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1、第 1页（共 20页） 2021 年山东省新高考高考数学二模试卷（三）年山东省新高考高考数学二模试卷（三）一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设( )f zz， 1 34zi， 2 2zi ，则 12 ()f zz等于() A13iB211i C2i D55i 2 （5 分）集合 21 |0 1 x Ax x ，集合 1 2 |log (1)Bx yx，则集合AB 等于() A0， 1 2 B( 1,) C( 1,1)

2、D 1，) 3 （5 分）已知函数( )f x的定义域是(0,)，满足f（2）1且对于定义域内任意x，y都有()( )( )f xyf xf y成立，那么f（2）f（4）的值为() A1B2C3D4 4 （5 分）一个等比数列前n项的和为 48，前2n项的和为 60，则前3n项的和为() A83B108C75D63 5 （5 分）若向量a ，b 满足| 2a ，| 1b ，且a ， 3 b ，则ab ，(b ) A 5 6 B 2 C 3 D 6 6 （5 分）已知直线:20l axy与 22 :(1)()4Cxya相交于A、B两点，则ABC 为钝角三角形的充要条件是() A(1,3)a

3、B(23a，23) C(23a，1)(1，23)D(,23)(23,)a 7 （5 分）已知函数( )cos()(0f xAxA，0，0)的部分图象如图所示，则() A( )3cos() 6 f xx B( )3cos() 6 f xx 第 2页（共 20页） C( )3cos() 26 x f x D( )3cos() 26 x f x 8 （5 分）北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破为了宣传 2022 年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等 5 名志愿者

4、将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为() A8B10C12D14 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知( )f x，( )g x都是定义在R上的函数，且( )f x为奇函数，( )g x的图象关于直线1x 对称，则下列说法中正确的有(

5、) A(yg f( )1)x 为偶函数 B(ygf( )x为奇函数 Cyf( ( )g x的图象关于直线1x 对称 Dyf( (1)g x 为偶函数 10 （5 分）系统找不到该试题 11 （5 分）已知实数a，b满足 2 0(1)aabba，下列结论中正确的是() A4bB28ab C 11 1 ab D 27 4 ab 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线为l，过点 F且斜率大于 0 的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点 M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N则() A| |PMNQ B若

6、P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2 2 C若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有| |PQOQ D若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有| |NQOQ 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知二项式 1 (3)nx x 的展开式中，所有项的系数之和为 64，则该展开式中的常数项是第 3页（共 20页） 14 （5 分）如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中

7、的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足 ABAC，90BAC定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域” ；设 AOB则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为 15 （5 分）已知直线ykx是曲线 x ye的切线，也是曲线ylnxm的切线，则实数 k ，实数m 16 （5 分）已知函数 2 ( 1) 2 2 ( )log2 21 xx x f x ，xR，若0, 2 使关于的不等式 (2sincos )(42sin2cos)2ffm成立，则实数m的范围为四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文

8、字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和为 * () n S nN （1）若 n a为等差数列， 11 165S， 38 28aa，求 n a的通项公式；（2）若数列 n S满足 12 2 111 35 222 n n SSSn，求 n S 18 （12 分）在平面四边形ABCD中，4AB ，2 2AD ，对角线AC与BD交于点E，E 是BD的中点，且2AEEC （1）若 4 ABD ，求BC的长；（2）若3AC ，求cosBAD 19 （12 分）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统现从评价系统中

9、选出 200 次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 3 5 ，对服务的好评率为 7 10 ，其中对商品和服务均为好评的有 80 次（1）是否可以在犯错误概率不超过 0.1 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 4 次购物中，设对商品和服务全好评第 4页（共 20页）的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望参考公式：独立性检验统计量 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 临界值表： 2 0 ()P Kk 0.150.100.050.0250.0

10、100.0050.001 0 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 20 （12 分）如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是边长为 2 的菱形，60ABC， 90ASD，且2SC （1）证明：平面SAD 平面ABCD；（2）当四棱锥SABCD的体积最大时，求二面角BSCD的余弦值 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点为(3,0)，且过点 3 (1,) 2 （1）求椭圆C的方程；（2）设 1( ,0)Aa， 2( ,0) A a，(0, )Bb，点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线 1 A B 与

11、直线 2 A M交于点P，直线 1 AM与直线 2 A B交于点Q，求证：BPQ为等腰三角形 22 （12 分）已知函数( )1 x f xeax， 2 ( )g xkx （1）当0a 时，求( )f x的值域；（2）令1a ，当(0,)x时， ( ) ( ) (1) g x f xx ln x 恒成立，求k的取值范围第 5页（共 20页） 2021 年山东省新高考高考数学二模试卷（三）年山东省新高考高考数学二模试卷（三）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给

