1、第 1页（共 23页） 2021 年广东省高考数学模拟试卷（一模年广东省高考数学模拟试卷（一模） （东莞一模）（东莞一模） 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 | 7 31 2Mxx ， |1 0Nx x ，则(MN ) A( 2,) B( 1,1)C(,1)D( 1,) 2 （5 分）若复数z满足(1)(1)2 2zii ，则| | (z ) A2B3C5D5 3 （5 分）已知函数 x ye的图象与函数( )
2、yf x的图象关于直线yx对称，则(2 ) (fe ) A 2 2eB2eC12lnD22ln 4 （5 分）函数( )cos26cos()(0 2 f xxx x ，) 2 的最大值为() A4B5C6D7 5 （5 分）已知数列 n a的前n项和21 n n S ，则数列 2 log n a的前 10 项和等于() A1023B55C45D35 6 （5 分）已知a，b是两个正数，4 是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是() Aab的最小值是 1Bab的最大值是 1 C 11 ab 的最小值是 9 2 D 11 ab 的最大值是 9 2 7 （5 分） 算数书是我国现存最早的系统性
3、数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置 如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与 高h，计算其体积V的近似公式 2 1 36 VL h用该术可求得圆率的近似值现用该术求得 的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为 9，则该圆锥 体积的近似值为() A3B2 3C3 3D3 8 （5 分）若 232 2 1 (2) () (0)xxaa x 的展开式中 4 x的系数为 3，则(a) 第 2页（共 23页） A1B 1 2 C2D2 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出
4、的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知曲线 22 :1(1,4) 41 xy Cmm mm ，则下列结论正确的是() A若曲线C为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为(3，0) B若曲线C是椭圆，则1m C若1m 且4m ，则曲线C是双曲线 D直线0()kx y kkR 与曲线C恒有两个交点 10 （5 分） 已知( )f x是定义在R上的奇函数，( )f x的图象关于1x 对称， 当(0 x，1时， 2 ( )2f xxx ，则下列判断正
5、确的是() A( )f x的值域为(0，1B( )f x的周期为 2 C(1)f x是偶函数D(2021) 1f 11 （5 分）已知函数( ) cossinf xxx，则下列说法正确的是() A若函数( )f x的最小值为5，则2 B若(0, ) 2 x ，则(0,1) 使得( )f x成立 C若3，0 x ， 2 都有| ( )| 1f xm成立，则(1,2)m D若函数( )f x在(0,) 3 上存在最大值，则正实数的取值范围是(0, 3) 12 （5 分）数学家华罗庚曾说： “数缺形时少直观，形少数时难入微 ”事实上，很多代数 问题可以转化为几何问题加以解决例如，与 22 ()()x
6、ayb相关的代数问题，可以转 化 为 点( , )Ax y与 点( , )Bab之 间 的 距 离 的 儿 何 问 题 结 合 上 述 观 点 ， 对 于 函 数 22 ( )4545f xxxxx，下列结论正确的是() A( )6f x 无解B( )6f x 的解为 6 5 5 x C( )f x的最小值为2 5D( )f x的最大值为2 5 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 第 3页（共 23页） 13 （5 分）已知| | 1a ，| 3b ，且| 2ab ，则|2 |ab 14 （5 分）某圆形广场外围有 12 盏灯，如图
7、所示，为了节能每天晚上 12 时关掉其中 4 盏 灯，则恰好每间隔 2 盏灯关掉 1 盏的概率是 15 （5 分）斜率为2的直线过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点，且与C交于A，B两点， 若| 3 2AB ，则p ，(AOBO为坐标原点）的面积为 16 （5 分）在四面体ABCD中，2ABACBCADCD，二面角BACD为120， 则四面体ABCD的外接球的表面积为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）记 n S为数列 n a的前n项和，已知 1
