2021年河北省保定市高考数学一模试卷.docx下载_163文库

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1、第 1页（共 21页） 2021 年河北省保定市高考数学一模试卷年河北省保定市高考数学一模试卷一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知R为全集，集合 | 22Axx ， |3Bx x，则()( RA B ) A | 23xxB |23xx C |0 x x 或23x D |2x x或 23x 2 （5 分）设a，bR，则“| |1|abii”是“1ab”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也

2、不必要条件 3 （5 分）已知平面向量(3,1)mx ，( ,4)nx ，且/ /mn ，则下列正确的是() A1x B1x 或 4C 12 5 x D4x 4 （5 分）已知 7 log 0.3a ， 0.3 0.7b ， 0.3 7c ，则() AabcBacbCcabDbca 5 （5 分）过圆 22 :5O xy外一点(2, 5)P作圆O的切线，切点分别为A，B，则| (AB ) A2B5C 4 5 3 D3 6 （5 分）已知函数( )2sinf xx，为了得到函数( )2sin(2) 3 g xx 的图象，只需() A先将函数( )f x图象上点的横坐标变为原来的 2 倍，再向右平

3、移 6 个单位 B先将函数( )f x图象上点的横坐标变为原来的 1 2 ，再向右平移 6 个单位 C先将函数( )f x图象向右平移 6 个单位，再将点的横坐标变为原来的 1 2 D先将函数( )f x图象向右平移 3 个单位，再将点的横坐标变为原来的 2 倍 7 （5 分）已知长方体 1111 ABCDA B C D，动点P到直线AD的距离与到平面 11 BBC C的距离相等，则P在平面 11 CC D D上的轨迹是() A线段B椭圆一部分C抛物线一部分D双曲线一部分 8 （5 分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉

4、伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具 “珠算” 第 2页（共 21页）一词最早见于东汉徐岳所撰的数术记遗，其中有云： “珠算控带四时，经纬三才” 北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为 3 部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表 5，下面一粒珠（简称下珠）是 1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动 2 粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨 1 粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被 3 整除的概率是() A 3 8 B 5

5、8 C 2 9 D 1 2 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知P为ABC所在平面内一点，则下列正确的是() A若320PAPBPC ，则点P在ABC的中位线上 B若0PAPBPC ，则P为ABC的重心 C若0AB AC ，则ABC为锐角三角形 D若 12 33 APABAC ，则ABC与ABP的面积比为3:2 10（5 分）函数 1

6、( )cos (0) 2 f xxx x的所有极值点从小到大排列成数列 n a，设 n S是 n a 的前n项和，则下列结论中正确的是() A数列 n a为等差数列B 4 17 6 a C 2021 1 sin 2 SD 37 3 tan() 3 aa 11 （5 分）已知函数 cos ( ) sin x x f x ex ，则下列选项中正确的是() A( )f x在(0,) 2 上单调递减 B( 2 x ，)时，( )0f x 恒成立第 3页（共 21页） C( 2 ，0)是函数( )f x的一个单调递减区间 Dx 是函数( )f x的一个极小值点 12 （5 分）已知曲线C上的点( ,

7、 )P x y满足方程|1|1| 0 x xy y，则下列结论中正确的是() A当 1x ，2时，曲线C的长度为 2 2 2 2 B当 1x ，2时， 1 2 y x 的最大值为 1，最小值为 1 2 C曲线C与x轴、y轴所围成的封闭图形的面积和为 1 42 D 若平行于x轴的直线与曲线C交于A，B，C三个不同的点，其横坐标分别为 1 x， 2 x， 3 x，则 123 xxx的取值范围是 32 (2,) 22 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知一组数据3，2a，4，5a，1，9 的平均数为 3（其中)

