1、2021 授课教师：红阳老师时间：2021.4.24 儿童/卡通/幼儿园/小学/课件/ PPT模板 相似三角形的判定相似三角形的判定 知识回顾知识回顾 相似多边形 概念概念 相似比相似比 性质性质 对应角相等对应角相等 对应边成比例对应边成比例 学习目标学习目标 1.1.理解相似三角形的概念理解相似三角形的概念. . 2.2.理解理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相 似三角形判定定理的预备定理的有关证明似三角形判定定理的预备定理的有关证明. . 3.3.掌握平行线分线段成比例掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的的基本事实及其推论的应
2、用应用，会用平，会用平 行线判定两个三角形相似并进行证明和计算行线判定两个三角形相似并进行证明和计算. . 课堂导入课堂导入 判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可 以使用简便的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS). 类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 知识点知识点1：相似三角形：相似三角形 即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说ABC 与DEF 相似，记作ABCDEF，ABC 和DEF 的相似比为 k， DEF 与ABC 的相似比为. k 1 A=D，B=E，C=F， ， DF AC DE AB k EF BC 在ABC 和DEF
3、 中，如果 AB DE F C 用符号用符号“”“”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写 在对应的位置上在对应的位置上. . ABCABCDEF DEF 表示顶点表示顶点 A A 与与 D D，B B 与与 E E，C C 与与 F F分分 别对应；如果仅说别对应；如果仅说“ABCABC与与DEF DEF 相似相似” ” ，没有用，没有用“”“”连接，则需连接，则需 要分类讨论它们之间的对应关系要分类讨论它们之间的对应关系. . (1)(1)相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定方法，也是相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定
4、方法，也是 相似三角形最重要的性质相似三角形最重要的性质. . (3)(3)全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1 1 的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形. . (4)(4)相似三角形具有传递性相似三角形具有传递性, ,即若即若ABCABC DEFDEF， DEFDEF OPQOPQ，则，则ABCABC OPQOPQ. . 本题源于教材帮 C 知识点知识点2：平行线分线段成比例：平行线分线段成比例 如图，小方格的边长都是1，直线 abc，分别交直线 m，n 于A1，A2，A
5、3，B1，B2，B3. A1 A2 A3 B1 B2 B3 mn a b c 图 A1 A2 A3 B1 B2 B3 mn a b c (1) 计算 ，你有什么发现？ 1212 2323 A AB B A AB B ， (2) 将直线 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的 交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结论还成立吗？如果 将 b 平移到其他位置呢？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 mn a b c 图 A1 A2 A3 B1 B2 B3 mn a b c (3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截 两条直线，截得的对应线段成比例吗？
6、 平行线分线段成比例的基本事实：平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 几何语言：几何语言： 若ab c ， 则 ， ， 1212 2323 A AB B A AB B 2323 1212 A AB B A AB B 1212 1313 A AB B A AB B ， 2323 1313 A AB B A AB B A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c a 1.对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如上图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3是对应线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段. 3.基本事实中的“所得的对应线段”
7、是指被截直线上的线段，与这组 平行线上的线段无关. 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直 线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对应线段写在对应的位置 上. 如图，直线 abc，由平行线分线段成比例的基本事实，我们 可以得出图中对应成比例的线段. A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c mn a 把直线把直线 n 向左或向右向左或向右 任意平移，这些线段依任意平移，这些线段依 然成比例然成比例. . A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B1 与 A1 重合的位置，说说图中有哪些成比 例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图
