2021年北京市朝阳区高考数学质检试卷（一模）.docx

1、第 1页（共 20页） 2021 年北京市朝阳区高考数学质检试卷（一模）年北京市朝阳区高考数学质检试卷（一模） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合 1A ，0，1，2，3， |1 0Bx x ，则(AB ) A0，1，2，3B1，2，3C2，3D3 2 （4 分）如果复数 2 () bi bR i 的实部与虚部相等，那么(b ) A2B1C2D4 3 （4 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 1a ， 9

2、18S ，则 1 (a ) A0B1C2D3 4 （4 分）已知圆 22 4xy截直线2ykx所得弦的长度为2 3，则实数(k ) A2B3C2D3 5 （4 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2，则双曲线C的渐近线方程为 () A3yx B 3 3 yx C 1 2 yx D2yx 6 （4 分）在ABC中，若 222 0abcac，则(B ) A 6 B 4 C 3 D 2 3 7 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥最 长的棱长为() A2B5C6D2 2 第 2页（共 20页） 8 （4 分）在ABC

3、中， “tantan1AB ”是“ABC为钝角三角形”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 9 （4 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点若点A在 抛物线C上，且| 5AF ，则|(PAPOO为坐标原点）的最小值为() A8B2 13C41D6 10 （4 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P是线段 1 BC上的点，过 1 A的平面 与直线PD垂直当P在线段 1 BC上运动时，平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面 面积的最小值是() A1B 5 4 C 6 2 D2 二

4、、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 （5 分）在 8 1 ()x x 的展开式中， 4 x的系数为 （用数字作答） 12 （5 分）已知函数 2 2 ,1, ( ) log,1, x x f x x x 则(0)f；( )f x的值域为 13 （5 分）已知向量( 3a ，1)，(bx ，)(0)y xy ，且| 1b ，0a b ，则向量b 的 坐标可以是 （写出一个即可） 14 （5 分）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利 8 元现计划在“五一” 期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（

5、单 位：万元）符合函数模型 2 3 1 m x 若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投 入万元 15 （5 分）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的 混沌理论在生物学、 经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中， 函数的周期点是一个 关键概念，定义如下：设( )f x是定义在R上的函数，对于 0 xR，令 1 ()(1 nn xf xn ，2， 3，)，若存在正整数k使得 0k xx，且当0jk时， 0j xx，则称 0 x是( )f x的一个周 期为k的周期点给出下列四个结论： 若 1 ( ) x f xe ，则( )f x存在唯一一个周期为 1 的周

6、期点； 若( )2(1)f xx，则( )f x存在周期为 2 的周期点； 第 3页（共 20页） 若 1 2 , 2 ( ) 1 2(1), 2 x x f x x x 则( )f x不存在周期为 3 的周期点； 若( )(1)f xxx，则对任意正整数n， 1 2 都不是( )f x的周期为n的周期点 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16 （13 分） 已知函数( )sin()(0,0,0) 2 f xAxA 由下列四个条件中的三个来 确定： 最小正周期为；最大

7、值为 2；()0 6 f ；(0)2f （）写出能确定( )f x的三个条件，并求( )f x的解析式； （）求( )f x的单调递增区间 17（13 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，O是AD边的中点，PO 底面ABCD，1PO 在 底面ABCD中，/ /BCAD，CDAD，1BCCD，2AD （）求证：/ /AB平面POC； （）求二面角BAPD的余弦值 18 （14 分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝 对贫困为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区 2019 年脱贫 家庭进行简单随机抽样，共抽取 500 户家庭作为样本，获得数据

8、如表： A地区B地区 2019 年人均年纯收入超过 10000 元 100 户150 户 2019 年人均年纯收入未超过 10000 元 200 户50 户 假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过 10000 元相互独立 第 4页（共 20页） （）从A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，估计该家庭 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的概率； （）在样本中，分别从A地区和B地区 2019 年脱贫家庭中各随机抽取 1 户，记X为这 2 户家庭中 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的户数，求X的分布列和数学期望； （）从样本中A地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4