8、aR，则中位数为 14 （5 分） 23 2 ()x x 展开式中的常数项为 15 （5 分）已知函数 2 ( ) x f xxee的导函数为( )fx，则(0)f ；若 00 23lnxx，则 0 ()f x 16 （5 分）已知ABC为等边三角形，PA 底面ABC，三棱锥PABC外接球的表面积为 4，则三棱锥PABC体积的最大值是四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知数列 n a满足： 1 1 4 a ， 1 3 1 2 nn aa （1）求证数列

9、2 n a 是等比数列；（2）若数列 n b满足 2 2n nn ba ，求 n b的最大值 18 （12 分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2sincosBbAb， 2 3a （1）求角A的大小；（2）若sin2sinCB，求ABC的面积 19 （12 分）在矩形ABCD中，22BCAB，取BC边上一点M，将ABM沿着AM折第 4页（共 21页）起，如图所示形成四棱锥SAMCD （1）若M为BC的中点，二面角SAMB的大小为 3 ，求AS与平面ABCD所成角的正弦值；（2）若将ABM沿着AM折起后使得SDAM，求线段MC的长 20 （12 分）调查某种新型作

10、物A在某地的耕种状况与农民收入的关系，现在当地农户中随机选取了 300 户农民进行了统计，发现当年收入水平提高的农户占 13 15 ，而当年选择耕种A作物的农户占 2 3 ，既选择A作物又收入提高的农户为 180 户（1）完成下面22列联表，并分析是否有97.5%的把握认为种植A作物与收入提高有关种植A作物的数量未种植A作物的数量合计收入提高的数量收入未提高的数量合计附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 2 ()P Kk 0.100.050.0250.0100.0050.001 k2.7063.8415.0246.635

11、7.87910.828 （2）某农户决定在一个大棚内交替种植A，B，C三种作物，为了保持土壤肥度，每种作物都不连续种植，开始时选择A作物种植，后因习惯，在每次种植A后会有 1 3 的可能性种植B， 2 3 的可能性种植C；在每次种植B的前提下再种植A的概率为 1 4 ，种植C的概率为 3 4 ；在每次种植C的前提下再种植A的概率为 2 5 ，种植B的概率为 3 5 ，若仅种植三次，求种植A作物次数X的分布列及期望第 5页（共 21页） 21 （12 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 1 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，曲线 2 2: 4Eyx的焦点恰好也是

12、2 F，O为坐标原点，过椭圆 1 E的左焦点 1 F作与x轴垂直的直线交椭圆于M， N，且 2 MNF的面积为 3 （1）求椭圆 1 E的方程；（2）过 2 F作直线l交 1 E于A，B，交 2 E于C，D，且 1 ABF与OCD的面积相等，求直线l的斜率 22 （12 分）已知函数( )1f xaxlnx （1）1a ，求函数( )f x的最大值；（2）若( )( ) 0f xfx恒成立，求a的取值集合；（3）令( )( )1F xf xax，过点 0 (P x， 0) y做曲线( )yF x的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点P一定在第一象限内第 6页（共 21页） 2

14、Bx x 或23x 故选：D 2 （5 分）设a，bR，则“| |1|abii”是“1ab”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若| |1|abii，则 22 2ab， 22 2ab，当2a ，0b 时， 22 2ab成立，但1ab不成立，当1ab时，|1|abii成立，综上所述：| |1|abii是1ab的必要不充分条件故选：B 3 （5 分）已知平面向量(3,1)mx ，( ,4)nx ，且/ /mn ，则下列正确的是() A1x B1x 或 4C 12 5 x D4x 【解答】解：/ /mn ，4(3)0 xx，解得 12

15、5 x ，故选：C 4 （5 分）已知 7 log 0.3a ， 0.3 0.7b ， 0.3 7c ，则() AabcBacbCcabDbca 【解答】解： 77 log 0.3log 10， 0.30 00.70.71， 0.30 771，第 7页（共 21页） 0a，01b，1c ， abc 故选：A 5 （5 分）过圆 22 :5O xy外一点(2, 5)P作圆O的切线，切点分别为A，B，则| (AB ) A2B5C 4 5 3 D3 【解答】解：根据题意，圆 22 :5O xy的圆心为(0,0)，半径5r ，若(2, 5)P，则|453PO ，圆 22 :5O xy外一点(2

