1、高三数学 第 1 页 共 10 页 松江区 2020-2021 第二学期模拟考质量监控试卷 高三数学 （满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 20214 考生注意： 1本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择 题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。 3答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题一、填空题（本大题满分（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1212 题，题，第第 1 16 6 题题每个空格填对得每个空格填对得 4 4 分，分
2、，第第 7 7 1212 题题每个每个空格填对得空格填对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1已知集合11Ax x，1,2,3B ，则AB 2若复数z满足(1i)2z（i为虚数单位） ，则z 3已知向量(4, 2)a ，( ,2)bk，若ab，则实数k= 4在 6 (2)x的二项展开式中， 3 x项的系数为 （结果用数值表示） 5如图所示，在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1111 ACB DF，若 1 AFxAByADzAA ， 则xyz= 6若函数( )f xxa的反函数的图像经过点(2,1)， 则a= 7已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体
3、和圆柱的体积之比为 8因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从 5 名男医生和 4 名女医生中选派 3 人前 往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有 1 名女医生的概率为 9已知函数tan() 6 yx 的图像关于点(,0) 3 对称，且1，则实数的值为 10如图，已知 AB 是边长为 1 的正六边形的一条边， 点 P 在正六边形内（含边界） ，则AP BP的取值范围是 11已知曲线 C：2 (12)xyx，若对于曲线 C 上的任意一点 ( , )P x y，都有 12 ()()0 xycxyc，则 12 cc的最小值为 A F A1 D B C B1 C1 D1 高三数学 第 2
4、 页 共 10 页 12在数列 n a中， 1 3a ， 1123 1 nn aa aaa ，记 n T为数列 1 n a 的前n项和，则 lim n n T = 二、选择题二、选择题( (本大题满分本大题满分 2 20 0 分分) )本大题共有本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，选对得题，每题有且只有一个正确答案，选对得 5 5 分，分， 否则一律得零分否则一律得零分 13经过点(1,1)，且方向向量为(1,2)的直线方程是（ ） A 210 xy B 230 xy C 210 xy D 230 xy 14设，表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l，则/ /l是/ /的（ ）
5、 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 15已知实数a、b满足(2)(1)8ab，有结论： 当0,0ab时，ab存在最大值； 当0,0ab时，ab存在最小值 正确的判断是（ ） A 成立，成立 B 不成立，不成立 C 成立，不成立 D 不成立，成立 16已知函数 1 ( )2f xxa x 若存在相异的实数 12 ,(,0)x x ，使得 12 ()()f xf x成 立，则实数a的取值范围为（ ） A 2 (,) 2 B (,2) C 2 (,) 2 D ( 2,) 三三、解答题（本大题满分解答题（本大题满分 7676 分）本大题共有分）本大题共有 5 5
6、题，解答下列各题必须在答题题，解答下列各题必须在答题纸相纸相应编号的应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 17 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分 如图，S是圆锥的顶点，O是底面圆的圆心，AB、CD是底面圆的两条直径， 且ABCD， 4,2SOOB，P为SB的中点 （1）求异面直线SA与PD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ； （2）求点S到平面PCD的距离 A B D C O P S 高三数学 第 3 页 共 10 页 18
7、（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分 已知函数( )22 xx f xa （a为常数，aR） （1）讨论函数( )f x的奇偶性； （2）当( )f x为偶函数时，若方程(2 )( )3fxk f x在0,1x上有实根，求实数k的取 值范围 19 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 为打赢打好脱贫攻坚战， 某村加大旅游业
