1、大题专练四（平面解析几何） 1椭圆的定义：|MF1|MF2|2a 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：(0，0) 顶点 A1(a，0)，A2(a，0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b，0)，B2(b，0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a 短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a，e(0，1) a，b，c 的关系 c2a2b2 2 双曲线的定义：|MF1|MF2|2a 标准方程 x2 a2
2、y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a，e(1，) 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的半实 轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c 的关系 c2a2b2(ca0，cb0) 3.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y22px(p0) y2
3、2px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 y0 x0 焦点 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，p 2 离心率 e1 准线方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0，y0) |PF|x0p 2 |PF|x0p 2 |PF|y0p 2 |PF|y0p 2 4 习题检测 1 已知椭圆的离心率为，且过点 （1）求的方程； （2）点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得 为定值
4、 22 22 :1(0) xy Cab ab 2 2 2,1A C MNCAMANADMNDQ DQ 2 已知椭圆：过，两点 （）求椭圆的方程及离心率； （）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴 交于点，求证：四边形的面积为定值 3.已知椭圆：的离心率为， 的面积为 1 （）求椭圆的方程； （）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点 求证：为定值 C 22 22 1 xy ab (2,0)A(0,1)B C PCPAyMPBx NABNM C 22 22 1(0) xy ab ab 3 2 ( ,0)A a(0, )Bb(0,0)O OAB C PCPAyMPBxN
5、| |ANBM 4.已知椭圆 C：的长轴长为 4，焦距为 22 （）求椭圆 C 的方程； （）过动点 M(0，m)(m0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是 线段 PN 的中点过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线 QM 交 C 于点 B (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k，证明为定值； (ii)求直线 AB 的斜率的最小值 22 22 1(0) xy ab ab k k 参考答案 1 答案： （1）根据题意，把点代入椭圆得到，设，又 ，代入式，求得，椭圆的方程为 解法一：由题意知的直线方程为，设直线与椭圆相切于点 ，联立方
6、程组得， ，得，由题意可知时，面积最大， 直线与直线距离， 解法二：设点AMAN， 整理可得： 设 MN 的方程为 y=kx+m，联立直线与椭圆方程可得：， 韦达定理可得：， ， 代入式有：， 化简可得：，即， 1122 ,M x yN x y 12 12 11 1 22 yy xx 12121 212 124y yyyx xxx 222 214260kxkmxm 2 1212 22 426 , 2121 kmm xxx x kk 1212 2 2 21 m yykxmkxm k 22 1212 2 6 21 mk y ykxmkxm k 2222 6226245 201mkmmkmk 2 4
7、81 310kkmmm21 2310kmkm 据此可得：或，直线 MN 的方程为或 ，即或，直线过定点或 又和 A 点重合，舍去，则直线过定点 由于 AE 为定值，且AED 为直角三角形，AE 为斜边，AE 中点 Q 满足为定值（AE 长度的一半） 由于，故由中点坐标公式可得 2.（I）由题意得，椭圆的方程为 又，离心率 （II）设（，） ，则 又，直线的方程为 令，得，从而 直线的方程为 令，得，从而，四边形的面积 从而四边形的面积为定值 21km 21 3km 12ykxk 12 3 k ykx 21yk x 21 33 yk x 2,1 21 , 33 2,1 21 , 33 E QD
8、22 1214 2 21 2333 21 , 3 2,1 3 ,AE 4 1 , 3 3 Q 2a1bC 2 2 1 4 x y 22 3cab 3 2 c e a 00 ,x y 0 0 x 0 0y 22 00 44xy 2,00,1 0 0 2 2 y yx x 0 x 0 0 2 2 y y x 0 0 2 11 2 y y x 0 0 1 1 y yx x 0y 0 0 1 x x y 0 0 22 1 x x y 1 2 S 00 00 21 21 212 xy yx 22 000000 0000 44484 222 xyx yxy x yxy 0000 0000 2244 22
9、x yxy x yxy 2 3.（）由题意得解得 椭圆的方程为 （）由（）知，设，则 当时，直线的方程为 令，得从而 直线的方程为 令，得从而 当时， 综上，为定值 4.答案：()设椭圆的半焦距为，由题意知， ，椭圆 C 的方程为 ()(i)设，由 M(0，)，可得 直线 PM 的斜率 ，直线 QM 的斜率 , , 1 2 1 , 2 3 222 cba ab a c 1, 2ba C 1 4 2 2 y x ) 1 , 0(),0 , 2(BA),( 00 yxP44 2 0 2 0 yx 0 0 x PA )2( 2 0 0 x x y y 0 x 2 2 0 0 x y yM 2 2 1
10、1 0 0 x y yBM M PB 1 1 0 0 x x y y 0y1 0 0 y x xN 1 22 0 0 y x xAN N 2 2 1 1 2 0 0 0 0 x y y x BMAN 22 8844 22 48444 0000 0000 0000 0000 2 0 2 0 yxyx yxyx yxyx yxyxyx 4 0 0 x1 0 y , 2, 2ANBM4 BMAN BMAN c 24,22 2ac 22 2,2abac 22 1 42 xy 0000 ,0,0P x yxy m 00 ,2, 2.P xm Q xm 00 2mmm k xx 00 23 mmm k x
11、x 此时，为定值 (ii)设，直线 PA 的方程为， 直线 QB 的方程为 联立 ，整理得 由可得 ， 同理 ， ， 由，可知 k0， ，等号当且仅当时取得，此时 ，即，符号题意，直线 AB 的斜率的最小值为 3 k k k k3 1122 ,A x yB x y ykxm 3ykxm 22 1 42 ykxm xy 222 214240kxmkxm 2 0 1 2 24 21 m x x k 2 1 2 0 22 21 m x kx 2 11 2 0 22 21 k m ykxmm kx 22 22 22 00 2262 , 181181 mk m xym kxkx 2222 21 2222 000 2222322 18121181 21 mmkm xx kxkxkkx 2222 21 2222 000 62228612 18121181 21 k mmkkm yymm kxkxkkx 2 21 21 6111 6. 44 AB yyk kk xxkk 0 0,0mx 1 62 6k k 6 6 k 2 6 6 48 m m 14 7 m 6 2