16、, 5)P作圆O的切线，切点分别为A，B，则| |952PAPB，故点A、B在以P为圆心，半径为 2 的圆的圆上，该圆的方程为 22 (2)(5)4xy，联立两个圆的方程： 22 22 5 (2)(5)4 xy xy ，变形可得2550 xy，则直线AB的方程为2550 xy，圆O的圆心O到AB的距离 55 345 d ，则 22 254 5 | 225 93 ABrd，故选：C 6 （5 分）已知函数( )2sinf xx，为了得到函数( )2sin(2) 3 g xx 的图象，只需() A先将函数( )f x图象上点的横坐标变为原来的 2 倍，再向右平移 6 个单位 B先将函

17、数( )f x图象上点的横坐标变为原来的 1 2 ，再向右平移 6 个单位 C先将函数( )f x图象向右平移 6 个单位，再将点的横坐标变为原来的 1 2 D先将函数( )f x图象向右平移 3 个单位，再将点的横坐标变为原来的 2 倍【解答】解：将( )2sinf xx的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到的函数解析式为：( )2sin2f xx；第 8页（共 21页）所有的点向右平移 6 个单位长度，再把所得得到的函数解析式为：( )2sin(2) 3 f xx ；故选：B 7 （5 分）已知长方体 1111 ABCDA B C D，动点P到直线AD的距离

18、与到平面 11 BBC C的距离相等，则P在平面 11 CC D D上的轨迹是() A线段B椭圆一部分C抛物线一部分D双曲线一部分【解答】解：点P在平面 11 CC D D上，且动点P到直线AD的距离与到平面 11 BBC C的距离相等，如图示：连接PD，则PD为点P到直线AD的距离，过点P作 1 PMCC于点M，则PM为点P到平面 11 BBC C的距离， PMPD，根据抛物线的定义，P在平面 11 CC D D上的轨迹是抛物线，故选：C 8 （5 分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世

19、界广为使用的计算工具 “珠算” 一词最早见于东汉徐岳所撰的数术记遗，其中有云： “珠算控带四时，经纬三才” 北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为 3 部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表 5，下面一粒珠（简称下珠）是 1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动 2 粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨 1 粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被 3 整除的概率是() 第 9页（共 21页） A 3 8 B 5 8 C 2 9 D

20、 1 2 【解答】解：从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动 2 粒珠，得到的整数有 32 个，分别为： 11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550， 1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500， 2，20，200，2000，6，60，600，6000，其中算盘表示的整数能够被 3 整除包含的整数有 16 个，分别为： 15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000，则算盘表示的整数能

21、够被 3 整除的概率为 161 322 P 故选：D 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知P为ABC所在平面内一点，则下列正确的是() A若320PAPBPC ，则点P在ABC的中位线上 B若0PAPBPC ，则P为ABC的重心 C若0AB AC ，则ABC为锐角三角形 D若 12 33 APABAC ，则ABC与ABP的面积比为3:2

22、【解答】解：设AB中点D，BC中点E，若320PAPBPC ，则2()0PAPBPBPC ，所以240PDPE ，即2PDPE ，所以P为DE的三分点，A正确；若0PAPBPC ，第 10页（共 21页）则20PDPC ，所以P在中线CD上且2CPPD，即P为三角形重心，B正确；若0AB AC ，则A为锐角，但不能确定B，C，故ABC不一定为锐角三角形，C错误；若 12 33 APABAC ，则 12 ()()0 33 ABAPACAP ，即20PBPC ，所以P为BC上靠近C的三等分点，所以2BPPC，故ABC与ABP的面积比为3:2，D正确故选：ABD 10（5

