1、第 1页（共 19页） 2021 年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷（文科）年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合0A ，2，4，6，(0,)B ，则(AB ) A2，4，6B0，2，4，6CDR 2 （5 分）当 2 1 5 m时，复数(5)(2)mii在复平面内对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 （5 分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是 5 3 ，则双曲线的渐近线 方程为() A 3 4 yx B 4 3 y
2、x C 4 5 yx D 5 4 yx 4 （5 分）下列命题正确的是() A垂直于同一直线的两直线平行 B平行于同一直线的两直线平行 C两个平面垂直，其中一个面里的任意一条直线垂直于另一个面 D两个平面平行，其中一个面里的任意一条直线平行于另一个面内的所有直线 5 （5 分）在区间, 2 2 上随机取一个实数x，使 1 cos 2 x的概率为() A 3 4 B 2 3 C 1 2 D 1 3 6 （5 分）设 0.7 3a ， 0.8 1 ( ) 3 b ， 0.7 log3c ，则a，b，c的大小关系为() AabcBbacCcbaDcab 7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几
3、何体的表面积是() A 15 4 B62 6C6D42 6 第 2页（共 19页） 8 （5 分）将函数( )2sin(2) 4 f xx 的图象向右平移(0) 个单位，再将图象上每一点的 横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，所得图象关于直线 4 x 对称，则的最小值为( ) A 1 8 B 1 4 C 3 8 D 1 2 9 （5 分）已知实数x，y满足 28 0 20 3 0 xy xy xy ，若直线10kxy 经过该可行域，则实数k 的最大值为() A1B 3 2 C2D3 10 （5 分）在矩形ABCD中，1AB ，3AD ，P为矩形内一点，且 3 | 2 AP ，若 AP
4、mABnAD ，则mn的最大值() A 6 4 B 6 8 C 3 4 D 3 8 11 （5 分） 已知抛物线 2 1 16 yx与双曲线 2 2 2 1(0) y xa a 有共同的焦点F，O为坐标原点， P在x轴上方且在双曲线上，则OP FP 的最小值为() A4 1516B164 15C154 15D4 1515 12 （5 分）设函数( )yf x在(,) 内有意义，对于给定的正数k，已知函数 ( ),( ) ( ) ,( ) k f xf xk fx k f xk ， 取函数( )3 x f xxe， 若对任意的(,)x ， 恒有( )( ) k fxf x， 则k的最小值为()
5、A1B2C3D4 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）圆 22 (2)4xy与圆 22 (2)4xy的公共弦所在直线方程 14 （5 分）若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin2 15 （5 分）已知正方形ABCD的边长为 4，CD边的中点为E，现将ADE和BCE分别沿 AE，BE折起，使得C，D两点重合为一点记为P，则四面体PABE外接球的表面积 是 第 3页（共 19页） 16 （5 分）2019 年 10 月 1 日，在庆祝新中国成立 70 周年阅兵中，由我国自主研制的军用 飞机和军用无人机等参阅航空
6、装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目飞 行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析 一次飞行训练中， 地面观测站观 测到一架参阅直升机以72 2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测 到该飞机在北偏西60的方向上，1 分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75的方向上，仰 角为30，则直升机飞行的高度为（结果保留根号） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 5 小题，共小题，共 70 分）分） 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 5 15S ， 13 25aa （1）求 n a的通项公式； （2） ,21 2 ,2 n n na a
7、nk b nk ，*kN，求 n b前 10 项和为 10 T 18 （12 分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，2ABBC，点Q为AE的中点 （1）求证：/ /AC平面DQF； （2）若60ABC，ACFB，求证：面CDEF 平面ABCD 19 （12 分） 中国共产党建党 100 周年华诞之际， 某高校积极响应党和国家的号召， 通过 “增 强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历 程， 表达对建党 100 周年以来的丰功伟绩的传颂 教务处为了解学生对相关知识的掌握情况， 随机抽取了 100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图样本频率分
