2021年甘肃省高考数学二诊试卷（理科）.docx

1、第 1页（共 24页） 2021 年甘肃省高考数学二诊试卷（理科）年甘肃省高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 1 |0 2 x Ax x ，集合 2B ，1，0，1，则(AB ) A 1，1B 2，1，0C 1，0，1D 2，1，0，1 2 （5 分）已知复数z满足 3 (12 )3zii，则复数z的虚部为() AiBiC1D1 3 （5 分）已知函数 1 ( )sin 1 x

2、 x e f xx e ，则函数( )f x的图象为() A B C 第 2页（共 24页） D 4 （5 分）双曲线 22 1(0,0) xy mn mn 的渐近线方程为 2 2 yx ，实轴长为 2，则mn 为() A1B12C 1 2 D 2 1 2 5 （5 分）在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDA B C D中，E，F，G分别是棱AB，BC， 1 CC 的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线 1 D P与平面EFG没有公共点，则三角形 1 PBB面 积最小值为() A2B 2 2 C1D2 6 （5 分）某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗

3、 木，苗木长度与售价如表： 苗木长度x（厘米）384858687888 售价y（元)16.818.820.822.82425.8 由表可知， 苗木长度x（厘米） 与售价y（元)之间存在线性相关关系， 回归方程为0.2yxa， 则当苗木长度为 150 厘米时，售价大约为() A33.3B35.5C38.9D41.5 7 （5 分）数列 n a的前n项和为 n S，若点( ,) n n S在函数 2 ( )2f xxx的图象上，则 2021 (a ) A2021B4041C4042D4043 8 （5 分）已知sin()1，均为锐角，且 2 tan 2 ，则cos() A 3 3 B 2 2 C

4、3 2 D 6 3 9 （5 分）中国古代制定乐律的生成方法是最早见于管子地员篇的三分损益法，三分 损益包含两个含义：三分损一和三分益一根据某一特定的弦，去其 1 3 ，即三分损一，可得 出该弦音的上方五度音；将该弦增长 1 3 ，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音中国古 第 3页（共 24页） 代的五声音阶：宫、徵(zh)、商、羽、角(ju)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替、 连续使用产生的若五音中的“宫”的律数为 81，请根据上述律数演算法推算出“羽”的 律数为() A72B48C54D64 10 （5 分）数列 n a的前n项和为 n S，且21 nn Sa，则( n n S a

5、) A22 n B 1 22 n C22nD 1 22n 11 （5 分）过抛物线 2 :4C yx焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分 别作抛物线C准线的垂线，垂足分别为M，N，若线段MN的中点为P，且线段FP的长 为 4，则直线l的方程为() A310 xy B310 xy C310 xy 或310 xy D330 xy或330 xy 12 （5 分）已知函数( )f xxlnx， 2 ( )()g xxax aR，若经过点(0, 1)A存在一条直线l与 ( )f x图象和( )g x图象都相切，则(a ) A0B1C3D1或 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4

6、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）平面内单位向量a ，b ，c 满足0abc ，则a b 14 （5 分）若实数x，y满足约束条件 1 0 1 0 1 0 xy xy x ，则(0)zaxby ab取最大值 4 时， 21 ab 的最小值为 15 （5 分）孙子定理（又称中国剩余定理）是中国古代求解一次同余式组的方法问题最 早可见于南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知 其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？它的基本解法之一是：列 出用 3 整除余 2 的整数：2，5，8，11，14，17，20，23，用

7、 5 整除余 3 的整数：3，8， 13，18，23，用 7 整除余 2 的整数：2，9，16，23，则 23 就是“问物几何？”中 “物”的最少件数， “物”的所有件数可用10523()nnN表示试问：一个数被 3 除余 1， 被 4 除少 1，被 5 除余 4，则这个数最小是 16 （5 分）三棱锥PABC的底面是边长为 3 的正三角形，面PAB垂直底面ABC，且 第 4页（共 24页） 2PAPB，则三棱锥PABC体积的最大值是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题

