1、第 1页（共 24页） 2021 年广东省燕博园高考数学综合能力测试试卷（年广东省燕博园高考数学综合能力测试试卷（3 月份）月份） 一一、单选题单选题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合| | 5AxZ x， |24 x Bx，则(AB ) A(2,5)B2，5)C2，3，4D3，4，5 2 （5 分）已知点( 4,9)A，(6, 3)B，则以线段AB为直径的圆的方程为() A(4)(6) (9)(3) 61xxyyB(4)(6) (9)
2、(3) 0 xxyy C(4)(6) (9)(3) 61xxyyD(4)(6) (9)(3) 0 xxyy 3 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是() AyxxB 1 yx x C xx yeeD 2 log | |yx 4 （5 分）已知正六边形ABCDEF中，(ABCDEF ) AAF BBE CCD D0 5 （5 分）若 5 (12)2( ,)aba bQ，则(ab ) A60B70C80D90 6 （5 分）曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最 完好的青铜礼乐器， 全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调 其初始四音为
3、宫、 徵、 商、羽我国古代定音采用律管进行“三分损益法” 将一支律管所发的音定为一个基音， 然后将律管长度减短三分之一（即“损一”)或增长三分之一（即“益一”)，即可得到 其他的音若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一” 可得羽音则羽音律管长度与宫音律管长度之比是() 第 2页（共 24页） A 2 3 B 8 9 C 16 27 D 64 81 7 （5 分）已知函数( )sin()(f xAxA，均为正常数） ，相邻两个零点的差为 2 ， 对任意x， 2 ( )() 3 f xf 恒成立，则下列结论正确的是() Af（2）( 2)(0)ff B(0)ff（2
4、）( 2)f C( 2)(0)fff（2）Df（2）(0)( 2)ff 8 （5 分）若函数 2 1 ( )( x ax f xe e 为自然对数的底数）是减函数，则实数a的取值范围是( ) A0aB1aC0a D01a 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收
5、垃 圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现 随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾， 经分拣以后统计数据如表 （单位：) t 根 据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是() “厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱 厨余垃圾400100100 可回收垃圾3024030 其他垃圾202060 A厨余垃圾投放正确的概率为 2 3 B居民生活垃圾投放错误的概率为 3 10 C该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收垃圾”箱、 “其他垃圾”箱的投放量的方差为 18000 10 （5 分
6、）函数( ) |() a f xxaR x 的图象可能是() 第 3页（共 24页） AB CD 11 （5 分）已知方程 22 sinsin21xy，则() A存在实数，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为 4 3 B存在实数，该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线 C存在实数，该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线，且双曲线的离心率为2 D存在实数，该方程对应的图形是焦点在x轴上的椭圆，且椭圆的离心率为 3 3 12 （5 分）三棱锥VABC中，ABC是等边三角形，顶点V在底面ABC的投影是底面的 中心，侧面VAB 侧面VAC，则() A二面角VBCA的大小为 3 B此三棱锥的侧面积与其底面
7、面积之比为3 C点V到平面ABC的距离与VC的长之比为 3 3 D此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为 3 9 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13 （5 分）复数 1 2 i z i 的虚部是 14 （ 5 分 ） 数 列 n a的 前n项 和 为 n S， 且 1 1a ， * 1 2() nn SSnN ， 则 242n aaa 15 （5 分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其表面积与体积的数值相等，则该圆锥的 底面半径为，该圆锥的内切球体积为 第 4页（共 24页） 16 （