8、布直方图 （1）求a值并估计中位数所在区间； （2）为了鼓励更多的学生参与学校活动，学校为 100 人中的80%人准备了纪念品，问本次 第 4页（共 19页） 活动得多少分以上的人可以拿到纪念品？（结果四舍五入保留整数） （3）需要从参赛选手中选出 6 人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并 说明理由 20 （12 分）已知函数( ) x f xe， 2 ( ) 2 x g xx （1）求曲线( ) x f xe过(0,0)的切线方程； （2）讨论函数( )( )(2)( )h xf x xag x在(1,)内的单调性 21 （12 分）点( , )M x y与定点( ,0)F
9、c的距离和它到直线 2 : a l x c 的距离的比是常数 (0,0) c ac a ， （1）求点M的轨迹方程；并讨论a与c的关系，说明点M的轨迹是什么图形 （2） 当2a ，1c 时， 点M的轨迹C与x轴的正半轴交于点A， 与y轴的正半轴交于点B， 设P是轨迹C上的动点，直线PB与x轴交于点N，直线PA与y轴交于点M，求证： |ANBM为定值 请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 xmt ymt ，(0m ，t为参数） ，以 坐标原点
10、O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2 cos() 42 x （1）求直线l的直角坐标方程； （2）若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求| |TMTN 选做题选做题 23已知x，y，z均为正数 （1）若1xy ，求证： 2 4xyyzxzzxyz 第 5页（共 19页） （2）若3xyzxyz，求2xy xz yz 最小值 第 6页（共 19页） 2021 年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷（文科）年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，
11、每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合0A ，2，4，6，(0,)B ，则(AB ) A2，4，6B0，2，4，6CDR 【解答】解：集合0A ，2，4，6，(0,)B ， 2AB ，4，6 故选：A 2 （5 分）当 2 1 5 m时，复数(5)(2)mii在复平面内对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：复数(5)(2)(52)(1)miimmi在复平面内对应的点(52,1)mm， 2 1 5 m，520m，10m ， 点(52,1)mm位于第四象限， 故选：D 3 （5 分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是 5
12、3 ，则双曲线的渐近线 方程为() A 3 4 yx B 4 3 yx C 4 5 yx D 5 4 yx 【解答】解：根据题意，已知双曲线的离心率是 5 3 ，即 5 3 c e a ，则有 3 5 ac， 又由 22 4 5 bcac， 则 4 3 b a ， 又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为 4 3 yx ， 故选：B 4 （5 分）下列命题正确的是() A垂直于同一直线的两直线平行 B平行于同一直线的两直线平行 C两个平面垂直，其中一个面里的任意一条直线垂直于另一个面 第 7页（共 19页） D两个平面平行，其中一个面里的任意一条直线平行于另一个面内的所有直线 【解答】解：垂
13、直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故A错误； 平行于同一直线的两直线平行，故B正确； 两个平面垂直，其中在一个面里垂直于交线的直线垂直于另一个面，故C错误； 两个平面平行，其中一个面里的任意一条直线与另一个面内的直线平行或异面，故D错误 故选：B 5 （5 分）在区间, 2 2 上随机取一个实数x，使 1 cos 2 x的概率为() A 3 4 B 2 3 C 1 2 D 1 3 【解答】解：在区间, 2 2 上解三角不等式 1 cos 2 x得： 33 x ， 设“在区间, 2 2 上随机取一个实数x，使 1 cos 2 x”为事件A， 由几何概型中的线段型可得： P（A） () 2 3
14、3 3 () 22 ， 故选：B 6 （5 分）设 0.7 3a ， 0.8 1 ( ) 3 b ， 0.7 log3c ，则a，b，c的大小关系为() AabcBbacCcbaDcab 【解答】解： 0.80.80.70 1 ( )3331 3 b ，1ba， 0.70.7 log3log10，0c ， cab ， 故选：D 7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是() 第 8页（共 19页） A 15 4 B62 6C6D42 6 【解答】解：根据三视图转换为几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体 如图所示： 所以 22 2111 222 122()26 2222 S 表
