2021年北京市房山区高考数学一模试卷.docx

1、第 1页（共 19页） 2021 年北京市房山区高考数学一模试卷年北京市房山区高考数学一模试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）若集合 2M ，1，1，集合0N ，1，则MN 等于() A 2，1，0，1B 2，1，1C 2，1，0D1 2 （4 分）下列函数中，值域为0，)且为偶函数的是() AcosyxB|1|yxC 2 yxD 3 yxx 3 （4 分）已知a，bR，且ab，则下列各式中一定成立的是() A 11

2、ab B 33 abC 2 abbD | | | 22 ab 4 （4 分）将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位得到函数( )yg x的图象，则函数 ( )g x的图象的一条对称轴方程为() A 6 x B 12 x C 12 x D 6 x 5 （4 分） “十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增长下 面统计图反映了20162020年我国居民人均可支配收入（单位：元）情况根据图中提供 的信息，下列判断不正确的是( ) A20162020年，全国居民人均可支配收入每年都超过 20000 元 B20172020年，全国民人均可支配收入均逐年增加 C根据图

3、中数据估计，2015 年全国居民人均可支配收入可能高于 20000 元 D根据图中数据预测，2021 年全国居民人均可支配收入一定大于 30000 元 第 2页（共 19页） 6 （4 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为3，则点(3,0)M到双曲线C的 渐近线的距离为() A2B6C 3 3 2 D2 2 7 （4 分） “ 2 1a ”是“直线1xay与1axy平行”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 8（4 分） 在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点， 若AEmABnAD ， 则mn的

4、值为() A 1 2 B1C1D 1 2 9 （4 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 78 SS， 8910 SSS，则下面结论错误 的是() A 9 0a B 1514 SS C0d D 8 S与 9 S均为 n S的最小值 10 （4 分）祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原 理： “幂势既同，则积不容异” 意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒 等，那么这两个几何体的体积相等此即祖暅原理利用这个原理求球的体积时，需要构造 一个满足条件的几何体， 已知该几何体三视图如图所示， 用一个与该几何体的下底面平行相 距为(02)hh的平

5、面截该几何体，则截面面积为() A4B 2 4 hC 2 (2)hD 2 (4)h 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）若i为虚数单位则 1 1 i i 第 3页（共 19页） 12 （5 分）二项式 6 2 ()x x 的展开式中的常数项是 13 （5 分）抛物线 2 :8C yx的焦点为F，则点F的坐标为，若抛物线上一点A到y轴 的距离为 2，则|AF 14 （5 分）设0a ，0b ，则使得命题“若()0lg ab，则()0lg ab ”为假命题的一组 a，b的值是 15 （5 分）设函数( )f x的定义域为D，若对

6、任意xD，存在yD，使 ( )( ) ( 2 f xf y C C 为常数）成立，则称函数( )f x在D上的“半差值”为C下列四个函数中，满足所在定义 域上“半差值”为 2 的函数是（填上所有满足条作的函数序号） (1) x yex； 3 1yx； 2 logyx；sinyx 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （14 分）如图，在直三棱柱 111 ABCA BC中，已知1ABBC，2AC ， 1 2BB ，E 为 1 CC上一点，且 1 2 EC （）求证：平面ABE 平面 1

7、1 B BCC； （）求直线 1 AC与平面ABE所成角的正弦值 17 （14 分）在ABC中， 2 3 B ，7b ，再从条件、条件、条件这三个条件中 选择一个作为已知，求： （）sinC的值； （）ABC的面积 条件：AB边上的高为 3 2 ； 条件： 5 7 cos 14 A ； 条件：1a 第 4页（共 19页） 18 （14 分）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的 12 名运动 员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行， 裁判员根据运动员的腾空高度、 完 成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩 现有运动员甲，乙二人在 2021 赛季单

8、板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表： 分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩 第 1 次第 2 次第 3 次第 1 次第 2 次第 3 次 第 1 站 80.2086.2084.0380.1188.400 第 2 站 92.8082.1386.3179.3281.2288.60 第 3 站 79.10087.5089.1075.3687.10 第 4 站 84.0289.5086.7175.1388.2081.01 第 5 站 80.0279.3686.0085.4087.0487.70 假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立 （）从如表 5 站中随机选取 1 站，求在该站运动员甲的成绩高

