1、 高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页） 合肥市2021 年高三第三次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分分. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分. 13.1 14. 2 8yx 15.12600 16. 三、解答题：三、解答题： 17. (本小题满分12分) 解：(1)由2sin 4 a C b 得sincosabCC. 由正弦定理得 sinsinsincosABCC ，即 sinsinsincosBCBCC ， cossin
2、sinsinBCBC. 在ABC中，sin0C ，cossinBB，即tan1B . 0B， ， 4 B . 5分 (2)由余弦定理得 222 cos 2 acb B ac ，即 222 2 22 acb ac ， 222 2bacac. 又 2 22bac ， 22 acac 2，即a c . 由(1)知 4 B ，又2c ，ABC面积 112 sin2 22. 222 SacB .12分 18. (本小题满分12分) (1) 证明：DEBC，BC平面ABE，DE平面ABE. 又AE 平面ABE，DEAE. 在Rt ADE中，由60DAE ，6DE得，2 3AE. 又45 ,2.BACBCA
3、BABBC 在ABE中， 222 2cosAEABBEAB BEABE，解得4BE . 222 BEABAE，即ABAE. 而BCAE，AE平面ABC. 又AC 平面ABC，AEAC.5分 (2) 解：连接BD交CE于点G，连接FG. AB平面CEF，平面ABD平面CEFFG， ABFG， AFBG FDGD . 在直角梯形BCDE中，BCGDEG ， 1 3 BGBC GDDE ， 1 3 AF FD . 如图，以E为坐标原点，EB，ED所在的直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系，则 E(0，0，0)，D(0，0，6)，C(4，0，2). 又A(3 3 0， ，)， 1333 4442 A
4、FAD ， ， 93 33 442 F， ， 73 31 442 CF ， ， 4 0 4DC ，. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C A A C D C D B D 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页） 令平面CDF的一个法向量为mxyz ， ，由 0 0 CF m DC m ， 得 73 320 0. xyz xz ， 取1x ，得 1 3 1m ， ，. 同理，平面CEF的一个法向量为 3 3 6n ， ， cos 0 m n m n mn ， ，即二面角DCFE的大小为. 2 12分 19.(本小题满分12分) 解：(1)A
5、系统需要维修的概率为 23 1 3 1 111 2 222 C ， B系统需要维修的概率为 2345 21 55 111 111 222 222 CC ， 设X为该电子产品需要维修的系统个数，则 1 2 XB ， ， 200X . 2 2 11 200(0 1 2), 22 kk k PkP XkCk ， 的分布列为 1 200 2200 2 E . 6分 (2)A系统3个元件至少有2个正常工作的概率为 22332 3 123 A PC ppppp ，B系统5个元件至少有3 个正常工作的概率为 2 33445 55 11 B PC ppC ppp 543 61510ppp，则 2 54322
6、6151233121 BA fpPPppppppp. 01p.令 0fp ，解得 1 1 2 p. 所以，当 1 1 2 p时，B系统比A系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测A系统； 当 1 0 2 p时，A系统比B系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测B系统； 当 1 2 p 时，A系统与B系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，A，B系统检测不分次序. 12分 20.(本小题满分12分) 解：(1) 2ln1f xxa x，则 22ax fxa xx . 当0a 时， 0fx， f x在0 ，上单调递增. 10f，当1x 时， 10f xf，不符合题意，舍去；
7、 当02a时， 2 1 a ，由 0fx得， 2 0 x a ，由 0fx得， 2 x a . f x在 2 0 a ，上单调递增，在 2 a ，上单调递减. 10f，当 2 1, x a 时， 10f xf，不符合题意，舍去； 0 200400 P 1 4 1 2 1 4 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页） 当2a 时， 2 1 a ，由 0fx得，01x；由 0fx得，1x . f x在0 1，上单调递增，在1 ，上单调递减. 又 10f， 0f x 成立. 当2a时， 2 1 a ，由 0fx得， 2 0 x a ，由 0fx得， 2 x a . f x在 2 0 a ，
8、上单调递增，在 2 a ，上单调递减. 10f，当 2 ,1 x a 时， 10f xf，不符合题意，舍去； 综上得，2a . 6分 (2) 由(1)知，当2a 时， 0f x 在1 ，上成立，即ln1xx. 令 2 1 1 k x n (1 2 kn， ，)，则 22 ln 1 11 kk nn ， 2222 1 12 ln 1ln111 1111 n k kn nnnn 2222 1 1211 1212 11121 2 1 n n nn n nnnn n ， 即 222 2 11211 1 ln 2 1 n nnnn n ， 222 2 11211 1 n nnnn e n ( * nN)
9、. .12分 21.(本小题满分12分) 解：(1)由题意知726 2BQBABQBDDQ，且6 28AQ， 根据椭圆的定义得，交点B的轨迹是一个以A，Q为焦点的椭圆， 26 2a ，28c ， 222 18 162bac， 曲线C的方程为 22 1 182 xy . 4分 (2)由曲线T与曲线C相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线T经 过点3 0E ，3 0F，可设曲线 T 的方程为 22 182 xy (0).将点 0F3，坐标代入上式得， 1 2 ， 曲线T的方程为 2 2 1 9 x y. 设P( 00 xy，)，M( 11 xy，)，G( 22 xy，). 当切线PG的斜率不存在时
10、，切线PG的方程为：3x ，代入 22 1 182 xy 得1y ，此时PH 与曲线T 相 切，M为PG的中点，N为PH的中点， 1 2 MN GH 是一个定值； 同理可求，当切线PH的斜率不存在时， 1 2 MN GH 也是一个定值. 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 4 页） 当切线PG和PH的斜率都存在时， 设切线PG的方程为：ykxm， 分别代入 2 2 1 9 x y和 22 1 182 xy ， 化简整理得 222 9118990kxkmxm， 222 91189180kxkmxm. 由题意知，方程有两个相等的实数根 1 x；方程有两个不相等的实数根 02 xx， 1102
11、 2 18 91 km xxxx k ， 021 2xxx， 020211 2222yyk xxmkxmy, 此时，M为PG的中点. 同理可证，N为PH的中点， 1 2 MN GH 是一个定值. 综上可知， 1 2 MN GH 是一个定值. 12分 22.(本小题满分10分) (1)直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt (t为参数).由 2 cos4sin得， 22 cos4 sin， 曲线C的直角坐标方程为 2 4 .xy 5分 (2)将直线l的参数方程 1cos 2sin xt yt 代入 2 4xy，并整理得 22 cos2cos4sin70tt. 设点,P Q对应的参数分
12、别为 12 ,t t， 由线段PQ的中点为M得 12 0tt，即 2 2cos4sin 0 cos ， 直线l的斜率 1 tan. 2 k 直线l的方程为 1 21 2 yx，即 230 xy . 10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)当2a 时， 221f xxx. 当2x 时， 2224f xxx ，解得 4 3 x ，结合2x 得，解集为； 当21x 时， 2224f xxx，解得0 x ，结合21x 得，01x； 当1x 时， 2224f xxx，解得 4 3 x ，结合1x 得， 4 1 3 x . 原不等式的解集为 4 0 3 ，. 5分 (2)当12x时， 2 21xaxx可化为 2 22xaxx， 2 22xaxx或 2 22xaxx ， 即存在1 2x，使得 2 32axx，或 2 2axx . 1 4 a ，或2a ， 实数a的取值范围为 1 , 2, 4 . 10分