15、 故选：C 8 （5 分）将函数( )2sin(2) 4 f xx 的图象向右平移(0) 个单位，再将图象上每一点的 横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，所得图象关于直线 4 x 对称，则的最小值为( ) A 1 8 B 1 4 C 3 8 D 1 2 【解答】解：函数( )2sin(2) 4 f xx 的图象向右平移，可得2sin(22) 4 yx ， 再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，周期变小， 则( )2sin(42) 4 g xx ， 第 9页（共 19页） 此时( )g x图象关于直线 4 x 对称， 即 4 x 时，函数( )g x取得最大值或最小值 2 4
16、2 k ，kZ 0， 当0k 时，可得的最小值为 3 8 故选：C 9 （5 分）已知实数x，y满足 28 0 20 3 0 xy xy xy ，若直线10kxy 经过该可行域，则实数k 的最大值为() A1B 3 2 C2D3 【解答】解：直线10kxy 过定点(0,1)P， 作可行域如图所示， 由 20 280 xy xy ，得(2,4)A 定点(0,1)P和A点连线的斜率最大，为 413 202 k ， 则k的最大值为 3 2 故选：B 10 （5 分）在矩形ABCD中，1AB ，3AD ，P为矩形内一点，且 3 | 2 AP ，若 APmABnAD ，则mn的最大值() 第 10页（共
17、 19页） A 6 4 B 6 8 C 3 4 D 3 8 【解答】解：如图所示，以点A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立平面直角 坐标系， 则(0,0)A，(1,0)B，(0, 3)D， 设点( , )P x y，所以( , )APx y ，(1,0),(0, 3)ABAD ， 则由已知可得 22 3 4 xy，且(x，)(1ym，0)(0n，3)， 所以 3 xm yn ，所以 2222 3 3 4 xymn， 所以 22 3 2 32 3 4 m nmn，即 3 8 mn，当且仅当3mn时取等号， 此时mn的最大值为 3 8 ， 故选：D 11 （5 分） 已知抛物线 2 1
18、16 yx与双曲线 2 2 2 1(0) y xa a 有共同的焦点F，O为坐标原点， P在x轴上方且在双曲线上，则OP FP 的最小值为() A4 1516B164 15C154 15D4 1515 【解答】解：抛物线 2 1 16 yx即为 2 16xy，则8p ，故焦点坐标(0,4)F， 抛物线 2 1 16 yx与双曲线 2 2 2 1(0) y xa a 有共同的焦点F， 22 116ca ，解得 2 15a ， 则双曲线的方程为 2 2 1 15 y x， 设点P的坐标为 0 (x， 0) y，且 0 15y ， 0 (OP FPx ， 00 ) (yx， 2 22220 0000
19、0000 16 4)41441 1515 y yxyyyyyy ， 第 11页（共 19页） 其对称轴为 0 15 15 8 y ， 故 2 000 16 ()41 15 f yyy在 15，)单调递增， 0 ()( 15)154 15 min f yf， 故选：C 12 （5 分）设函数( )yf x在(,) 内有意义，对于给定的正数k，已知函数 ( ),( ) ( ) ,( ) k f xf xk fx k f xk ， 取函数( )3 x f xxe， 若对任意的(,)x ， 恒有( )( ) k fxf x， 则k的最小值为() A1B2C3D4 【解答】解：由题意取函数( )3 x
20、f xxe， 对任意(,)x ，恒有( )( ) K fxf x， 所以( )maxkf x， 因为( )1 x fxe ， 令( )0fx，得0 x ， 令( )0fx，得0 x ， 所以函数( )3 x f xxe在x处取到最大值， 0 (0)301fe， 故k的最小值为 2， 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）圆 22 (2)4xy与圆 22 (2)4xy的公共弦所在直线方程0 xy 【解答】解：根据题意，圆 22 (2)4xy，即 22 40 xyx， 圆 22 (2)4xy，即 22 40
21、xyy， 联立两个圆的方程 22 22 40 40 xyx xyy ，变形可得0 xy， 即两圆公共弦的方程为0 xy， 故答案为：0 xy， 第 12页（共 19页） 14 （5 分）若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin2 64 25 【解答】 解： 3 tan 4 ， 则 2 2 222 cos4sincos14tan1364 cos2sin2 9 sincostan125 1 16 ， 故答案为： 64 25 15 （5 分）已知正方形ABCD的边长为 4，CD边的中点为E，现将ADE和BCE分别沿 AE，BE折起，使得C，D两点重合为一点记为P，则四面体PABE外接球的表面积是