8、形，刚刚所说的线段是否仍 然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例 线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍 然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) A1(B1) A2 A3 B2 B3 A2(B2) A1 A3 B1 B3 平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边( (或两边或两边 的延长线的延长线) )，所得的对应线段成比例，所得的对应线段成比例. . AB/CD AB/CD/EF AB
9、/CD/EF C 知识点知识点3：利用平行线判定两个三角形相似的定理：利用平行线判定两个三角形相似的定理 如图，在ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平 行线 DE，交 AC 于点 E. BC A DE ADE 与ABC 的三个角分别相等吗？的三个角分别相等吗？ 如图，在ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的 平行线 DE，交 AC 于点 E. BC A DE 分别度量分别度量ADE ADE 与与ABC ABC 的边长，它们的边长的边长，它们的边长 是否对应成比例？是否对应成比例？ BC A DE ADE ADE 与与ABC ABC 之间有什么关系
10、？平行移动之间有什么关系？平行移动DEDE 的位置，结论的位置，结论 还成立吗？还成立吗？ 通过度量，我发现通过度量，我发现ADEADEABCABC，且只要，且只要 DEDEBCBC，这个结论恒成立，这个结论恒成立. . BC A DE 要用相似的定义去证明要用相似的定义去证明ADEADEABC ABC ，我们需要证明什么？，我们需要证明什么？ ADAEDE ABACBC 而除 DE 外，其他的线段都在ABC 的边上，要想利用前面 得到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？ BC A DE 由前面的结论可得 ADAE ABAC ，需要证明的是 ， ADAEDE ABACBC 由前面的结论，我们
11、可以得到什么？还需证明什么？由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？ 可以将可以将 DE 平移平移 到到BC 边上去边上去 证明：在 ADE 与 ABC 中，A=A. DEBC， ADE=B，AED=C. 如图，过点 D 作 DFAC，交 BC 于点 F. C A B DE F 用相似的定义证明：ADEABC. DEBC，DFAC， . ADAEADCF ABACABCB ， 四边形DFCE为平行四边形， DE=FC， ADEABC. = ADAEDE ABACBC ， 定理：定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三 角形与原三角形相似. 几何语言：几何语言：如下图所示，D
12、E/BC，ADEABC. 定理中定理中“和其他两边相交和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交是指和其他两边所在的直线相交. . 三角形相似的两种常见类型： “X ” 型 DE A BC “A ”型 A BC DE 如图，AB/EF/DC，AD/BC，EF 与 AC 交于点 G，则图中的相 似三角形共有( ) A.3对 B.5对 C.6对 D.8对 C D AB E F G 解析：AEG ADC CFG CBA. C AG/BF AE/DH CH/BE C 2.如图， l1 /l2/l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5， 求 BC，BF 的长. 利用平行线分线段成比例求线段长的
13、利用平行线分线段成比例求线段长的思路思路 利用平行线分线段成比例求线段的长，需先确定图形中的平行利用平行线分线段成比例求线段的长，需先确定图形中的平行 线，由此找出线段间的比例关系，再结合待求线段与已知线段线，由此找出线段间的比例关系，再结合待求线段与已知线段 写出一个含有它们的比例式，即可求出线段的长写出一个含有它们的比例式，即可求出线段的长. . 3.如图，在ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 AB=3AD，E 是 AC 的中点，DE 的延长线交 BC 延长线于点 F.求证：BC=CF. G 还有其他解法吗？还有其他解法吗？ 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，平行于
14、三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似所构成的三角形与原三角形相似 平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边( (或两边或两边 的延长线的延长线) )，所得的对应线段成比例，所得的对应线段成比例 课堂小结课堂小结 平行线分线段成比例平行线分线段成比例 基本事实基本事实 推论推论 判定三角判定三角 形相似形相似 两条直线被一组平行线所截，所得的两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例对应线段成比例 1.如图，l1/l2 /l3，直线 a，b 与 l1，l2，l3 分别相交于点 A，B， C 和点 D，E，F.若 AB =3，DE =2，BC
15、 =6，则 EF = .4 B D CA Q B D CA Q 3. 如图，在RtABC 中，ACB =90，以 AC 为直径的 O 交 AB 于点 D.过点 D 作 O 的切线交 BC 于点 E，连接 OE. (1)求证：DBE 是等腰三角形； 解：(1)连接OD，如图所示. DE 是 O 的切线， ODE =90， ADO+BDE = 90. ACB =90， CAB +CBA = 90. OA =OD， CAB = ADO， BDE =CBA， EB =ED， DBE是等腰三角形. (2)求证：COECAB. 解：(2) ACB =90，AC 是 O 的直径， CB是 O 的切线. DE 是 O 的切线， DE =EC. EB =ED， EC =EB. 又 OA =OC， OE/AB， COECAB. 课后作业课后作业 请完成课本后习题第4、5题. 2021 感谢聆听 欢迎提问 授课教师：红阳老师时间：2021.4.24