9、 户，发现这 4 户家庭 2020 年人均年 纯收入都超过 10000 元根据这个结果，能否认为样本中A地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年有变化？请说明理由 19 （15 分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为(0,1)A，(0, 1)B，离心率为 6 3 （）求椭圆C的方程及焦点的坐标； （）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线 3y 交于点P， 直线MB与直线3y 交于点Q， 试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？ 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由 20 （15 分）已知函数( )(1)() x f

10、xaxe aR （）求( )f x的单调区间； （）若直线yaxa与曲线( )yf x相切，求证： 2 ( 1,) 3 a 21 （15 分）设数列 1 : m Aa， 2 a，(2) m am，若存在公比为q的等比数列 11 : m Bb ， 2 b， ， 1m b ，使得 1kkk bab ，其中1k ，2，m，则称数列 1m B 为数列 m A的“等比分 割数列” （）写出数列 4:3 A，6，12，24 的一个“等比分割数列” 5 B； （）若数列 10 A的通项公式为2 (1 n n an，2，10)，其“等比分割数列” 11 B的首 项为 1，求数列 11 B的公比q的取值范围；

11、（）若数列 m A的通项公式为 2( 1 n an n，2，)m，且数列 m A存在“等比分割数列” ， 求m的最大值 第 5页（共 20页） 2021 年北京市朝阳区高考数学质检试卷（一年北京市朝阳区高考数学质检试卷（一） （一模）（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合 1A ，0，1，2，3， |1 0Bx x ，则(AB ) A0，1，2，3B1，2，3C2，3D3 【解答

12、】解：因为集合 1A ，0，1，2，3， |1 0 |1Bx xx x， 所以1AB ，2，3 故选：B 2 （4 分）如果复数 2 () bi bR i 的实部与虚部相等，那么(b ) A2B1C2D4 【解答】解： 2 2(2)() 2 bibii bi ii 的实部与虚部相等， 2b 故选：A 3 （4 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 1a ， 9 18S ，则 1 (a ) A0B1C2D3 【解答】解： 19 95 9() 189 2 aa Sa ， 5 2a， 又 3 1a ， 由等差数列的性质可得： 1513 222aaaa， 1 0a， 故选：A 4 （4

13、分）已知圆 22 4xy截直线2ykx所得弦的长度为2 3，则实数(k ) A2B3C2D3 【解答】解：圆 22 4xy截直线2ykx所得弦的长度为2 3， 可得弦心距为：431， 第 6页（共 20页） 所以： 2 |2| 1 1k ，解得3k 故选：D 5 （4 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2，则双曲线C的渐近线方程为 () A3yx B 3 3 yx C 1 2 yx D2yx 【解答】解：根据题意，双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2， 其焦点在y轴上，其渐近线方程为 b yx a ， 又由其离心率2

14、c e a ，则2ca， 则 22 3bcaa，即3 b a ， 则其渐近线方程3yx ； 故选：A 6 （4 分）在ABC中，若 222 0abcac，则(B ) A 6 B 4 C 3 D 2 3 【解答】解：若 222 0abcac， 所以 222 1 cos 22 cab B ac ， 由于(0, )B， 所以 2 3 B 故选：D 7 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥最 长的棱长为() 第 7页（共 20页） A2B5C6D2 2 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥ABCD； 如图所示： 所以： 22 112

15、ABBC，1CDBD， 22 215AD ， 222 1216AC ， 故选：C 8 （4 分）在ABC中， “tantan1AB ”是“ABC为钝角三角形”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【 解 答 】 解 ： 解 法 一 ：（ 1 ） 若C为 钝 角 ， 则A，B为 锐 角 ， tantan tantan()0 1tantan AB CAB AB ，解得tantan1AB 若A或B为钝角，则tantan1AB 成立 （2）若tantan1AB 成立，假设A或B为钝角，则ABC为钝角三角形 假设A，都B为锐角， tantan tantan(

