1、数学圆锥曲线总结 1、圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的 距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨 迹是线段 F F ，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F ，F 的 距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F |，定义中的“绝 对值”与|F F |不可忽视。若|F F |，则轨迹是以 F ，F 为端点的两 条射线，若|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双 曲线的一支。 （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为 分子、点线距为分母”，其商即是离心率
2、。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥 曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对 它们进行相互转化。 Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型， 而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的 定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最 大，在双曲线中， 最大，。 4.圆锥曲线的几何性质： （1） 椭圆（以（）为例）：范围：； 焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称 中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为
3、2，短轴长为 2 ； 准线：两条准线； 离心率：，椭圆， 越 小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。 （2）（2）双曲线（以（）为例）：范围：或 ；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴， 一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为 2，虚轴长为 2， 特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；准线：两条准线； 离心率：，双曲 线，等轴双曲线， 越小，开口越小， 越大，开口越 大；两条渐近线：。 （3） 抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个 焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条 对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线 ； 离心率：，抛物线
4、。 5、点和椭圆（）的关系：（1）点在 椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点 在椭圆内 6直线与圆锥曲线的位置关系： （1） 相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与 双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双 曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但 不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定 有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一 个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 Attention： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相 切和相交。如果直线与双曲线的渐近线
5、平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交 点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （2）过双曲线1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点 的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近 线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近 线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支 相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与 另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线； （2） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和 一条平行于
6、对称轴的直线。 7、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的 第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示 P 到与 F 所对 应的准线的距离。 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利 用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点 的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ， 且 当即为 短 轴 端 点 时 ，最 大 为 ；，当即为短轴端点时，的最 大值为 bc；对于双曲线的焦点三角形有：； 。 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直 径的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点
7、弦， M 为准线与 x 轴的交点，则AMF BMF；（3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 A ，B ，若 P 为 A B 的中点，则 PAPB；（4）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平 行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。 10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点 A、B，且分别为 A、 B 的横坐标，则，若分别为 A、B 的纵坐标，则 ，若 弦 AB 所在直线方程设为， 则。 特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算， 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
8、 11、圆锥曲线 的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求 解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率 k=； 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率 k=；在抛 物线中，以为中点的弦所在直线的斜率 k=。 Attention：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦 长、对称问题时，务必别忘了检验！ 12重要结论： （1）双曲线的渐近线方程为； （2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为 为参数，0）。 如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_（答： ） （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相 应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （ 6 ） 若 抛 物 线的 焦 点 弦 为 AB ， 则 ； （7）若 OA、OB 是过抛物线顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点