8、1a ，_ （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 11 4 (21)(21) nn n n aa b ，设数列 n b的前n项和为 n T，证明： * n N ， 1 9 n T 从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解 条件： 2 nn Snann，*nN； 条件： 2 1 (1) nn nSnSnn ，*nN； 条件： 1 1 nn SS ，*nN 18 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 角A，B，C的 对 边 分 别 是a，b，c， 已 知 sinsincossincossinsinaAaCBbCAbBcA （1）求角B的大小； （2）若3 6b，3
9、 2c，点D满足 21 33 ADABAC ，求ABD的面积 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 平面PAB 平面ABCD，/ /BCAD，90BAD， 244PAADABBC，21PC （1）证明：PA平面ABCD； 第 4页（共 23页） （2）线段AB上是否存在一点M，使得MC与平面PCD所成角的正弦值为 221 17 ？若存在， 请求出 AM AB 的值；若不存在，请说明理由 20 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， 过椭圆C右焦点并垂直于x轴 的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且(OPM O为坐
10、标原点）的面 积为 3 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 若直线l交椭圆C于A，(B A，B异于点) P两点， 且直线PA与PB的斜率之积为 9 4 ， 求点P到直线l距离的最大值 21 （12 分）已知函数( )1()f xlnx axa R （1）讨论函数( )f x的零点个数； （2）设 1 x， 2 x是函数( )f x的两个零点，证明： 12 20 xxelna 22 （12 分）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群 众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力， 果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机， “争
11、分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上 的重要标语 （1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口 罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检已知批次I的 成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为 1 1 35 P ， 2 1 34 P 求批次I成品口罩的次品率 1 p 第 5页（共 23页） 第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰， 合格的口罩进入流水线并由工 人进行抽查检验已知批次I的成品口罩红外线自动检测显示合格率为92%，求工人在流 水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数） （2）已知某批
12、次成品口罩的次品率为(01)pp，设 100 个成品口罩中恰有 1 个不合格品 的概率为( ) p，记( ) p的最大值点为 0 p，改进生产线后批次J的口罩的次品率 10. pp某 医院获得批次I，J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用经统计，正常佩戴使用这两 个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求 0 p，并判断是否有 99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ， 2 ()P Kk 0.0500.0100.0050.001 k3.8416.6357.87910.828 第
13、6页（共 23页） 2021 年广东省高考数学模拟试卷（一模年广东省高考数学模拟试卷（一模） （东莞一模）（东莞一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 | 7 31 2Mxx ， |1 0Nx x ，则(MN ) A( 2,) B( 1,1)C(,1)D( 1,) 【解答】解： | 21 Mxx ， |1 Nx x， ( 2,)MN 故选：A 2 （5 分）若复数z满足(
14、1)(1)2 2zii ，则| | (z ) A2B3C5D5 【解答】解：由(1)(1)2 2zii ， 得 2 22 22(22 )(1)22224 12 1(1)(1)112 iiiiiii zi iii ， 12zi， 则 22 |1( 2)5z 故选：D 3 （5 分）已知函数 x ye的图象与函数( )yf x的图象关于直线yx对称，则(2 ) (fe ) A 2 2eB2eC12lnD22ln 【解答】解：因为函数 x ye的图象与函数( )yf x的图象关于直线yx对称， 所以( )yf x与 x ye互为反函数， 故( )f xlnx，所以(2 )(2 )212feln el