8、投入， 准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分 建成花卉观赏区， 分别种植玫瑰花、 郁金香和菊花 已知扇形的半径为100米， 圆心角为 2 3 ， 点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且/ /PQOA （1）当Q是OB的中点时，求PQ的长； （精确到米） （2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为 30 元/平方米、50 元/平方米、20 元/平方 米要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇形区 域AOB种植花卉的总成本 （精确到元） A B P Q O 玫瑰花区 郁金香区 菊花区 高三数学 第 4 页 共 10 页 20 （本题满分（本题满分 1 16 6 分）
9、本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分分，第第 3 3 小小 题满分题满分 6 6 分分 已知抛物线 2 4yx的焦点为F，直线l交抛物线于不同的 A、B 两点 （1）若直线l的方程为1yx，求线段AB的长； （2）若直线l经过点( 1,0)P ，点A关于x轴的对称点为 A ，求证： A 、F、B三点共线； （3）若直线l经过点(8, 4)M，抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过 点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由 2121 （本题满分（本题满分 1 18 8 分）
10、本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分分，第第 3 3 小小 题满分题满分 8 8 分分 对于至少有四项的实数列 n a，若对任意的n * (,3)nNn，都存在s、t(其中 * , ,)st s tNsn tn，使得 nst aaa成立，则称数列 n a具有性质 P （1）分别判断数列1,2,3,4和数列1,0,1,2 是否具有性质P，请说明理由； （2）已知数列 n a是公差为(0)d d 的等差数列，若sin nn ba，且数列 n a和 n b都具 有性质 P，求公差d的最小值； （3）已
11、知数列| n cnab（其中ab， Nba,） ，试探求数列 n c具有性质P的充 要条件 高三数学 第 5 页 共 10 页 2021.4 松江区高三数学二模试卷参考答案 一、填空题 1 1 ； 21i； 3 1 ； 4 160； 5 2； 63； 7:4 ； 8 37 42 ；9 1 2 或1 ；10 1 ,3 4 ； 1132 2 ； 12 2 3 二、选择题 13A 14B 15C 16B 17 解： （1）连接OP， P为SB的中点，OP为ABS的中位线，/ /SAOPOPD即 为异面直线SA与PD所成角2 分 ABCD，SOCDCD 平面SOB，而OP在平面SOB内， CDOP 4
12、 分 在直角三角形OPD中，2OD ， 22 111 245 222 OPSASB，5 分 22 5 tan 55 OD OPD OP ， 2 5 arctan 5 OPD， 异面直线SA与PD所成的角为 2 5 arctan 5 7 分 （2）以O为坐标原点，OD、OB为x轴、y轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,4), (0,1,2),(2,0,0)SPD， 9 分 设平面PCD的一个法向量为( , , )nu v w 由 0 0 n OP n OD ，得 20 20 vw u ，所以 0 2 u vw ， 12 分 不妨取(0, 2,1)n 则点S到平面PCD的距离 44 5 55 n
13、OS d n 14 分 18. 高三数学 第 6 页 共 10 页 解： （1）()22 xx fxa 1 分 当( )f x为偶函数时，由()( )fxf x 得 2222 xxxx aa 2 分 对任意的x， (1)2(1)2 xx aa 恒成立， 10,1aa 4 分 当( )f x为奇函数时，由()( )fxf x 得 2222 xxxx aa 5 分 对任意的x， (1)(22 )0 xx a 恒成立， 10,1aa 6 分 1a 时，( )f x为偶函数；1a时，( )f x为奇函数； 1a时， ( )f x为非奇非偶函数； 7 分 （2）由已知， xx xf 22)(，令 22
14、xx t ，则由0,1x 知 5 2, 2 t8 分 则222)2( 222 txf xx 方程3)()2(xkfxf化为3)2( 2 ktt，所以 t tk 5 10 分 由于 x xy 5 在), 0( 上递增 11 分 2t时， 2 1 2 5 2 min k， 12 分 2 5 t时， 2 1 2 2 5 min k 13 分 2 1 , 2 1 k时，方程3)()2(xkfxf有解 14 分 19. 解： （1）因为扇形的半径为100M，Q是OB中点，所以 50OQ ， 1 分 因为PQ OA， 2 3 AOB， 所以 3 OQP ， 2 分 在OPQ中，由余弦定理，得： 222 2
