1、高三数学第 1页共 9页 青浦区青浦区 2020-20212020-2021 学年高三学年高三年级第二次学业质量调研测试年级第二次学业质量调研测试 数学学科数学学科 试卷试卷 （时间 120 分钟，满分 150 分）2021.04 一一、填空题填空题（本大题满分本大题满分 54 分分）本大题共有本大题共有 12 题题，1-6 每题每题 4 分分，7-12 每题每题 5 分考生应在答题分考生应在答题 纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1已知集合( 2,3)A ， 1,4B ，则集合AB _ 2已知i
2、为虚数单位，复数 i 2i z ，则z z _ 3已知三阶行列式 124 14 139 x 的值为0，则x_ 4已知ABC中，30 ,45 ,6ABBC ，则AC _ 5已知函数( )3 31 x x a f x 最小值为 5 3 ，则a _ 6 92 ) 2 1 ( x x 的展开式中 9 x系数是_ 7若从一副52张的扑克牌中随机抽取1张，放回后再抽取1张，则两张牌都是K的概率 为_ （结果用最简分数表示） 8已知正三角形ABC的边长为1，点D在边BC上，且 1 3 BD ，则AB AD _ 9已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为( 7,0)F，直线1yx与该双曲线交于 M、N 两点，M
3、N 中点的横坐标为 3 2 ，则此双曲线的方程是_ 10已知函数( )yf x是定义在R上的以3为周期的奇函数，且0)2(f，则方程( )0f x 在 区间)6 , 0(内零点的个数的最小值是_个 11已知直线1lyx ：与x轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为 高三数学第 2页共 9页 121 , n P PP ，过这些分点分别作x轴的垂线，与直线l的交点依次为 121 , n Q QQ ，从 而得到1n个直角三角形 11 QOP， 212 Q PP， 112nnn QP P ，若这些三角形的面 积之和为 n S，则lim n n S _ 12已知函数 2 ,2 416 1 (
4、),2 2 x a x x x f x x ，若对任意的 1 2,x ，都存在唯一的 2 ,2x ， 满足 12 f xf x，则实数a的取值范围为_ 二二、选择题选择题（本大题满分本大题满分 20 分分）本大题共有本大题共有 4 题题，每题有且只有一个正确答案每题有且只有一个正确答案，考生应在答题考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 13 已知, a bR， 则 “0a 且且0b ” 是 “abab” 的 （） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充分必要条件（D）既
5、不充分也不必要条件 14 下列点不在直线 2 1 2 2 2 2 xt yt (t为参数)上的是 （） （A）( 1,2)（B）( 3,2)（C）(2, 1)（D）(3, 2) 15 点P在直线1lyx：上， 若存在过P的直线交抛物线 2 yx于A、B两点， 且PAAB， 则称点P为“友善点”，那么下列结论中正确的是（） （A）直线上的所有点都是“友善点” （B）直线上仅有有限个点是“友善点” （C）直线上的所有点都不是“友善点” （D）直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点” 16已知函数( )yf x的定义域为R，给出以下两个结论： 若函数( )yf x的图像是轴对称图形，则函数(
6、( )yf f x的图像是轴对称图形； 若函数( )yf x的图像是中心对称图形，则函数( ( )yf f x的图像是中心对称图形 它们的成立情况是（） （A）成立，不成立 （B）不成立，成立（C）均不成立（D）均成立 高三数学第 3页共 9页 三三解答题解答题（本大题满分本大题满分 76 分分）本大题共有本大题共有 5 题题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤区域内写出必要的步骤. 17.(本题满分本题满分 14 分）分）本题共本题共有有 2 个个小题，小题，第第 1 小题小题满分满分 6 分，第分，第 2 小题小题满分满分 8
7、 分分. 如图，已知圆锥的体积为，底面半径OA与OB的夹角 2 3 AOB，且 3OA ；P是母线BS的中点 （1）求圆锥的表面积； （2）求异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数 表示） 18 （本题满分（本题满分 14 分）分）本题共本题共有有 2 个个小题，小题，第第 1 小题小题满分满分 6 分，第分，第 2 小题小题满分满分 8 分分. 已知函数 2 ( )2 2sincos2 2cos2 222 xxx f x . （1）求函数 ( )f x在区间 0,上的值域； （2）若方程()= 3(0)fx在区间0,上至少有两个不同的解，求的取值范围. 19.(本题满分本题满分 1