22、 76 3 【解答】解：如图， PEPA，PEPB，2PE ，PAB是边长为 4 的等边三角形， 设H是PAB的中心，OH 平面PAB，O是外接球的球心， 则 1 1 2 OHPE， 4 3 3 PH ，则 2222 19 3 ROPOHPH 故四面体PABE外接球的表面积是 2 1976 44 33 SR 故答案为： 76 3 16 （5 分）2019 年 10 月 1 日，在庆祝新中国成立 70 周年阅兵中，由我国自主研制的军用 飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目飞 行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析 一次飞行训练中， 地面观测站观
23、 测到一架参阅直升机以72 2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测 到该飞机在北偏西60的方向上，1 分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75的方向上，仰 角为30，则直升机飞行的高度为 2 3 5 （结果保留根号） 第 13页（共 19页） 【解答】解：如图由题上条件可得线AC平行于东西方向， 60ABD，75CBD； 72 26 2 605 AC 千米； 135ABC；30BAC； 在ABC中， sinsin BCAC BACABC 6 26 21 72 26 552 sin30sin135 sin13552 2 BC BC 如图 1 DC 平面ABC，在直角 1 BDC中，
24、 1 11 62 3 tantantan30 55 DCh D BChBCD BC BCBC 千米 故答案为： 2 3 5 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 5 小题，共小题，共 70 分）分） 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 5 15S ， 13 25aa （1）求 n a的通项公式； 第 14页（共 19页） （2） ,21 2 ,2 n n na a nk b nk ，*kN，求 n b前 10 项和为 10 T 【解答】解： （1）由题意，设等差数列 n a的公差为d， 则 51 1 54 515 2 325 Sad ad ， 化简，得 1 1 23
25、 325 ad ad ， 解得 1 1 1 a d ， 11 (1) n ann ，*nN （2）由（1）知， ,21,21 2 ,22 ,2 n n nan a nkn nk b nknk ，*kN， 101234910 Tbbbbbb 2410 123292 2410 (139)(222 ) 212 2 5(19)22 212 251364 1389 18 （12 分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，2ABBC，点Q为AE的中点 （1）求证：/ /AC平面DQF； （2）若60ABC，ACFB，求证：面CDEF 平面ABCD 【解答】证明： （1）如图，连接CE，交DF于点O，连
26、接OQ， 面CDEF为正方形， 第 15页（共 19页） O为CE，DF的中点， 点Q为AE的中点/ /QOAC， QO 平面DQF，AC 平面DQF， / /AC平面DQF （2）2ABBC，60ABC， 在ABC中，由余弦定理可得 2222 2cos603ACABBCAB BCBC ， 2222 4ACBCBCAB，90ACBACBC 又ACFB，FBBCB ， AC平面FBCACFC CDFC，ACCDC ， FC平面ABCD 又FC 平面CDEF， 平面CDEF 平面ABCD 19 （12 分） 中国共产党建党 100 周年华诞之际， 某高校积极响应党和国家的号召， 通过 “增 强防疫
27、意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历 程， 表达对建党 100 周年以来的丰功伟绩的传颂 教务处为了解学生对相关知识的掌握情况， 随机抽取了 100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图样本频率分布直方图 （1）求a值并估计中位数所在区间； （2）为了鼓励更多的学生参与学校活动，学校为 100 人中的80%人准备了纪念品，问本次 活动得多少分以上的人可以拿到纪念品？（结果四舍五入保留整数） （3）需要从参赛选手中选出 6 人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并 说明理由 第 16页（共 19页） 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知，
28、 1(0.0180.0160.0120.0080.0062) 100.34a ， 前 3 组的频率为(0.0060.0120.018) 100.360.5， 前 4 组的频率为0.360.340.70.5， 故中位数所在的区间为60，70)； （2）因为100 80%80人，所以有1008020人没有纪念品， 分数在30，50)之间的有(0.0060.012) 10 10018人， 所以分数在50，60)之间的有20182人没有纪念品， 分数在50，60)之间的共有0.018 10 10018人， 所以 21 50105151 189 分， 所以本次活动 51 分以上的人可以拿到纪念品； （3