8、题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 17（12 分） 如图， 在直四棱柱 1111 ABCDA B C D中， 底面ABCD是边长为 2 的菱形， 且 1 3AA ， E，F分别为 1 CC， 1 BD的中点 （1）证明：EF 平面 11 BB D D； （2）若60DAB，求二面角 11 ABED的余弦值 18 （12 分）某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲、乙两班学生进 行网络问卷调查，统计了甲、乙两班各 40 人每天的学习时间（单位：

9、小时） ，并将样本数据 分成3，4)，4，5)，5，6)，6，7)，7，8五组，整理得到如下频率分布直方图： （1）将学习时间不少于 6 小时和少于 6 小时的学生数填入下面的2 2x列联表： 不少于 6 小时少于 6 小时总计 甲班 乙班 总计 能以95%的把握认为学习时间不少于 6 小时与班级有关吗？为什么？ （2）此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足( ,0.36)N，其中等于甲班学生学习 第 5页（共 24页） 时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间(6.2，6.8的概率 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 参考数据： 2

10、 0 ()P Kk 0.0500.0100.001 0 k3.8416.63510.828 若 2 ( ,)XN ，则()0.6827PX，(22 )0.9545PX 19 （12 分）已知圆 222 :O xyb经过椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点 2 F，且经过点 2 F作圆O的切线被椭圆C截得的弦长为2 （1）求椭圆C的方程； （2）若点A，B是椭圆C上异于短轴端点的两点，点M满足OMOAOB ，且 22 6OMAB ，试确定直线OA，OB斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是， 说明理由 20 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，

11、且3sin3 cosacBbC （1）求角B的大小； （2）若3b ，D为AC边上一点，2BD ，且_，求ABC的面积 （从BD为B的 平分线，D为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答) 21 （12 分）已知函数 2 ( )f xxaxxlnx，aR （1）若( )f x在1，)单调递增，求a的取值范围； （2）若nN，求证： 23 1111 (1)(1)(1)(1) 3333n e 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系xOy中， 点A是曲线 22 1:( 2)4Cxy上的动点， 满足2OBOA 的点B的轨迹是 2 C （1

12、）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 1 C， 2 C的极坐标方 程； （2）直线l的参数方程是 1cos ( sin xt t yt 为参数） ，点P的直角坐标是( 1,0)，若直线l与 第 6页（共 24页） 曲线 2 C交于M，N两点，当线段|PM，|MN，|PN成等比数列时，求cos的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2| 2|1|f xxx，xR （1）求函数( )f x的图象与直线6y 围成区域的面积； （2）若对于0m ，0n ，且4mn时，不等式( )f xmn恒成立，求实数x的取值范围 第 7页（共 24页） 2021

13、 年甘肃省高考数学二诊试卷（理科）年甘肃省高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 1 |0 2 x Ax x ，集合 2B ，1，0，1，则(AB ) A 1，1B 2，1，0C 1，0，1D 2，1，0，1 【解答】解： | 21Axx ， 2B ，1，0，1， 1AB ，0，1 故选：C 2 （5 分）已知复数z满足 3 (12 )3zii

14、，则复数z的虚部为() AiBiC1D1 【解答】解： 3 (12 )3zii，(12 )3zii， (12 )(12 )(3)(12 )ziiii， 5325zi，1zi， 则复数z的虚部为 1 故选：D 3 （5 分）已知函数 1 ( )sin 1 x x e f xx e ，则函数( )f x的图象为() A 第 8页（共 24页） B C D 【解答】解：根据题意，函数 1 ( )sin 1 x x e f xx e ，其定义域为R，且有(0)0f， 故( )f x的图像经过原点，排除B， 111 ()sin()sin(sin)( ) 111 xxx xxx eee fxxxxf x