12、出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设( )f zz， 1 34zi， 2 2zi ，则 12 ()f zz等于() A13iB211i C2i D55i 【解答】解： 1 34zi， 2 2zi ，则 12 55zzi， ( )f zz，则 1212 ()55f zzzzi 故选：D 2 （5 分）集合 21 |0 1 x Ax x ，集合 1 2 |log (1)Bx yx，则集合AB 等于() A0， 1 2 B( 1,) C( 1,1)D 1，) 【解答】解： 1 2 1 | 1, |(1) 0 |011 |01 2 AxxBx log

13、xxxxx ， ( 1,1)AB 故选：C 3 （5 分）已知函数( )f x的定义域是(0,)，满足f（2）1且对于定义域内任意x，y都有()( )( )f xyf xf y成立，那么f（2）f（4）的值为() A1B2C3D4 【解答】解：f（4）(22)ff（2）f（2）2f（2）， f（4）2 f（2）f（4）123 ，故选：C 4 （5 分）一个等比数列前n项的和为 48，前2n项的和为 60，则前3n项的和为() A83B108C75D63 【解答】解：等比数列的第一个n项的和为：48，第二个n项的和为604812 第三个n项的和为： 12 123 48 第 6页（共 20页

15、 C(23a，1)(1，23)D(,23)(23,)a 【解答】解： 22 :(1)()4Cxya的圆心为(1, )Ca，半径2r ，故点C到直线:20l axy的距离为 22 |2|2|1| 11 aaa d aa ，故 2 2 2 2 44 1 a ABd a ，又2CACB，因为ABC为钝角三角形，故 222 ACBCAB，即 2 2 4416 1 a a ，化简可得 2 410aa ，解得2323a，当三点A，B，C共线时，有20aa，即1a ，此时ABC不存在，所以ABC为钝角三角形的充要条件是(23a，1)(1，23) 第 7页（共 20页）故选：C 7 （5

16、分）已知函数( )cos()(0f xAxA，0，0)的部分图象如图所示，则() A( )3cos() 6 f xx B( )3cos() 6 f xx C( )3cos() 26 x f x D( )3cos() 26 x f x 【解答】解：由图知，3A ，把点 3 (0, ) 2 代入( )f x得， 3 3cos 2 ， 3 cos 2 ，(0, )， 6 ， ( )3cos() 6 f xx ，把点 5 ( 3 ，3)代入得， 5 cos()1 36 ， 5 2 36 k ，kZ， 16 25 k，kZ， 0， 1 2 ， 1 ( )3cos() 26 f xx ，故选：D

17、8 （5 分）北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破为了宣传 2022 年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等 5 名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为() A8B10C12D14 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：小明和小李两个人安装同一个吉祥物，则剩下 3 人安装另外 1 个，有 2 种安装方案，小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，则剩下 2

18、人安装另外 1 个，有 1 3 26C 种安第 8页（共 20页）装方案，则有268种不同的安装方案，故选：A 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知( )f x，( )g x都是定义在R上的函数，且( )f x为奇函数，( )g x的图象关于直线1x 对称，则下列说法中正确的有() A(yg f( )1)x 为偶函数 B

19、(ygf( )x为奇函数 Cyf( ( )g x的图象关于直线1x 对称 Dyf( (1)g x 为偶函数【解答】解：根据题意，( )f x为奇函数，则()( )fxf x ，( )g x图象关于直线1x 对称，则(1)(1)gxgx，据此分析选项：对于A，对于( ( )1)yg f x，( ()1)(1( )( ( )1)g fxgf xg f x，则函数( ( )1)yg f x 为偶函数，A正确；对于B，对于( ( )yg f x，有( ()( )( ( )g fxgf xg f x ，不是奇函数，B错误；对于C，( )g x图象关于直线1x 对称，则函数( ( )yf

20、 g x图象关于直线1x 对称，C正确；对于D，( )g x图象关于直线1x 对称，则(1)(1)gxgx，对于( (1)yf g x，有 ( (1)( (1)f gxf g x ，则( (1)f g x 为偶函数，D正确；故选：ACD 10 （5 分）系统找不到该试题 11 （5 分）已知实数a，b满足 2 0(1)aabba，下列结论中正确的是() A4bB28ab C 11 1 ab D 27 4 ab 【解答】解：实数a，b满足 2 0(1)aabba， A 22 1 1111 112 2 (1)24 11111 aa baaa aaaaa ，当且仅当 2a 时取等号，因此正确；

