1、高中数学知识点 高中数学第一章-集合 01. 集合与简易逻辑知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集，记为； 空集是任何集合的子集，记为； 空集是任何非空集合的真子集； 如果，同时，那么 A = B. 如果. 注：Z= 整数（）Z =全体整数 （） 已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集 合 A 也是有限集
2、.（）（例：S=N； A=， 则 CsA= 0） 空集的补集是全集. 若集合 A=集合 B，则 CBA=，CAB =CS（CAB） =D（注：CAB =） . 3. （x，y）|xy =0，xR，yR坐标轴上的点集. （x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集. （x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集. 注：对方程组解的集合应是点集. - 1 - 例：解的集合(2，1). 点集与数集的交集是. （例：A =(x，y)| y =x+1B=y|y =x2+1则 AB =） 4. n 个元素的子集有 2n个.n 个元素的真子集有 2n1 个.n 个元素的非空真子集 有 2n2 个. 5
3、. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题. 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题. 例：若应是真命题. 解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. . 解：逆否：x + y =3x = 1 或 y = 2. ,故是的既不是充分，又不是必要条件. 小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3.例：若. 4.集合运算：交、并、补. 5.主要性质和运算律 （1）包含关系： （2）等价关系： (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）从右向左，从上向下，奇穿偶回，零点讨论 将不等
4、式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是 “b 解的讨论； 一元二次不等式 ax2+box0(a0)解的讨论. 二次函数 （）的图 象 一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为0(或0)；0(或0)的形式， （2）转化为整式不等式（组） 3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：,与型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) （1）
5、根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题； 由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 - 3 - 构成复合命题的形式：p 或 q(记作“pq” )；p 且 q(记作“pq” )；非 p(记作“ q” ) 。 3、“或”、“且”、“非”的真值判断 （1）“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相 反； （2）“p
6、且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为 真，其他情况时为假； （3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为 假，其他情况时为真 4、四种命题的形式： 原命题：若 P 则 q；逆命题：若 q 则 p； 否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题) 、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 、原命题为真，它的否命
7、题不一定为真。 、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 pq 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 若 pq 且 qp,则称 p 是 q 的充要条件，记为 pq. 7、反证法：从命题结论 的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而 否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 高中数学第二章-函数 02. 函数知识要点 一、本章知识网络结构： 二、知识回顾： （一） 映射与函数 1.映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为 这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和
8、对应法则二者完全相同的函数才 是同一函数. - 4 - （二）函数的性质 函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, 若当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； 若当 x1f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的） 单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 7. 奇函数，偶函数： 偶函数： 设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点
9、. 偶函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数. 满足，或，若时，. 奇函数： 设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 - 5 - 定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数. 满足，或，若时，. 8. 对称变换：y = f（x） y =f（x） y =f（x） 9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数 f（x）= 1+的定义域为 A，函数 ff（x）的定义域是 B，则集合 A 与集 合 B 之间的关系是. 解：的值
10、域是的定义域，的值域， 故， 而 A， 故. 11. 常用变换： . 证： 证： 12. 熟悉常用函数图象： 例：关于轴对称. 关于轴对称. - 6 - 熟悉分式图象： 例：定义域， 值域值域前的系数之比. （三）指数函数与对数函数 指数函数的图象和性质 a10a0 时，y1;x0 时，0y0 时，0y1;x1. （5）在 R 上是增函数（5）在 R 上是减函数 对数函数 y=logax 的图象和性质: 对数运算： （以上） - 7 - a10a0 （5）在（0，+）上是增在（0，+）上是减函 数 函数 . ：当时，取“+”，当是偶数时且时，而，故取“”. 例如：中 x0 而中 xR）. （）
11、与互为反函数. 当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反. - 8 - （四）方法总结 .相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. 对数运算： （以上） 注：当时，. ：当时，取“+”，当是偶数时且时，而，故取“”. 例如：中 x0 而中 xR）. （）与互为反函数. 当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反. .函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法. .反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域). .函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的 定义域.常涉及到的依据为分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的
12、真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. .函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法； 不等式法；函数的单调性法. .单调性的判定法：设 x ,x是所研究区间内任两个自变量，且 x x；判定 f(x ) 与 f(x )的大小；作差比较或作商比较. .奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系： f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(- x)=0 为奇；f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-
13、1 为奇函数. .图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图 象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. - 9 - 高中数学 第三章数列 考试内容： 数列 等差数列及其通项公式等差数列前 n 项和公 式 等比数列及其通项公式等比数列前 n 项和公 式 考试要求： （1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能 根据递推公式写出数列的前几项 （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际 问题 （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解
14、决简单的实际 问题 03. 数 列知识要点 数列的定义项 数列的有关概念项数 数列 数列的通项通项 数列与函数的关系 等比数列的定义 等差数列的定义 等比数列的通项 等差数列的通项 等比数列 等差数列 等比数列的性质 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列的前 n 项 和 等差数列等比数列 定义 递 推 公 式 ； ； 通 项 公 式 中项 （） （）（） - 10 - 前项 和 重 要 性 质 1. 等差、 等差数列等比数列 定义 通项公 式 =+（n-1）d=+（n-k） d=+ -d 求和公 式 中项公 式 A=推广：2=。推 广： 性 质 1 若 m+n=p+q 则若 m+n