16、)0 1tantan AB CAB AB ，解得C为钝角，则ABC为 钝角三角形 综上可得：在ABC中， “tantan1AB ”是“ABC为钝角三角形”的充要条件 第 8页（共 20页） 解法二： sinsincos() tantan1100coscoscos0 coscoscoscos ABAB ABABCABC ABAB 为钝角三角形 在ABC中， “tantan1AB ”是“ABC为钝角三角形”的充要条件 故选：C 9 （4 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点若点A在 抛物线C上，且| 5AF ，则|(PAPOO为坐标原点）的最小值为() A8B

17、2 13C41D6 【解答】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为( , )a b， 由抛物线的方程可得焦点(1,0)F， 则|15AFa ，解得4a ， 所以(4,4)A， 所以点A关于直线1x 的对称点为( 6,4)A ， 故| |522 13PAPOPAPOAO ， 当且仅当A，P，O三点共线时，等号成立， 即|PAPO的最小值为2 13 故选：B 10 （4 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P是线段 1 BC上的点，过 1 A的平面 与直线PD垂直当P在线段 1 BC上运动时，平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面 面积的最小值是() 第 9页（

18、共 20页） A1B 5 4 C 6 2 D2 【解答】解：当P在B点时，BD 平面 11 ACC A，平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的 截面面积：122是最大值； 当P与 1 C重合时， 1 DC 平面 11 A DCB， 平 面截 正 方 体 1111 ABCDABC D所 得 的 截 面 面 积 ：122是 最 大 值 ； 当P由B向 1 C移动时，平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面 1 AEF，E由A向B移 动， 当P到1BC的中点时，取得最小值，如图 此时E为AB的中点，F为 11 DC的中点，(P在底面ABCD上的射影为DH，H是BC的中 点，此时

19、ECDH，可得DPEC，同理可得DPCF，可证明DP 平面 1 )A ECF， 1 5 2 AECE，3AC ，2EF ，四边形 1 A ECF是菱形， 所以平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面面积： 116 23 222 EF AC是最 第 10页（共 20页） 小值 故选：C 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 （5 分）在 8 1 ()x x 的展开式中， 4 x的系数为28 （用数字作答） 【解答】解：展开式的通项为 88 2 188 1 ( ) rrrrr r TC xC x x ， 令824r，解得2r ， 所

20、以 4 x的系数为 2 8 28C ， 故答案为：28 12 （5 分）已知函数 2 2 ,1, ( ) log,1, x x f x x x 则(0)f1；( )f x的值域为 【解答】解： 0 (0)21f， 当1x 时，022 x ，此时0( )2f x， 当1x时， 2 log0 x，则 2 log0 x，即此时( ) 0f x ， 综上( )2f x ，即函数( )f x的值域为(,2)， 故答案为：1，(,2) 13 （5 分）已知向量( 3a ，1)，(bx ，)(0)y xy ，且| 1b ，0a b ，则向量b 的 坐标可以是 2 ( 2 ， 2 ) 2 （写出一个即可） 【

21、解答】解：向量( 3a ，1)，(bx ，)(0)y xy ，且| 1b ，0a b ，如图，可知向量 b 的坐标可以是红色曲线上的任意一点，向量b 的坐标可以是 2 ( 2 ， 2 ) 2 故答案为： 2 ( 2 ， 2 ) 2 第 11页（共 20页） 14 （5 分）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利 8 元现计划在“五一” 期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单 位：万元）符合函数模型 2 3 1 m x 若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投 入3万元 【解答】解：由题意知，每售出 1 万件A商品获利 8 万元， 售出m万件

22、A商品的总获利为： 216 88(3)24 11 mxxx xx ， 设 16 ( )24(0) 1 f xx x x ， 则 2 16 ( )(0) (1) fxx x x ，令( )0fx， 即 2 16 10(0) (1) x x ， 解得03x ， 当03x 时，( )0fx，函数( )f x在0，3)单调递增， 当3x 时，( )0fx，函数( )f x在(3,)上单调递减， 则当3x 时，函数( )f x取得极大值，即最大值， 要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入 3 万元 故答案为 3 15 （5 分）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的

