1、第 1页（共 22页） 2021 年广东省广州市增城区中考数学一模试卷年广东省广州市增城区中考数学一模试卷 一一、选择题选择题（本题有本题有 10 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 30 分分。下面每小题给出的四个选项中下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的）只有一个是正确的） 1 （3 分）下列四个实数中，是无理数的为() A0B3C1D 1 3 2 （3 分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是() AB CD 3 （3 分）下列运算正确的是() A 235 xxxB 236 xxxC 2 35 ()xxD 532 xxx 4 （3 分）下列四组数中，能构成直角三角形的
2、是() A8，10，7B2，3，4C2，1，5D3，1，2 5 （3 分）如图，AB是半圆O的直径，AC、BC是弦，ODAC于点D，若1.5OD ， 则(BC ) A4.5B3C2D1.5 6 （3 分）在Rt ABC中，90C，8AC ，6BC ，则它的外接圆的面积为() A5B10C25D100 7 （3 分）在函数 2 1a y x 的图象上有两点 1 ( 3,)y， 2 ( 1,)y，则 1 y与 2 y之间的大小关系是 () A 21 0yyB 12 0yyC 21 0yyD 12 0yy 第 2页（共 22页） 8 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，P经过三点(8,0)A，(0,
3、0)O，(0,6)B，点D是P 上一动点，则点D到弦OB的距离的最大值是() A6B8C9D10 9 （3 分）直线2yxm经过第一，三、四象限，则抛物线 2 21yxxm 与x轴的交点 个数为() A0 个B1 个C2 个D1 个或 2 个 10 （3 分）如图，矩形ABCD中，:2:1AB AD ，点E为AB的中点，点F为EC上一个动 点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3 2时，则AD的值为() A2B3C4D6 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）粤港澳大湾区是我们国家建设世界级城市群和参
4、与全球竞争的重要空间载体， 是世界四大湾区之一， 整体面积达到 56000 平方千米， 实数 56000 用科学记数法表示为 12 （3 分）如图，直线/ /ab，1130 ，则2的度数是 13 （3 分）因式分解： 3 4xx 14 （3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积 为 第 3页（共 22页） 15 （3 分）如图在矩形纸片ABCD中，4AB ，6AD ，点E是AB的中点，点F是边 AD上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到A EF，则线段A C的最小值 是 16 （3 分）抛物线 2 (14 )15ymxm xm 一定经过非坐标轴上的一点
5、P，则点P的坐 标为 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.） 17 （4 分）解方程组： 1, 37. xy xy 18 （4 分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AD ，BE ，BFCE求 证：ABCDEF 19 （6 分）先化简，再求值： 53 (2) 224 a a aa ，其中a是整数且满足 3 2 60 a a 第 4页（共 22页） 20 （6 分）2021 年 4 月 23 日是第二十六个“世界读书日” 某校组织读书征文比赛活动， 评选出一、二、三等奖
6、若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整） ，根 据图中信息解答下列问题： （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活 动，请用列举法求恰好抽到甲和乙的概率 21 （8 分）已知反比例函数 3 y x 和一次函数1(yxaa 为常数） （1）当5a 时，求反比例函数与一次函数的交点坐标； （2） 是否存在实数a， 使反比例函数与一次函数有且只有一个交点， 如果存在， 求出实数a， 如果不存在，说明理由 22 （10 分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油 7
7、6 元； 从A地到B地，只用电行驶，需用电 26 元，已知每行驶 1 千米，只用燃油的费用比只用电 的费用多 0.5 元 （1）若只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是多少元？ （2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39 元，则至少需用 电行驶多少千米？ 23 （10 分）如图，已知ABC （1）尺规作图：先作ABC的平分线BD交AC于点D，再作线段BD的垂直平分线，分别 交BC、AB于点E、F （不写作法，保留作图痕迹） （2）连接DE、DF，若3AB ，2BC ，求四边形BEDF的边长 第 5页（共 22页） 24 （12 分） 如图， 已知Rt ABC，90ABC
8、，AB为O的直径， 斜边AC交O于点E， AC平分DAB，EDAD于点D，DE的延长线与BC交于点F （1）求证：DE是O切线； （2）求证：CFBF； （3）若:3:4AD AB ，3DE ，求EF的长 25 （12 分）已知抛物线 2 1 4 yxbxc 经过点(4,3)A，顶点为B，对称轴是直线2x （1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标； （2）如图 1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作ADx轴于点D，E是线段AC上 的动点（点E不与A，C两点重合） ； ( ) i若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分，求点E的坐标； ( )ii如图 2，连接DE，作矩形DEFG