8、5 分）据报道，某地遭遇了 70 年一遇的沙漠蝗虫灾害在所有的农业害虫中，沙漠蝗 虫对人类粮食作物危害最大沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安 全构成重大威胁 已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过 15 天，数量就会增长为原来的 10 倍该蝗虫群 当前有 1 亿只蝗虫，则经过天，蝗虫数量会达到 4000 亿只 （参考数据：2 0.30lg ， 3 0.48)lg 四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分，解答须写出必要的文字说明解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步证明过程或演算步 骤骤 17 （10 分）已知数列 n a满足： * 1 12
9、(2,) nn aannN ， 1 3a （1）求证：数列 (1) n ln a 是等差数列， （2）求数列 n a的前n项和 n S 18 （12 分）已知等腰三角形ABC，ABAC，D为边BC上的一点，90DAC，再从 条件、条件、条件中选择两个作为已知，求ABD的面积及BD的长 条件6AB ； 条件 1 cos 3 BAC； 条件3 6CD 19（12 分） 如图， 在直角梯形AEFB中，AEEF， 且24BFEFAE， 直角梯形 11 DEFC 可以通过直角梯形AEFB以EF为旋转轴得到 （1）求证：平面 11 CDEF 平面 1 BC F； （2）若二面角 1 CEFB为 3 ，求直
10、线 1 CE与平面 1 ABC所成角的正弦值 第 5页（共 24页） 20 （12 分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均 金属含量y（单位： 3 /)gm与样本对原点的距离x（单位：)m的数据，并作了初步处理， 得到了下面的一些统计量的值 （表中 1 i i u x ， 9 1 1 ) 9 i i uu x y u 9 2 1 () i i xx 9 2 1 () i i uu 9 2 1 () i i yy 9 1 ()() ii i xxyy 9 1 ()() ii i uuyy 6 97.90 0.21600.1414.1226.131.40 （1）利
11、用样本相关系数的知识，判断ya bx 与 d yc x 哪一个更适宜作为平均金属含 量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？ （2）根据（1）的结果回答下列问题： () i建立y关于x的回归方程； ( )ii样本对原点的距离 20 x 时，金属含量的预报值是多少？ （3）已知该金属在距离原点xm时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为 1000()(1100)Wy lnxx ，根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？ 附： 对于一组数据 1 (t，1)s， 2 (t， 2) s，(nt，) n s， 其线性相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii i
12、i ttss r ttss ， 其回归直线st的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttss tt ， st 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为B，直线:1 0m x y 过椭圆C 第 6页（共 24页） 的右焦点F，点B到直线m的距离为 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C的左顶点为A，M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点，以点F为圆心，过 点M的圆与x轴的右交点为T，过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N，过点F作直线 FEMT，交直线l于点E求 | | BE EN 的值 22 （12
13、分）已知函数( )1 xa f x lnx ，aR （1）讨论( )f x的零点个数； （2）记方程1xlnx 的根为 0 c，如果关于x的方程( )f xa有两个大于 1 的不等实数根， 求a的取值范围 第 7页（共 24页） 2021 年广东省燕博园高考数学综合能力测试试卷（年广东省燕博园高考数学综合能力测试试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、单选题单选题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合| | 5A
14、xZ x， |24 x Bx，则(AB ) A(2,5)B2，5)C2，3，4D3，4，5 【解答】解：| 55Ax Zx ， |2Bx x， | 252ABxZx ，3，4 故选：C 2 （5 分）已知点( 4,9)A，(6, 3)B，则以线段AB为直径的圆的方程为() A(4)(6) (9)(3) 61xxyyB(4)(6) (9)(3) 0 xxyy C(4)(6) (9)(3) 61xxyyD(4)(6) (9)(3) 0 xxyy 【解答】解：点( 4,9)A，(6, 3)B，则以线段AB为直径的圆的圆心坐标为(1，3)， 半径为 22 (61)( 33)51 ， 故它的方程为 22