23、混沌理论在生物学、 经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中， 函数的周期点是一个 关键概念，定义如下：设( )f x是定义在R上的函数，对于 0 xR，令 1 ()(1 nn xf xn ，2， 3，)，若存在正整数k使得 0k xx，且当0jk时， 0j xx，则称 0 x是( )f x的一个周 第 12页（共 20页） 期为k的周期点给出下列四个结论： 若 1 ( ) x f xe ，则( )f x存在唯一一个周期为 1 的周期点； 若( )2(1)f xx，则( )f x存在周期为 2 的周期点； 若 1 2 , 2 ( ) 1 2(1), 2 x x f x x x 则( )f x

24、不存在周期为 3 的周期点； 若( )(1)f xxx，则对任意正整数n， 1 2 都不是( )f x的周期为n的周期点 其中所有正确结论的序号是 【解答】解：对于 0 xR，令 1 ()(1 nn xf xn ，2，3，)， 若存在正整数k使得 0k xx，且当0jk时， 0j xx， 则称 0 x是( )f x的一个周期为k的周期点 对于 1 ( ) x f xe ，当1k 时， _0 1 10 () x xf xe ， 因为直线yx与( )yf x只有一个交点(1,1)，故正确； 对于，( )2(1)f xx，2k 时， 21100 ()2(1)21()42xf xxf xx， 所以(

25、)f x存在周期为 2 的周期点，故正确； 对于， 1 2 , 2 ( ) 1 2(1), 2 x x f x x x ，当0 x 时，( )0f x 恒成立； 当0 x时， 100 ()20 xf xx， 210 ()40 xf xx， 320 ()80 xf xx， 显然 03 xx在 0 0 x 时成立，所以存在正确为 3 的周期点，故错误； 对于， 2 11 ( )(1)() 24 f xxxx ，所以 1 ( ) 4 f x ，即 1 ( ) 2 f x ， 所以 1 2 不是周期点，故正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算

26、步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16 （13 分） 已知函数( )sin()(0,0,0) 2 f xAxA 由下列四个条件中的三个来 确定： 最小正周期为；最大值为 2；()0 6 f ；(0)2f 第 13页（共 20页） （）写出能确定( )f x的三个条件，并求( )f x的解析式； （）求( )f x的单调递增区间 【解答】解： （）若函数( )f x满足条件，则(0)sin2fA ， 这与0A ，0 2 矛盾，故函数( )f x不能满足条件， 所以函数( )f x只能满足条件， 由条件，可得 2 | ， 又因为0，可得2， 由条件，可得2A ，( )2sin

27、(2)f xx 由条件，可得()2sin()0 63 f ， sin()0 3 ， 3 k ，kZ， 3 k ，kZ，又因为0 2 ，所以 3 ， 所以( )2sin(2) 3 f xx （） 令222 232 kxk ，kZ， 5 1212 kxk ， ( )f x的单调递增区间为 5 12 k ， 12 k ，()kZ 17（13 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，O是AD边的中点，PO 底面ABCD，1PO 在 底面ABCD中，/ /BCAD，CDAD，1BCCD，2AD （）求证：/ /AB平面POC； （）求二面角BAPD的余弦值 【解答】 （）证明：在四边形ABCD中，因为/ /

28、BCAD， 1 2 BCAD， O是AD的中点，则/ /BCAO，BCAO， 所以四边形ABCO是平行四边形，所以/ /ABOC， 第 14页（共 20页） 又因为AB 平面POC，CO 平面POC， 所以/ /AB平面POC； （）连结OB，因为PO 平面ABCD，所以POOB，POOD， 又因为点O时AD的中点，且 1 2 BCAD，所以BCOD， 因为/ /BCAD，CDAD，BCCD， 所以四边形OBCD是正方形，所以BOAD， 建立空间直角坐标系如图所示， 则(0A，1，0)，(1B，0，0)，(1C，1，0)，(0D，1，0)，(0P，0，1)， 所以(1,1,0),(0,1,1)

29、ABAP ， 设平面BAP的法向量为( , , )mx y z ， 则 0 0 m AB m AP ，即 0 0 xy yz ，令1y ，则1xz ，故( 1,1, 1)m ， 因为OB 平面PAD， 所以(1,0,0)OB 是平面PAD的一个法向量， 所以 | 1|3 |cos,| 3|3 1 m OB m OB m OB ， 由图可知，二面角BAPD为锐角， 所以二面角BAPD的余弦值为 3 3 18 （14 分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝 对贫困为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区 2019 年脱贫 家庭进行简单随机抽样，