23、分）函数 1 ( )cos (0) 2 f xxx x的所有极值点从小到大排列成数列 n a，设 n S是 n a 的前n项和，则下列结论中正确的是() A数列 n a为等差数列B 4 17 6 a C 2021 1 sin 2 SD 37 3 tan() 3 aa 【解答】解： 1 ( )sin 2 fxx，令( )0fx可得2 6 xk 或 5 2 6 xk ，kZ，易得函数的极值点为2 6 xk 或 5 2 6 xk ，kZ，从小到大为 5 , 66 ， 13 6 ，不是等差数列，A错误； 4 517 2 66 a ，B正确； 2021122021 51317 20202 6

24、6666 Saaa ， 135175 (20202 )(20182 ) 666666 ，则根据诱导公式得 2021 51 sinsin 62 S ，C正确； 37 13 tan()tan(6 )tan3 663 aa ，D错误故选：BC 11 （5 分）已知函数 cos ( ) sin x x f x ex ，则下列选项中正确的是() 第 11页（共 21页） A( )f x在(0,) 2 上单调递减 B( 2 x ，)时，( )0f x 恒成立 C( 2 ，0)是函数( )f x的一个单调递减区间 Dx 是函数( )f x的一个极小值点【解答】解： 22 2sin()1 (sincos

25、 )1 4 ( ) (sin )(sin ) x x xx ex exx fx exex ，对于A，当(0,) 2 x 时， 3 (,) 444 x ，sin()0 4 x ，所以( )0fx，故A正确；对于B，当(, ) 2 x 时，cos0 x ，0 x e ，sin0 x ，所以( )0f x ，故B正确；对于C， 4 cos() 4 () 4 sin() 4 f e ，又 4 4 11 sin()0 42 e e ，所以()0 4 f ， 1 2 1 cos() 1 2 () 21 sin 2 f e ， 1 2 111 sin0 22 e e ，所以 1 ()0 2 f ，

26、因 1 42 ，但此时有 1 ()() 42 ff ，故C错误；对于D， 2 1 ()0 () e f e ，所以x 不是函数( )f x的极值点，故D错误故选：AB 12 （5 分）已知曲线C上的点( , )P x y满足方程|1|1| 0 x xy y，则下列结论中正确的是() A当 1x ，2时，曲线C的长度为 2 2 2 2 B当 1x ，2时， 1 2 y x 的最大值为 1，最小值为 1 2 C曲线C与x轴、y轴所围成的封闭图形的面积和为 1 42 D 若平行于x轴的直线与曲线C交于A，B，C三个不同的点，其横坐标分别为 1 x， 2 x， 3 x，则 123 xxx的取

27、值范围是 32 (2,) 22 第 12页（共 21页）【解答】解：方程|1|1| 0 x xy y，当1x，1y时，方程变为 22 0 xxyy，即 22 111 ()() 222 xy，所以点P在圆 22 111 ()()(1,1) 222 xyxy上；当1x ，1y 时， 22 0 xxyy，即 22 11 ()() 22 xy，即 11 | | 22 xy，当 1 1 2 y 时， 11 22 xy，解得xy，不成立，故舍去；当 1 2 y时， 11 22 xy，即10 xy ；当1x ，1y 时， 22 0 xxyy，即 22 111 ()() 222 xy，该圆不在1

28、x ，1y 范围内，故舍去；当1x ，1y 时， 22 0 xxyy，即 22 11 ()() 22 xy，即 11 | | 22 xy，当 1 1 2 x 时，则xy，不成立，故舍去；当 1 2 x时， 11 22 xy，即10 xy 作出曲线C的图象如图所示，对于A，当 1x ，2时，曲线C由两条线段MN，PQ和一段半圆弧NP组成，所以长度为 22 222 2 22 ，故选项A正确；对于B，令 1 2 y k x ，即曲线C上的点到( 2,1)的直线的斜率，所以最大值为( 2,1)与点( 1,2)M 的斜率为 1，最小值在直线与圆弧相切时取得，而当 1 2 k 时即过原点

