1、第 1页（共 18页） 2021 年江西省上饶市高考数学二模试卷（文科）年江西省上饶市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设 |13Axx ， 2 |log (1)0Bxx，则(AB ) A(,2)B1，2)C(1,2)D(2，3 2 （5 分）已知复数z满足(2) |34 |zii（其中i为虚数单位） ，则复数z的共轭复数为( ) A12iB12iC2iD2i 3 （5 分）已知a，
2、b都是正数，则“4ab”是“abab”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 4 （5 分） 将函数( )sin2? 3cos2f xxx的图象向左平移?12 个单位长度后， 得到( )yg x 的图象，则下列关于函数( )g x的说法中正确的是() A( )g x的最小正周期为2 B( )g x的图象关于直线?12x 对称 C( )g x的最大值为?31 D( )g x在 7 (?,) 3 12 上为单调减函数 5 （5 分）已知 1 sin() 63 ， 2 cos 3 ，则cos()cos2( 3 ) A 2 9 B 2 9 C 7 9 D 7 9 6
3、 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 其侧视图中的曲线为 1 4 圆周，则该几何体中曲面的面积为() A8B328C32D64 第 2页（共 18页） 7（5 分） 已知数列 n a是首项为 1 a， 公差为d的等差数列， 前n项和为 n S， 满足 43 25aa， 则 9 (S ) A35B40C45D50 8 （5 分）在ABC中，90A，1AB ，3CDDB ，则(AD AB ) A 1 3 B 2 3 C 3 4 D 4 3 9 （5 分） 已知奇函数( )f x满足f（5）1， 且(2)f x 的图象关于3x 对称， 则(2021)(
4、f ) A1B1C0D3 10 （5 分）函数 sin |25| x y x 的图象大致为() A B C D 11 （5 分）已知 n S是等比数列 n a的前n项和，若 1 2n n Sa ，则双曲线 22 2 1 3 xy a 的渐 近线方程为() 第 3页（共 18页） A 3 4 yx B 4 3 yx C 3 2 yx D 2 3 3 yx 12 （5 分）已知函数 2 1 ( )1 2 f xlnxx，若( )0f xkx恰有 3 个正整数解，则k的取值 范围为() A 27 24 ln ， 37) 36 ln B 27 ( 24 ln ， 37) 36 ln C 27 ( 24
5、 ln ， 37 36 ln D 27 24 ln ， 37 36 ln 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填在答题卡上分请把答案填在答题卡上） 13 （5 分）已知x，y满足 1 0 3 0 1 xy xy y ，则 1 1 y z x 的最小值为 14 （5 分）已知直线3420 xy与 222 (1)xyr圆相切，则该圆的半径大小为 15（5 分） 在ABC中， 角A、B、C的对边a、b、c为三个连续偶数且2CA， 则b 16 （5 分）设F为抛物线 2 yx的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则 | 3|AF
6、BF的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知数列 n a对任意的*nN都满足 312 23 ? 3333 n n aaaa n （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 341343 1 ? loglog n nn b aa ，求数列 n b的前n项和为 n T 18 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，底面ABCD为梯形， / /ABCD，22 3CDAB，AC交BD于点F，且PAD与ACD均为正三角形，G为 PAD
7、的重心 （1）求证：/ /GF平面PAB； （2）求三棱锥GPAB的体积 第 4页（共 18页） 19 （12 分）近年来上饶市积极开展“创文创卫”活动，深入学习宣传贯彻党的十九届五中 全会精神，坚持以人民为中心的发展思想，以深化全国文明城市建设为抓手，让文明的种子 在上饶大地继续播撒，浸润于每一位市民的日常行为中，镌刻在上饶城市精神的最深处广 大学生也积极投身文明宣传活动， 某班级在活动的前 2 天大力宣传后， 从第 3 天开始连续统 计了 4 天的参与活动的学生人数如下： 第x天3456 人数17201924 （1）从以上 4 天中随机选取 2 天，求这 2 天参与活动均在 20 人以上（
8、含 20 人）的概率； （2）根据表中 4 组数据，求y关于x的线性回归方程 ybxa；并预测第 10 天的参与人 数 参考公式：回归直线 ybxa中 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 与抛物线 2 2(0)ypx p的一个交点为 3 (1,) 2 ， 且抛物线向右平移 3 3 16 个单位后的焦点与椭圆的焦点重合 （1）求椭圆的标准方程； （2）设A、B为椭圆的左、右顶点，P为椭圆上一点，设点(3Q，)(0)t t ，且BPBQ，