30、共抽取 500 户家庭作为样本，获得数据如表： 第 15页（共 20页） A地区B地区 2019 年人均年纯收入超过 10000 元 100 户150 户 2019 年人均年纯收入未超过 10000 元 200 户50 户 假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过 10000 元相互独立 （）从A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，估计该家庭 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的概率； （）在样本中，分别从A地区和B地区 2019 年脱贫家庭中各随机抽取 1 户，记X为这 2 户家庭中 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的户数，求X的分布列和数学期望； （）从样本中

31、A地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4 户，发现这 4 户家庭 2020 年人均年 纯收入都超过 10000 元根据这个结果，能否认为样本中A地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年有变化？请说明理由 【解答】解： （）设事件C：从A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年 人均纯收入超过 10000 元， 从表格数据可知，A地区抽出的 300 户家庭中 2019 年人均年收入超过 10000 元的有 100 户， 因此P（C）可以估计为 1001 3003 ； （）设事件A：从样本中A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户

32、，该家庭 2019 年人均 纯收入超过 10000 元， 设事件B：从样本中B地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年人均纯收入 超过 10000 元， 由题意可知，X的可能取值为 0，1，2， 131 (0)()( ) ( )(1)(1) 346 P XP ABP A P B， 13137 (1)()( ) ( )( ) ( )(1)(1) 343412 P XP ABABP A P BP A P B ， 131 (2)()( ) ( ) 344 P XP ABP A P B， 所以X的分布列为： X012 第 16页（共 20页） P 1 6 7 12 1 4 所

33、以X的数学期望为 17113 ()012 612412 E X ； （）设事件E为“从样本中A地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4 户， 这 4 户家庭 2020 年人均年纯收入都超过 10000 元” ， 假设样本中A地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年没有变化， 则由 2019 年的样本数据可得 4 100 4 300 ( )0.012 C P E C 答案示例 1：可以认为有变化，理由如下： P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地 区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，

34、所以可以认为有变化 答案示例 2：无法确定有没有变化，理由如下： 事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确 定有没有变化 19 （15 分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为(0,1)A，(0, 1)B，离心率为 6 3 （）求椭圆C的方程及焦点的坐标； （）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线 3y 交于点P， 直线MB与直线3y 交于点Q， 试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？ 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由 【解答】解（）由题意可得1b ， 6 3 c e a ， 222 cab， 解得 2 3

35、a ， 所以椭圆的方程为： 2 2 1 3 x y，且焦点坐标(2，0)； （） 设直线MA的方程为：1ykx，(0)k ， 则过原点的直线且与直线MA平行的直线为ykx 因为P是直线ykx，3y 的交点，所以 3 (P k ，3)， 因为直线AM与椭圆 2 2 1 3 x y联立： 第 17页（共 20页） 2 2 1 1 3 ykx x y ，整理可得： 22 (13)60kxkx， 可得 2 6 13 M k x k ， 22 22 613 1 1313 M kk y kk ， 即 2 6 ( 13 k M k ， 2 2 13 ) 13 k k ，因为(0, 1)B， 直线MB的方程为

36、：1 3 x y k ， 联立 1 3 3 x y k y ，解得：3y ，12xk ， 由题意可得( 12 ,3)Qk， 设 0 (T x， 0) y， 所以 0 3 (PTx k ， 0 3)y ， 0 (12QTxk ， 0 3)y ， 由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以0PT QT ， 所以 0 3 (x k ， 00 3) (12yxk， 0 3)0y ， 可得 22 00000 3 1236690 xkxxyy k ， 要使成立， 0 2 00 0 69360 x yy ，解得： 0 0 x ， 0 3y ，或 0 0 x ， 0 9y ， 所以T的坐标(0, 3)或(0,