29、的直线，该直线为 1 2 yx ，圆心 1 1 ( , ) 2 2 到该直线的距离为 11 3 52 24 1021 1 4 d ，所以最小值不是 1 2 ，故选项B错误；对于C，该封闭图形为两个扇形， 2 12111 2 ()1 422242 S ，故选项C正确；对于D，如图所示，A，B为直线与圆弧的交点，设直线为yk，则 12 (,0) 22 k ，因为A，B关于 1 2 x 对称，所以 12 1xx，第 13页（共 21页）点C为yk与10 xy 的交点，故 3 12 1(1,) 22 xk ，所以 123 xxx的取值范围是 32 (2,) 22 ，故选项D正确故选：

30、ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知一组数据3，2a，4，5a，1，9 的平均数为 3（其中)aR，则中位数为3.5 【解答】解：由题意得，32451918aa ，故2a ，数据按从小到大的顺序排列为3，1，3，4，4，9，故中位数 3.5 故答案为：3.5 14 （5 分） 23 2 ()x x 展开式中的常数项为12 【解答】解：通项公式 236 3 133 2 ()( )2 rrrrrr r TCxCx x ，令630r，得2r ，展开式的常数项为 22 3 212C 故答案为：12

31、 15 （5 分）已知函数 2 ( ) x f xxee的导函数为( )fx，则(0)f 1；若 00 23lnxx，则 0 ()f x 第 14页（共 21页）【解答】解：因为函数 2 ( ) x f xxee，所以 22 ( )2 xx fxexe，则 0 (0)1fe；因为 00 23lnxx，即 0 2 0 3 x lnxlne，所以 0 2 0 ()3 x ln x e，即 0 23 0 x x ee，故 0 23 00 () x f xx eeee 故答案为：1； 3 ee 16 （5 分）已知ABC为等边三角形，PA 底面ABC，三棱锥PABC外接球的表面积为 4，

32、则三棱锥PABC体积的最大值是 1 3 【解答】解：设三棱锥PABC外接球的半径为R，由 2 44R，得1R ，设等边三角形ABC的外接圆的半径为r， 222 1 () 2 RrPA，即 22 1 1 4 rPA， rR，01r，则 22 442 1PArr， 2 133 3 33 224 ABC Srrr ， 2246 11 3 33 2 1 3342 P ABCABC VSPArrrr 令 46 yrr，则 32 2(23)yrr， 01r，令0y ，可得 6 3 r ，当 6 (0,) 3 r时，0y ，当 6 ( 3 r，1)时，0y，当 6 3 r 时， 46 66484 (

33、)() 3392727 y 最大值，三棱锥PABC体积的最大值是 341 2273 故答案为： 1 3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知数列 n a满足： 1 1 4 a ， 1 3 1 2 nn aa 第 15页（共 21页）（1）求证数列2 n a 是等比数列；（2）若数列 n b满足 2 2n nn ba ，求 n b的最大值【解答】解：（1）证明：因为 1 33 23(2) 22 nnn aaa ，所以数列2 n a 是以 1

34、7 2 4 a 为首项，以 3 2 为公比的等比数列，所以数列2 n a 是等比数列；（2）由（1）得 1 73 2( ) 42 n n a ，所以 1 73 2( ) 42 n n a ，则 2131 73 22( )2143 42 nnnn n b ，因为 413 1 14 3214 32 nnnn nn bb 3132 228 3238 29 39(23 )0 nnnnnnnn ，所以 1nn bb ，即数列 n b为递减数列，所以 n b的最大值为 1 2b 18 （12 分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2sincosBbAb， 2 3a （1）求角