29、）选成绩最好的同学去参赛，分数在900，100之间的共有0.006 10 1006人， 所以选 90 分以上的人去参赛 20 （12 分）已知函数( ) x f xe， 2 ( ) 2 x g xx （1）求曲线( ) x f xe过(0,0)的切线方程； （2）讨论函数( )( )(2)( )h xf x xag x在(1,)内的单调性 【解答】解： （1）由( ) x f xe，得( ) x fxe， 设切点为 0 0 (,) x x e，则 0 0 () x fxe， 曲线( ) x f xe在切点处的切线方程为 00 0 () xx yeexx， 把(0,0)代入，可得 00 0 (0
30、) xx eex，解得 0 1x 曲线( ) x f xe过(0,0)的切线方程为yex； 第 17页（共 19页） （2）( )( )(2)( )h xf x xag x 2 (2)() 2 x x xeax，则( )(1)()(1) x h xxea x， 若a e，则( )0h x，( )h x在(1,)上单调递增； 若ae时，列表如下： x(1,)lna lna(,)lna ( )h x 0 ( )h x 当(1,)xlna时，( )h x单调递减，当(,)xlna时，( )h x单调递增 综上，若a e，( )h x在(1,)上单调递增； 若ae，当(1,)xlna时，( )h x单
31、调递减， 当(,)xlna时，( )h x单调递增 21 （12 分）点( , )M x y与定点( ,0)F c的距离和它到直线 2 : a l x c 的距离的比是常数 (0,0) c ac a ， （1）求点M的轨迹方程；并讨论a与c的关系，说明点M的轨迹是什么图形 （2） 当2a ，1c 时， 点M的轨迹C与x轴的正半轴交于点A， 与y轴的正半轴交于点B， 设P是轨迹C上的动点，直线PB与x轴交于点N，直线PA与y轴交于点M，求证： |ANBM为定值 【 解 答 】（ 1 ） 解 ： 由 题 意 可 得 ， 2 22 ()| ca xcyx ac ， 整 理 可 得 22222222
32、()()acxa ya ac， 当0ac时，0y ，点M的轨迹是直线； 当0ac时， 22 222 1 xy aac ，故点M的轨迹是椭圆； 当0ca时， 22 222 1 xy aca ，故点M的轨迹是双曲线 （2）证明：设椭圆上一点(2cos,sin)P，则直线PA的方程为： sin (2) 2cos2 yx ， 令0 x ，解得 sin 1cos M y ， 故 sincos1 | | 1cos BM ， 第 18页（共 19页） 又直线PB的方程为： sin1 1 2cos yx ， 令0y ，解得 2cos 1sin N x ， 所以 2sin2cos2 | | 1sin AN ，
33、故 sincos12sin2cos2 | | | | 1cos1sin ANBM 22sin2cos2sincos 2| 1sincossincos 4， 故| |ANBM为定值 请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 xmt ymt ，(0m ，t为参数） ，以 坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2 cos() 42 x （1）求直线l的直角坐标方程； （2）若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于
34、M，N两点，求| |TMTN 【解答】 解：（1） 直线l的极坐标方程为 2 cos() 42 x ， 转换为 222 cossin 222 xx， 根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐标为10 xy 曲线C的参数方程为 2 xmt ymt ，(0m ，t为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 ymx 直线与x轴的交点坐标为(1,0)， 故抛物线的焦点坐标为(1,0)，故抛物线的方程为 2 4yx 设直线的参数方程为 2 1 2 ( 2 2 xt t yt 为参数）代入抛物线的方程为 2 4yx， 得到 2 1 4 280(ttt和 2 t为M和N对应的参数） ， 第 19页
35、（共 19页） 所以 1 2 8t t ， 故 1 2 | | | 8TMTNt t 选做题选做题 23已知x，y，z均为正数 （1）若1xy ，求证： 2 4xyyzxzzxyz （2）若3xyzxyz，求2xy xz yz 最小值 【解答】解： （1）证明：x，y，z均为正数， 2 ()()24xyyzxzzxzyzxzyzz xy， 当且仅当xyz时取等号 又01xy，44z xyxyz， 2 4xyyzxzzxyz； （2）3xyzxyz， 111 3 yzxzxy ， 11 22yzyz yzyz ， 11 22xzxz xzxz ， 11 2xyxy xyxy ，当且仅当1xyz 时取等号， 111 6xyyzxz xyyzxz ， 3xyyzxz，28 xyyzxz ， 2xy xz yz 的最小值为 8
