 k 2(1+k2) 1+2k2 ） 于是得到|DH| |MN| 2 k2(1+k2) 4 2(1+k2) 2 4 k2 1+k2 2 4 1 1 1+k2， k0， 1 1+k2(0，1) ， |DH| |MN| 2 4 ， 14/ 于是，不存在（ 2 4 ） ，使得|DH| =|MN|成立 注意到 0 2 13 1 9 |DH| 0 2|MN| 0 |DH| =|MN|， 15/ 不存在（ 2 4 ） ，使得 0
25、 2 13 1 9 |DH| 0 2|MN| 0成 立 16/ 方法二： 可设直线l的方程为x=ty2（t0） ，且M(x1，y1)，N(x2，y2)， 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 12 页页 共共 15 页页 由 x=ty2， x2 8 y2 4=1 整理得(t2+2)y24ty40， 易得32(t21)0， 根据韦达定理得 y1y2 4t t2+2， y1y2 4 t2+2， 于是，|MN|t21(y2y1)24y1y2t21( 4t t2+2) 24 4 t2+2 4 2(t 21) t22 ，
26、 12/ 又x1+x2t(y1+y2)4t( 4t t2+2)4 8 t2+2， 线段MN的中点H的坐标为( 4 t2+2， 2t t2+2)， 线段MN的垂直平分线方程为 y 2t t2+2(t) (x 4 t2+2)，可得D( 2 t2+2，0)， |DH|( 2 t2+2 4 t2+2) 2(0 2t t2+2) 2 2 t 2+1 t2+2 ， 13/ （注： 或这样： 记A(2，0)， 则在RtDAH中，|DH|AH|tanMAx|AH|1 t| 2 t2+1 t2+2 ） 于是得到 |DH| |MN| 2 t2+1 t2+2 4 2(t21) t22 2 4 1 t2+1 2 4
27、（ t0） ， 14/ 不存在（ 2 4 ） ，使得|DH| =|MN|成立 注意到 0 2 13 1 9 |DH| 0 2|MN| 0 |DH| =|MN|， 15/ 不存在（ 2 4 ） ，使得 0 2 13 1 9 |DH| 0 2|MN| 0成 立 16/ 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 13 页页 共共 15 页页 21 （本题满分（本题满分 18 分）分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 4 分，第分，第 2 题满分题满分 6 分，第分，第 3 题满题满 分分 8
28、分分 解：（1）依题意，可得 2x4(1)， 3x4(2x)， 2/ 解得 5 3x6， 3 / 故，实数x的取值范围是 5 3，6 4 / （2）当n2k1（kN*）时，tnt2k13 3k23 3n1 2 ； 当n2k（kN*）时，tnt2k3 3k13 3n2 2 tn 3 3n1 2 ，n为正奇数， 3 3n2 2 ，n为正偶数 6/ 当n为正偶数时，tn1tn3 3n4 2 3 3n2 2 43 3n4 2 ， Tn4(3134373 3n4 2 )4 31 1(33) n 2 133 6(3 3n 2 1) 13 ； 当n为正奇数时，TnTn1tn16(3 3(n1) 2 1) 1
29、3 3 3(n1)2 2 53 3n1 2 6 13 数列Tn具有性质P()，Tn1Tn对一切nN*均成立， 又Tn0（nN*） ， Tn1 Tn 对一切nN*均成 立， 7/ 当n为正偶数时，n1为正奇数， Tn1 Tn 53 3n4 2 6 13 6(3 3n 2 1) 13 15 2 13 2 1 3 3n 2 1 (15 2 ， 31 4 ； 8/ 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 14 页页 共共 15 页页 当n为正奇数时，n1为正偶数， Tn1 Tn 6(3 3(n1) 2 1) 13 53
30、3n1 2 6 13 18 5 78 5 1 53 3n1 2 6 (18 5 ， 4 9/ 注意到 lim n( 18 5 78 5 1 53 3n1 2 6 )18 5 ， 18 5 ， 从而实数的最大值为 18 5 10/ （3）证明：充分性： xnxn1 2021 k=1 akxnk 2020 k=0 ak1xnk 2021 k=1 akxnk 2021 k=1 akxnk1 2021 k=1 ak(xnkxnk1) （）可化为xnxn1 2021 k=1 ak(xnkxnk1) （nN*） 11/ 利用“累加” ，并注意到x00，可得 xn 2021 k=1 ak(xnkxk)， （
31、） 12/ 由（）得Alim nxn（A 为常数） 对（）取极限得lim nxnlimn 2021 k=1 ak(xnkxk)，并注意到ak、xk均为正数， 可 得 A 2021 k=1 ak(Axk) A 2021 k=1 ak 2021 k=1 akxk A 2021 k=1 ak， 即 A A 2021 k=1 ak， 13/ 又 A0， 故 2021 k=1 ak1 14/ 必要性：考虑关于s的函数f (s)1 2021 k=1 aksk（这里s0，1） ， ak0 （k=1，2，2021） ， f (s)在0，1上是递增函数， 且f (0)10， 注意到 2021 k=1 ak1，f
32、 (1)1 2021 k=1 ak0， 方 程 f (s)0 在0，1内 有 唯 一 的 实 根 s0， 即 f (s0)0 ， 且 0s01 15/ 20202020 学年第学年第二二学期期学期期中中高三年级数学学科教学质量监测试卷高三年级数学学科教学质量监测试卷 第第 15 页页 共共 15 页页 现取数列xn：xn n k=1 sk 0 （n=1，2，） 16/ 则显然数列xn具有性质P(1)，且满足（） 又xn n k=1 sk 0 s0s n1 0 1s0 ，且0s01，lim nxn lim n s0s n1 0 1s0 s0 1s0 ，现取 A s0 1s0， 17 / 则xn满足（） 再由f (s0)0得 2021 k=1 aksk 01，则对n=1，2，有 xnxn1sn 0( 2021 k=1 aksk 0)s n 0 2021 k=1 aks nk 0 2021 k=1 ak(xnkxnk1) 2021 k=1 akxnk 2021 k=1 akxnk1 2021 k=1 akxnk 2020 k=0 ak1xnk 数列xn满足 （） 证 毕 18/
