2021年宁夏中卫市优秀生高考数学第一次联考试卷（理科）.docx下载_163文库

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1、第 1页（共 20页） 2021 年宁夏中卫市优秀生高考数学第一次联考试卷（理科）年宁夏中卫市优秀生高考数学第一次联考试卷（理科）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题给出的选项中，只有一分每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上） 1（5 分）已知集合 |Ax xa， 2 |log1Bxx，若ABA ，则a的取值范围为() A(2,)B2，)C(,2)D(，2 2 （5 分）设复数z满足 1 1 z i z ，则(z ) AiB1i

2、CiD1i 3 （5 分）若( 2 a ，0)，且sincos0，则sin3() A 2 2 B 2 2 C 3 2 D 1 2 4（5 分）某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校 2400 名学生中抽取 30 人进行调查现将 2400 名学生随机地从1 2400编号，按编号顺序平均分成 30 组(1 80号，81160号，23212400号），若第 3 组抽出的号码为 176，则第 6 组抽到的号码是() A416B432C448D464 5 （5 分）某市政府决定派遣 8 名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少 3 人，

3、则不同的派遣方案共有?() A320 种B252 种C182 种D120 种 6 （5 分）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为 1，3，3，5，5， 7，该数列从第 5 项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为() A39B45C48D51 7 （5 分）已知直线yx 被圆 22 :0(0)M xyEyE截得的弦长为2 2，且圆N的方第 2页（共 20页）程为 22 2210 xyxy ，则圆M与圆N

4、的位置关系为() A相交B外切C相离D内切 8 （5 分）直线ya与函数( )tan()(0) 4 f xx 的图象的相邻两个交点的距离为2，若( )f x在( m，)(0)m m 上是增函数，则m的取值范围是() A(0， 4 B(0， 2 C(0， 3 4 D(0， 3 2 9 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，若232(*) nn SanN，则 10 6 2 ( 2 S a ) A243B244C245D246 10 （5 分）已知函数 2 0 1 ( )|2| 2 i f xxi xi ，下列四个判断一定正确的是() A函数( )f x为偶函数 B函数( )f x最小值为

5、 6 C函数( )yf x的图象关于直线2x 对称 D关于x的方程 2 ( )0(0)f xmm的解集可能为 2，0，3，6 11 （5 分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ，古称“角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为 4 的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为() A 512 6 729 B 16 2 3 C 32 6 27 D 1

6、28 2 81 12 （5 分）已知函数( )()(0) x f xealn axaa a，若关于x的不等式( )0f x 恒成立，则实数a的取值范围为() A(0， 2 eB 2 (0,)eC1， 2 eD 2 (1,)e 二、填空题二、填空题：（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量(1, 2)a ，( ,1)bk 且()aab ，则k 第 3页（共 20页） 14 （5 分）已知一组数据 4，a，3a，5，7 的平均数为 5，则这组数据的方差为 15 （5 分）设、r为平面，m、n、l为直线，以下四组条件：，l ，

7、 ml；rm ，r，r；r，r，m；n，n，m；可以作为m的一个充分条件是 16 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 与椭圆 22 2: 1 259 xy C的公共焦点，点P，Q分别是曲线 1 C， 2 C在第一、第三象限的交点，四边形 12 PFQF的面积为6 6，设双曲线 1 C与椭圆 2 C的离心率依次为 1 e， 2 e，则 12 ee 三三、解答题解答题：（本大题共本大题共 5 小题小题，满分满分 60 分分解答须写出文字说明解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC中，已知

8、角A，B，C所对的边分别是a，b，c，5a ，3b ， sin5sin2 2AB （1）求角A的值；（2）求ABC的面积 18 （12 分）已知抛物线 2 :2C yx，过点(1,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点（1）若| 2 2AB ，求AOB外接圆的方程；（2）若点A关于x轴的对称点是(A A与B不重合），证明：直线A B经过定点 19 （12 分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区 2019 年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取 500 户家庭作为样本，获得数