21、111 .2213(1)4 2 3(1)42 34 111 B abaaaa aaa ，当且仅当第 9页（共 20页） 3 1 3 a 取等号，因此不正确； C1a ， 1 (0,1) a ， 2 22 1111121 (1)11 a abaaaaa ，因此不正确； D 23 11 aa aba aa ，令 3 ( ) 1 x f x x ，(1)x 2 2 3 2() 2 ( ) (1) xx fx x ，可得 3 2 x 时，函数( )f x取得极小值，即最小值 3 3 ( ) 327 2 ( ) 3 24 1 2 f ， 27 ( ) 4 f x，即 27 4 ab，因此正确

22、故选：AD 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线为l，过点 F且斜率大于 0 的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点 M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N则() A| |PMNQ B若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2 2 C若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有| |PQOQ D若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有| |NQOQ 【解答】解：抛物线的焦点为(1,0)F，设直线AB的方程为(1)yk x，0k ， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，由

23、 2 (1) 4 yk x yx ，得 2222 (24)0k xkxk，则 12 2 4 2xx k ， 12 1x x ， 12 2 2 1 2 M xx x k ， 2 (1) MM yk x k ，直线MN的方程为 2 y k ， O，P，A共线， 11 PP xy xy ， 2 1111 111 2 22 P P x yxyy x ykykyk ，同理 2 2 Q y x k ， 12 2 2 2 M PQ yyy xx kkk ，第 10页（共 20页） 22 22 11 MNPQ xxxx kk ， MPQN xxxx，即| |MPNQ，A正确；若P，Q是线段MN的三等分点

24、，则 1 | 3 PQMN， 12 22 1212 (11)(2) 233 yy kkk ， 2 12 4(1) 3 k yy k ，又 12 4 2 M yyy k ， 22 12121212 (1)(1)(1)4y ykxxkx xxx ， 2 121212 2 16 ()416yyyyy y k ， 2 2 164(1) 16 3 k kk ，解得2 2k ，(0)k ，B正确；由 2222 (24)0k xkxk，得 22 2 221kk x k ， 22 2 2 221kk x k ， 2 22 221 (1) k yk x k ， 2 2 2 11 2 Q yk x kk ，

26、则该展开式中的常数项是1215 【解答】解：二项式 1 (3)nx x 的展开式中，所有项的系数之和为264 n ，6n 它的通项公式为 3 3 6 2 16 ( 1)3 r rrr r TCx ，令 3 30 2 r ，可得2r ，故二项式 1 (3)nx x 的展开式的常数项为 24 6 31215C ，故答案为：1215 14 （5 分）如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足 ABAC

27、，90BAC定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域” ；设 AOB则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为 2 (10000 525000)m 【解答】解：由题意可知将“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形ABC和三角形AOB 的面积之和，第 12页（共 20页） 1 sin10000sin 2 AOB sOA OB ；在三角形AOB中， 222 2cos5000040000cosABOBOAOBOA，三角形ABC为等腰直角三角形， 2 11 2500020000cos 22 ABC sABACAB ，所以“直接监管覆盖区域”面积为 2500010000sin20000cos2

28、500010000 5sin() AOBABC ss ，其中tan2，当sin()1时，面积取得最大值为2500010000 5，故答案为：2500010000 5 15 （5 分）已知直线ykx是曲线 x ye的切线，也是曲线ylnxm的切线，则实数k e，实数m 【解答】解：对于 x ye，设切点为( ,) n n e，因为 x ye ，故切线斜率 n ke，故切线方程为() nn yeexn，由已知得切线过(0,0)，所以() nn een，故1n ，所以ke 对于ylnxm，设切点为( ,)c lncm，所以 1 y x ，因为切线为yex，得 1 |x cye c ，所

29、以 1 c e ，所以切点为 1 ( ,1) e ，代入ylnxm得 1 1lnm e ，所以2m 故答案为：e；2 16 （5 分）已知函数 2 ( 1) 2 2 ( )log2 21 xx x f x ，xR，若0, 2 使关于的不等式 (2sincos )(42sin2cos)2ffm成立，则实数m的范围为2m 【解答】解：令 2 ( 1) 2 2 ( )( )1log1 21 xx x g xf x ，则 2 ( 1) 2 2 ()()1log1 21 xx x gxfx ，而 2 222 ( )()120 2121 x xx g xgxlog ，所以( )g x是奇函数，而