9、于运动员乙的成绩的概率； （） 从如表 5 站中任意选取 2 站， 用X表示这 2 站中甲的成绩高于乙的成绩的站数， 求X 的分布列和数学期望； （）假如从甲、乙 2 人中推荐 1 人参加 2022 年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以 上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由 （注：方差 2222 12 1 ()()() n sxxxxxx n ，其中x为 1 x， 2 x， n x的平均数） 19 （15 分）已知函数 32 ( )223f xxx （）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）若(0,)x，求证：( ) 21f xx ； （） 设 2 ( )834h xx，

10、 是否存在唯一的自然数m， 使得( )h x与( )f x的图象在区间( ,1)m m 上有两个不同的公共点？若存在，试求出m的值，若不存在，请说明理由 第 5页（共 19页） 20 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2,0)，离心率为 1 2 （）求椭圆C的方程； （）设点M为椭圆C的上顶点，A，B是椭圆C上两个不同的动点（不在y轴上） ，直 线MA，MB的斜率分别为 1 k， 2 k，且 12 3k k ，求证：直线AB过定点 5 (0,3) 3 N 21 （14 分）对于数列 n a，记 1 n bmax a， 2 a，(1 n an ，2，3，)，

11、其中 1 max a， 2 a， k a表示 1 a， 2 a， k a这k个数中最大的数并称数列 n b是 n a的“控制数 列” ，如数列 1，2，3，2 的“控制数列”是 1，2，3，3 （）若各项均为正整数的数列 n a的“控制数列”为 1，3，4，4，写出所有的 n a； （）设 2 2 (*) n aann nN ( ) i当0a 时，证明：存在正整数m，使 m b m ， 1 1 m b m ， 2 2 m b m ，是等差数列； （）当 2a ，2时，求 3124 1234 bbbb 的值（结果可含)a 第 6页（共 19页） 2021 年北京市房山区高考数学一模试卷年北京市房

12、山区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）若集合 2M ，1，1，集合0N ，1，则MN 等于() A 2，1，0，1B 2，1，1C 2，1，0D1 【解答】解：依据并集的概念和集合元素的互异性得： 2MN ，1，0，1 故选：A 2 （4 分）下列函数中，值域为0，)且为偶函数的是() AcosyxB|1|yxC 2 yxD 3 yxx 【解答】解：cosyx的值域

13、1，1，不符合题意； |1|yx为非奇非偶函数，不符合题意； 3 yxx为奇函数，不符合题意； 2 0yx且为偶函数，符合题意 故选：C 3 （4 分）已知a，bR，且ab，则下列各式中一定成立的是() A 11 ab B 33 abC 2 abbD | | | 22 ab 【解答】解：对于A，当0ab时， 11 ab ，故A不一定成立； 对于B，ab，则 33 ab，故B一定成立； 对于C，当0ab时， 2 0abb，故C不一定成立； 对于D，当0ab时，| |ab，则 | | | 22 ab ，故D不一定成立 故选：B 4 （4 分）将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位得

14、到函数( )yg x的图象，则函数 ( )g x的图象的一条对称轴方程为() A 6 x B 12 x C 12 x D 6 x 第 7页（共 19页） 【解答】 解： 将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位得到函数( )sin(2) 3 yg xx 的 图象， 令2 32 xk ，求得 212 k x ，kZ， 则令0k ，可得函数( )g x的图象的一条对称轴为 12 x ， 故选：C 5 （4 分） “十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增长下 面统计图反映了20162020年我国居民人均可支配收入（单位：元）情况根据图中提供 的信息，下列判断不正