15、 (1)(3)61xy，即 22 26510 xyxy 而选项A即：即 22 22462761xxyy，即 22 261120 xyxy，故A错误； 而选项B即：即 22 2246270 xxyy，即 22 26510 xyxy，故B正确； 而选项C即：即 22 22462761xxyy，即 22 261120 xyxy，故C错误； 而选项D即：即 22 22462761xxyy，即 22 261110 xyxy，故D错误； 故选：B 3 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是() AyxxB 1 yx x C xx yeeD 2 log | |yx 【解答】解：yx
16、x是非奇非偶函数； 1 yx x 在(0,1)上单调递减； 2 log | |yx是偶函 第 8页（共 24页） 数； xx yee是奇函数，且在(0,1)上单调递增 故选：C 4 （5 分）已知正六边形ABCDEF中，(ABCDEF ) AAF BBE CCD D0 【解答】解：如图，连接AD，BE，设AD与BE交于O点，则： ,BOCD OAEF ， 0AB CDEFABBO OAAO OA 故选：D 5 （5 分）若 5 (12)2( ,)aba bQ，则(ab ) A60B70C80D90 【解答】解：因为 522 (12)(12)(12)(12) 2 (32 2)(12)(1712
17、2)(12) 172429 241 29 2， 所以41a ，29b ，则70ab， 故选：B 6 （5 分）曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最 完好的青铜礼乐器， 全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调 其初始四音为宫、 徵、 商、羽我国古代定音采用律管进行“三分损益法” 将一支律管所发的音定为一个基音， 然后将律管长度减短三分之一（即“损一”)或增长三分之一（即“益一”)，即可得到 其他的音若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一” 可得羽音则羽音律管长度与宫音律管长度之比是() 第 9页（共 24页） A 2 3 B
18、8 9 C 16 27 D 64 81 【解答】解：设以宫音为基音的律管长度为x， 则徵音的律管长度为 1 (1) 3 x， 商音的律管长度为 11 (1)(1) 33 x， 羽音的律管长度为 111 (1)(1)(1) 333 x， 羽音律管长度与宫音律管长度之比为 111 (1)(1)(1) 16 333 27 x x ， 故选：C 7 （5 分）已知函数( )sin()(f xAxA，均为正常数） ，相邻两个零点的差为 2 ， 对任意x， 2 ( )() 3 f xf 恒成立，则下列结论正确的是() Af（2）( 2)(0)ff B(0)ff（2）( 2)f C( 2)(0)fff（2）
19、Df（2）(0)( 2)ff 【解答】解：函数( )sin()(f xAxA，均为正常数） ，相邻两个零点的差为 2 ， 所以T， 所以2， 对任意x， 2 ( )() 3 f xf 恒成立， 即 2 sin(2) 3 AA ， 故 6 ， 所以( )sin(2) 6 f xAx 故( 2)sin( 4)sin(42 )0 66 fAA ， 第 10页（共 24页） f（2）sin(4)0 6 A ， 5 (0)sinsin0 66 fAA ， 由于 35 42 262 ，函数在 3 (,) 22 上单调递减， 故f（2）( 2)(0)ff 故选：A 8 （5 分）若函数 2 1 ( )( x
20、 ax f xe e 为自然对数的底数）是减函数，则实数a的取值范围是( ) A0aB1aC0a D01a 【解答】解：函数 2 1 ( ) x ax f x e 的定义域为R， 2 21 ( ) x axax fx e ， 因为函数( )f x是减函数，所以( ) 0f x恒成立， 令 2 ( )21g xaxax，则( ) 0g x恒成立， 当0a 时，( )1g x 成立； 当0a 时，则( )g x的图象开口向上，( ) 0g x不恒成立，不符合题意； 当0a 时，要使( ) 0g x恒成立，则 2 440aa，解得0 1a，又0a ，所以01a 综上可得，实数a的取值范围是01a 故
21、选：D 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃 圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现 随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾， 经分拣以后统计数据如表 （单位：) t 根 据样本估计本市生活垃圾的分类投放情