15、eee ，即函数( )f x为奇函数， 排除D， 11 ( )sin0 11 ee f ee ，排除A， 故选：C 4 （5 分）双曲线 22 1(0,0) xy mn mn 的渐近线方程为 2 2 yx ，实轴长为 2，则mn 为() A1B12C 1 2 D 2 1 2 【解答】解：双曲线 22 1(0,0) xy mn mn 的渐近线方程为 2 2 yx ，实轴长为 2， 第 9页（共 24页） 可得1a ，所以1m ，且 2 2 n m ，所以 1 2 n ， 所以 1 2 mn 故选：C 5 （5 分）在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDA B C D中，E，F，G分别是棱AB

16、，BC， 1 CC 的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线 1 D P与平面EFG没有公共点，则三角形 1 PBB面 积最小值为() A2B 2 2 C1D2 【解答】解：平面EFG即为截面EFGHQR，如图所示， 因为直线 1 D P与平面EFG没有公共点， 所以 1 / /D P平面EFGHQR， 所以PAC， 所以当点P与点O重合时，BP最短，则三角形 1 PBB面积最小， 故三角形 1 PBB面积最小值为 1 222 2 故选：D 6 （5 分）某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗 木，苗木长度与售价如表： 苗木长度x（厘米）384858687888

17、 售价y（元)16.818.820.822.82425.8 由表可知， 苗木长度x（厘米） 与售价y（元)之间存在线性相关关系， 回归方程为0.2yxa， 则当苗木长度为 150 厘米时，售价大约为() A33.3B35.5C38.9D41.5 【解答】解：由题意可知， 1 (384858687888)63 6 x ， 第 10页（共 24页） 1 (16.818.820.822.82425.8)21.5 6 y ， 因为线性回归方程0.2yxa过点(63,21.5)， 则有21.50.263a，解得8.9a ， 所以回归方程为0.28.9yx， 把150 x 代入方程可得，0.2 1508.

18、938.9y 所以当苗木长度为 150 厘米时，售价大约为 38.9 元 故选：C 7 （5 分）数列 n a的前n项和为 n S，若点( ,) n n S在函数 2 ( )2f xxx的图象上，则 2021 (a ) A2021B4041C4042D4043 【解答】解：将点( ,) n n S代入函数 2 ( )2f xxx得， 2* 2 () n Snn nN， 又 由 首 项 为 1 a， 公 差 为d的 等 差 数 列 的 前n项 和 公 式 为 ： 2* 11 (1) () () 222 n n nddd Snanan nN ， 1 1 2 2 2 d d a ，解之可得， 1 3

19、 2 a d ， 所以数列 n a的通项公式即为： * 21() n annN， 2021 22021 14043a 故选：D 8 （5 分）已知sin()1，均为锐角，且 2 tan 2 ，则cos() A 3 3 B 2 2 C 3 2 D 6 3 【解答】解：因为sin()1，均为锐角， 所以 2 ， 因为 2 tan 2 ，可得 2 16 cos 13tan ， 2 3 sin1 3 cos， 则 3 coscos()sin 23 第 11页（共 24页） 故选：A 9 （5 分）中国古代制定乐律的生成方法是最早见于管子地员篇的三分损益法，三分 损益包含两个含义：三分损一和三分益一根据

20、某一特定的弦，去其 1 3 ，即三分损一，可得 出该弦音的上方五度音；将该弦增长 1 3 ，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音中国古 代的五声音阶：宫、徵(zh)、商、羽、角(ju)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替、 连续使用产生的若五音中的“宫”的律数为 81，请根据上述律数演算法推算出“羽”的 律数为() A72B48C54D64 【解答】解：根据题意，可得： “三分损一”即为在原基础上乘 12 1 33 ， “三分益一”即为 在原基础上乘 14 1 33 ， 若“宫”的律数为 81，按“三分损一”产生“徵”的律数为 2 8154 3 ， 再按“三分益一”产生“商”的律数为 4 54