9、，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的 同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由 第 6页（共 22页） 2021 年广东省广州市增城区中考数学一模试卷年广东省广州市增城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（本题有本题有 10 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 30 分分。下面每小题给出的四个选项中下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的）只有一个是正确的） 1 （3 分）下列四个实数中，是无理数的为() A0B3C1D 1 3 【解答】解：A、0 是有理数，故A错误； B、3是无理数，故B正确
10、； C、1是有理数，故C错误； D、 1 3 是有理数，故D错误； 故选：B 2 （3 分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是() AB CD 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 3 （3 分）下列运算正确的是() A 235 xxxB 236 xxxC 2 35 ()xxD 532 xxx 【解答】解：A、 2 x与 3 x不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B、 235 xxx，故本选项不合题意； C、 2 36 ()xx，故本选项不合题意；
11、 第 7页（共 22页） D、 532 xxx，故本选项符合题意； 故选：D 4 （3 分）下列四组数中，能构成直角三角形的是() A8，10，7B2，3，4C2，1，5D3，1，2 【解答】解：A、 222 7810，故不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、 22 234，故不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、125，不能构成三角形，故C不符合题意； D、 222 ( 2)1( 3)，故能构成直角三角形，故D符合题意； 故选：D 5 （3 分）如图，AB是半圆O的直径，AC、BC是弦，ODAC于点D，若1.5OD ， 则(BC ) A4.5B3C2D1.5 【解答】解：ODAC，
12、ADCD， OAOB， OD为ABC的中位线， 22 1.53BCOD 故选：B 6 （3 分）在Rt ABC中，90C，8AC ，6BC ，则它的外接圆的面积为() A5B10C25D100 【解答】解：在Rt ABC中，90C，8AC ，6BC ， 10AB， Rt ABC的外接圆的面积 2 10 ()25 2 ， 故选：C 7 （3 分）在函数 2 1a y x 的图象上有两点 1 ( 3,)y， 2 ( 1,)y，则 1 y与 2 y之间的大小关系是 第 8页（共 22页） () A 21 0yyB 12 0yyC 21 0yyD 12 0yy 【解答】解：反比例函数 2 1a y x
13、 中的 2 10a ， 该函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小 函数 2 1a y x 的图象上有两点 1 ( 3,)y， 2 ( 1,)y， 两点 1 ( 3,)y， 2 ( 1,)y在第三象限，且31 ， 21 0yy， 故选：A 8 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，P经过三点(8,0)A，(0,0)O，(0,6)B，点D是P 上一动点，则点D到弦OB的距离的最大值是() A6B8C9D10 【解答】解：如图，连接AB，90AOB AB为直径，此时 22 10ABOAOB， 当直线CD垂直OB时，此时点D到弦OB的距离的最大，最大距离为CD 90BCPAOB ，
14、/ /PCOA 又P是AB的中点， PC是AOB的中位线 1 4 2 PCOA，此时459CDPCPD， 第 9页（共 22页） 故选：C 9 （3 分）直线2yxm经过第一，三、四象限，则抛物线 2 21yxxm 与x轴的交点 个数为() A0 个B1 个C2 个D1 个或 2 个 【解答】解：直线2yxm经过第一，三、四象限， 20m， 又由抛物线 2 21yxxm 的解析式可知， 2 24(1)40mm， 抛物线与x轴无交点 故选：A 10 （3 分）如图，矩形ABCD中，:2:1AB AD ，点E为AB的中点，点F为EC上一个动 点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3 2时
15、，则AD的值为() A2B3C4D6 【解答】解：如图， 当点F与点C重合时，点P在 1 P处， 11 CPDP， 当点F与点E重合时，点P在 2 P处， 22 EPDP， 第 10页（共 22页） 12/ / PPCE且 12 1 2 PPCE 且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP 由中位线定理可知： 1 / /PPCE且 1 1 2 PPCF， 点P的运动轨迹是线段 12 PP， .当 12 BPPP时，PB取得最小值 矩形ABCD中，:2:1AB AD ，设2ABt，则ADt， E为AB的中点， CBE、ADE、 1 BCP为等腰直角三角形， 1 CPt， 1 45ADECD