9、 求APQ面积的最大值 21 （12 分）已知函数( )f xlnxa （1）若1a ，求函数( )f x在1x 处的切线方程； （2）若( )(1)2 x f xx e 恒成立，求a的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做作答题中任选一题做作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分，做题时请写做题时请写 第 5页（共 18页） 清题号清题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） ，以 原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直
10、线l的极坐标方程为 2 sin() 42 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若点M的坐标为(1,2)，直线l与曲线C交于A、B两点，求 11 |MAMB 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |21|2|f xxx （1）若( )7f x 的解集为( , )m n，求mn； （2）若a、bR且a，n，4b成等差数列，求 22 4ab的最小值 第 6页（共 18页） 2021 年江西省上饶市高考数学二模试卷（文科）年江西省上饶市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，
11、每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设 |13Axx ， 2 |log (1)0Bxx，则(AB ) A(,2)B1，2)C(1,2)D(2，3 【解答】解： |13Axx ， |11 |2Bx xx x ， (2AB ，3 故选：D 2 （5 分）已知复数z满足(2) |34 |zii（其中i为虚数单位） ，则复数z的共轭复数为( ) A12iB12iC2iD2i 【解答】解：(2) |34 |zii， 22 |34 |3455(2) 2 222(2)(2) i
12、i zi iiiii ， 2zi， 故选：C 3 （5 分）已知a，b都是正数，则“4ab”是“abab”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 【解答】解：由abab得2ababab， 平方得 2 ()4abab， a，b都是正数，4ab，即必要性成立， 当5a ，1b 时，满足4ab，但abab不成立，即充分性不成立， 则“4ab”是“abab”的必要不充分条件， 故选：B 4 （5 分） 将函数( )sin2? 3cos2f xxx的图象向左平移?12 个单位长度后， 得到( )yg x 第 7页（共 18页） 的图象，则下列关于函数( )g x的说法
13、中正确的是() A( )g x的最小正周期为2 B( )g x的图象关于直线?12x 对称 C( )g x的最大值为?31 D( )g x在 7 (?,) 3 12 上为单调减函数 【解答】解：将函数( )sin2? 3cos22sin(2) 3 f xxxx 的图象向左平移?12 个单位长 度后， 得到( )2sin(2)2sin(2) 636 yg xxx 的图象， ( )g x的最小正周期为 2 2 ，故A错误； 令 12 x ，求得( )0g x ，不是最值，故B错误； ( )g x的最大值为 2，故C错误； 当 7 (?,) 3 12 x ，2( 62 x ，)，( )g x单调递减
14、，故D正确， 故选：D 5 （5 分）已知 1 sin() 63 ， 2 cos 3 ，则cos()cos2( 3 ) A 2 9 B 2 9 C 7 9 D 7 9 【解答】解： 2 cos 3 ， 22 25 cos22cos12()1 39 ， 1 sin() 63 ， 1 cos()cos()sin() 32663 ， 152 cos()cos2 3399 故选：B 6 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 其侧视图中的曲线为 1 4 圆周，则该几何体中曲面的面积为() 第 8页（共 18页） A8B328C32D64 【解答】解：由题意可
15、知：几何体是棱长为 4 的正方体去掉一个半径为 4 的 1 4 圆柱的几何 体，如图： 该几何体中曲面的面积： 1 848 4 故选：A 7（5 分） 已知数列 n a是首项为 1 a， 公差为d的等差数列， 前n项和为 n S， 满足 43 25aa， 则 9 (S ) A35B40C45D50 【解答】解： 43 25aa， 55 2()25adad， 5 5a， 19 95 9() 95 945 2 aa Sa ， 故选：C 8 （5 分）在ABC中，90A，1AB ，3CDDB ，则(AD AB ) A 1 3 B 2 3 C 3 4 D 4 3 【解答】解：在ABC中，90A，1AB