21、72 3 ， 再按“三分损一”产生“羽”的律数为 2 7248 3 ， 故选：B 10 （5 分）数列 n a的前n项和为 n S，且21 nn Sa，则( n n S a ) A22 n B 1 22 n C22nD 1 22n 【解答】解：数列 n a的前n项和为 n S，且21 nn Sa， 当1n 时，解得 1 1a 当2n时， 11 21 nn Sa ， 得： 1 22 nnn aaa ， 整理得 1 2 n n a a （常数） ， 故数列 n a是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 所以 1 2n n a （首项符合通项） ， 故 1 2n n a 所以21 n n S ， 第

22、 12页（共 24页） 则 1 1 21 22 2 n nn n n S a 故选：B 11 （5 分）过抛物线 2 :4C yx焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分 别作抛物线C准线的垂线，垂足分别为M，N，若线段MN的中点为P，且线段FP的长 为 4，则直线l的方程为() A310 xy B310 xy C310 xy 或310 xy D330 xy或330 xy 【解答】解：抛物线 2 :4C yx的焦点F为(1,0)，准线方程为1x ， 设直线l的方程为1xmy，A，B的纵坐标分别为 1 y， 2 y， 可得 12 ( 1,) 2 yy P ， 联立 2 1 4 xmy

23、 yx ，可得 2 440ymy， 则 12 4yym， 所以( 1,2 )Pm， 2 |444FPm， 解得3m ， 所以直线l的方程为310 xy 或310 xy 故选：C 12 （5 分）已知函数( )f xxlnx， 2 ( )()g xxax aR，若经过点(0, 1)A存在一条直线l与 ( )f x图象和( )g x图象都相切，则(a ) A0B1C3D1或 3 【解答】解：设直线l与( )f xxlnx相切的切点为( ,)m mlnm， 由( )f xxlnx的导数为( )1fxlnx ， 可得切线的斜率为1lnm， 则切线的方程为(1)()ymlnmlnm xm， 第 13页（

24、共 24页） 将(0, 1)A代入切线的方程可得1(1)(0)mlnmlnmm ， 解得1m ，则切线l的方程为1yx， 联立 2 1yx yxax ，可得 2 (1)10 xax ， 由 2 (1)40a， 解得1a 或 3， 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）平面内单位向量a ，b ，c 满足0abc ，则a b 1 2 【解答】解：依题意，由0abc ， 可得abc ， 两边平方，可得 22 ()()abc ， 即 222 |2|aba bc ， | 1a ，| 1b ， 2 |1c ， 1 1

25、21a b ， 1 2 a b 故答案为： 1 2 14 （5 分）若实数x，y满足约束条件 1 0 1 0 1 0 xy xy x ，则(0)zaxby ab取最大值 4 时， 21 ab 的最小值为2 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 第 14页（共 24页） 由(0)zaxby ab得 1a yxz bb ， 平移直线 1a yxz bb ， 由图象可知当直线经过点 C时，直线的截距最大，此时z最大， 联立 1 (1,2) 10 x C xy ； 故24ab， 211 2114141 ()(2 )(4)(42)(44)2 4444 bab a ab abababab ，当且仅

26、当2ab， 即2a ，1b 时上式等号成立 故答案为：2 15 （5 分）孙子定理（又称中国剩余定理）是中国古代求解一次同余式组的方法问题最 早可见于南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知 其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？它的基本解法之一是：列 出用 3 整除余 2 的整数：2，5，8，11，14，17，20，23，用 5 整除余 3 的整数：3，8， 13，18，23，用 7 整除余 2 的整数：2，9，16，23，则 23 就是“问物几何？”中 “物”的最少件数， “物”的所有件数可用10523()nnN表示试问：一个数被 3 除余 1