35、A的大小；（2）若sin2sinCB，求ABC的面积【解答】解：（1）因为2sincosBbAb，可得 2sin cos1 B A b ，由正弦定理可得 2sin cos1 A A a ，即 2sin cos1 2 3 A A，可得sin3cos3AA，可得 13 2( sincos)3 22 AA，可得 3 sin() 32 A ，因为A为三角形内角，可得 2 33 A ，可得 3 A （2）由sin2sinCB，可得2cb，又 3 A ，2 3a ，由余弦定理可得 222 abcbc，解得2b ，4c ，所以 113 sin242 3 222 ABC SbcA 19 （12

36、分）在矩形ABCD中，22BCAB，取BC边上一点M，将ABM沿着AM折起，如图所示形成四棱锥SAMCD 第 16页（共 21页）（1）若M为BC的中点，二面角SAMB的大小为 3 ，求AS与平面ABCD所成角的正弦值；（2）若将ABM沿着AM折起后使得SDAM，求线段MC的长【解答】解：（1）取AM的中点H，连结HS，HB，因为90ABM，且1ABBM，所以ABM为等腰直角三角形，同理ASM也为等腰直角三角形，所以HSAM，HBAM，HSHBH ，所以AM 平面BSH，所以二面角SAMB的平面角为 3 BHS ，因为 2 2 SHBH，所以SHB为正三角形，取BH的

37、中点Q，连结SQ，则SQBH，所以 6 4 SQ ，因为AM 平面BSH，SQ 平面BSH，所以AMSQ，又SQBH，AMBHH ，AM，BH 平面ABCD，所以SQ 平面ABCD，连结AQ，则SAQ为直线AS与平面ABCD所成的角，因为1AS ，所以 6 sin 4 SQ SAQ AS ，故AS与平面ABCD所成角的正弦值为 6 4 ；（2）在平面SAM内作SHAM，垂足为H，连结BH，DH，则SHAM，又因为SDAM，SDSHS ，所以AM 平面SHD，又DH 平面SHD，所以AMDH，又因为AMBH，因为AM，BH，DH 平面ABCD，所以B，H，D三点共线，AMB

38、D，第 17页（共 21页）在矩形ABCD中，22BCAB，所以ABMDAB，所以 ABAD BMAB ，解得 1 2 BM ，所以 3 2 MCBCBM 20 （12 分）调查某种新型作物A在某地的耕种状况与农民收入的关系，现在当地农户中随机选取了 300 户农民进行了统计，发现当年收入水平提高的农户占 13 15 ，而当年选择耕种A作物的农户占 2 3 ，既选择A作物又收入提高的农户为 180 户（1）完成下面22列联表，并分析是否有97.5%的把握认为种植A作物与收入提高有关种植A作物的数量未种植A作物的数量合计收入提高的数量收入未提高的数量合计附： 2 2

39、 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 2 ()P Kk 0.100.050.0250.0100.0050.001 第 18页（共 21页） k2.7063.8415.0246.6357.87910.828 （2）某农户决定在一个大棚内交替种植A，B，C三种作物，为了保持土壤肥度，每种作物都不连续种植，开始时选择A作物种植，后因习惯，在每次种植A后会有 1 3 的可能性种植B， 2 3 的可能性种植C；在每次种植B的前提下再种植A的概率为 1 4 ，种植C的概率为 3 4 ；在每次种植C的前提下再种植A的概率为 2 5 ，种植B的概率为 3 5 ，若

40、仅种植三次，求种植A作物次数X的分布列及期望【解答】解：（1）由题意可知收入提高的有 260 户，未种植A作物的有 100 户，则22列联表如下：种植A作物的数量未种植A作物的数量合计收入提高的数量18080260 收入未提高的数量202040 合计200100300 则 2 2 300 (180208020)75 5.7695.024 200 1002604013 K ，所以有97.5%的把握认为种植A作物与收入提高有关；（2）由题意随机变量X的取值为 1，2， 13133 (1) 24244 P X ， 11111 (2) 24244 P X ，所以X的分布列为： X12