15、=p+q， 则。 2 若成 A.P（其中） 则若成等比数列 （其中） ， 也为 A.P。 则成等比数列。 3 成等差数列。成等比数列。 4 ， 5 看数列是不是等差数列有以下三种方法： 2() (为常数). 看数列是不 是等比数列有以下四种方法： - 11 - (，) 注：i.，是 a、b、c 成等比的双非条件，即a、b、c 等比数列. ii.（ac0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii.为 a、b、c 等比数列的必要不充分. iv.且为 a、b、c 等比数列的充要. 注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac0，则等比中项一定有两个. (为非零常数). 正数列成等比的
16、充要条件是数列（）成等比数列. 数列的前项和与通项的关系： 注： （可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列 也是等差数列）若不为 0，则是等差数列充分条件）. 等差前 n 项和可以为零也可不为零为等差的 充要条件若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. 等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2倍； 若等差数列的项数为 2，则； 若等差数列的项数为，则，且， . 3. 常用公式：1+2+3 +n = 注：熟悉常用通项：9，99，999，； 5，55，555，.
17、4. 等比数列的前项和公式的常见应用题： 生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为 ，则每年的产量 成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为： - 12 - 银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为 ，每月利息按复 利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款： =. 分期付款应用题：为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清； 为年利率. 5. 数列常见的几种形式： （p、q 为二阶常数）用特证根方法求解. 具体步骤：写出特征方程（对应， x 对应），并设二根若 可设，若可设；由初始值确定. （P、
18、r 为常数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数 n 转 化为的形式，再用特征根方法求； （公式法），由 确定. 转化等差，等比：. 选代法： . 用特征方程求解：. 由选代法推导结果：. 6. 几种常见的数列的思想方法： 等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两 种方法： 一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的 值. 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照 等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如： 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第 - 13 - 一个相同项
19、，公差是两个数列公差的最小公倍数. 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然数, 验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证 都成立。 3. 在等差数列中,有关 Sn的最值问题：(1)当0,d0 时，满足的项数 m 使得取最大值. (2)当0 时，满足的项数 m 使得取最小值。在解含绝对 值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于其中是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无 理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相
20、减法:适用于其中是等差数列，是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 高中数学第四章-三角函数 考试内容： 角的概念的推广弧度制 - 14 - 任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导 公式 两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切 正弦函数、余弦函数的图像 和性质周期函数函数 y=Asin(x+)的图像正切函数的图像 和性质已知三 角函数值求角 正弦定理余弦定理斜三角形解法 考试要求：
21、 （1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三 角 函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义 （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式 （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦 函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A.、的物理意义 （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinxarc-cos
22、xarctanx 表示 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 （8）“同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tan cos=1” 04. 三角函数知识要点 1. 与（ 0 360 ） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ） ： 终边在 x 轴上的角的集合： 终边在 y 轴上的角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合： 终边在 y=x 轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合： 若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系： 若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系： 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关
23、系： 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系： 2. 角度与弧度的互换关系：360=2180=1=0.01745 1=57.30=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad57.30=571810.01745 （rad） - 15 - 3、弧长公式：.扇形面积公式： 4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点 的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则； ；. 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 6、三角函数线 正弦线：MP;余弦线：OM;正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数定
24、义域 si n x co sx ta n x 8、同角三角函数的基本关系式： 9、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 （二）角与角之间的互换 - 16 - ,. 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： （A、0） 定义域RRR 值域R 周期性 奇偶性奇 函偶函数奇函数当非奇非偶 数当奇函数 ； 上 为 增 函上为增函数 数（） 上为增 函数； 单调性上 为 减 函上为增函数； 数 （） 上为减 函数 （上为减函数 ）（） 注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反. 一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）. 与的周期是. 或（）的周期. 的
25、周期为 2（，如图，翻折无效）. 的对称轴方程是（），对称中心（） ；的对 - 17 - 称轴方程是（），对称中心（） ；的对称中心（）. 当；. 与是同一函数,而是偶函数，则 . 函数在上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， 为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义 域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数： ） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义 域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质） 不是周期函数；为周期
26、函数（） ； 是周期函数（如图）；为周期函数（ 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： . 有. 11、三角函数图象的作法： ）、几何法： ）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ）、利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 yAsin（x）的振幅|A|，周期，频率，相位初相 （即 当 x0 时的相位）（当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号）， 由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当 0|A| 1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振