27、， 被 4 除少 1，被 5 除余 4，则这个数最小是19 【解答】解：被 3 除余 1 的数：1，4，7，13，16，19，22，25，28， 被 4 除少 1 的数：3，7，11，15，19，23，27， 被 5 除余 4 的数：4，9，14，19，24， 所以这个数最小是 19， 故答案为：19 16 （5 分）三棱锥PABC的底面是边长为 3 的正三角形，面PAB垂直底面ABC，且 第 15页（共 24页） 2PAPB，则三棱锥PABC体积的最大值是 3 3 2 【解答】解：如图， 过C作AB的垂线CD，垂足为D，由正三角形ABC的边长为 3，可得 3 3 2 CD ， 面PAB垂直底

28、面ABC，且面PAB底面ABCAB，CD 平面ABC，CDAB， CD平面PAB， 设PBx，则2PAx，由三角形两边之和大于第三边可得，13x 在PAB中，由余弦定理可得， 222 493 cos 124 xxx PAB xx ，则 42 2 2 109 sin1 16 xx PABcosPAB x ， 42 42 2 11093 3 2109 2164 PAB xx Sxxx x ， 令 2 tx，则 422 109(5)16xxt ，当5t ，即5x 时， PAB S面积取最大值为 3 43 4 三棱锥PABC体积的最大值是 13 33 3 3 322 故答案为： 3 3 2 三、解答题

29、：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 17（12 分） 如图， 在直四棱柱 1111 ABCDA B C D中， 底面ABCD是边长为 2 的菱形， 且 1 3AA ， E，F分别为 1 CC， 1 BD的中点 （1）证明：EF 平面 11 BB D D； （2）若60DAB，求二面角 11 ABED的余弦值 第

30、16页（共 24页） 【解答】 （1）证明：连结AC与BD交于点O，连结OF， 因为四边形ABCD是菱形， 所以O为BD的中点， 由因为F为 1 BD的中点， 所以 1 / /OFD D且 1 1 2 OFD D， 因为E为 1 CC的中点， 所以 1 / /CED D且 1 1 2 CED D， / /OFCE且OFCE， 所以四边形OCEF为平行四边形， 故/ /EFOC， 在直棱柱 1111 ABCDA B C D中， 1 D D 平面ABCD， 因为OC 平面ABCD，所以 1 D DOC， 因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，即OCBD， 又 1 DDBDD ， 1 D D，BD

31、 平面 11 BB D D， 所以OC 平面 11 BB D D， 因为/ /EFOC， 所以EF 平面 11 BB D D； （2）解：由（1）可知，/ /OFCE， 在直棱柱 1111 ABCDA B C D中，CE 平面ABCD，故OF 平面ABCD， 以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为菱形ABCD的边长为 2，60DAB， 所以ABD与CBD都是边长为 2 的正三角形， 所以1OBOD， 3 sin6023 2 OAOCBC ， 第 17页（共 24页） 所以 11 3 (1,0,0),(0, 3, ),(0,3,3),( 1,0,3) 2 BEAD， 所以 11 3

32、 ( 1, 3, ),(1, 3,3),( 2,0,3) 2 BEABBD ， 设平面 1 A BE的一个法向量为( , , )mx y z ， 则 1 0 0 m BE m AB ，即 3 30 2 330 xyz xyz ， 令3y ，则9x ，4z ，故(9, 3,4)m ， 设平面 1 BED的一个法向量为( , , )na b c ， 则 1 0 0 n BE n BD ，即 3 30 2 230 abc ac ， 令3a ，则0b ，2c ，故(3,0,2)n ， 所以 |27087 13 |cos,| |2610013 m n m n m n ， 由图可知，二面角 11 ABED

33、为锐二面角， 故二面角 11 ABED的余弦值为 7 13 26 18 （12 分）某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲、乙两班学生进 行网络问卷调查，统计了甲、乙两班各 40 人每天的学习时间（单位：小时） ，并将样本数据 分成3，4)，4，5)，5，6)，6，7)，7，8五组，整理得到如下频率分布直方图： 第 18页（共 24页） （1）将学习时间不少于 6 小时和少于 6 小时的学生数填入下面的2 2x列联表： 不少于 6 小时少于 6 小时总计 甲班 乙班 总计 能以95%的把握认为学习时间不少于 6 小时与班级有关吗？为什么？ （2）此次问卷调查甲班学生的学习时间大