15、cosOPOQPQOQ PQOQP4 分 即： 2 5075000PQPQ，所以25 25 13115PQ （米） 6 分 （2）法一：设,OQx PQy， 在OPQ中，由余弦定理，得： 222 2cosOPOQPQOQ PQOQP 即： 22 10000 xyxy 8 分 由基本不等式得： 22 xyxyxy，所以10000 xy 高三数学 第 7 页 共 10 页 而 13 sin2500 3 24 OPQ SOQ PQOQPxy 当且仅当100 xy时，OPQ的面积的最大值为2500 3， 10 分 此时OPQ为正三角形， 3 QOP ，则 3 AOP 11 分 所以 215000 23
16、 AOP SAOP OA 扇 ，2500 3 OPQ S， 5000 2500 3 3 BPQ SSSS OPQ扇AOB扇AOP 12 分 种植花卉总投入为： 250000 30502075000 3391703 3 BPQ SSS OPQ扇AOP （元） 所以， 郁金香的种植区OPQ的面积最大值为2500 3平方米， 扇形区域AOB的种植花卉的 总投入为391703（元） 14 分 20. 解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y （1）联立 2 4 1 yx yx 得： 2 610 xx 2 分 由韦达定理： 12 6xx 易知直线l经过抛物线的焦点(1,0)F，由准线
17、1x 得： 1212 | | (1)(1)28ABOAOBxxxx 4 分 （2）证明：设直线l的方程为(1)yk x， 5 分 联立方程组 2 (1) 4 yk x yx ，消去y可得： 2222 (24)0k xkxk，6 分 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，则 1 (S x， 1) y， 2 12 2 42k xx k ， 12 1x x ， 7 分 2 2 1 FQ y k x ， 1 1 1 FS y k x ， 21211212 211212 (1)(1)(1)(1)2 (1) 0 11(1)(1)(1)(1) FQFS yyk xxk xxk x x k
18、k xxxxxx ，9 分 高三数学 第 8 页 共 10 页 FQFS kk，即S，F，Q三点共线 10 分 （3）假设存在定点N，设 2 0 ( 4 y N， 0) y， 22 12 12 (,), (,) 44 yy AyBy ，11 分 设直线l的方程为： (4)8xm y 联立 2 4 (4)8 yx xm y ，整理得 2 416320ymym，0， 1212 4 ,1632yym yym ， 13 分 由以弦AB为直径的圆恒过点N，知0NA NB 得： 2222 0102 0102 ()()0 44 yyyy yyyy 14 分 整理得： 2 001212 ()160yyyyyy
19、 所以， 2 00 416160yymm 即： 2 00 (416)160ymy对mR恒成立。 所以， 0 4160y ，即： 0 4y 所以存在定点(4,4)N，使以弦AB为直径的圆恒过点N。 16 分 21. 解： （1）对于数列1,2,3,4，312,32 1 ，不具有性质 P 2 分 对于数列1,0,1,2，10 1,21 ( 1) ，具有性质 P 4 分 （2）数列 n a 具有性质P， 321 aaa ， 1 ad 或 1 3ad . 当 1 ad 时， (2) n and， 12nnn aaa ， n a具有性质P 当 1 3ad 时， 1234 3 ,2 ,0ad ad ad
20、a ， n a不具有性质P (2) n and 6 分 此时 1234 sin ,0,sin ,sin2 ,bd bbd bd 有 321 bbb 由于 n b也具有性质 P 421 bbb或 431 bbb或 432 bbb 即sin2 sindd 或sin22sindd , 0sind或cos1d 或 2 1 cosd 高三数学 第 9 页 共 10 页 ()dkkZ或Zkkd, 3 ， 8 分 当 3 d时， (2)2 sinsinsin() 333 nn nn ba ，此时 6nn bb ， 数列 n b的 6 项为： 2 3 , 0 , 2 3 , 2 3 , 0 , 2 3 ， 由
21、于 362145327865 ,bbbb bbbb bbbb 且 6nn bb ，9n时， n b也具有性质 P，符合题意. d的最小值为 3 d 10 分 （3）banan|（其中 Nbaba,） 数列 n a具有性质P，则 123 aaa或 213 aaa 11 分 baabaabaa|3|,|2|,|1| 321 |1|2|3|aaba，或|2|1|3|aaba 即baaa|1|2|3|，或baaa|2|1|3|12 分 若 1a ，则 1b 或 3b ，由于 ba ， 3b 3, 1ba时， 此时4 nan， 前四项为0 , 1, 2, 3， 第四项0不是前三项中某两项之差， 舍去 1
22、3 分 2a，则 2b，由于ba ，舍去 3a ，则 1b ，此时1|3| nan.前四项为0 , 10 , 1 ， 第四项0不是前三项中某两项之差，舍去 14 分 若4a，2ab或4a 2ab时，2|aanan,即 anan ann an , 22 ,2 ，前四项为2, 1, 0 , 1. 由于 anaa anaa a n n n , 3 , 31 11 ，数列 n a具有性质P16 分 4ab时，4|aanan，即 anan ann an , 42 ,4 ，前四项为0 , 1 , 2 , 3.第四项0不 是前三项中某两项之差，舍去 17 分 高三数学 第 10 页 共 10 页 数列 n a具有性质P的充要条件是2ab 且4a. 18 分