27、幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y） 由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1） - 18 - 到原来的倍，得到 ysin x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用x 替 换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位， 得到 ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位， 得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换 y） 由 ysinx 的图
28、象利用图象变换作函数 yAsin（x） （ A0，0） （ xR）的图 象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。 高中数学第五章-平面向量 05. 平面向量知识要点 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法；字母表示：a； 坐标表示法 aj（，）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作a. (4)特殊的向量：零向量 aOaO. 单位向量 aO为单位向量a O1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (1，1)（2，2） (6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0 (7)平行向量(共线
29、向量)：方向相同或 相反的向量，称为平行向量.记作 ab.平行向量也称为共 线向量. 3.向量的运算 运算类型几何方法坐标方法运算性质 向量的1.平行四边形法则 加法2.三角形法则 - 19 - 向量的 减法 三角形法则 , 1.是 一 个 向 量 , 满 足 : 数 乘 向 2.0 时, 同向; 量 b 解的讨论； 一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 - 27 - （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 1 2 3 （4）.指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 1 应用分类讨论思
30、想去绝对值； 2 应用数形思想； 3 应用化归思想等价转化 注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： 类似于， - 28 - 高中数学第七章-直线和圆的方程 07. 直线和圆的方程知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角， 其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是. 注：当或时，直线 垂直于轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有 惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
31、 特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时， 直线方程是：. 注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的 直线，如果变化时，对应的直线也会变化.当为定植，变化时，它们表示过定点（0， ）的直线束.当为定值，变化时，它们表示一组平行直线. 3. 两条直线平行： 两条直线平行的条件是：和是两条不重合的直线. 在和的斜率都 存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则，且 或的斜率均不存在，即是平
32、行的必要不充分条件，且） 推论：如果两条直线的倾斜角为则. 两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：设两条直线和的斜率分别为和，则有这里 的前提是的斜率都存在. ，且的斜率不存在或，且的斜率不存 在. （即是垂直的充要条件） 4. 直线的交角： 直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与 重合时所转动的角，它的范围是，当时. 两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个 角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有 . 5. 过两直线的交点的直线系方程为 - 29 - 参数，不包括在内） 6. 点到直线的距离： 点到直线的距离公式：设点
33、，直线到的距离为，则有 . 注： 1.两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：. 特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离： 2.定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(x,y)分 有 向 线 段,其 中 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3.直线的倾斜角（0180）、斜率: 4.过两点. 当（即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角，没有斜率 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它 们之间的距离为，则有. 注；直线系方程 1. 与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR
34、, Cm). 2. 与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( mR) 3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 ( R）注：该直 线系不含 l2. 7. 关于点对称和关于某直线对称： 关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直
35、线 夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对 称 点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 注：曲线、直线关 于一直线（）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0. - 30 - 二、圆的方程. 1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建 立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐
36、标的点都是 曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 曲线和方程 的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系， 曲线上任一 点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲 线上的点. 注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0,y)线 C 上的充要条件是 f(x0,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点为圆心， 为半径的圆的标准方程是. 特例：圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是：. 注：特殊圆的方程：与轴相切的圆方程 与轴相切的圆方程 与轴轴都相切的圆方程 3. 圆的一般方程：. 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径. 当时，方
37、程表示一个点. 当时，方程无图形（称虚圆）. 注：圆的参数方程：（为参数）. 方 程表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ：且且 . 圆的直径或方程：已知（用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点及圆. 在圆内 在圆上 在圆外 5. 直线和圆的位置关系： 设圆圆：；直线 ：； - 31 - 圆心到直线 的距离. 时， 与相切； 附：若两圆相切，则相减为公切线方程. 时， 与相交； 附 ：公共弦方程： 有两个交点，则其公共弦方程为. 时， 与相离. 附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程. 由代数特征判断：方程组用代入法，得关于 （或）的一元二次方程， 其判别式为，则： 与相切； 与
38、相交； 与相离. 注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线. 6.圆 的 切 线 方 程 ： 圆的 斜 率 为的 切 线 方 程 是过 圆 上一点的切线方程为：. 一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆 上 一点的切线方程为. 若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程. 7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已 知的 方 程 又 以ABCD为 圆 为 方 程 为 ，所以 BC 的方程即代，相切即为所求. - 32 - 三、曲线和方程 1.曲线与方程：