34、致满足( ,0.36)N，其中等于甲班学生学习 时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间(6.2，6.8的概率 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 参考数据： 2 0 ()P Kk 0.0500.0100.001 0 k3.8416.63510.828 若 2 ( ,)XN ，则()0.6827PX，(22 )0.9545PX 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知，甲班学习时间不少于 6 小时的人数为： (0.250.05) 1 4012 人，则甲班学习时间少于 6 小时的人数为 28 人， 同理可得乙班学习时间不少于 6 小时的

35、人数为(0.2500.200) 1 4018 人，乙班学习时间 少于 6 小时的人数为 22 人， 22列联表如下： 不少于 6 小时少于 6 小时总计 甲班122840 乙班182240 第 19页（共 24页） 总计305080 2 2 80 (1222 18 28) 1.923.841 30 504040 K ， 没有95%的把握认为学习时间不少于 6 小时与班级有关 （2）甲班学生学习时间的平均数 0.05 3.50.154.50.5 5.50.256.50.057.55.6， 0.360.6， 0.95450.6827 (6.26.8)(2 )0.1359 2 PP ， 即甲班学生学

36、习时间在区间(6.2，6.8的概率为 0.1359 19 （12 分）已知圆 222 :O xyb经过椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点 2 F，且经过点 2 F作圆O的切线被椭圆C截得的弦长为2 （1）求椭圆C的方程； （2）若点A，B是椭圆C上异于短轴端点的两点，点M满足OMOAOB ，且 22 6OMAB ，试确定直线OA，OB斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是， 说明理由 【解答】解： （1）因为圆O经过椭圆的右焦点 2 F，所以bc，2ab， 又经过点 2 F作圆O的切线被椭圆C截得的弦长为2，所以 2 ( ,) 2 b在椭圆上， 即 2 2 2

37、1 1 2( 2 ) b bb ，解得1b ，故2a ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 2 x y； （2）直线OA，OB的斜率之积为定值，理由如下： 设 1 (A x， 12 ) (y B x， 2) y，由OMOAOB ，得 12 (M xx， 12) yy， 故 22 22222222 121212121122 ()()()()2()6OMABxxyyxxyyxyxy ， 又点A，B在椭圆上，所以 2222 1122 22,22xyxy，联立解得 22 12 2xx， 22 12 1yy， 由 22 11 22xy， 22 22 22xy，得 2222222222 1212121212

38、(22)(22)44()44x xyyyyy yy y， 所以 1212 2x xy y ， 第 20页（共 24页） 从而 12 12 1 2 OAOB y y kk x x ，即直线OA，OB的斜率之积为定值 1 2 20 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3sin3 cosacBbC （1）求角B的大小； （2）若3b ，D为AC边上一点，2BD ，且_，求ABC的面积 （从BD为B的 平分线，D为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答) 【解答】解： （1）因为3sin3 cosacBbC， 所以3sinsinsin3sincosACBBC

39、即3sin()sinsin3sincosBCCBBC 所以3sincos3sincossinsin3sincosBCCBCBBC 即3sincossinsinCBCB， 因为sin0C ， 所以sin3cosBB，即tan3B ， 因为(0, )B， 所以 3 B ； （2）BD为B的平分线，3b ， 所以 6 ABDBDC ， 因为 ABCABDBDC SSS ， 所以 31111 22 42222 acac， 即322acac， 由余弦定理得， 222 bacac， 所以 22 3 9()3()3 4 acacacac， 解得6ac 或2ac （舍)， 所以ABC的面积 33 3 42 S