9、据如表： A地区B地区 2019 年人均年纯收入超过 10000 元 100 户150 户 2019 年人均年纯收入未超过 10000 元 200 户50 户假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过 10000 元相互独立（）从A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，估计该家庭 2019 年人均年纯收入超过第 4页（共 20页） 10000 元的概率；（）在样本中，分别从A地区和B地区 2019 年脱贫家庭中各随机抽取 1 户，记X为这 2 户家庭中 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的户数，求X的分布列和数学期望；（）从样本中A地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取

10、4 户，发现这 4 户家庭 2020 年人均年纯收入都超过 10000 元根据这个结果，能否认为样本中A地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年有变化？请说明理由 20 （12 分）如图，四边形ABCD中，/ /ADBC，90BAD，2ABBC，2 2AD ， E，F分别是线段AD，CD的中点以EF为折痕把DEF折起，使点D到达点P的位置， G为线段PB的中点（1）证明：平面/ /GAC平面PEF；（2）若平面PEF 平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值 21 （12 分）已知函数 1 ( ) x f xkex （1）讨论( )f x的单

11、调性；（ 2 ）若函数 ( ) ( ) f x g xlnxx x 有三个极值点 1 x， 2 x， 3123 ()xxxx，求 123 ()()()g xg xg x的取值范围选考题选考题：（请考生在第请考生在第 22、 23 两道题中任选一题作答两道题中任选一题作答如果多做如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分作作答时请用答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x

12、 y 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2 sin() 42 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若点M的坐标为(1,2)，直线l与曲线C交于A、B两点，求 11 |MAMB 的值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲第 5页（共 20页） 23已知函数( ) |2|f xxa，( ) |g xxb （1）若1a ，3b ，解不等式( )( ) 4f xg x；（2）当0a ，0b 时，( )2 ( )f xg x的最大值是 3，证明： 22 9 4 2 ab 第 6页（共 20页） 2021 年宁夏中卫市优秀生高

13、考数学第一次联考试卷（理科）年宁夏中卫市优秀生高考数学第一次联考试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题给出的选项中，只有一分每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上） 1（5 分）已知集合 |Ax xa， 2 |log1Bxx，若ABA ，则a的取值范围为() A(2,)B2，)C(,2)D(，2 【解答】解：ABA ，AB， |Ax xa， |2Bx x，2a ， a的取值范围为：2

14、，) 故选：B 2 （5 分）设复数z满足 1 1 z i z ，则(z ) AiB1iCiD1i 【解答】解：因为 1 1 z i z ，所以 2 11(1) 11(1)(1) iii zi iiii 故选：C 3 （5 分）若( 2 a ，0)，且sincos0，则sin3() A 2 2 B 2 2 C 3 2 D 1 2 【解答】解：因为sincos0，所以 sin tan1 cos ，又因为( 2 a ，0)，所以 4 ，则 332 sin3sin()sin 442 故选：A 4（5 分）某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校 2400 名学

15、生中抽取 30 人进行调查现将 2400 名学生随机地从1 2400编号，按编号顺序平均分成 30 组(1 80号，81160号，23212400号），若第 3 组抽出的号码为 176，则第 6 第 7页（共 20页）组抽到的号码是() A416B432C448D464 【解答】解：样本间隔为24003080，设首个号码为x，则第三个号码为160 x ，则160176x ，解得16x ，则第 6 组抽到的号码为1680540016416，故选：A 5 （5 分）某市政府决定派遣 8 名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少 3 人，则不同的派遣方案共

16、有?() A320 种B252 种C182 种D120 种【解答】解：因为若要求每组至少 3 人，所以有 3，5 和 4，4 两种，若人数为 3，5，则有 32 82 112C A 种；人数为 4，4，则有 4 8 70C 种；共有11270182，故选：C 6 （5 分）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为 1，3，3，5，5， 7，该数列从第 5 项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为()