16、ECPB ，90DEC 21 90DP P 12 45DPP 21 90P PB，即 112 BPPP， BP的最小值为 1 BP的长 在等腰直角 1 BCP中， 1 CPBCt， 1 23 2BPt， 3t 故选：B 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）粤港澳大湾区是我们国家建设世界级城市群和参与全球竞争的重要空间载体， 是世界四大湾区之一，整体面积达到 56000 平方千米，实数 56000 用科学记数法表示为 4 5.6 10 【解答】解：将 56000 用科学记数法表示为： 4 5.6 10 故答案为
17、： 4 5.6 10 12 （3 分）如图，直线/ /ab，1130 ，则2的度数是50 【解答】解：/ /ab， 第 11页（共 22页） 12180 1130 ， 2180118013050 故答案为：50 13 （3 分）因式分解： 3 4xx(2)(2)x xx 【解答】解： 3 4xx 2 (4)x x (2)(2)x xx 故答案为：(2)(2)x xx 14 （3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为 2 【解答】解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得此几何 体为圆柱； 易得圆柱的底面直径为 2，高为 1， 侧面积2
18、12 ， 故答案为：2 15 （3 分）如图在矩形纸片ABCD中，4AB ，6AD ，点E是AB的中点，点F是边 AD上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到A EF，则线段A C的最小值是 2 102 第 12页（共 22页） 【解答】解：如图，以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A在线段CE上 时，A C的长取最小值， 由折叠可知， 1 2 2 A EAEBEAB， 在Rt BCE中，由勾股定理可得， 2222 622 10CEBCBE， A C的最小值2 102CEA E， 故答案为：2 102 16 （3 分）抛物线 2 (14 )15ymxm xm 一定经过非坐标轴
19、上的一点P，则点P的坐 标为(5,6) 【解答】解： 22 (14 )1 5(45)1ymxm xmxxmx ， 令 2 450 xx，解得1x 或5x ， 当1x 时，0y ； 当5x 时，6y ； 非坐标轴上的点P的坐标为(5,6) 故答案为：(5,6) 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.） 17 （4 分）解方程组： 1, 37. xy xy 【解答】解： 1 37 xy xy ， 第 13页（共 22页） 得：48x ， 解得：2x ， 把2x 代入得：1y ，
20、 则该方程组的解为 2 1. x y 18 （4 分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AD ，BE ，BFCE求 证：ABCDEF 【解答】证明：BFCE， BFFCCEFC即BCEF， 在ABC和DEF中， , , AD BE BCEF ()ABCDEF AAS 19 （6 分）先化简，再求值： 53 (2) 224 a a aa ，其中a是整数且满足 3 2 60 a a 【解答】解：原式 2 9 2(2) 23 aa aa 2(3)a， 26a， 3 2 60 a a ， 56a， 5a， 原式10616 第 14页（共 22页） 20 （6 分）2021 年 4 月 23 日是第
21、二十六个“世界读书日” 某校组织读书征文比赛活动， 评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整） ，根 据图中信息解答下列问题： （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活 动，请用列举法求恰好抽到甲和乙的概率 【解答】解： （1）本次比赛获奖的总人数为：410%40（人)， 获二等奖的人数为4042412（人)， 补全条形统计图如下： （2）画树状图如图： 第 15页（共 22页） 共有 12 个等可能的结果，恰好抽到甲和乙的结果有 2 个， 恰好抽到甲和乙的概率为
22、 21 126 21 （8 分）已知反比例函数 3 y x 和一次函数1(yxaa 为常数） （1）当5a 时，求反比例函数与一次函数的交点坐标； （2） 是否存在实数a， 使反比例函数与一次函数有且只有一个交点， 如果存在， 求出实数a， 如果不存在，说明理由 【解答】解： （1）当5a 时，一次函数1yxa 的解析式为：4yx ， 联立 3 4 y x yx ，解得 1 1 1 3 x y ， 2 2 3 1 x y ， 当5a 时，反比例函数与一次函数的交点坐标为(1,3)，(3,1) （2）存在实数a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点， 联立 3 1 y x yxa ，整理得，
23、2 (1)30 xax， 方程组只有一组解，得 2 (1)120a ， 解得：2 31a 或2 31a 22 （10 分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油 76 元； 从A地到B地，只用电行驶，需用电 26 元，已知每行驶 1 千米，只用燃油的费用比只用电 的费用多 0.5 元 （1）若只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是多少元？ （2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39 元，则至少需用 电行驶多少千米？ 【解答】解： （1）设只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶 1 千米的费用是(0.5)x 元， 依题意得