8、4 分）本题共分）本题共有有 2 个个小题，小题，第第 1 小题小题满分满分 6 分，第分，第 2 小题小题满分满分 8 分分. 由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产 提供(0,10)x x(万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服A公司 在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到 12 6 4 tk x (万件)，其中k为工厂工人 的复工率（0.5,1k ）.A公司生产t万件防护服还需投入成本(20950 )xt(万元) （1） 将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入 公司收入)；
9、 （2）对任意的 0,10 x (万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确 到 0.01） 高三数学第 4页共 9页 20.(本题满分本题满分 16 分）本题共有分）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题小题满分满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满小题满 分分 6 分分. 已知A、B分别是椭圆 22 22 :+1(0) xy Cab ab 的左右顶点，O为坐标原点，6AB ， 点 5 2, 3 在椭圆C上过点0, 3P的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点B落在以线段MN为直径的圆的外部，求直线
10、l的倾斜角的取值范围； （3） 当直线l的倾斜角为锐角时， 设直线AM、AN分别交y轴于点S、T， 记PSPO ， PTPO ，求的取值范围 21.(本题满分本题满分 18 分）本题共有分）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题小题满分满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满小题满 分分 8 分分. 已知数列 n a为等差数列，且 2 5a ， 8 23a 数列 n b是各项均为正数的等比数列， 1 2b ，且对任意正整数, s t都有 s tst bb b 成立 （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）求证：数列 n b中有无穷多项在数列 n
11、 a中； （3）是否存在二次函数( )f x和实数a，使得, ( ), ( ( ), ( ( ( )a f af f af f f a为数列 n b中 连续 4 项？若存在，请写出一个满足条件的( )f x的解析式和对应的实数 a 的值；若不存在，说 明理由 高三数学第 5页共 9页 青浦区青浦区 2020-20212020-2021 学年第二学期学年第二学期 高三年级第二次学业质量调研测试高三年级第二次学业质量调研测试 数学数学参考答案参考答案2021.04 一一. .填空题填空题（本大题满分本大题满分 5454 分分）本大题共有本大题共有 1 12 2 题题，1-61-6 每题每题 4 4
12、 分分，7-127-12 每题每题 5 5 分考生应在答题分考生应在答题 纸相应编号的空格内直接填写结果纸相应编号的空格内直接填写结果. . 1 1,3 ；2 1 3 ； 32；42 3； 5 16 9 ；6 2 21 ； 7 1 169 ；8 5 6 ； 9.1 52 22 yx ；10.7； 11 1 4 ；12. 2,6 . 二二. .选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑
13、，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 13.D；14.B； 15A；16.C. 三三解答题解答题（本大题满分本大题满分 7474 分分）本大题共有本大题共有 5 5 题题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤区域内写出必要的步骤. . 17.(17.(本题满分本题满分 1414 分）分）本题共本题共 2 2 小题，小题，第第（1 1）小题小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分. . 解解： （1） 1 3 ,1,2 3 VShSSOSB， 2 3 232 33 S 表 （2）取BO中点
14、H，连接,PH AHSO，与PA所成角为APH(或其 补角)， 1 22 21 AHPH， ， 2an1tAPH ，所以异面直线SO 与PA所成角的大小为arctan 21 高三数学第 6页共 9页 1818 （本题满分（本题满分 14 分）第（分）第（1）小题满分）小题满分 6 分，第（分，第（2）小题满分）小题满分 8 分分. . 解:（1） 2 ( )2 2sincos2 2cos22sin2cos 222 2sin() 4 xxx f xxxx ， 令 4 Ux ，0,x， 5 , 44 U 由sinyU的图像知， 2 sin,1 2 U ，即 2 sin,1 42 x ， 2sin2
15、,2 4 x ，所以函数 ( )f x的值域为2,2 . （2）()2sin()(0) 4 fxx ()= 3fxQ，2sin()3 4 x ， 即 3 sin()= 42 x ， 0,x， 444 x ,，且=2() 43 xkk Z或 2 =2() 43 xkk Z 由于方程()= 3(0)fx在区间0,上至少有两个不同的解，所以 2 43 ，解得 5 12 ，所以的取值范围为 5 , 12 . 19.(19.(本题满分本题满分 1 14 4 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第小题，第（1 1）小题小题 6 6 分，第分，第（2 2）小题小题 8 8 分分. . 解： （1）由题意，