15、确的是( ) A20162020年，全国居民人均可支配收入每年都超过 20000 元 B20172020年，全国民人均可支配收入均逐年增加 C根据图中数据估计，2015 年全国居民人均可支配收入可能高于 20000 元 D根据图中数据预测，2021 年全国居民人均可支配收入一定大于 30000 元 【解答】解：对于选项A：由图可知，20162020年， 全国居民人均可支配收入每年都超过 20000 元，所以选项A正确， 对于选项B：由图可知，20172020年， 全国民人均可支配收入均逐年增加，所以选项B正确， 对于选项C：由图可知，2016 年全国民人均可支配收入临近 25000 元， 上一

16、年也就是 2015 年全国民人均可支配收入可能高于 20000 元，所以选项C正确， 对于选项D：由图可知，2020 年全国民人均可支配收入高于 30000 元， 下一年也就是 2021 年全国民人均可支配收入可能大于 30000 元， 第 8页（共 19页） 说一定大于 30000 元太绝对，所以选项D错误， 故选：D 6 （4 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为3，则点(3,0)M到双曲线C的 渐近线的距离为() A2B6C 3 3 2 D2 2 【解答】解：由题意可得 2 2 13 cb e aa ，则2ba， 所以双曲线的渐近线方程为 b yx

17、a ，即2yx ， 所以点(3,0)M到双曲线C的渐近线的距离为 3 2 6 12 ， 故选：B 7 （4 分） “ 2 1a ”是“直线1xay与1axy平行”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：当0a 时，两直线分别为1x 与1y ，此时两直线不平行， 当0a 时，若两直线平行，则 11 11 a a ， 由 1 1 a a 得 2 1a ，得1a 或1a ， 当1a 时， 11 11 a a ，不成立， 当1a 时， 11 11 a a ，成立，即1a ， 则“ 2 1a ”是“直线1xay与1axy平行”的必要不充分条件， 故选：

18、B 8（4 分） 在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点， 若AEmABnAD ， 则mn的值为() A 1 2 B1C1D 1 2 【解答】解：如图所示， 由已知可得 3313 () 4444 AEABBEABBDABADABABAD ， 第 9页（共 19页） 又AEmABnAD ，所以 13 , 44 mn， 所以 131 442 mn ， 故选：A 9 （4 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 78 SS， 8910 SSS，则下面结论错误 的是() A 9 0a B 1514 SS C0d D 8 S与 9 S均为 n S的最小值 【解答】解：因为等

19、差数列 n a， 78 SS， 8910 SSS， 所以 788 0SSa ， 989 0SSa， 10910 0SSa， 即 8 0a ， 9 0a ， 10 0a，0d ， 故A正确，C错误； 151415 0SSa，即 1514 SS， 故B正确； 由 8 0a ， 9 0a ， 10 0a可知 8 S与 9 S均为 n S的最小值，D正确 故选：C 10 （4 分）祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原 理： “幂势既同，则积不容异” 意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒 等，那么这两个几何体的体积相等此即祖暅原理利用这个原理求球的体积时，

20、需要构造 一个满足条件的几何体， 已知该几何体三视图如图所示， 用一个与该几何体的下底面平行相 距为(02)hh的平面截该几何体，则截面面积为() 第 10页（共 19页） A4B 2 4 hC 2 (2)hD 2 (4)h 【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为 2，高为 2，截面为 圆环，大圆半径为 2， 设小圆半径为r，则 22 rh ，所以rh， 所以截面圆环的面积为 22 4(4)hh； 故选：D 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）若i为虚数单位则 1 1 i i i 【解答】解： 2 1

21、(1)2 1(1)(1)2 iii i iii ， 故答案为：i 12 （5 分）二项式 6 2 ()x x 的展开式中的常数项是160 【解答】解：二项式 6 2 ()x x 中， 66 2 166 2 ()( 2) rrrrrr r TCxCx x ， 令620r，解得3r ， 所以展开式中的常数项是 33 46 ( 2)8 20160TC 故答案为：160 13 （5 分）抛物线 2 :8C yx的焦点为F，则点F的坐标为(2,0)，若抛物线上一点A 到y轴的距离为 2，则|AF 【解答】解：由抛物线的方程可得4p ， 所以焦点F的坐标为(2,0)，准线方程为：2x ， 若抛物线上一点A