24、： 7626 0.5xx ， 解得：0.26x ， 经检验，0.26x 是原方程的解，且符合题意 答：只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是 0.26 元 （2）A，B两地间的路程为260.26100（千米） 第 16页（共 22页） 设用电行驶m千米，则用油行驶(100)m千米， 依题意得：0.26(0.260.5)(100) 39mm， 解得：74m 答：至少需用电行驶 74 千米 23 （10 分）如图，已知ABC （1）尺规作图：先作ABC的平分线BD交AC于点D，再作线段BD的垂直平分线，分别 交BC、AB于点E、F （不写作法，保留作图痕迹） （2）连接DE、DF，若3AB ，2BC
25、 ，求四边形BEDF的边长 【解答】解： （1）如图，四边形BEDF即为所求作 （2）EF垂直平分线段BD， FDFB，EBED， DBFDBE ， 90DBFBFE ，90DBEBEF ， BFEBEF ， BEBF， BEEDDFBF， 四边形BEDF是菱形， 设菱形的边长为x， / /DFBC， 第 17页（共 22页） AFDF ABBC ， 3 32 xx ， 6 5 x， 菱形BEDF的边长为 6 5 24 （12 分） 如图， 已知Rt ABC，90ABC，AB为O的直径， 斜边AC交O于点E， AC平分DAB，EDAD于点D，DE的延长线与BC交于点F （1）求证：DE是O切线
26、； （2）求证：CFBF； （3）若:3:4AD AB ，3DE ，求EF的长 【解答】解： （1）连接OE， AC平分DAB， DAEOAE ， OAOE， OAEOEA ， DAEOEA ， / /ADOE， 第 18页（共 22页） ADED， OEDE， 点E在O上， DE是O的切线； （2）连接BE， AB为O的直径， 90AEBBEC ， 90ABC，AB为O的直径， FB为O的切线， 又DE是O的切线， FEFB， FEBFBE ， 90FEBFECFBEC ， FECC ， FEFC， 又FEFB， FBFC； （3）90ADEABC ，DAECAB ， ADEABC， 3 4
27、 DEAD BCAB ， 3DE ， 第 19页（共 22页） 4 3 3 BC， 1 2 FEFCFBBC， 2 3 3 EF 25 （12 分）已知抛物线 2 1 4 yxbxc 经过点(4,3)A，顶点为B，对称轴是直线2x （1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标； （2）如图 1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作ADx轴于点D，E是线段AC上 的动点（点E不与A，C两点重合） ； ( ) i若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分，求点E的坐标； ( )ii如图 2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的 同时点F恰好落在抛物线上？若
28、存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）抛物线 2 1 4 yxbxc 经过点(4,3)A，对称轴是直线2x ， 2 1 443 4 2 1 2() 4 bc b ， 解得： 1 3 b c ， 抛物线的函数表达式为： 2 1 3 4 yxx ， 22 11 3(2)4 44 yxxx ， 顶点B的坐标为(2,4)； 第 20页（共 22页） （2） 2 1 ( )3 4 iyxx ， 0 x时，3y ， 则C点的坐标为(0,3)， (4,3)A， / /ACOD， ADx， 四边形ACOD是矩形， 设点E的坐标为( ,3)m，直线BE的函数表达式为：ykxn，直线B
29、E交x轴于点M，如 图 1 所示： 则 24 3 kn mkn ， 解得： 1 2 46 2 k m m n m ， 直线BE的函数表达式为： 146 22 m yx mm ， 令 146 0 22 m yx mm ，则46xm， 点M的坐标为(46,0)m ， 直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分， 点M在线段OD上，点M不与点O重合， (0,3)C，(4,3)A，(46,0)Mm ，( ,3)E m， 3OC，4AC ，46OMm，CEm， 3 412 ACOD SOC AC 矩形 ， 111518 463 222 ECOM m SOMECOCmm 梯形 ， 分两种情况： 1
30、 4 ECOM ACOD S S 梯形 矩形 ，即 1518 1 2 124 m ， 解得： 8 5 m ， 第 21页（共 22页） 点E的坐标为： 8 (5，3)； 3 4 ECOM ACOD S S 梯形 矩形 ，即 1518 3 2 124 m ， 解得： 12 5 m ， 点E的坐标为： 12 ( 5 ，3)； 综上所述，点E的坐标为： 8 (5，3)或 12 ( 5 ，3)； ( )ii存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下： 由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方， 过点F作FNAC于N，则/ /NFCG，如图 2 所示： 设点F的坐标为： 2 1 (
31、,3) 4 aaa， 则 22 11 3(3) 44 NFaaaa ，NCa ， 四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形， 90DAEDEFN ，EFDG，/ /EFDG，/ /ACOD， NEFODG ，EMCDGO ， / /NFCG， EMCEFN ， EFNDGO ， 在EFN和DGO中， NEFODG EFDG EFNDGO ， ()EFNDGO ASA ， 4NEODAC， ACCENECE，即AENCa ， 90DAEDEFN ， 90NEFEFN ，90NEFDEA ， EFNDEA ， ENFDAE， 第 22页（共 22页） NENF ADAE ，即 2 1 4 4 3 aa a ， 整理得： 2 3 0 4 aa， 解得： 4 3 a 或 0， 当0a 时，点E与点A重合， 0a舍去， 4 3 AENCa ， 当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为 4 3