41、 P 3 4 1 4 315 ()12 444 E X 21 （12 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 1 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，曲线 2 2: 4Eyx的焦点恰好也是 2 F，O为坐标原点，过椭圆 1 E的左焦点 1 F作与x轴垂直的直线交椭圆于M， N，且 2 MNF的面积为 3 （1）求椭圆 1 E的方程；（2）过 2 F作直线l交 1 E于A，B，交 2 E于C，D，且 1 ABF与OCD的面积相等，求直线l的斜率第 19页（共 21页）【解答】解：（1）因为曲线 2 2: 4Eyx的焦点恰好也是 2 F，所以椭圆中1c ，22c ，因

42、为 2 MNF的面积为 3，所以3MN ，所以 2 1 2 3 c b a ，解得2a ，1c ，3b ，所以椭圆的方程为 22 1 43 xy ；（2）因为O为 1 F， 2 F的中点，所以O到直线l的距离为 1 F到l距离的一半，又因为 1 ABF与OCD的面积相等，所以2CDAB，因为 2(1,0) F，设l的方程为(1)yk x，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y，联立方程组 22 (1) 3412 yk x xy ，可得 2222 (34)84120kxk xk，则 22 1212 22 8

43、412 , 3434 kk xxx x kk ，由两点间距离公式可得， 2 12 1|ABkxx，所以 2 22 1212 2 4 1()44 34 k ABkxxx x k ，联立方程组 2 (1) 4 yk x yx ，可得 222 (24)20k xkxk，则 3434 4 2,1xxx x k ，所以 34 2 4 24CDxx k ，第 20页（共 21页）因为 2 2 2 4 4 2 4 4 34 CD k kAB k ，解得 6 2 k 故直线l的斜率为 6 2 22 （12 分）已知函数( )1f xaxlnx （1）1a ，求函数( )f x的最大值；（2）若

44、( )( ) 0f xfx恒成立，求a的取值集合；（3）令( )( )1F xf xax，过点 0 (P x， 0) y做曲线( )yF x的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点P一定在第一象限内【解答】解：（1）当1a 时，( )1f xxlnx 的定义域为(0,)， 11 ( )11 x fx xx 分令( )0fx，得01x，令( )0fx，得1x 因此，函数( )yf x的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)，2分所以( ) max fxf（1）03 （2）令 1 ( )( )( )1(0)g xf xfxaxlnxax x ， 2 22 111 ( )

45、4 axx g xa xxx 分若0a，存在g（e） 1 (1)(2)0a e e ，与( )( )( ) 0g xf xfx恒成立矛盾，所以必有 0a ，5分 2 10(*)axx ，0， 12 1 0 xx a ，所以方程必有一正根，记作 2 x，所以函数( )g x在 2 (0,)x单调递增，在 2 (x，)单调递减，若满足条件，必有 2 ( )() 0 max g xg x，注意g（1）06分则有 2 1x ，代入*式，解得2a ，所以a的取值集合为 27分（3）证明：因为( )F xlnx，设两切点为( ,)A t lnt， 1 (B t ，)lnt，不妨设A在B的右

46、边，则 1t ， 1 ( )F x x ，8分所以A，B两点处的切线方程分别为 1 1yxlnt t ，1ytxlnt，令 1 11xlnttxlnt t ，解得 0 2 2 1 t xlnt t ， 2 0 2 (1) 1 1 tlnt y t ，10分因为1t ，所以 0 2 2 0 1 t xlnt t ，第 21页（共 21页）要证明 2 0 2 (1) 10 1 tlnt y t ，即证明 2 2 (1) 1 1 tlnt t ，因为 2 1t ，即证 2 2 1 1 t lnt t ，设 2 2 1 ( )(1) 1 t h tlntt t ，则 22 22 (1) ( )0(1) (1) t h tt t t ，所以( )h t在(1,)上是增函数，所以( )h th（1）0，则 2 2 1 1 t lnt t ，11分所以 2 0 2 (1) 10 1 tlnt y t ，故点P一定在第一象限内12分

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