15、nlneln 故选：C 4 （5 分）函数( )cos26cos()(0 2 f xxx x ，) 2 的最大值为() 第 7页（共 23页） A4B5C6D7 【解答】解：函数 222 39311 ( )cos26cos()1 2sin6sin2(sin)12(sin) 22222 f xxxxxxx ， 由于0, 2 x ， 故sin0 x，1，由于函数( )f x的对称轴为 3 2 ， 当sin1x 时，( )f x取得最大值( )( )5 2 max f xf ， 故选：B 5 （5 分）已知数列 n a的前n项和21 n n S ，则数列 2 log n a的前 10 项和等于()
16、A1023B55C45D35 【解答】解：数列 n a的前n项和21 n n S ， 可得 11 2 1 1aS ； 当2n时， 11 1 21 (21)2 nnn nnn aSS ，对1n 也成立 22 loglog 2 n a 1 1 n n ， 则数列 2 log n a的前 10 项和等于 1 0 1 29(1 9) 945 2 故选：C 6 （5 分）已知a，b是两个正数，4 是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是() Aab的最小值是 1Bab的最大值是 1 C 11 ab 的最小值是 9 2 D 11 ab 的最大值是 9 2 【解答】解：因为 2 2 164 ab ，所以
17、 2 2 2 44 a b ， 所以44 2 4abab ，可得1ab，当且仅当4ab时等号成立， 所以ab的最大值为 1，故A错误，B正确 因为 1111419 () (4 )(14)(52 4) 4444 ba ab abab ， 故 11 ab 的最小值为 9 4 ，无最大值，故C和D都错误 故选：B 第 8页（共 23页） 7 （5 分） 算数书是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置 如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与 高h，计算其体积V的近似公式 2 1 36 VL h用该术可求得圆率的近似值现用该术求得 的近似值，并
18、计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为 9，则该圆锥 体积的近似值为() A3B2 3C3 3D3 【解答】解：圆锥的体积 2 22 111 () 321236 LL VhhL h ，解得3， 则设所求圆锥的底面直径与母线长为(0)x x，则底面半径为 2 x ， 则 2222 139 ( )9 2244 x Sxxx，解得 2x ， 设高为h，则 222 113 ( )( )3 3 2323 xx Vhx 故选：A 8 （5 分）若 232 2 1 (2) () (0)xxaa x 的展开式中 4 x的系数为 3，则(a) A1B 1 2 C2D2 【解答】解： 232622
19、 2 11 (2) ()()(2)xxaxxaxa xx (0)a， 而 6 1 ()x x 的展开式的通项公式为 6 2 16 ( 1) rrr r TCx ， 故 622 1 ()(2)xxaxa x 的展开式中 4 x的系数为 2212 66 20()1563CaaCa ， 则2a， 故选：C 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分
20、）已知曲线 22 :1(1,4) 41 xy Cmm mm ，则下列结论正确的是() A若曲线C为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为(3，0) B若曲线C是椭圆，则1m C若1m 且4m ，则曲线C是双曲线 第 9页（共 23页） D直线0()kx y kkR 与曲线C恒有两个交点 【解答】解：若曲线表示椭圆，41mm， 2 40am ， 2 10bm ，则1m ， 即椭圆焦点在x轴，则 222 3cab，得3c，此时焦点坐标为(3，0)， 若曲线表示双曲线，由(4)(1) 0mm，得41m ， 此时双曲线的标准方程为 22 1 41 xy mm ， 则 2 4am ， 2 1bm ，即焦点在x轴，
21、则 222 3cab，得3c， 此时焦点坐标为(3，0)，故A正确； 若曲线表示椭圆，41mm， 2 40am ， 2 10bm ，则1m ，故B正确； 若曲线表示双曲线，由(4)(1) 0mm，得41m ，故C错误； 由0kx y k 得(1)0k xy ，得 10 0 x y ，得1x ，0y，即直线过定点(1,0)M， 当曲线为双曲线时，41m ，此时 2 4(0,3)am， 当2m 时， 2 2a ，此时右顶点为( 2，0)，在点(1,0)M的右侧， 此时直线不一定有两个交点，故D错误 故选：AB 10 （5 分） 已知( )f x是定义在R上的奇函数，( )f x的图象关于1x 对称
22、， 当(0 x，1时， 2 ( )2f xxx ，则下列判断正确的是() A( )f x的值域为(0，1B( )f x的周期为 2 C(1)f x是偶函数D(2021) 1f 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，当(0 x，1时， 2 ( )2f xxx ，此时0( ) 1f x， 又由( )f x是定义在R上的奇函数，则(0)0f，且当 1x，0)时，1( ) 0f x， 故在区间 1，1上，1 ( ) 1f x，A错误， 对于B，函数( )f x图象关于直线1x 对称，则有(2)( )fxf x， 第 10页（共 23页） 又由( )f x是定义在R上的奇函数，则( )()(2)