22、到y轴的距离为 2，则点A到准线的距离为224， 由抛物线的定义可得| 4AF ， 故答案为：(2,0)，4 14 （5 分）设0a ，0b ，则使得命题“若()0lg ab，则()0lg ab ”为假命题的一组 a，b的值是1a ， 1 2 b 【解答】解当1a ， 1 2 b 时， 3 ()0 2 lg ablg，而 1 ()0 2 lg ablg， 第 11页（共 19页） 故答案为：1a ， 1 2 b 15 （5 分）设函数( )f x的定义域为D，若对任意xD，存在yD，使 ( )( ) ( 2 f xf y C C 为常数）成立，则称函数( )f x在D上的“半差值”为C下列四个

23、函数中，满足所在定义 域上“半差值”为 2 的函数是（填上所有满足条作的函数序号） (1) x yex； 3 1yx； 2 logyx；sinyx 【解答】解：由题意可得，对定义域中的任意x，存在y，使得( )( )4f yf x 由于值域为R，故满足； 对于，(1) x yex，(2) x yex ， 当(, 2)x 时，0y，当( 2,)x 时，0y ， (1) x yex在(, 2) 上单调递减，在( 2,)上单调递增， 则当2x 时，函数取得最小值为 2 1 e ，此时不存在自变量y，使得其函数值为 2 1 4 e ， 不满足； 对于sinyx， 2 x 时，函数值为1，此时不存在自变

24、量y，使得函数值为5，故 不满足， 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （14 分）如图，在直三棱柱 111 ABCA BC中，已知1ABBC，2AC ， 1 2BB ，E 为 1 CC上一点，且 1 2 EC （）求证：平面ABE 平面 11 B BCC； （）求直线 1 AC与平面ABE所成角的正弦值 第 12页（共 19页） 【解答】解： （）证明：由直三棱柱的性质知， 1 BB 平面ABC， AB 平面ABC， 1 BBAB， 1ABBC，2AC ， ABBC，

25、 又 1 BBBCB ， 1 BB、BC 平面 11 B BCC， AB平面 11 B BCC， AB 平面ABE， 平面ABE 平面 11 B BCC （）以B为原点，BA，BC， 1 BB所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则(1A，0，0)，(0B，0，0)，(0C，1，0)，(0E，1， 1) 2 ， 1(1 A，0，2)， 1 ( 1AC ，1，2)，(1BA ，0，0)，(0BE ，1， 1) 2 ， 设平面ABE的法向量为(nx ，y，) z，则 0 0 n BA n BE ，即 0 1 0 2 x yz ， 令2z ，则0 x ，1y ，(0n ，1，

26、2)， 设直线 1 AC与平面ABE所成角为， 则 1 sin|cosAC ， 1 1 1430 | | | 6| |65 AC n n ACn ， 故直线 1 AC与平面ABE所成角的正弦值为 30 6 第 13页（共 19页） 17 （14 分）在ABC中， 2 3 B ，7b ，再从条件、条件、条件这三个条件中 选择一个作为已知，求： （）sinC的值； （）ABC的面积 条件：AB边上的高为 3 2 ； 条件： 5 7 cos 14 A ； 条件：1a 【解答】解：若选：AB边上的高为 3 2 （）过点C作AB边上的高，垂足为D，则 3 2 CD ， 因为 2 3 B ，所以 3 AB

27、D ， 在BCD中， 1 cot 32 BDCD ，1BC ， 在Rt ACD中，7AC ，则 22 5 2 ADACCD， 在ABC中， 51 2 22 ABADBD，由正弦定理可得， sinsin ABAC CB ， 解得 3 2 sin21 2 sin 77 ABB C AC ； （） 1133 sin2 1 2222 ABC SBC ABB 若选： 5 7 cos 14 A （）过点C作AB边上的高，垂足为D， 在Rt ACD中，cos AD A AC ，所以 5 75 cos7 142 ADACA， 22 3 2 CDACAD，故1BC ， 在ABC中， 51 2 22 ABADBD