16、 ，3CDDB ， 如图：则 13 44 ADACAB ， 所以 213133 (). 44444 AD ABACABABAC ABAB 第 9页（共 18页） 故选：C 9 （5 分） 已知奇函数( )f x满足f（5）1， 且(2)f x 的图象关于3x 对称， 则(2021)(f ) A1B1C0D3 【解答】解：函数(2)f x 的图象关于3x 对称，( )f x的图象关于1x 对称， ( )(2)f xfx，( )f x为奇函数，()( )fxf x ， ( )(2)(2)2(2)(4)(4)f xfxf xfxfxf x ， ( )f x是周期为 4 的函数， (2021)ff（1
17、）f（5）1 故选：B 10 （5 分）函数 sin |25| x y x 的图象大致为() A B C 第 10页（共 18页） D 【解答】解： sin ( ) |25| x yf x x ， 则 5 sin()sin(2 ) 5cos 22 () 5 2|2 |2 | |2()5| 2 xx x f x xx x ， 设 5cos ( )() 2|2 | x g xf x x ，其定义域为(，0)(0，)， cos()cos ()( ) | 2 |2 | xx gxg x xx ， ( )g x为偶函数，即将函数( )f x先左平移 5 2 个单位后，图象关于y轴对称，故排除AC； 令
18、sin ( )0 |25| x yf x x ，解得xk，kZ，即函数有无数个零点，故排除B， 故选：D 11 （5 分）已知 n S是等比数列 n a的前n项和，若 1 2n n Sa ，则双曲线 22 2 1 3 xy a 的渐 近线方程为() A 3 4 yx B 4 3 yx C 3 2 yx D 2 3 3 yx 【解答】解： n S是等比数列 n a的前n项和，且 1 2n n Sa ， 2 11 2aSa， 当2n时， 1 1 222 nnn nnn aSS ， 故 21 2222aa， 双曲线 2222 2 11 343 xyxy a ， 双曲线 22 2 1 3 xy a 的
19、渐近线方程为 3 2 yx ， 故选：C 12 （5 分）已知函数 2 1 ( )1 2 f xlnxx，若( )0f xkx恰有 3 个正整数解，则k的取值 范围为() 第 11页（共 18页） A 27 24 ln ， 37) 36 ln B 27 ( 24 ln ， 37) 36 ln C 27 ( 24 ln ， 37 36 ln D 27 24 ln ， 37 36 ln 【解答】 解： 由题意，( )0f xkx恰有 3 个正整数解， 转换为ylnx的图象与 2 1 1 2 yxkx 的图象交点问题， 作出ylnx和 2 1 1 2 yxkx 的图象，如图 要使 2 1 1 2 l
20、nxxkx 恰有 3 个正整数解， 则需满足： 9 313 2 474 lnk lnk 解得： 2737 2436 lnln k 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填在答题卡上分请把答案填在答题卡上） 13 （5 分）已知x，y满足 1 0 3 0 1 xy xy y ，则 1 1 y z x 的最小值为 2 3 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 12页（共 18页） 联立 1 30 y xy ，解得(2,1)A， 1 1 y z x 的几何意义为可行域内的动点与定点( 1, 1)P 连线的斜率， 由图
21、可知，其最小值为 1 12 123 PA k 故答案为： 2 3 14 （5 分）已知直线3420 xy与 222 (1)xyr圆相切，则该圆的半径大小为1 【解答】解：由 222 (1)xyr，可知圆心坐标为(1,0)，半径为r， 直线3420 xy与 222 (1)xyr圆相切， 由圆心到直线的距离 22 |1 3042| 1 34 d ， 可得圆的半径为 1 故答案为：1 15 （5 分）在ABC中，角A、B、C的对边a、b、c为三个连续偶数且2CA，则b 10 【解答】解：因为ABC中，角A，B，C的对边a，b，c为三个连续偶数， 设bx，则2ax，2cx，又2CA， 则由正弦定理 s
22、insin ac AC ，可得 2222 sinsinsin22sincos xxxx ACAAA ， 解得 2 cos 24 x A x ， 由余弦定理可得 222222 (2)(2)8 cos 22 (2)24 bcaxxxx A bcx xx ， 所以 28 2424 xx xx ， 解得10 x ，所以10b 故答案为：10 16 （5 分）设F为抛物线 2 yx的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则 | 3|AFBF的最小值为 3 1 2 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点 1 (4F，0)， 第 13页（共 18页） 设直线AB的方程为： 1 () 4 yk x，设 1 (A