17、A39B45C48D51 【解答】解：设该数列为 n a，由题意得， 5 a， 6 a，成等差数列，公差2d ， 5 5a ，设塔群共有n层，则 (4)(5) 13355(1)2108 2 nn n ，解得，12n ，故最下面三层的塔数之和为 10111211 33(526)51aaaa 故选：D 第 8页（共 20页） 7 （5 分）已知直线yx 被圆 22 :0(0)M xyEyE截得的弦长为2 2，且圆N的方程为 22 2210 xyxy ，则圆M与圆N的位置关系为() A相交B外切C相离D内切【解答】解：根据题意， 22 0 yx xyEy ，则有 2 20yEy，解可得：

18、 1 0y 或 2 2 E y ，又由yx ，则 1 0 x 或 2 2 E x ，即直线yx 与圆 22 :0M xyEy的交点为(0,0)和( 2 E ， ) 2 E ；又由直线yx 被圆 22 :0(0)M xyEyE截得的弦长为2 2，则有 22 8 44 EE ，解可得4E ，又由0E ，则4E ，则圆M的方程为 22 40 xyy，其圆心为(0,2)，半径2r ，圆N的方程为 22 2210 xyxy ，即 22 (1)(1)1xy，其圆心为(1,1)，半径1R ；两圆圆心距|1 12MN ，则有|rRMNRr，则两圆相交；故选：A 8 （5 分）直线ya与函数

19、( )tan()(0) 4 f xx 的图象的相邻两个交点的距离为2，若( )f x在( m，)(0)m m 上是增函数，则m的取值范围是() A(0， 4 B(0， 2 C(0， 3 4 D(0， 3 2 【解答】解：直线ya与函数( )tan() 4 f xx 图象的相邻两个交点的距离为一个周期，则2T，所以 1 2T ，所以 1 ( )tan() 24 f xx ，由 1 2242 kxk ，解得 3 22 22 kxk ，()kZ；第 9页（共 20页）所以函数( )f x在 3 ( 2 ，) 2 上是单调增函数；又( )f x在(,)m m上是单调增函数，即( m

20、， 3 )( 2 m ，) 2 ，解得0 2 m ；所以m的取值范围是(0， 2 故选：B 9 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，若232(*) nn SanN，则 10 6 2 ( 2 S a ) A243B244C245D246 【解答】解： 1 2323()2 nnnn SaSS ， 1 13(1)(2) nn SSn ，由 1111 232213aaaa ，数列1 n S 是首项与公比均为 3 的等比数列， 13n n S ， 655 665 332 32243486aSS， 1055 10 6 22 (31)(31)(31)(243 1)(243 1) 244 2

21、4862242242 S a ，故选：B 10 （5 分）已知函数 2 0 1 ( )|2| 2 i f xxi xi ，下列四个判断一定正确的是() A函数( )f x为偶函数 B函数( )f x最小值为 6 C函数( )yf x的图象关于直线2x 对称 D关于x的方程 2 ( )0(0)f xmm的解集可能为 2，0，3，6 【解答】解： 111 ( ) |2|4| 24 f xxxx xxx ，则0 x 且2x 且4x ，则定义域关于原点不对称，则( )f x不可能是偶函数，故A错误， 11 | ) |2xx xx ，当且仅当 1 x x ，即1x 时，取等号，第 10页（共 20

22、页） 11 |2| |2|2 22 xx xx ，当且仅当 1 2 2 x x ，即3x 或1x 时，取等号， 11 |4| |4|2 44 xx xx ，当且仅当 1 4 4 x x ，即3x 或5x 时，取等号，则( ) 2226f x，但三个不等式等号成立的条件不相同，故等号不能同时取，则最小值不是 6，故B错误， 111111 (4) | 4| 42| 44| |4|2|( ) 4424442 fxxxxxxxf x xxxxxx ，则函数关于2x 对称，故C正确，由 2 ( )0(0)f xmm得 2 ( )f xm，(0)m ，则( )f xm ，若方程有解，则根关于2x

23、对称， 2，6 关于2x 对称，但 0，3 关于2x 不对称，故D错误，故选：C 11 （5 分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ，古称“角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为 4 的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为() A 512 6 729 B 16 2 3 C 32 6 27 D 128 2 81 【解答】解：由题意可得每个