23、f xfxfx， 则有(4)(2)( )f xf xf x，故( )f x是周期4T 的周期函数，B错误； 对于C，( )f x的图象关于1x 对称，则函数(1)f x的图像关于y轴对称，(1)f x是偶函 数，C正确， 对于D，( )f x是周期4T 的周期函数，则(2021)(1 4 505)fff （1）1，D正确， 故选：CD 11 （5 分）已知函数( ) cossinf xxx，则下列说法正确的是() A若函数( )f x的最小值为5，则2 B若(0, ) 2 x ，则(0,1) 使得( )f x成立 C若3，0 x ， 2 都有| ( )| 1f xm成立，则(1,2)m D若函
24、数( )f x在(0,) 3 上存在最大值，则正实数的取值范围是(0, 3) 【解答】解：对于A，函数 2 ( )cossin1sin()f xxxx，其中 1 tan ， 因为函数( )f x的最小值为5，所以 2 15，解得2 6，故A错误； 对于B，若函数( ) cossinf xxx， 则 1tan cos2 2 1 1 sin 1tan1tan 22 x x xx x ， 因为(0, ) 2 x ，所以(0,) 24 x ，tan(0,1) 2 x ，1 tan(0,1) 2 x ， 2 (2,) 1tan 2 x ， 2 1(1,) 1tan 2 x ，此时(1,)， 所以不存在(
25、0,1)使得( )f x成立，故B错误； 对于C，若3，则( )2sin() 6 f xx ， 因为0 x， 2 ，所以 66 x ， 2 3 ，( ) 1f x ，2， | ( )| 11( )11( )1f xmf xmmf xm ， 第 11页（共 23页） 因为0 x ， 2 都有| ( )| 1f xm成立， 所以 11 12 m m ，解得12m，即(1,2)m，故C正确； 对于D， 2 ( )1sin()f xx，其中 1 tan ， 因为函数( )f x在(0,) 3 上存在最大值， 所以 23 ，即(6 ，) 2 ， 所以 3 tan( 3 ，)， 13 ( 3 ，)， (0
26、, 3)，故D正确 故选：CD 12 （5 分）数学家华罗庚曾说： “数缺形时少直观，形少数时难入微 ”事实上，很多代数 问题可以转化为几何问题加以解决例如，与 22 ()()xayb相关的代数问题，可以转 化 为 点( , )Ax y与 点( , )Bab之 间 的 距 离 的 儿 何 问 题 结 合 上 述 观 点 ， 对 于 函 数 22 ( )4545f xxxxx，下列结论正确的是() A( )6f x 无解B( )6f x 的解为 6 5 5 x C( )f x的最小值为2 5D( )f x的最大值为2 5 【解答】解： 2222 ( )4545(2)1(2)1f xxxxxxx，
27、 设( ,1)P x，( 2,0)A，(2,0)B， 则( ) | |f xPAPB， 若( )6f x ，则| | 6 | 4PAPBAB ， 则P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 此时26a ，2c ，即3a ， 2 9 4 5b ， 即椭圆方程为 22 1 95 xy ，当1y时，得 2 14 1 955 x ，得 2 36 5 x ，得 6 5 5 x ，故A错 误，B正确， B关于1x 对称点为(2,2)C， 第 12页（共 23页） 则| | | |PAPBPAPCAC，当A，P，C三点共线时，( )f x最小，此时 22 ( )|(22)(20)164202 5f xAC， ( )
28、f x无最大值， 故C正确，D错误， 故选：BC 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）已知| | 1a ，| 3b ，且| 2ab ，则|2 |ab 7 【解答】解：根据题意，| | 1a ，| 3b ，且| 2ab ， 则有 222 |21024ababa ba b ，变形可得3a b ， 则 222 |2 |4449ababa b ， 故|2 | 7ab ， 故答案为：7 14 （5 分）某圆形广场外围有 12 盏灯，如图所示，为了节能每天晚上 12 时关掉其中 4 盏 灯，则恰好每间隔 2 盏灯关掉 1 盏的概
29、率是 1 165 【解答】解：将 12 盏灯依次编号为 1，2，3，12， 从 12 盏灯中关掉 4 盏灯，共有 4 12 12! 495 4!8! C 种方法， 每间隔 2 盏灯关掉 1 盏共有 3 种情况，即关掉 1，4，7，10 或 2，5，8，11 或 3，6，9，12， 第 13页（共 23页） 所以恰好每间隔 2 盏灯关掉 1 盏的概率为 31 495165 ， 故答案为： 1 165 15 （5 分）斜率为2的直线过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点，且与C交于A，B两点， 若| 3 2AB ，则p 2，(AOBO为坐标原点）的面积为 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点F