23、 x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 1 () 4 yk x yx ，整理可得： 2 222 1 (1)0 216 k k xkx， 12 1 16 x x ， 由抛物线的性质可得 1 1 | 4 AFx， 2 1 | 4 BFx， 所以 1212 3 | 3|31 2 311 2 AFBFxxx x ， 故答案为： 3 1 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知数列 n a对任意的*nN都满足 312 23 ? 3333 n n a
24、aaa n （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 341343 1 ? loglog n nn b aa ，求数列 n b的前n项和为 n T 【解答】解： （1）由 312 23 ? 3333 n n aaaa n可得： 3112 231 ?1(2) 3333 n n aaaa nn ， 两式相减得：1 3 n n a ，即3n n a ，2n， 又当1n 时，有 1 1 3 a ，解得 1 3a 也适合， 3n n a； （2）由（1）可得： 341343 11111 ?() loglog(41)(43)4 4143 n nn b aannnn ， 1 1111111 11 ()()
25、 4 3771141434 3433(43) n n T nnnn 18 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，底面ABCD为梯形， / /ABCD，22 3CDAB，AC交BD于点F，且PAD与ACD均为正三角形，G为 PAD的重心 （1）求证：/ /GF平面PAB； （2）求三棱锥GPAB的体积 第 14页（共 18页） 【解答】 （1）证明：因为PAD与ACD均为正三角形， 连接DG并延长交PA于点E，连接BE，底面ABCD为梯形，/ /ABCD，2CDAB， 所以ABFCDF，则 2 1 DFDC FBAB ， 而G为PAD的重心，所有 2 1 DG GE ，
26、 所以 2 1 DFDG FBGE ，则/ /GFEB， 而GF 平面PAB，EB 平面PAB， 所以/ /GF平面PAB； （2）解：因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 在PAD中，连接PG并延长交AD于点M，PMAD，所以PM 面ABCD， 则 GPABPABMGABM VVV ， 因为2 3CD ，3AB ，ACD为正三角形， 则3AD ， 所以3PM ，2PG ，1GM ， 而60DACACDCAB ，则120EAB， 所以 13 3 sin120 24 S MABAM AB ， 所以 13 313 33 31 34342 G PAB V 19 （12 分）近年
27、来上饶市积极开展“创文创卫”活动，深入学习宣传贯彻党的十九届五中 全会精神，坚持以人民为中心的发展思想，以深化全国文明城市建设为抓手，让文明的种子 第 15页（共 18页） 在上饶大地继续播撒，浸润于每一位市民的日常行为中，镌刻在上饶城市精神的最深处广 大学生也积极投身文明宣传活动， 某班级在活动的前 2 天大力宣传后， 从第 3 天开始连续统 计了 4 天的参与活动的学生人数如下： 第x天3456 人数17201924 （1）从以上 4 天中随机选取 2 天，求这 2 天参与活动均在 20 人以上（含 20 人）的概率； （2）根据表中 4 组数据，求y关于x的线性回归方程 ybxa；并预测
28、第 10 天的参与人 数 参考公式：回归直线 ybxa中 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx 【解答】解： （1）由表格可以得到，从 4 天中随机取 2 天，共有 2 4 6C 种选法， 而第 4 天和第 6 天参与活动的人数均在 20 人以上（含 20 人） ，参与活动均在 20 人以上（含 20 人）的共有 2 天，只有 1 种选法， 故这 2 天参与活动均在 20 人以上（含 20 人）的概率为 1 6 ； （2）根据表中的数据可得，4.5,20 xy，所以 4 1 4 2 1 ()() 2 (
29、) ii i i i xxyy b xx ， 故2024.511aybx， 所以回归直线为211yx， 当10 x 时，参与人数2 101131y 人，即预测第 10 天的参与人数为 31 人 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 与抛物线 2 2(0)ypx p的一个交点为 3 (1,) 2 ， 且抛物线向右平移 3 3 16 个单位后的焦点与椭圆的焦点重合 （1）求椭圆的标准方程； （2）设A、B为椭圆的左、右顶点，P为椭圆上一点，设点(3Q，)(0)t t ，且BPBQ， 求APQ面积的最大值 【解答】解： （1）因为抛物线过点 3 (1,) 2 ， 第 1