28、，由正弦定理可得， sinsin ABAC CB ， 解得 3 2 sin21 2 sin 77 ABB C AC ； （） 1133 sin2 1 2222 ABC SBC ABB 若选：1a 第 14页（共 19页） 在Rt BCD中，1BCa， 3 CBD ，故 1 2 BD ， 3 2 CD ， 在Rt ACD中，7AC ，则 22 5 2 ADACCD， 在ABC中， 51 2 22 ABADBD，由正弦定理可得， sinsin ABAC CB ， 解得 3 2 sin21 2 sin 77 ABB C AC ； （） 1133 sin2 1 2222 ABC SBC ABB 18

29、（14 分）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的 12 名运动 员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行， 裁判员根据运动员的腾空高度、 完 成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩 现有运动员甲，乙二人在 2021 赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表： 分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩 第 1 次第 2 次第 3 次第 1 次第 2 次第 3 次 第 1 站 80.2086.2084.0380.1188.400 第 2 站 92.8082.1386.3179.3281.2288.60 第 3 站 79.10087.5089.

30、1075.3687.10 第 4 站 84.0289.5086.7175.1388.2081.01 第 5 站 80.0279.3686.0085.4087.0487.70 假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立 第 15页（共 19页） （）从如表 5 站中随机选取 1 站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率； （） 从如表 5 站中任意选取 2 站， 用X表示这 2 站中甲的成绩高于乙的成绩的站数， 求X 的分布列和数学期望； （）假如从甲、乙 2 人中推荐 1 人参加 2022 年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以 上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由 （注：方差 2222 12

31、 1 ()()() n sxxxxxx n ，其中x为 1 x， 2 x， n x的平均数） 【解答】解： （）由题意可知，甲乙两人在五站中最好的成绩依次为： 甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00； 乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70， 所以 5 站中随机选取 1 站，在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率为 1 2 1 5 2 5 C C ； （）由题意可得，X的可能取值为 0，1，2， 所以 2 3 2 5 3 (0) 10 C P X C ， 11 32 2 5 3 (1) 5 C C P X C ， 2 2 2 5 1 (2)

32、 10 C P X C ， 所以X的分布列为： X012 P 3 10 3 5 1 10 期望为 3314 ()012 105105 E X ； （）由可知（） ， 甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00； 乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70， 所以甲的平均成绩为 88.4，乙的平均成绩也为 88.4， 又甲的方差为 222 1(86.20 88.40)(92.8088.40)(87.5088.40) 5 22 (89.5088.40)(86.0088.40) 6.3960， 第 16页（共 19页） 乙的方差为 222 1(88.40 88

33、.40)(88.6088.40)(89.1088.40) 5 22 (88.2088.40)(87.7088.40) 0.2120， 所以乙的成绩更为稳定，故推荐乙参加 19 （15 分）已知函数 32 ( )223f xxx （）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）若(0,)x，求证：( ) 21f xx ； （） 设 2 ( )834h xx， 是否存在唯一的自然数m， 使得( )h x与( )f x的图象在区间( ,1)m m 上有两个不同的公共点？若存在，试求出m的值，若不存在，请说明理由 【解答】解： （） 32 ( )223f xxx的导数为 2 ( )64f

34、xxx， 可得切线的斜率为(0)0f ，又(0)3f， 则切线的方程为3y ； （）证明：因为(0,)x， 所以 32322 ( )21223212(1)2(1)(1)f xxxxxxxxxxx 2 2(1) (1) 0 xx， 所以( ) 21f xx ； （）由( )( )f xh x，得 322 223834xxx，即 32 210370 xx， 设 32 ( )21037g xxx， 2 ( )620g xxx， 当 10 0 3 x时，( )0g x，( )g x递减， 当 10 3 x 或0 x 时，( )0g x，( )g x递增， 可得( )g x在0 x 处取得极大值 37，

35、在 10 3 x 处，取得极小值 1 27 ， 当3m 时，14m ，可得g（3）1，g（4）5， 而 101 ()0 327 g ，可得( )g x在(3,4)内有两个实根 1 x， 2 x， 且 1 10 (3,) 3 x ， 2 10 ( 3 x ，4)， 所以存在唯一的自然数3m ， 使得( )h x与( )f x的图象在区间(3,4)上有两个不同的公共点 第 17页（共 19页） 20 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2,0)，离心率为 1 2 （）求椭圆C的方程； （）设点M为椭圆C的上顶点，A，B是椭圆C上两个不同的动点（不在y轴上） ，直