37、9) 20 （15 分）已知函数( )(1)() x f xaxe aR （）求( )f x的单调区间； （）若直线yaxa与曲线( )yf x相切，求证： 2 ( 1,) 3 a 第 18页（共 20页） 【解答】解： （）( )(1) x fxaxae，令( )0fx，得1axa ， 当0a 时，( )0 x fxe ，( )yf x在R单调递减， 当0a 时，x，( )fx，( )f x的变化如下： x 1 (,) a a 1a a 1 ( a a ， ) ( )fx 0 ( )f x 递减极小值递增 当0a 时，x，( )fx，( )f x的变化如下： x 1 (,) a a 1a a

38、 1 ( a a ， ) ( )fx 0 ( )f x 递增极大值递减 综上：当0a 时，( )yf x在R单调递减， 当0a 时，( )yf x的单调递增区间是 1 (,) a a ，单调递减区间是 1 ( a a ，)， 当0a 时，( )yf x的单调递增区间是 1 (,) a a ，单调递减区间是 1 ( a a ，)； （）证明：由题意得( )(1) x fxaxae， 设直线yaxa与曲线( )yf x相切于点 0 (x， 0) y， 则 0 0 00 0 1)(1 (1) x x axea x axaea ， 由得 0 0 x aeax，即 0 0 ()0 x a ex， 若0a

39、 ，则( ) x f xe ，0axa， 直线0y 与曲线( )yf x不相切，不符合题意，故0a ， 故 0 0 0 x ex， 令( ) x xex，则( )10 x xe ，故( )x单调递增， 第 19页（共 20页） 111 ()0 22e ， 1 ( 1)10e ， 故存在唯一 0 1 ( 1,) 2 x 使得 0 0 0 x ex， 将代入得 2 000 0axaxxa， 故 0 2 00 0 0 1 1 1 1 x a xx x x ， 易知在 1 ( 1,) 2 内 1 1yx x 单调递减，且 1 10 x x ， 故 1 1 1 y x x 在 1 ( 1,) 2 内单调

40、递增， 0 1 ( 1,) 2 x ， 2 1 3 a ，故 2 ( 1,) 3 a 21 （15 分）设数列 1 : m Aa， 2 a，(2) m am，若存在公比为q的等比数列 11 : m Bb ， 2 b， ， 1m b ，使得 1kkk bab ，其中1k ，2，m，则称数列 1m B 为数列 m A的“等比分 割数列” （）写出数列 4:3 A，6，12，24 的一个“等比分割数列” 5 B； （）若数列 10 A的通项公式为2 (1 n n an，2，10)，其“等比分割数列” 11 B的首 项为 1，求数列 11 B的公比q的取值范围； （）若数列 m A的通项公式为 2(

41、1 n an n，2，)m，且数列 m A存在“等比分割数列” ， 求m的最大值 【解答】解： （）根据定义可得数列 4:3 A，6，12，24 的一个“等比分割数列” 5:2 B，4，8，16，32 （答案不唯一） （）由题意可得， 1 2(1 nnn qqn ，2，3，10)， 所以2q ，且 1 2 (1 nn qn ，2，3，10)， 当1n 时，12成立； 当2n ，3，10 时，应有 1 2 n n q 成立， 因为2xy 在R上单调递增，所以 1 1 11 22 n nn 随着n的增大而减小，故 10 9 2q ， 综上，q的取值范围是 10 9 (2,2 ) 第 20页（共 2

42、0页） （）设 1m B 是数列 m A的“等比分割数列” ，首项为 1 b，公比为q， 由题意，应有 12 11 (1 nn bqnbqn ，2，)m，显然 1 0b ，0q ， 设6m，此时有 23456 1111111 149162536bbqbqbqbqbqbq 所以 3 1 1 9 1 bq b ，可得 3 9q ，所以 3 92q ， 又 3 1 9bq ，所以 52 1 9236bq ，与 56 11 36bqbq矛盾，故5m， 又当5m 时，取 1 0.99b ，2.09q ， 可得 2345 0.9910.992.0940.992.0990.992.09160.992.0 9250.992.09 ， 所以5m 时成立， 综上，m的最大值为 5