24、三角形面积为 1 42 34 3 2 S ，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为 2 4 34 6 16() 33 ，故四面体的体积为 14 616 2 4 3 333 ，该六面体的体积是正四面体的 2 倍，六面体的体积是 32 2 3 ，由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，第 11页（共 20页）设丸子的半径为R，则 32 21 64 3 33 R，解得 4 6 9 R ，丸子的体积的最大值为 33 444 6512 6 () 339729 max VR 故选：A 12

25、（5 分）已知函数( )()(0) x f xealn axaa a，若关于x的不等式( )0f x 恒成立，则实数a的取值范围为() A(0， 2 eB 2 (0,)eC1， 2 eD 2 (1,)e 【解答】解：( )()0(0) x f xealn axaaa恒成立， (1)1 x e ln xlna a ， (1)1 x lna exlnaln xx ， (1) (1) x lnaln x exlnaeln x 令( ) x g xex，易得( )g x在(1,)上单调递增， (1)xlnaln x ，(1)lnaln xx (1)22ln xx xx ， 2lna ， 2 0ae

26、，实数a的取值范围为 2 (0,)e 故选：B 二、填空题二、填空题：（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量(1, 2)a ，( ,1)bk 且()aab ，则k 3 【解答】解：根据题意，向量(1, 2)a ，( ,1)bk ，则(1, 1)abk ，若()aab ，则()(1)20aabk ，解可得3k ，故答案为：3 14 （5 分）已知一组数据 4，a，3a，5，7 的平均数为 5，则这组数据的方差为2 【解答】解：因为这组数据的平均数为 5，所以435725aa，解得3a ，第 12页（共 20页）

27、则这组数为 3，4，5，6，7，故方差 222222 1(3 5)(45)(55)(65)(75) 2 5 s 故答案为：2 15 （5 分）设、r为平面，m、n、l为直线，以下四组条件：，l ， ml；rm ，r，r；r，r，m；n，n，m；可以作为m的一个充分条件是【解答】解：记面 1 AD为，面AC为，则AD为l，若视AB为m，ml，但m在面内，故不满足条件；若、两两垂直，则可以得到m，但该条件中没有，故反例只可能存在于此处，记面 1 AD为，面 11 BB D D为，面AC为，则AD为m，但m与成45角，故不满足条件；注意到m，只要、不平行，就得不到m，记面 1 AD

28、为，面 11 BB D D为，面AC为，视AB为m，但m与成45角，故不满足条件；由n，n得/ /，再由m得m；故只有满足条件故答案为： 16 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 与椭圆 22 2: 1 259 xy C的公共焦点，点P，Q分别是曲线 1 C， 2 C在第一、第三象限的交点，四边形 12 PFQF的面积为6 6，设双曲线 1 C与椭圆 2 C的离心率依次为 1 e， 2 e，则 12 ee 2 104 5 【解答】解：由题意可得 22 16ab，根据双曲线 1 C与椭圆 2 C的对称性可得 12 PF F的面

29、积为3 6，设 0 (P x， 0) y， 0 (x， 0 0)y ，则 0 22 00 1 83 6 2 1 259 y xy ，解得 0 5 10 4 x ， 0 3 6 4 y ，代入双曲线的方程结合 22 16ba，可得 42 352500aa，结合04ac，解得10a ，第 13页（共 20页）双曲线的离心率为 1 42 10 510 c e a ，而椭圆的离心率 2 4 5 e ， 12 2 104 5 ee 故答案为： 2 104 5 三三、解答题解答题：（本大题共本大题共 5 小题小题，满分满分 60 分分解答须写出文字说明解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤

30、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，5a ，3b ， sin5sin2 2AB （1）求角A的值；（2）求ABC的面积【解答】解：（1）因为5a ，3b ，由正弦定理得2 sinsin ab R AB ，所以 5 sin 2 A R ， 3 sin 2 B R ，因为sin5sin2 2AB，所以 53 5 2 2 22RR ，故 10 2 R ， 52 sin 22 A R ，因为ab，所以A为锐角， 4 A ；第 14页（共 20页）（2）由余弦定理得 2222 295 cos 226 bcac A bcc