30、的坐标( 2 p ，0)，准线方程为 2 p x ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，由题意设直线AB的方程：2() 2 p yx， 联立 2 2() 2 2 p yx ypx ，整理可得： 2 2 20 4 p xpx， 可得 12 2xxp， 2 12 4 p x x ， 所以 1212 2()2yyxxpp， 22222 1212 224y yp x xpp p ， 12 |33 2ABxxpp，所以2p ， 222 121212 11126 | |()424 22 2222 AOB p SOFyyyyy ypp ， 故答案为：2， 6 2 16 （5 分）在四
31、面体ABCD中，2ABACBCADCD，二面角BACD为120， 则四面体ABCD的外接球的表面积为 28 3 【解答】解：如图， 由已知可得，ABC，ACD为等边三角形， 取AC的中点G，连接BG，DG，则BGAC，DGAC， BGD为二面角BGD的平面角，大小为120， 设ABC的外心为E，ACD的外心为F， 第 14页（共 23页） 分别过E，F作所在面的垂线，相交于O，则O为四面体ABCD的外接球的球心， 由已知求得 13 33 EGFGBG， 在EFG中，求得 11331 2()1 33332 EF ， 则 12 3 sin12033 2 EF OG ， 可得四面体ABCD的外接球的
32、半径 22 2cos60ROBOGBGOG BG 42 317 323 3323 四面体ABCD的外接球的表面积为 2 728 4() 33 故答案为： 28 3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）记 n S为数列 n a的前n项和，已知 1 1a ，_ （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 11 4 (21)(21) nn n n aa b ，设数列 n b的前n项和为 n T，证明： * n N ， 1 9 n T 从下列三个条件中任选一个，
33、补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解 条件： 2 nn Snann，*nN； 条件： 2 1 (1) nn nSnSnn ，*nN； 条件： 1 1 nn SS ，*nN 【解答】解： （1）若选条件： 2 nn Snann，； 当2n时， 2 11 (1)(1)(1) nn Snann ， 得： 1 (1)(1)2(1) nn nanan ， 所以 1 2 nn aa （常数） ， 第 15页（共 23页） 故数列 n a是以 1 1a 为首项，2 为公差的等差数列； 所以21 n an（首项符合通项） ， 所以21 n an 选条件： 2 1 (1) nn nSnSnn ，； 2 1
34、 (1)(1)(1) nn nSnSnn ， 得： 1 2 nn aa （常数） ， 故数列 n a是以 1 1a 为首项，2 为公差的等差数列； 所以21 n an（首项符合通项） ， 所以21 n an 选条件： 1 1 nn SS ，*nN 所以 1 1 nn SS （常数） ， 所以数列 n S是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 所以 n Sn， 整理得 2 n Sn， 故 22 1 (1)21 nnn aSSnnn ， 证明： （2）由于21 n an， 所以 1 1111 44111 () (41)(41)3 4141(21)(21) nn nn n aannnn b ， 则
35、12 11 1 1111111 111 ()() 3 3771541413 3419 nn nnn Tbbb 18 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 角A，B，C的 对 边 分 别 是a，b，c， 已 知 sinsincossincossinsinaAaCBbCAbBcA （1）求角B的大小； （2）若3 6b，3 2c，点D满足 21 33 ADABAC ，求ABD的面积 【解答】解： （1）sinsincossincossinsinaAaCBbCAbBcA， 第 16页（共 23页） sinsinsinsincossinsincossinsinsinsinAAACBBCABBCA， 即si
36、nsinsin (sin cossin cos ) sinsinsinsinAACABBABBCA， sinsinsin sin() sinsinsinsinAACA BBBCA， 222 sinsinsinsin sinACBAC， 即 222 acbac， 由余弦定理得 1 cos 2 B， 由B为三角形内角得 3 B ； （2）由（1） 222 acbac， 2 1 182 3 254 2 aa ， 整理得 2 3 2360aa， 解得，6 2a， 21 33 ADABAC ， 2111 () 3333 BDADABABACABACABBC ， D在BC上，且为靠近B的三等分点， 113