22、况，则下列说法正确的是() “厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱 第 11页（共 24页） 厨余垃圾400100100 可回收垃圾3024030 其他垃圾202060 A厨余垃圾投放正确的概率为 2 3 B居民生活垃圾投放错误的概率为 3 10 C该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收垃圾”箱、 “其他垃圾”箱的投放量的方差为 18000 【解答】解：对于A：厨余垃圾的投放的正确的概率为 2 3 ，故A正确； 对于B：居民生活垃圾的投放的错误概率 2006020203 100010 ，故B正确； 对于C：该市三类垃圾中投放正确的概率最高的
23、是“可回收垃圾” ，故C正确； 对于D：厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收垃圾”箱、 “其他垃圾”箱的投放量的平均 数 600300 1001000 33 x ， 所以 2222 1100010001000380000 (600)(300)(100) 18000 33339 S ，故D错误 故选：ABC 10 （5 分）函数( ) |() a f xxaR x 的图象可能是() AB CD 【解答】解：根据题意， 当0a 时，( ) | |f xx，(0)x，其图象与选项A对应， 第 12页（共 24页） 当0a 时， ,0 ( ) ,0 a xx x f x a xx x ，在区间(0,)
24、上，( ) a f xx x ，其图象在第一象限先 减后增，在区间(,0)上，( )f x为减函数，其图象与选项B对应， 当0a 时， ,0 ( ) ,0 a xx x f x a xx x ，在区间(0,)上，( )f x为增函数，在区间(,0)上， ( )() aa f xxx xx ，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项D对应， 故选：ABD 11 （5 分）已知方程 22 sinsin21xy，则() A存在实数，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为 4 3 B存在实数，该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线 C存在实数，该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线，且双曲线的离心率为2 D
25、存在实数，该方程对应的图形是焦点在x轴上的椭圆，且椭圆的离心率为 3 3 【解答】解：对于A：若存在，只需sinsin 20 ，即sin2sincos0 ， 得 1 cos 2 ，可取 2 3 ，方程即为： 22 2 3 xy，圆的半径满足 2 2 3 r ，故圆面积 为： 2 22 3 33 r ，故A错； 对于B：令sin0，则必有sin 22sincos0，方程化为：01，显然不成立，故B 错误； 对于C：取sinsin 2，得 1 cos 2 ，取 3 ，则方程为： 22 1 22 33 xy ，为等轴双曲 线的方程，故离心率为2，故C正确； 对于D：将方程化为标准形式： 22 1 1
26、1 sinsin2 xy ，故 22 11 , sinsin2 ab ，则由已知 第 13页（共 24页） 得 22 11 1 sinsin2 ( ) 1 3 sin c e a ， 整理得 12cos 11 2sincos 1 2cos 2cos3 2sincos ，解得 3 cos 4 ，该方程显然有解，故D正确 故选：CD 12 （5 分）三棱锥VABC中，ABC是等边三角形，顶点V在底面ABC的投影是底面的 中心，侧面VAB 侧面VAC，则() A二面角VBCA的大小为 3 B此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为3 C点V到平面ABC的距离与VC的长之比为 3 3 D此三棱锥的体积与其外
27、接球的体积之比为 3 9 【解答】解：将该三棱锥放置在正方体当中，如图所示，设正方体的棱长为1. 对于A，取BC的中点D，连接AD，VD，则ADV即为二面角VBCA的平面角， tan2 AV ADV DV ，则 3 ADV ，故A错误； 对于B，此三棱锥的侧面积为 13 31 1 22 ，底面积为 2 33 ( 2) 42 ， 侧面积与底面积之比为3，故B正确； 对于C，在ADV中，过点V作VEAD，垂足为E，可得VE 平面ABC， 2 1 3 2 36 2 AV DV VE AD ， 则点V到平面ABC的距离与VC的长之比为 3 3 ， 故C正确； 对于D，此三棱锥的体积 1 111 (1
28、1) 1 326 V ， 外接球的半径 3 2 R ，外接球的体积 33 2 4433 () 3322 VR， 1 2 1 3 6 93 2 V V ，故D正确 故选：BCD 第 14页（共 24页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13 （5 分）复数 1 2 i z i 的虚部是 3 5 【解答】解： 1(1)(2)1313 2(2)(2)555 iiii zi iii ， z的虚部为 3 5 ， 故答案为： 3 5 14 （5 分）数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a