31、，整理得 2 3 240cc，解得2 2c 或2c 当2 2c 时， 112 sin32 23 222 ABC SbcA ，当2c 时， 1123 sin32 2222 ABC SbcA 18 （12 分）已知抛物线 2 :2C yx，过点(1,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点（1）若| 2 2AB ，求AOB外接圆的方程；（2）若点A关于x轴的对称点是(A A与B不重合），证明：直线A B经过定点【解答】解：（1）设直线l的方程为1xty，联立 2 1 2 xty yx ，得 2 220yty，所以 2222 |1482 (1)(2)ABtttt，由

32、| 2 2AB ，解得0t ，所以A，B的坐标为(1, 2)，(1,2)， AOB外接圆的圆心在x轴上，设圆心为( ,0)a，由 222 (1)( 2)aa，解得 3 2 a ，所以AOB外接圆的方程为 22 39 () 24 xy （2）证明：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 1 (A x， 1) y，由（1）知， 12 2yyt， 12 2y y ，设直线A B的方程为xmyn，联立 2 2 xmyn yx ，得 2 220ymyn，则 12 ()2y yn ，所以22n ，即1n ，第 15页（共 20页）所以直线A B过定点( 1,0)

33、19 （12 分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区 2019 年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取 500 户家庭作为样本，获得数据如表： A地区B地区 2019 年人均年纯收入超过 10000 元 100 户150 户 2019 年人均年纯收入未超过 10000 元 200 户50 户假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过 10000 元相互独立（）从A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，估计该家庭 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的概率；（）在样本中，分别从A

34、地区和B地区 2019 年脱贫家庭中各随机抽取 1 户，记X为这 2 户家庭中 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的户数，求X的分布列和数学期望；（）从样本中A地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4 户，发现这 4 户家庭 2020 年人均年纯收入都超过 10000 元根据这个结果，能否认为样本中A地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年有变化？请说明理由【解答】解：（）设事件C：从A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年人均纯收入超过 10000 元，从表格数据可知，A地区抽出的 300 户家庭中 2019

35、年人均年收入超过 10000 元的有 100 户，因此P（C）可以估计为 1001 3003 ；（）设事件A：从样本中A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年人均纯收入超过 10000 元，设事件B：从样本中B地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年人均纯收入超过 10000 元，由题意可知，X的可能取值为 0，1，2， 131 (0)()( ) ( )(1)(1) 346 P XP ABP A P B， 13137 (1)()( ) ( )( ) ( )(1)(1) 343412 P XP ABABP A P BP A P

36、B ，第 16页（共 20页） 131 (2)()( ) ( ) 344 P XP ABP A P B，所以X的分布列为： X012 P 1 6 7 12 1 4 所以X的数学期望为 17113 ()012 612412 E X ；（）设事件E为“从样本中A地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4 户，这 4 户家庭 2020 年人均年纯收入都超过 10000 元” ，假设样本中A地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年没有变化，则由 2019 年的样本数据可得 4 100 4 300 ( )0.012 C P E C 答案示例 1：可以认为有变化

37、，理由如下： P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化答案示例 2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化 20 （12 分）如图，四边形ABCD中，/ /ADBC，90BAD，2ABBC，2 2AD ， E，F分别是线段AD，CD的中点以EF为折痕把DEF折起，使点D到达点P的位置， G为线段PB的中点（1）证明：平面/ /GAC平面PEF；（2）若平面PEF 平面A

38、BCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值【解答】（1）证明：连接CE，由题意知，四边形ABCE为正方形，连接BE交AC于O，连接OG，所以O为BE中点，第 17页（共 20页）又因为G为PB中点，所以/ /OGPE，因为E，F分别为AD，CD中点，所以/ /ACEF，因为OGACO ，PEEFE ，AC，OG 平面ACG，PEEF 平面PEF，所以平面/ /GAC平面PEF （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下： (0A，2，0)，( 2C，0，0)，( 2B，2，0)， 2 ( 2 P， 2 2 ，1)， 3 2 ( 4 G， 2 4 ， 1) 2 ，