36、 线MA，MB的斜率分别为 1 k， 2 k，且 12 3k k ，求证：直线AB过定点 5 (0,3) 3 N 【解答】解： （）根据题意可得 222 2 1 2 a c a abc ， 解得1c ， 2 3b ， 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy （）证明：由（）知，得(0, 3)M， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 所以 1 1 1 3y k x ， 2 2 2 3y k x ， 因为 12 3k k ， 所以 12 12 33 3 yy xx ， 所以 1212 (3)(3)3yyx x， 设直线AB的方程为ykxt， 联立 22 1 43 ykxt

37、xy ，得 222 (34)84120kxktxt， 由 22222 (8 )4(34)(412)48(34)0ktkttk ，得 22 34tk， 所以 12 2 8 34 kt xx k ， 2 12 2 412 34 t x x k ， 因为 11 ykxt， 22 ykxt， 所以 121212 ()()3()()33kxt kxtkxtkxtx x， 所以 22 12121212 ()3 ()2 33k x xkt xxtk xxtx x， 所以 2 22 22 4128 (3 )2 330 3434 tkt kktkt kk ， 第 18页（共 19页） 所以 2 9456 30t

38、t， 解得 5 3 3 t ，或3t （舍)， 所以 5 3 3 ykx， 所以直线AB过定点 5 3 (0,) 3 21 （14 分）对于数列 n a，记 1 n bmax a， 2 a，(1 n an ，2，3，)，其中 1 max a， 2 a， k a表示 1 a， 2 a， k a这k个数中最大的数并称数列 n b是 n a的“控制数 列” ，如数列 1，2，3，2 的“控制数列”是 1，2，3，3 （）若各项均为正整数的数列 n a的“控制数列”为 1，3，4，4，写出所有的 n a； （）设 2 2 (*) n aann nN ( ) i当0a 时，证明：存在正整数m，使 m b

39、 m ， 1 1 m b m ， 2 2 m b m ，是等差数列； （）当 2a ，2时，求 3124 1234 bbbb 的值（结果可含)a 【解答】解： （）数列 n a的各项为：1，3，4，1，1，3，4，2，1，3，4，3，1，3，4， 4， （）( ) i当0a 时， 2 ( )2f xaxx的对称轴为 1 x a ， 当 1 x a 时单调递增，由于1n ，2，3， 所以当 1 1m a ，n m时，有 nn ab， 由于2 n b an n 是等差数列， 所以存在正整数m，使 m b m ， 1 1 m b m ， 2 2 m b m ，是等差数列 2 ( ) ( )2ii f

40、 xaxx的对称轴 1 x a ，由于1n ，2，3， 1 2aa， 2 44aa， 3 96aa， 4 168aa， 当 2 2, ) 5 a 时，此时 1 2aa最大， 由于 1 n bmax a， 2 a，(1 n an ，2，3)， 所以 12341 2bbbbaa， 所以 3124 111125(2) (2)() 1234123412 bbbba a ， 第 19页（共 19页） 当 2 1 ( , 5 2 a时， 1231 2bbbaa， 44 ba， 所以 3124 3534 12346 bbbba ， 当 1 2 ( , 2 3 a时， 21 320aaa， 31 840aaa

41、， 121 2bbaa， 33 ab， 44 ba， 所以 33124114 1714 123412342 babbbaaaa ， 当 2 (3a，1时， 21 320aaa， 故 nn ba， 所以 33124124 108 12341234 babbbaaa a， 当(1a，2时，( )f x开口向上，对称轴为 1 1x a ， 所以 2 2 n aann单调递增，所以 nn ba， 则 33124124 108 12341234 babbbaaa a， 综上所述， 3124 25(2)2 , 2 125 3534 21 , 652 1714 121234 , 223 2 108,2 3 a a a a bbbb a a aa