29、， * 1 2() nn SSnN ，则 242n aaa 41 3 n 【解答】解：由 1 2 nn SS 可得： 1 2 nnn SSa ， 所以 1nn aS ，则 11nnnnn aaSSa ，即 1 2(2) nn aa n ， 所以数列 n a从二项开始是公比为 2 的等比数列， 且 21 1aS，所以 2 2(2) n n an ， 则数列 2 a， 4 a， 2n a是首项为 1，公比为 4 的等比数列， 则 242 1441 143 nn n aaa ， 故答案为： 41 3 n 15 （5 分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其表面积与体积的数值相等，则该圆锥的 底面半径为
30、3 3，该圆锥的内切球体积为 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，内切球半径为R， 第 15页（共 24页） 由题可得：2lr， 且 113 323 223 l RrrRr， 圆锥的表面积为： 22 3Srrlr， 圆锥的体积为： 22 11 3 33 rhrr， 22 1 333 3 3 rrrr， 3 3 33 3 R， 该圆锥的内切球体积为： 3 4 36 3 R 故答案为：3 3，36 16 （5 分）据报道，某地遭遇了 70 年一遇的沙漠蝗虫灾害在所有的农业害虫中，沙漠蝗 虫对人类粮食作物危害最大沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安 全构成重大威胁 已知某
31、蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过 15 天，数量就会增长为原来的 10 倍该蝗虫群 当前有 1 亿只蝗虫，则经过54天，蝗虫数量会达到 4000 亿只 （参考数据：2 0.30lg ， 3 0.48)lg 【解答】解：由每经过 15 天，蝗虫的数量就会增长为原来的 10 倍， 设每天的增长率为a，则有 15 (1)10a，解得 1510 1a ， 设经过x天后，蝗虫数量会达到 4000 亿只， 则有1 (1)4000 x a，所以 15 104000 x ，即 15 104000 x lglg， 故3432 232 0.33.6 15 x lglg ， 所以54x ， 故经过 54 天，蝗虫数
32、量会达到 4000 亿只 故答案为：54 四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分，解答须写出必要的文字说明解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步证明过程或演算步 第 16页（共 24页） 骤骤 17 （10 分）已知数列 n a满足： * 1 12(2,) nn aannN ， 1 3a （1）求证：数列 (1) n ln a 是等差数列， （2）求数列 n a的前n项和 n S 【解答】 （1）证明： * 1 12(2,) nn aannN ， 1 3a ， 1 12(1) nn aa ， 2n， 又 1 12a ， 12n n a ， 1 1 1 (1)(
33、1)2 1 n nn n a ln aln alnln a ， 数列 (1) n ln a 是公差为2ln的等差数列； （2）解：由（1）知：12n n a ， 21 n n a， 231 2(12 ) (2222 )22 12 n nn n Snnn 18 （12 分）已知等腰三角形ABC，ABAC，D为边BC上的一点，90DAC，再从 条件、条件、条件中选择两个作为已知，求ABD的面积及BD的长 条件6AB ； 条件 1 cos 3 BAC； 条件3 6CD 【解答】解：选，6ABAC， 1 cos 3 BAC，90DAC， coscos(90)sinBACBADBAD， 1 sin 3
34、BAD， 第 17页（共 24页） 在ABC中， 222 1 2cos36362 6 6 ()96 3 BCACABAB ACBAC ， 4 6BC， sinsin ABBC CBAC ， sin3 sin 3 ABBAC C BC ， 6 cos 3 C ， 2 tan 2 C ， 在ADC中，tan3 2ADACC，3 6CD， 111 sin6 3 23 2 223 ABD SABADBAD ， 4 63 66BDBCDC 选，6ABAC，3 6CD， 在ADC中， 22 54363 2ADCDAC， 66 cos 33 6 AC C CD ， 3 sin 3 C 在ABC中 222 2
35、cosABBCACBC ACC ， 2 3636 4 6BCBC， 2 4 60BCBC，4 6BC， 4 63 66BDBCDC 11131 sin64 63 263 2 22232 ABDABCACD SSSAC BCCAD AC 选， 1 cos 3 BAC，3 6CD， 1 cos2cos(180)cos 3 CBACBAC， 2 1 cos22cos1 3 CC ， 6 cos 3 C，cos6ACCDC， 22 54363 2ADCDAC， coscos(90)sinBACBADBAD， 1 sin 3 BAD， 111 sin6 3 23 2 223 ABD SABADBAD ，
