1、高中数学必修 4 之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 零向量：长度为 0 的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行 单位向量：模为 1 个单位长度的向量 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设，则+= （1）； （ 2）向量加法满足交换律与结合律； ，但这时必须“首尾相连” 3、向量的减法： 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，作图法：可以表示为从的终点指向的终点 的
2、向量（、有共同起点） 4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向 相反；当时，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得= 6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只 有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 2 平面向量的坐标运算： (1) 若，则 (2) 若，则 (3) 若=(x,y)，则=(x
3、,y) (4) 若，则 (5) 若，则 若，则 三平面向量的数量积 1 两个向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos 叫做与的数量积（或内积） 规定 2 向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 3 数量积的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积 4 向量的模与平方的关系： 5乘法公式成立： ； 6 平面向量数量积的运算律： 交换律成立： 对实数的结合律成立： 分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：； （2）消去律不成立不能得到 （3）=0不能得到=或= 7 两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则= 8 向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则AOB=（）叫做向量与 的夹角 cos= 当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量 之间不谈夹角这一问题 9 垂直：如果与的夹角为 900则称与垂直，记作 10 两个非零向量垂直的充要条件： O平面向量数量积的性质