16、80(20950 )yxtxt 30820tx 12 306820 4 kx x 360 180820 4 k kx x ， 即 360 180820 4 k ykx x ， 0,10 x ，0.5,1k . （2）对任意的 0,10 x (万元)，A公司都不产生亏损，则 360 1808200 4 k kx x 在 高三数学第 7页共 9页 0,10 x 上恒成立，不等式整理得， 2084 180 2 xx k x ， 令2mx，则2,12m，则 20848428 820 2 xxmm m xmm ， 由函数 8 820h mm m 在2,12上单调递增，可得 max 82 128 1220
17、116 123 h mh ， 所以 2 180116 3 k ，即 2 116 3 0.65 180 k . 所以当复工率k达到0.65时，对任意的 0,10 x (万元)，A公司都不产生亏损 2020.(.(本题满分本题满分 1 16 6 分分）本题本题共共 3 3 小题小题，第第（1 1）小题小题 4 4 分分，第第（2 2）小题小题 6 6 分分，第第（3 3）小题小题 6 6 分分. . 解： （1）因为6AB ，所以3a ； 又点 5 2, 3 在图像C上即 2 2 2 5 2 3 1 9b ，所以5b ， 所以椭圆C的方程为 22 1 95 xy ； （2）由（1）可得3,0B 当
18、直线l的斜率不存在时，2 5MN ，以线段MN为直径的圆交x轴于( 5,0) 点3,0B在以线段MN为直径的圆的外部，符合，此时90， 当直线l的斜率存在时，设直线3lykx：，设 11 ( ,)M x y 、 22 (,)N xy， 由 22 3 1 95 ykx xy + 得 22 (59)54360kxkx， 22 (54 )4 36 (59)0kk 解得 2 3 k 或 2 3 k （i） 点3,0B在以线段MN为直径的圆的外部，则0QM QN ， 又 12 2 12 2 54 59 36 59 k xx k x x k 高三数学第 8页共 9页 2 11221212 (3,)(3,)
19、(1)3(1)() 180QM QNxyxykx xk xx 解得1k 或 7 2 k （ii） 由（i）、（ii）得实数k的范围是 2 1 3 k或 7 2 k ， 由、得直线l的倾斜角的范围是 2 72 (tan,)(tan,tan) 3 423 arcarcarc； （3）设直线3lykx：，又直线l的倾斜角为锐角，由（2）可知 2 3 k ， 记 11 ( ,)M x y、 22 (,)N xy，所以直线AM的方程是： 1 1 3 3 y yx x ，直线AN的方程是： 2 2 3 3 y yx x . 令0 x ，解得 1 1 3 +3 y y x ，所以点 S 为 1 1 3 0,
20、 +3 y x ；同理点 T 为 2 2 3 0, +3 y x . 所以 1 1 3 0,3 +3 y PS x ， 2 2 3 0,3 +3 y PT x ，0,3PO . 由PS PO ，PTPO ，可得： 1 1 3 33 +3 y x ， 2 2 3 33 +3 y x ， 所以 12 12 2 33 yy xx ， 由（2）得 12 2 54 95 k xx k ， 12 2 36 95 x k x ， 所以 1212 12 121212 231133 333 8 22 9 kx xkxxkxkx xxx xxx 22 22 54 23118 9595 2 54 9 36 36 9
21、595 k kk kk k kk 2 101 2 921 k kk 2 110 2 9 1 k k 1014 2,2 913 2 3 k k 综上所以的范围是 4 ,2 3 . 2121.(.(本题满分本题满分 1818 分分）本题本题共共 3 3 小题小题，第第（1 1）小题小题 4 4 分分，第第（2 2）小题小题 6 6 分分，第第（3 3）小题小题 8 8 分分. . 高三数学第 9页共 9页 解解： （1）设数列 n a公差为 d，则 82 3 82 aa d ， 12 2aad，所以31 n an 设数列 n b公比为 q，由条件得 111 2(2) (2) s tst qqq ，
22、解得2q ，从而2n n b （2）令 kn ba得231 k n，所以 21 3 k n ， 取21()kmm * N，则 21 21212 (3 1)1 kmm 111 2 (333 1)1 mmm mm CC 111 2 (333)3 mmm mm CC 所以21 k 能够被 3 整除，所以此时n * N，即21()kmm * N时， k b是数列 n a中的项， 从而数列 n b中有无穷多项在数列 n a中 （3）设 2 ( )(0)f xrxsxt r，若, ( ), ( ( ), ( ( ( )a f af f af f f a为数列 n b中连续 4 项， 设2 () n an * N，则 1 ( )2nf a ， 2 ( ( )2nf f a ， 3 ( ( ( )2nf f f a ， 所以 1 1+12 +2+23 422 422 422 nnn nnn nnn rst rst rst 于是 1 1+12 3422 3422 nnn nnn rs rs 于是34 =0 n r，所以0r ，矛盾 所以不存在二次函数( )f x和实数a，使得, ( ), ( ( ), ( ( ( )a f af f af f f a为数列 n b中连续 4 项