37、 sin6 23 29 3 222 ABC SacB ， 11 9 33 3 33 ABDABC SS 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 平面PAB 平面ABCD，/ /BCAD，90BAD， 244PAADABBC，21PC （1）证明：PA平面ABCD； （2）线段AB上是否存在一点M，使得MC与平面PCD所成角的正弦值为 221 17 ？若存在， 请求出 AM AB 的值；若不存在，请说明理由 第 17页（共 23页） 【解答】 （1）证明：平面PAB 平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，90BAD， AD平面PAB， PA 平面PAB，ADPA， 在直角梯形AB
38、CD中，244ABBC， 2222 215ACABBC， 4PA ，21PC， 222 PAACPC，即PAAC， 又ADACA ，AD、AC 平面ABCD， PA平面ABCD （2）解：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系， 则(0A，0，0)，(2B，0，0)，(0P，0，4)，(2C，1，0)，(0D，4，0)， (2AB ，0，0)，(2PC ，1，4)，(0PD ，4，4)， 设AMAB ，0，1，则(2M，0，0) (22MC ，1，0)， 第 18页（共 23页） 设平面PCD的法向量为(nx ，y，) z，则 0 0 n PC n
39、 PD ，即 240 440 xyz yz ， 令1y，则 3 2 x，1z ， 3 (2n ，1，1)， MC与平面PCD所成角的正弦值为 221 17 ， 221 |cos 17 n ， 2 3 (22 )1 2 | | | | |9 11(22 )1 4 n MC MC nMC ， 化简得 2 1681 0 ，解得 1 4 ， 故线段AB上存在点M满足题意，且 1 4 AM AB 20 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， 过椭圆C右焦点并垂直于x轴 的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且(OPM O为坐标原点）的面
40、积为 3 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 若直线l交椭圆C于A，(B A，B异于点) P两点， 且直线PA与PB的斜率之积为 9 4 ， 求点P到直线l距离的最大值 【解答】解： （1）由题意可得 2 ( ,) b P c a ， 所以由题意可得 2 1 2 123 22 c e a b c a 且 222 cab，解得 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆的方程为： 22 1 43 xy ； （2）由（1）可得 3 (1, ) 2 P，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 设直线l的方程为：y kx m， 联立可得 22 1 43 ykxm xy 且整理可得：
41、222 (34)84120kxkmxm， 2 222 644 (43) (412)0 k mkm ， 第 19页（共 23页） 且 12 2 8 3 4 km xx k ， 2 12 2 412 34 m x x k ， 12 12 33 9 22 114 PAPB yy kk xx ，整理可得： 1112 9 (1)(1)(1)(1) 4 yyxx， 整理可得 22 1 212 3939 (9) ()()()0 2424 kx xk mxxm， 整理可得 22 9 24360 2 kmmkm，即 3 ()(243)0 2 kmkm， 3 0 2 km或2 430km， 若 3 0 2 km，
42、则直线方程为： 3 (1) 2 yk x，直线恒过 3 (1, ) 2 N，与P点重合， 若2430km，则直线方程为： 31 () 42 yk x， 所以直线恒过定点 1 ( 2 Q， 3) 4 所以P到直线l的距离的最大值为|PQ的值为 22 13385 (1)() 2244 所以点P到直线l距离的最大值 85 4 21 （12 分）已知函数( )1()f xlnx axa R （1）讨论函数( )f x的零点个数； （2）设 1 x， 2 x是函数( )f x的两个零点，证明： 12 20 xxelna 【解答】解：令0y，即1lnxax，画图可知， 当0a时，直线1y ax与y lnx
43、的图象有且只有一个交点，即一个零点； 当0a 时，设直线1y ax与y lnx切于点 0 (x， 0) lnx，切线斜率为 0 1 k x ， 切线方程为 00 0 1 ()ylnxxx x ，把(0, 1) 代入上式可得 0 1x ，1k ， 当01a时，直线1y ax与y lnx有两个交点，即两个零点； 第 20页（共 23页） 当1a 时直线1y ax与y lnx相切于一点，即一个零点； 当1a 时直线1y ax与y lnx没有交点，即无零点 综上可知，当1a 时，( )f x无零点； 当1a 或0a时，( )f x有且仅有一个零点； 当01a时，( )f x有两个零点 （2）因为( )