40、ac； D为AC的中点，3b ， 第 21页（共 24页） 则 3 2 ADDC， 因为ADCBDC ， 所以 222222 33 ( )2( )2 22 33 2222 22 ca ， 整理得 22 25ac， 由余弦定理得， 222 9bacac， 所以 7 2 ac ， 所以ABC的面积 37 3 48 Sac 21 （12 分）已知函数 2 ( )f xxaxxlnx，aR （1）若( )f x在1，)单调递增，求a的取值范围； （2）若nN，求证： 23 1111 (1)(1)(1)(1) 3333n e 【解答】解： （1） 2 ( )f xxaxxlnx在1，)上单调递增， 当1

41、x，)时，( )2(1) 0fxxalnx恒成立， 即21(1)axlnxx恒成立 令( )21(1)g xxlnxx， 则 1 ( )210g x x ， ( )21g xxlnx在区间1，)上单调递增， ( )g xg（1）1， 1a ，即a的取值范围为(，1； （2）证明：由（1）知，当(a ，1时， 2 ( )f xxaxxlnx在1，)上单调递增， 不妨令1a ，则 2 ( )f xxxxlnx在1，)上单调递增， ( )f xf（1）0， 1lnx x在1，)上恒成立 令 1 1 3n x ，则有 11 (1) 33 nn ln， 23 1111 (1)(1)(1)(1) 3333

42、n ln 第 22页（共 24页） 23 1111 (1)(1)(1)(1) 3333n lnlnlnln 2 11 (1) 111111 33 (1) 1 333232 1 3 n nn ， 23 1111 (1)(1)(1)(1) 3333n e（证毕） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系xOy中， 点A是曲线 22 1:( 2)4Cxy上的动点， 满足2OBOA 的点B的轨迹是 2 C （1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 1 C， 2 C的极坐标方 程； （2）直线l的参数方程是 1cos ( sin xt

43、t yt 为参数） ，点P的直角坐标是( 1,0)，若直线l与 曲线 2 C交于M，N两点，当线段|PM，|MN，|PN成等比数列时，求cos的值 【解答】解： （1）点A是曲线 22 1:( 2)4Cxy上的动点，根据 222 cos sin x y xy ，转换为 极坐标方程为4cos， 由于点B满足2OBOA 的点B的轨迹是 2 C 所以(2 , )A ， 则 2 C的极坐标方程为2cos （2）直线l的参数方程是 1cos ( sin xt t yt 为参数） ，点P的直角坐标是( 1,0)，若直线l与 曲线 2 C交于M，N两点， 所以将直线的参数方程代入 22 (2)4xy， 得到

44、 22 ( 1cos )( sin)2( 1cos )ttt ， 化简得： 2 4cos30tt， 所以 12 4costt， 1 2 3t t ， 当线段|PM，|MN，|PN成等比数列时， 第 23页（共 24页） 则 2 |MNPMPN， 整理得： 2 1212 ()|tttt， 故 2 121 2 ()5|ttt t， 整理得 15 cos 4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2| 2|1|f xxx，xR （1）求函数( )f x的图象与直线6y 围成区域的面积； （2）若对于0m ，0n ，且4mn时，不等式( )f xmn恒成立，求实数x的取值范围

45、 【解答】解： （1）由题意得， 3 ,1 ( )4, 12, 3 ,2 x x f xxx x x 则函数( )f x的图象与6y 围成的区域为ABC，如图所示， 且( 2,6)A ，( 1,3)B ，(2,6)C，| 4AC，B到直线AC的距离为 3， 故所求面积为 1 436 2 ABC S， （2）0m ，0n ，4mn， 2 ()4 2 mn mn ， 当且仅当mn时取等号，4mn， 若不等式( )f xmn恒成立，则有 _ ( ) () max f xmn，即( ) 4f x ， 可得当1x时，34x， 4 3 x， 当12x 时，4 4x ，02x， 当2x时，34x，2x ， 实数x的取值范围为(， 4 0 3 ，) 第 24页（共 24页）