39、3 2 ( 4 AG ， 3 2 4 ， 1) 2 ,( 2AC ,2,0), 2 ( 2 AP ， 3 2 2 ，1), 设平面PAC的法向量为(nx ,y,) z, 220 23 2 0 22 AC nxy AP nxyz ，令1y ,(1n ,1,2), 所以直线AG与平面PAC所成角的正弦值为 2 |5 2 10| |10 2 2 AG n AGn 21 （12 分）已知函数 1 ( ) x f xkex （1）讨论( )f x的单调性；（ 2 ）若函数 ( ) ( ) f x g xlnxx x 有三个极值点 1 x， 2 x， 3123 ()xxxx，求 123

40、 ()()()g xg xg x的取值范围【解答】解：（1） 1 ( )1 x fxke ，当0k时，( )0fx，( )f x在(,) 上单调递减；第 18页（共 20页）当0k 时，令( )0fx，得1xlnk ，当(,1)xlnk 时，( )0fx；当(1,)xlnk时，( )0fx 故( )f x在(,1)lnk上单调递减，在(1,)lnk上单调递增（2） 1 ( ) ( )1 x f xke g xlnxxlnxx xx ， 1 2 (1)() ( ) x xkex g x x ，因为( )g x有三个极值点 1 x， 2 x， 3 x，所以( )0g x有三个根 1

41、 x， 2 x， 3 x，假设 1 1x ， 2 x， 3 x是 1 0 x kex 的两个根，结合（1）可知，当0k 时，满足条件，则(1)10 lnk flnkkelnklnk ，解得01k，所以f（1）10k ，所以方程 1 0 x kex 的两个根中有一个小于 1，一个大于 1，又 123 xxx，所以 2 1x ， 1 x， 3 x是 1 0 x kex 的两个根，所以 2 ()1112g xlnkk ， 111 ()g xlnxx， 333 ()g xlnxx，所以 1231313 ()()()2()()g xg xg xkln x xxx 31 11 13 2()()

42、 xx kxxln keke 2 1313 2()11kxxlnkxx 42klnk，令( )42h kklnk，01k，则 2 ( )10h k k ，所以( )h k在(0,1)上单调递增， 0k 时，( )h k ，h（1）3 ，所以( )3h k ，所以 123 ()()()g xg xg x的取值范围是(, 3) 选考题选考题：（请考生在第请考生在第 22、 23 两道题中任选一题作答两道题中任选一题作答如果多做如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分作作答时请用答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）选修选

43、修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数），以第 19页（共 20页）原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2 sin() 42 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若点M的坐标为(1,2)，直线l与曲线C交于A、B两点，求 11 |MAMB 的值【解答】解：（1）曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数），转换为普通方程为 2 2 1 3 x y；直线l的极坐标方程为 2 sin() 42 ，根据 22

45、ab 【解答】（1）解：当1a ，3b 时， 1 23 , 2 1 ( )( ) |21|3|4,3 2 32,3 x x f xg xxxxx xx ，当 1 2 x时，由234x，解得 2 3 x；第 20页（共 20页）当 1 3 2 x 时，4 4x ，解得03x ；当3x 时，由32 4x ，解得3x ，所以不等式( )( ) 4f xg x的解集为(， 2 0 3 ，) （2）证明：当0a ，0b 时，由不等式的基本性质，得( )2 ( ) |2|22 |222 |2f xg xxaxbxaxbab，所以23ab，因为 22 24 22 abab ，即 22 4 3 2 ab ，所以 22 9 4 2 ab 另解：根据柯西不等式，得 22222 (11 )(2 ) (2 )9abab，即 22 9 4 2 ab，当且仅当2ab，即 3 2 a ， 3 4 b 时取得等号

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