36、 在ABC中， 222 1 2cos36362 6 6 ()96 3 BCACABAB ACBAC ， 4 6BC，4 63 66BDBCDC 19（12 分） 如图， 在直角梯形AEFB中，AEEF， 且24BFEFAE， 直角梯形 11 DEFC 可以通过直角梯形AEFB以EF为旋转轴得到 第 18页（共 24页） （1）求证：平面 11 CDEF 平面 1 BC F； （2）若二面角 1 CEFB为 3 ，求直线 1 CE与平面 1 ABC所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：在直角梯形AEFB中，AEEF，且直角梯形 11 DEFC是通过直角梯形 AEFB以直线EF为轴旋转而得， 所以
37、 1 DEEF，所以BFEF， 1 CFEF，又 1 BFC FF ，BF， 1 CF平面 1 BC F， 所以EF 平面 1 BC F，又EF 平面 11 CDEF，所以平面 11 CDEF 平面 1 BC F； （2）解：由（1）可知，BFEF， 1 CFEF， 因为二面角 1 CEFB为 3 ，所以 1 3 C FB ， 过点F作平面AEFB的垂线，建立空间直角坐标系如图所示， 由24BFEFAE，可得 1 (4,0,0),(0,2,2 3), (0,4,0), (4,2,0)ECBA， 所以 11 ( 4,2,0),(0,2, 2 3),( 4,2,2 3)ABC BEC ， 设平面
38、1 ABC的法向量为( , , )nx y z ， 则有 1 420 22 30 n ABxy n C Byz ，令1z ，则3y ， 3 2 x ， 所以 3 (, 3,1) 2 n ， 所以直线 1 CE与平面 1 ABC所成角的正弦值为 1 1 1 |2 3114 |cos,| 38|19 4 2 2 n EC n EC n EC 第 19页（共 24页） 20 （12 分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均 金属含量y（单位： 3 /)gm与样本对原点的距离x（单位：)m的数据，并作了初步处理， 得到了下面的一些统计量的值 （表中 1 i i u x
39、， 9 1 1 ) 9 i i uu x y u 9 2 1 () i i xx 9 2 1 () i i uu 9 2 1 () i i yy 9 1 ()() ii i xxyy 9 1 ()() ii i uuyy 6 97.90 0.21600.1414.1226.131.40 （1）利用样本相关系数的知识，判断ya bx 与 d yc x 哪一个更适宜作为平均金属含 量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？ （2）根据（1）的结果回答下列问题： () i建立y关于x的回归方程； ( )ii样本对原点的距离 20 x 时，金属含量的预报值是多少？ （3）已知该金属在距离原点xm时的平
40、均开采成本W（单位：元）与x，y关系为 1000()(1100)Wy lnxx ，根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？ 附： 对于一组数据 1 (t，1)s， 2 (t， 2) s，(nt，) n s， 其线性相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii ttss r ttss ， 其回归直线st的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttss tt ， st 第 20页（共 24页） 【解答】 解：（1）ya bx 的线性相关系数 9 1 1 99 22 11 ()() 26.13 0.898 60
41、 14.12 ()() ii i ii ii xxyy r xxyy ， d yc x 的线性相关系数 9 1 2 99 22 11 ()() 1.40 0.996 0.14 14.12 ()() ii i ii ii uuyy r uuyy ， 12 | | |rr， d yc x 更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型 （2） 9 1 9 2 1 ()() 1.40 ( )10 0.14 () ii i i i uuyy i uu ， 97.9( 10)0.21100yu ， 10 100 10100yu x ， y关于x的回归方程为 10 100y x ( )ii当
42、 20 x 时，金属含量的预报值为 3 10 10099.5 / 20 yg m （3） 10 1000()1000(100)Wylnxlnx x ， 令 10 ( )100f xlnx x ，则 22 10110 ( ) x fx xxx ， 当110 x 时，( ) 0f x ，( )f x单调递增；当10100 x时，( ) 0f x ，( )f x单调递减， ( )f x在 10 x 处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值， 故x为 10 时，开采成本最大 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为B，直线:1 0m x y 过椭圆C 的右焦