30、2 ( 1) 2 log xx 在R上单调递增， 2 1 21 x 在R上单调递增，第 13页（共 20页）所以( )g x是在R上的单调递增函数且为奇函数，而(2sincos )(42sin2cos)2ffm可变形成 (2sincos )11(42sin2cos)ffm ，即(2sincos )(42sin2cos)(2sin2cos4)ggmgm ，由( )g x是在R上的单调递增函数，则0, 2 使关于的不等式 2sincos2sin2cos4m成立，即2(sincos )2sincos4m，设sincos2sin() 4 t ，0, 2 ，则

31、1, 2t， 2 2sincos1t，令 222 ( )2(1)423(1)2h tttttt ，1, 2t，则( )h t的最大值为2，所以2m 即2m 综上所述：实数m的范围为2m 故答案为：2m 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和为 * () n S nN （1）若 n a为等差数列， 11 165S， 38 28aa，求 n a的通项公式；（2）若数列 n S满足 12 2 111 35 222 n n SSSn

32、，求 n S 【解答】（1）由题意可设等差数列的公差为d，则 1 1 1155165 2928 ad ad ，解得 1 5 2 a d ，23 n an；（2）当1n 时， 1 1 8 2 S ， 11 16aS，当 12 2 111 2,35, 222 n n nSSSn时 121 21 111 32, 222 n n SSSn 得， 1 3 2 n n S ，3 2n n S ，当1n 时， 1 16S 不适合上式， 16,1 3 2 ,2 nn n S n 第 14页（共 20页） 18 （12 分）在平面四边形ABCD中，4AB ，2 2AD ，对角线AC与BD交于点E，E

33、是BD的中点，且2AEEC （1）若 4 ABD ，求BC的长；（2）若3AC ，求cosBAD 【解答】解：（1）在ABD中，由余弦定理知， 222 2cosADABBDAB BDABD， 2 8162 4cos 4 BDBD ，化简得 2 4 280BDBD，解得2 2BD ， E是BD的中点， 1 2 2 BEBD，在ABE中，由余弦定理知， 222 2 2cos16224210 2 AEABBEAB BEABD ， 10AE， 2AEEC ， 33 10 22 ACAE，由余弦定理知， 222 161023 cos 2241010 ABAEBE BAC AB AE ，在AB

34、C中，由余弦定理知， 2222 3 103 1035 2cos16()24 22210 BCABACAB ACBAC ， 10 2 BC （2）3AC ，2AEEC ，2AE， AEBAED ， cosAEBAED ，设BEDEx，则 222222 22 AEBEABAEDEAD AE BEAE DE ，即 22 41648 2 22 2 xx xx ，第 15页（共 20页）解得2 2x ， 24 2BDBE，在ABD中，由余弦定理知， 222 168322 cos 24242 2 ABADBD BAD AB AD 19 （12 分）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相

35、关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统现从评价系统中选出 200 次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 3 5 ，对服务的好评率为 7 10 ，其中对商品和服务均为好评的有 80 次（1）是否可以在犯错误概率不超过 0.1 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 4 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望参考公式：独立性检验统计量 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 临界值表： 2 0 ()P Kk 0

36、.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 【解答】解：（1）由题意可知关于服务与评价的22列联表对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120 对商品不满意602080 合计14060200 2 2 200(80204060) 1.5872.706 14060 120 80 K , 所以不可以在犯错误概率不超过 0.1 的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 2 5 ，且X的取值可以是 0,1,2,3,4， 4 4 381 (0)( )

37、55 P X ； 13 4 4 23216 (1)( ) 555 P XC； 222 4 4 23216 (2)( ) ( ) 555 P XC； 33 4 4 2396 (3)( ) 555 P XC；第 16页（共 20页） 4 4 216 (4)( ) 55 P X 故X的分布列为： X01234 P 4 81 5 4 216 5 4 216 5 4 96 5 4 16 5 由于 2 (4, ) 5 XB, 28 ()4 55 E X 20 （12 分）如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是边长为 2 的菱形，60ABC， 90ASD，且2SC （1）证明：平面SAD 平面ABC

38、D；（2）当四棱锥SABCD的体积最大时，求二面角BSCD的余弦值【解答】解：（1）证明：如图，取AD的中点O，连接SO、CO、AC， 60ADCABC ，且ADDC，又2ADCD，则ACD为正三角形，COAD，3CO ，又90ASD，ASD为直角三角形， 1 1 2 SOAD，在ACS中， 222 COSOSC，则COSO，又ADSOO ，AD、SO 平面ADS， CO平面ADS，第 17页（共 20页）又CO 平面ABCD，平面SAD 平面ABCD （2）90ASD，则点S在以AD为直径的圆上，且1SO ，设点S到平面ABCD的距离为d， 1 3 SABCDABCD V