44、f x有两个零点，由（1）可知01a， 故令 1 a e ，则 1 ( )1f xlnxx e ，故( )f x的最大值为f（e）1， 所以( )f x f（e）1，则有 1 1 1lnxx e ， 所以 1 lnxx e ，故 11 ln aae ，所以 2 2elna a ， 要证 12 20 xxelna，即证 12 2 2xxelna a ， 因为 1 x， 2 x是函数( )f x的两个零点， 所以 11 22 10 10 lnxax lnxax ，解得 2 21 1 () x lna xx x ， 即证 21 12 2 1 2()xx xx x ln x ， 不妨设 12 0 xx
45、，则 2 2211 2 112 1 2(1) 2() 1 x xxxx ln x xxx x ， 令 2 1 1 x t x ，则证 2(1) 1 t lnt t ， 令 2(1) ( ),1 1 t h tlntt t ， 则 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t h t ttt t ， 所以()ht在(1,)上单调递增， 所以( )hth（1）0，即 2(1) 1 t lnt t ， 以上各步均可逆，故 12 20 xxelna 第 21页（共 23页） 22 （12 分）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群 众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情
46、防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力， 果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机， “争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上 的重要标语 （1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口 罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检已知批次I的 成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为 1 1 35 P ， 2 1 34 P 求批次I成品口罩的次品率 1 p 第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰， 合格的口罩进入流水线并由工 人进行抽查检验已知批次I的成品口罩红外线自动检测显示合格率为92%，求工人在流 水线进行人工抽检时
47、，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数） （2）已知某批次成品口罩的次品率为(01)pp，设 100 个成品口罩中恰有 1 个不合格品 的概率为( ) p，记( ) p的最大值点为 0 p，改进生产线后批次J的口罩的次品率 10. pp某 医院获得批次I，J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用经统计，正常佩戴使用这两 个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求 0 p，并判断是否有 99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？ 第 22页（共 23页） 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ， 2 ()P K
48、k 0.0500.0100.0050.001 k3.8416.6357.87910.828 【解答】解： （1）批次I成品口罩的次品率为 1123 3433323 1 (1)(1)(1) 1 35343335 pPPP ； 设批次I的成品口罩红外线自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B， 由已知可得P（A） 92 100 ， 1 332 ()11 3535 P ABp ， 则仍在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品为事件|B A， 则 ()32100160 (|)99.38% ( )3592161 P AB P B A P A ； （2）100 个成品口罩中恰有 1 个不合格的概率
49、为 199 100 ( )(1)pCpp， 所以 999898 ( )100(1)99 (1) 100(1)(1 100 )pppppp， 令( ) 0p，解得0.01p， 当(0,0.01)p时，( ) 0p， 当(0.01,1)p时，( ) 0p， 所以( ) p的最大值点为 0 0.01p ， 由（1）可知， 10 3 0.09,0.01 35 J ppp， 故批次J口罩的次品率低于批次I，故批次J的口罩质量优于批次I 第 23页（共 23页） 由条形图可建立22列联表如下： 核酸检测结果 口罩批次合计 IJ 呈阳性12315 呈阴性285785 合计4060100 所以 22 2 ()100(1257283)200 11.76510.828 ()()()()4060 158517 n adbc K ab cdac bd ， 因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关