39、在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系： 1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性）； 2） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上（完备性）。则称方程 f(x,y)=0 为曲线 C 的 方 程，曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。 2.求曲线方程的方法：. 1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;2）参数法;3）定义法，4）待定系数 法. - 33 - 高中数学第八章-圆锥曲线方程 08. 圆锥曲线方程知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义： 椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点
40、在 x 轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上： . 一般方程：.椭圆的标准参数方程：的参数方程为 （一象限应是属于）. 顶点：或.轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长. 焦点：或.焦距：.准线：或. 离心率：.焦点半径： i.设为椭圆上的一点，为左、右焦 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点 由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：归结起来为“左 加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和 共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程 是大于 0 的参数，的离心率也是我们称此方
41、程为共离心率的椭圆 系方程. 若 P 是椭圆：上的点.为焦点，若， 则的面积为 （用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为. - 34 - 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义： 双 曲 线 标 准 方 程 ：.一 般 方 程 ： . i. 焦点在 x 轴上： 顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：.焦点：. 准线方程：.渐近线方 程：或，参数方程：或. 轴为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距2c.离心率.准线距（两 准线的距离）；通径.参数关系.焦点半径公式：对于双曲线方程 （分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： 构
42、成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径 要带符号计算，而双曲线不带符号） 等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭 双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. 共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐 - 35 - 近线为时，它的双曲线方程可设为. 例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方 解：令双曲线的方程为：，代入得 直线与双曲线的位置关系： 区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条
43、； 区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条； 区域：即定点在渐近线上 且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有 一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐 近 线求交和两根之和与两根之积同号. 若 P 在双曲线，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两准线的距离 比为 mn. 简证：=. 常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 三、抛物线方
44、程. 3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴轴轴 顶点（0，0） 离心率 焦点 - 36 - 注：顶点. 则焦点半径;则焦点半径为. 通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. （或）的参数方程为（或） （ 为参数）. 四、圆锥曲线的统一定义. 4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹. 当时，轨迹为椭圆； 当时，轨迹为抛物线； 当时，轨迹为双曲线； 当时，轨迹为圆（，当时）. 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关 于原点对称的. 因为具有对称性，所以欲证 AB=
45、CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆双曲线抛物线 定义1到两定点 F1,F2的距1到两定点 F1,F2的距 离之和为定值离之差的绝对值为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨 2a(02a|F1F2|)的点的 迹轨迹 2与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 2与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 与定点和直线的距离相等 的点的轨迹. 迹.（0e1） 图形 方 标准 方程(0)(a0,b0) y2=2px 程 参数 方程(t 为参 数) 范围 axa， byb|x|a，yRx0 中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）
46、 顶点(a,0),( a,0), (0,b) , (0, b) (a,0),( a,0) (0,0) 对称轴x 轴，y 轴；x 轴，y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b实轴长 2a, 虚轴长 2b. 焦点F1(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0) x 轴 焦距 2c（c=）2c （c=） - 37 - 离心率e=1 准线 x=x= 渐近线y=x 焦半径 通径 2p 焦参数 P 1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性 质. 2.等轴双曲线 3.共轭双曲线 5. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程. 高中数学
47、第九章-立体几何 09. 立体几何知识要点 一、平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注：两 两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.（两个平面平行，两个平面相交） 3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.（三条直线在一个平面内平行，三条直 线不在一个平面内平行） 注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有 0 或 1 个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z 三个方 向） 二、空间直线. 1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线共面有反且有一个公共点；平行直 线共面没有
48、公共点；异面直线不同在任一平面内 注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）（可能两条直线平行， 也可能是点和直线等） 直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 若直线 a、b 异面，a 平行于平面，b 与的关系是相交、平行、在平面内. 两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. 在平面内射影是直 线的图形一定是直线.（）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） 在同一平面内的射 影长相等，则斜线长相等.（）（并非是从平面外一点向这个平面所引的 - 38 - 垂线段和斜线段） 是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定
49、理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面 直线.（不在任何一个平面内的两条直线） 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相 等（如下图）. （二面角的取值范围） （直线与直线所成角） （斜线与平面成角） （直线与平面所成角） （向量与向量所成角 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角） 相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂 直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 是异面直线，则过外一点 P，过点 P 且与都平
50、行平面有一个或没有，但与距 离相等的点在同一平面内. （或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面） 三、直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直 线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”） 注：直线与平面内一条直线平行，则. （）（平面外一条直线） 直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （）（平面外一条直线） 若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （）（不是任意一条直线，可 利用平行的传递性证之） 两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于