39、Sh 矩形，而 1 222602 3 2 ABCD Ssin 矩形，当d取最大值时四棱锥SABCD的体积最大，此时SO 平面ABCD，又由（1）可知COAD，如图建系，则( 3, 2,0)B，(0S，0，1)，( 3C，0，0)，(0D，1，0)，则(3BS ，2，1)，( 3SC ，0，1)，(0SD ，1，1)，设平面SBC的法向量为(mx ，y，) z，则 320 30 m BSxyz m SCxz ，取1x ，则(1m ，0，3)，设平面SCD的法向量为(na ，b，) c，则 30 0 n SCac n SDbc ，取1a ，得(1, 3, 3)n ，则 4

40、2 7 cos, | |72 7 m n m n mn ，设二面角BSCD的平面角为，经观察为钝角，则 |2 7 cos | |7 m n mn ，故二面角BSCD的余弦值为 2 7 7 第 18页（共 20页） 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点为(3,0)，且过点 3 (1,) 2 （1）求椭圆C的方程；（2）设 1( ,0)Aa， 2( ,0) A a，(0, )Bb，点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线 1 A B 与直线 2 A M交于点P，直线 1 AM与直线 2 A B交于点Q，求证：BPQ为等腰三角形【解答】解：

41、（1）根据题意可得2 22 3 3 () 1 2 1 c ab ，解得 2 4a ， 2 1b ，所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （2）证明：设直线 2 A M的方程为(2)(0yk xk且 1) 2 k ，直线 1 A B的方程为 1 1 2 yx，联立 (2) 1 1 2 yk x yx ，解得 42 ( 21 k P k ， 4 ) 21 k k ，联立 2 2 (2) 1 4 yk x x y ，得 2222 (14)161640kxk xk，所以 2 2 164 2 41 M k x k ，则 2 2 82 41 M k x k ， 2 4 41 M k y k

42、，即 2 2 82 ( 41 k M k ， 2 4 ) 41 k k ，所以 1 2 2 2 4 1 41 824 2 41 A M k k k kk k ，于是直线 1 AM的方程为 1 (2) 4 yx k ，直线 2 A B的方程为 1 1 2 yx ，联立 1 (2) 4 1 1 2 yx k yx ，解得 42 ( 21 k Q k ， 2 ) 21k ，于是 PQ xx，所以PQx轴，第 19页（共 20页）设PQ的中点为N，则点N的纵坐标为 42 2121 1 2 k kk ，所以PQ的中点在定直线1y 上，所以点B在PQ的垂直平分线上，所以| |BPB

43、Q 所以BPQ为等腰三角形 22 （12 分）已知函数( )1 x f xeax， 2 ( )g xkx （1）当0a 时，求( )f x的值域；（2）令1a ，当(0,)x时， ( ) ( ) (1) g x f xx ln x 恒成立，求k的取值范围【解答】解：（1）函数( )1 x f xeax，所以( ) x fxea，令( )0fx，解得xlna，所以( )f x在(，lna上单调递减，在区间lna，)上单调递增，所以( )f x的最小值为()11 lna f lnaealnaaalna ，故函数( )f x的值域为1aalna，)；（2）当1a 时，( )1 x f

44、 xex，不等式 ( ) ( ) (1) g x f xx ln x 可变形为 2 ( ) (1)(0)f xx ln xkxx，即 2 (1) (1) x eln xkx，所以 (1)2 11 (1) (1) 1 (1) (1) xx x ln x ee eln x xx k x ex ln x ln x ，因为 ( ) ( ) (1) g x f xx ln x 对(0,)x恒成立，所以 (1) 1 1 (1) x ln x e x k e ln x 对(0,)x恒成立，令 1 ( ) x e m x x ，则 2 (1)1 ( ) x xe m x x ，令( )(1)1 x

45、 n xxe，则( ) x n xxe，因为0 x ，所以( )0n x，故( )n x在(0,)上单调递增，所以( )(0)0n xn，故( )0m x，所以( )m x在(0,)上单调递增，第 20页（共 20页）则( )0(0)m xx，又由（1）可知，当1a ，且0 x 时，( )1 x f xex的值域为(0,)，即( )10 x f xex ，所以1 x ex恒成立，即(1)xln x，所以( )( (1)m xm ln x，即 ( ) 1 ( (1) m x m ln x ，又 ( ) ( (1) m x k m ln x 对(0,)x恒成立，所以1k，故实数k的取值范围为(，1

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