43、点F，点B到直线m的距离为 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C的左顶点为A，M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点，以点F为圆心，过 点M的圆与x轴的右交点为T，过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N，过点F作直线 FEMT，交直线l于点E求 | | BE EN 的值 第 21页（共 24页） 【解答】解： （1）将0y代入直线:1 0m x y 得1x ， (1,0)F，即 1c ， ( ,0)B a到直线m的距离为 2 2 ， |1|2 22 a ，解得2a ， 222 3bac， 椭圆C的方程为： 22 1 43 xy （2）由题意可知( 2,0)A，(2,0)B，(1,0)F，设M
44、的坐标为 0 (x， 0) y，则 0 0y ， 点M在椭圆C上， 2 20 0 3(1) 4 x y， 2 222000 000 |(1)24(2)|2| 422 xxx FMxyx ， 点M在椭圆C上， 0 22x ， 0 20 2 x ， 0 | 2 2 x FM， 圆F过点M与点T， 0 | | 2 2 x FMFT， 点 0 (3 2 x T，0)， 易求直线l的方程为2x ，直线AM的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ， 将2 N x 代入直线AM的方程得： 0 0 4 2 N y y x ， 故点N的坐标为 0 0 4 (2,) 2 y x ， 0 (M x， 0) y，
45、 0 (3 2 x T，0)， 00 0 0 0 02 3(2) (3) 2 MT yy k x x x ， EFMT， 0 0 3(2) 2 EF x k y ， 直线EF的方程为： 0 0 3(2) (1) 2 x yx y ， 将2 E x 代入得： 0 0 3(2) 2 E x y y ，点 (2E， 0 0 3(2) 2 x y 第 22页（共 24页） 又(2,0)B， 0 0 3(2) | | 2 E x BEy y ， 00 00 3(2)4 | | | 22 EN xy ENyy yx 22 00 00 3(4) 8 | 2(2) xy y x 22 00 00 3(4)6(
46、4) | 2(2) xx y x 2 0 00 3(4) 2(2) x y x 0 0 3(2) 3 x y ， 0 0 0 0 3(2) 2| 1 3(2) | 2 x yBE x EN y 22 （12 分）已知函数( )1 xa f x lnx ，aR （1）讨论( )f x的零点个数； （2）记方程1xlnx 的根为 0 c，如果关于x的方程( )f xa有两个大于 1 的不等实数根， 求a的取值范围 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域为(0，1)(1，)，且( ) xalnx f x lnx ， 令( )m xx a lnx ， 则( )f x的零点个数等价于( )m x在
47、(0，1)(1，)的零点个数， 由于 11 ( )1 x m x xx ， 所以( )m x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)上单调递增， 所以( )minm xm（1）1a ， 所以当1a时，( ) 0m x恒成立，即( )f x的零点个数为 0， 当1a 时，注意到 1111 ()()0 aaaa maln eeee ，m（1）0， 第 23页（共 24页） 所以()220 aaaa m eealneeaeaa， 从而( )f x的零点个数为 2 （2）由题意可得 22 1 ( ) ()() xaa lnxlnx xx fx lnxlnx ， 因为当 2 xmax e，a时，11
48、10 a lnxlnx x ， 所以( )f x在(1,)上不可能恒为负数， 若( ) 0f x，在区间(1,)上恒成立， 即当(1,)x时，10 a lnx x 恒成立， 即axxlnx恒成立， 令( )h xx xlnx ， 则( )0h xlnx， 从而( )h x在区间(1,)单调递减， 又因为h（1）1， 所以当( ) 0f x在区间(1,)上恒成立时，1a， 因为当1a 时，1 a lnx x 不可能恒为 0， 所以 22 1 ( )0 axa f x xxx ， 所以( )g x在(1,)是增函数， 所以( )f x在(1,)上有唯一零点，不妨设 0 x， 如果关于x的方程( )
49、f xa有两个大于 1 的不等实数根，则 0 ( )f xa， 因为 0 0 10 a lnx x ， 所以 0 0 0 11 xa xa lnx ，即 0 1xa ， 所以(1) 10 1 a ln a a ， 即 1 (1) 1 ln a a ， 第 24页（共 24页） 因为方程1xlnx 的根为 0 c， 0 ce，且 0 1ca， 即 0 1ca ， 所以 0 11ca ， 又因为取 10 1xmin x， 1 2 a e 时， 1 1 2 a lnx ， 所以 1 12 1 120 xa a lnxlnx ， 所以( )f x在 0 (1,)x， 0 (x，)上有且只有一个根，满足题意， 所以a的取值范围为 0 (1c ，1)