30、6页（共 18页） 所以 2 3 ()2 2 p，解得 3 8 p ， 所以抛物线的方程为 2 3 4 yx，焦点坐标为 3 (16，0)， 因为抛物线向右平移 3 3 16 个单位后的焦点与椭圆的焦点重合， 所以椭圆的焦点坐标为( 3，0)， 所以 22 222 3 13 1 4 c ab abc ，解得 2 4a ， 2 1b ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （2）由（1）知( 2,0)A ，(2,0)B， 因为BPBQ， 所以1 BPBQ kk ， 则 BQ kt，则 1 BP k t ， 所以直线BP的方程为 1( 2)yx t ， 联立 2 2 1( 2) 1 4 yx
31、 t x y ，得 222 (4)161640txxt， 所以 2 2 164 4 BP t x x t ，所以 2 2 82 4 P t x t ， 所以 2 22 11 824 (2)(2) 44 P tt yx tttt ， 直线AQ的方程为(2) 5 t yx， 所以点P到直线AQ的距离 2 22 22 8220 |2 | 44 ( 5) tt tt tt d t ， 所以 222 |(3( 2)(2)25AQtt ， 所以 2 2222 118220142221 |2 | 4 224424424 2 ABP tttt SAQ dtt tttt t t t t ， 第 17页（共 18
32、页） 当且仅当 4 t t ，即2t 时，取等号， 所以 ABP S的最大值为 1 2 21 （12 分）已知函数( )f xlnxa （1）若1a ，求函数( )f x在1x 处的切线方程； （2）若( )(1)2 x f xx e 恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （1）1a 时，( )1f xlnx， 1 ( )fx x ， 则kf（1）1，f（1）1， 故切线方程是：11yx ，即yx； （2）若( )(1)2 x f xx e 恒成立， 则(1)2 x a x elnx在(0,)恒成立， 令( )(1)2 x g xx elnx，则 1 ( )(1)() x g xxe x ，1
33、0 x ， 令 1 ( ) x h xe x ， 2 1 ( ) x h xe x ，故( )h x在(0,)递增， 而0 x 时，( )h x ，x 时，( )h x ， 故存在 0 (0,)x ，使得 0 ()0h x，从而 0 0 1 x x e， 00 xlnx ， 故( )h x在 0 (0,)x递增，在 0 (x，)递减， 故( )g x在 0 (0,)x递增，在 0 (x，)递减， 故 0 00000 ( )()(1)2123 x min g xg xx elnxxx ， 故( )g x的最小值是 3，即a的取值范围是(，3 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做作答题
34、中任选一题做作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分，做题时请写做题时请写 清题号清题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） ，以 原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为 2 sin() 42 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若点M的坐标为(1,2)，直线l与曲线C交于A、B两点，求 11 |MAMB 的值 第 18页（共 18页） 【解答】 解：（1） 曲线C的参数方程为 3cos ( sin x
35、 y 为参数） ， 转换为普通方程为 2 2 1 3 x y； 直线l的极坐标方程为 2 sin() 42 ，根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐标方程为 1yx （2）把直线:10l xy 代入 2 2 1 3 x y， 得到： 2 230 xx， 解得 0 1 x y 或 3 2 1 2 x y ， 即(0,1)A， 31 (,) 22 B ， 所以|2MA ， 5 2 | 2 MB ， 所以 11227 2 |2510MAMB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |21|2|f xxx （1）若( )7f x 的解集为( , )m n，求mn； （2）若a、bR且a，n，4b成等差数列，求 22 4ab的最小值 【解答】解： （1）当 1 2 x 时，则21(2)7xx ，解得10 x ， 1 10 2 x ， 当 1 2 2 x 时，则21(2)7xx ，解得 8 3 x ， 1 2 2 x ， 当2x 时，则21(2)7xx ，解得4x ，24x， 综上得，104x，故解集为( 10,4)， 10m ，4n ，6mn （2）a，n，4b，成等差数列，428abn，84ab， 222222 864 4(84 )420646420() 55 abbbbbb， 当 8 5 b 时， 22 4ab取得最小值为 64 5
